Conjugado complejo

Operación fundamental sobre números complejos

Representación geométrica ( diagrama de Argand ) de y su conjugado en el plano complejo. El conjugado complejo se encuentra reflejando respecto al eje real. ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\overline {z}}}$ ${\displaystyle z}$

En matemáticas , el conjugado complejo de un número complejo es el número con una parte real igual y una parte imaginaria iguales en magnitud pero de signo opuesto . Es decir, si y son números reales, entonces el conjugado complejo de es El conjugado complejo de a menudo se denota como o . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a+bi}$ ${\displaystyle a-bi.}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\overline {z}}}$ ${\displaystyle z^{*}}$

En forma polar , si y son números reales, entonces el conjugado de es Esto se puede demostrar usando la fórmula de Euler . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle re^{i\varphi }}$ ${\displaystyle re^{-i\varphi }.}$

El producto de un número complejo y su conjugado es un número real:  (o  en coordenadas polares ). ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ ${\displaystyle r^{2}}$

Si una raíz de un polinomio univariado con coeficientes reales es compleja, entonces su conjugado complejo también es una raíz .

Notación

El conjugado complejo de un número complejo se escribe como o La primera notación, un vinculum , evita la confusión con la notación para la transpuesta conjugada de una matriz , que puede considerarse como una generalización del conjugado complejo. La segunda es la preferida en física , donde se utiliza la daga (†) para la transpuesta conjugada, así como en ingeniería eléctrica e ingeniería informática , donde la notación de barra puede confundirse con el símbolo de negación lógica ("NO") del álgebra de Boole , mientras que la notación de barra es más común en matemáticas puras . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\overline {z}}}$ ${\displaystyle z^{*}.}$

Si un número complejo se representa como una matriz ${\displaystyle 2\times 2}$ , las notaciones son idénticas y el conjugado complejo corresponde a la matriz transpuesta , que es una inversión a lo largo de la diagonal. ^[1]

Propiedades

Las siguientes propiedades se aplican a todos los números complejos y, a menos que se indique lo contrario, se pueden demostrar por escrito y en la forma ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle w,}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle a+bi.}$

Para dos números complejos cualesquiera, la conjugación es distributiva sobre la suma, resta, multiplicación y división: ^{[ref 1]} $${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {z+w}}&={\overline {z}}+{\overline {w}},\\{\overline {z-w}}&={\overline {z}}-{\overline {w}},\\{\overline {zw}}&={\overline {z}}\;{\overline {w}},\quad {\text{and}}\\{\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}&={\frac {\overline {z}}{\overline {w}}},\quad {\text{if }}w\neq 0.\end{aligned}}}$$

Un número complejo es igual a su conjugado complejo si su parte imaginaria es cero, es decir, si el número es real. En otras palabras, los números reales son los únicos puntos fijos de conjugación.

La conjugación no cambia el módulo de un número complejo: ${\displaystyle \left|{\overline {z}}\right|=|z|.}$

La conjugación es una involución , es decir, el conjugado del conjugado de un número complejo es En símbolos, ^{[ref 1]} ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z.}$ ${\displaystyle {\overline {\overline {z}}}=z.}$

El producto de un número complejo por su conjugado es igual al cuadrado del módulo del número: Esto permite calcular fácilmente el inverso multiplicativo de un número complejo dado en coordenadas rectangulares: $${\displaystyle z{\overline {z}}={\left|z\right|}^{2}.}$$ $${\displaystyle z^{-1}={\frac {\overline {z}}{{\left|z\right|}^{2}}},\quad {\text{ for all }}z\neq 0.}$$

La conjugación es conmutativa bajo composición con exponenciación a potencias enteras, con la función exponencial y con el logaritmo natural para argumentos distintos de cero: ^{[nota 1]} $${\displaystyle {\overline {z^{n}}}=\left({\overline {z}}\right)^{n},\quad {\text{ for all }}n\in \mathbb {Z} }$$ $${\displaystyle \exp \left({\overline {z}}\right)={\overline {\exp(z)}}}$$ $${\displaystyle \ln \left({\overline {z}}\right)={\overline {\ln(z)}}{\text{ if }}z{\text{ is not zero or a negative real number }}}$$

Si es un polinomio con coeficientes reales y entonces también. Por lo tanto, las raíces no reales de polinomios reales se dan en pares complejos conjugados ( véase Teorema de raíces complejas conjugadas ). ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p(z)=0,}$ ${\displaystyle p\left({\overline {z}}\right)=0}$

En general, si es una función holomorfa cuya restricción a los números reales es de valor real, y y están definidos, entonces ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi (z)}$ ${\displaystyle \varphi ({\overline {z}})}$ $${\displaystyle \varphi \left({\overline {z}}\right)={\overline {\varphi (z)}}.\,\!}$$

