Conjunto de niveles

Subconjunto del dominio de una función en el que su valor es igual

Conjuntos de niveles ( n − 1) -dimensionales para funciones de la forma f ( x ₁ , x ₂ , …, x _n ) = a ₁ x ₁ + a ₂ x ₂ + ⋯ + a _n x _n donde a ₁ , a ₂ , …, a _n son constantes, en el espacio euclidiano ( n + 1) -dimensional, para n = 1, 2, 3 .

Conjuntos de nivel ( n − 1) -dimensional de funciones no lineales f ( x ₁ , x ₂ , …, x _n ) en el espacio euclidiano ( n + 1) -dimensional, para n = 1, 2, 3 .

En matemáticas , un conjunto de nivel de una función de valor real f de n variables reales es un conjunto donde la función toma un valor constante dado c , es decir:

${\displaystyle L_{c}(f)=\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid f(x_{1},\ldots ,x_{n})=c\right\}~.}$

Cuando el número de variables independientes es dos, un conjunto de nivel se denomina curva de nivel , también conocida como línea de contorno o isolínea ; por lo que una curva de nivel es el conjunto de todas las soluciones de valor real de una ecuación en dos variables x ₁ y x ₂ . Cuando n = 3 , un conjunto de nivel se denomina superficie de nivel (o isosuperficie ); por lo que una superficie de nivel es el conjunto de todas las raíces de valor real de una ecuación en tres variables x ₁ , x ₂ y x ₃ . Para valores mayores de n , el conjunto de nivel es una hipersuperficie de nivel , el conjunto de todas las raíces de valor real de una ecuación en n > 3 variables.

Un conjunto de niveles es un caso especial de fibra .

Nombres alternativos

Intersecciones de las superficies de nivel de una función de coordenadas con un nudo de trébol . Las curvas rojas son las más cercanas al observador, mientras que las amarillas son las más lejanas.

Los conjuntos de niveles aparecen en muchas aplicaciones, a menudo bajo diferentes nombres. Por ejemplo, una curva implícita es una curva de nivel, que se considera independientemente de sus curvas vecinas, enfatizando que dicha curva está definida por una ecuación implícita . Análogamente, una superficie de nivel a veces se denomina superficie implícita o isosuperficie .

También se utiliza el nombre de isocontorno, que significa contorno de igual altura. En diversas áreas de aplicación, los isocontornos han recibido nombres específicos, que a menudo indican la naturaleza de los valores de la función considerada, como isóbara , isoterma , isógono , isócrona , isocuanta y curva de indiferencia .

Ejemplos

Considere la distancia euclidiana bidimensional: un conjunto de niveles de esta función consiste en aquellos puntos que se encuentran a una distancia de desde el origen, que forman un círculo . Por ejemplo, , porque . Geométricamente, esto significa que el punto se encuentra en el círculo de radio 5 centrado en el origen. De manera más general, una esfera en un espacio métrico con radio centrado en se puede definir como el conjunto de niveles . $${\displaystyle d(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$$ ${\displaystyle L_{r}(d)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle (3,4)\in L_{5}(d)}$ ${\displaystyle d(3,4)=5}$ ${\displaystyle (3,4)}$ ${\displaystyle (M,m)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle L_{r}(y\mapsto m(x,y))}$

Un segundo ejemplo es el gráfico de la función de Himmelblau que se muestra en la figura de la derecha. Cada curva que se muestra es una curva de nivel de la función y están espaciadas logarítmicamente: si una curva representa , la curva directamente "dentro" representa , y la curva directamente "fuera" representa . ${\displaystyle L_{x}}$ ${\displaystyle L_{x/10}}$ ${\displaystyle L_{10x}}$

Gráfico de curva de nivel logarítmica de la función de Himmelblau ^[1]

Conjuntos de niveles versus gradiente

Consideremos una función f cuyo gráfico parece una colina. Las curvas azules son los conjuntos de niveles; las curvas rojas siguen la dirección del gradiente. El excursionista cauteloso sigue los caminos azules; el excursionista audaz sigue los caminos rojos. Nótese que los caminos azul y rojo siempre se cruzan en ángulos rectos.

Teorema : Si la función f es diferenciable , el gradiente de f en un punto es cero o perpendicular al conjunto de niveles de f en ese punto.

Para entender lo que esto significa, imaginemos que dos excursionistas se encuentran en el mismo punto de una montaña. Uno de ellos es audaz y decide ir en la dirección donde la pendiente es más pronunciada. El otro es más cauto y no quiere ni subir ni bajar, eligiendo un camino que se mantenga a la misma altura. En nuestra analogía, el teorema anterior dice que los dos excursionistas partirán en direcciones perpendiculares entre sí.

Una consecuencia de este teorema (y su demostración) es que si f es diferenciable, un conjunto de niveles es una hipersuperficie y una variedad fuera de los puntos críticos de f . En un punto crítico, un conjunto de niveles puede reducirse a un punto (por ejemplo, en un extremo local de f ) o puede tener una singularidad como un punto de autointersección o una cúspide .

Conjuntos de subniveles y superniveles

Un conjunto de la forma

${\displaystyle L_{c}^{-}(f)=\left\{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid f(x_{1},\dots ,x_{n})\leq c\right\}}$

se denomina conjunto de subnivel de f (o, alternativamente, conjunto de nivel inferior o trinchera de f ). Un conjunto de subnivel estricto de f es

${\displaystyle \left\{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid f(x_{1},\dots ,x_{n})<c\right\}}$

Similarmente

${\displaystyle L_{c}^{+}(f)=\left\{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid f(x_{1},\dots ,x_{n})\geq c\right\}}$

se llama un conjunto de supernivel de f (o, alternativamente, un conjunto de nivel superior de f ). Y un conjunto de supernivel estricto de f es

${\displaystyle \left\{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid f(x_{1},\dots ,x_{n})>c\right\}}$

Los conjuntos de subniveles son importantes en la teoría de minimización . Según el teorema de Weierstrass , la acotación de un conjunto de subniveles no vacíos y la semicontinuidad inferior de la función implican que una función alcanza su mínimo. La convexidad de todos los conjuntos de subniveles caracteriza a las funciones cuasiconvexas . ^[2]

Véase también

• Epígrafe
• Método de nivelación
• Conjunto de niveles (estructuras de datos)

Referencias

1. Simionescu, PA (2011). "Algunos avances en la visualización de funciones restringidas y desigualdades de dos variables". Revista de informática y ciencias de la información en ingeniería . 11 (1). doi :10.1115/1.3570770.
2. Kiwiel, Krzysztof C. (2001). "Convergencia y eficiencia de los métodos de subgradiente para la minimización cuasiconvexa". Programación matemática, serie A . 90 (1). Berlín, Heidelberg: Springer: 1–25. doi :10.1007/PL00011414. ISSN  0025-5610. MR  1819784. S2CID  10043417.