La función de a es un homeomorfismo (donde la topología de se toma como la topología estándar) y antilineal , si se considera como un espacio vectorial complejo sobre sí mismo. Aunque parece ser una función de buen comportamiento , no es holomorfa ; invierte la orientación mientras que las funciones holomorfas preservan localmente la orientación. Es biyectiva y compatible con las operaciones aritméticas, y por lo tanto es un automorfismo de cuerpo . Como mantiene fijos los números reales, es un elemento del grupo de Galois de la extensión de cuerpo Este grupo de Galois tiene solo dos elementos: y la identidad de Por lo tanto, los únicos dos automorfismos de cuerpo de que dejan fijos los números reales son la función identidad y la conjugación compleja. ${\displaystyle \sigma (z)={\overline {z}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Usar como variable

Una vez que se da un número complejo o , su conjugado es suficiente para reproducir las partes de la variable -: ${\displaystyle z=x+yi}$ ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$ ${\displaystyle z}$

• Parte real: ${\displaystyle x=\operatorname {Re} (z)={\dfrac {z+{\overline {z}}}{2}}}$
• Parte imaginaria: ${\displaystyle y=\operatorname {Im} (z)={\dfrac {z-{\overline {z}}}{2i}}}$
• Módulo (o valor absoluto) : ${\displaystyle r=\left|z\right|={\sqrt {z{\overline {z}}}}}$
• Argumento : entonces ${\displaystyle e^{i\theta }=e^{i\arg z}={\sqrt {\dfrac {z}{\overline {z}}}},}$ ${\displaystyle \theta =\arg z={\dfrac {1}{i}}\ln {\sqrt {\frac {z}{\overline {z}}}}={\dfrac {\ln z-\ln {\overline {z}}}{2i}}}$

Además, se puede utilizar para especificar líneas en el plano: el conjunto es una línea que pasa por el origen y es perpendicular a ya que la parte real de es cero solo cuando el coseno del ángulo entre y es cero. De manera similar, para una unidad compleja fija, la ecuación determina la línea que pasa por paralela a la línea que pasa por 0 y ${\displaystyle {\overline {z}}}$ $${\displaystyle \left\{z:z{\overline {r}}+{\overline {z}}r=0\right\}}$$ ${\displaystyle {r},}$ ${\displaystyle z\cdot {\overline {r}}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {r}}$ ${\displaystyle u=e^{ib},}$ $${\displaystyle {\frac {z-z_{0}}{{\overline {z}}-{\overline {z_{0}}}}}=u^{2}}$$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle u.}$

Estos usos del conjugado de como variable se ilustran en el libro de Frank Morley Inversive Geometry (1933), escrito con su hijo Frank Vigor Morley. ${\displaystyle z}$

Generalizaciones

Las otras álgebras unitarias reales planas, los números duales y los números complejos divididos también se analizan utilizando la conjugación compleja.

Para matrices de números complejos, donde representa la conjugación elemento por elemento de ^{[ref 2]} Contraste esto con la propiedad donde representa la transpuesta conjugada de ${\textstyle {\overline {\mathbf {AB} }}=\left({\overline {\mathbf {A} }}\right)\left({\overline {\mathbf {B} }}\right),}$ ${\textstyle {\overline {\mathbf {A} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} .}$ ${\textstyle \left(\mathbf {AB} \right)^{*}=\mathbf {B} ^{*}\mathbf {A} ^{*},}$ ${\textstyle \mathbf {A} ^{*}}$ ${\textstyle \mathbf {A} .}$

Tomando la transpuesta conjugada (o adjunta) de matrices complejas se generaliza la conjugación compleja. Aún más general es el concepto de operador adjunto para operadores en espacios de Hilbert complejos (posiblemente de dimensión infinita) . Todo esto se incluye en las *-operaciones de las C*-álgebras .

También se puede definir una conjugación para cuaterniones y cuaterniones divididos : el conjugado de es ${\textstyle a+bi+cj+dk}$ ${\textstyle a-bi-cj-dk.}$

Todas estas generalizaciones son multiplicativas sólo si se invierten los factores: $${\displaystyle {\left(zw\right)}^{*}=w^{*}z^{*}.}$$

Dado que la multiplicación de álgebras reales planas es conmutativa , esta inversión no es necesaria allí.

También existe una noción abstracta de conjugación para espacios vectoriales sobre los números complejos . En este contexto, cualquier función antilineal que satisfaga ${\textstyle V}$ ${\textstyle \varphi :V\to V}$

1. ${\displaystyle \varphi ^{2}=\operatorname {id} _{V}\,,}$¿Dónde y está el mapa de identidad ? ${\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi \circ \varphi }$ ${\displaystyle \operatorname {id} _{V}}$ ${\displaystyle V,}$
2. ${\displaystyle \varphi (zv)={\overline {z}}\varphi (v)}$Para todos y ${\displaystyle v\in V,z\in \mathbb {C} ,}$
3. ${\displaystyle \varphi \left(v_{1}+v_{2}\right)=\varphi \left(v_{1}\right)+\varphi \left(v_{2}\right)\,}$a pesar de ${\displaystyle v_{1},v_{2}\in V,}$

Se denomina conjugación compleja o estructura real . Como la involución es antilineal , no puede ser la función identidad de ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle V.}$

Por supuesto, es una transformación lineal de si se observa que cada espacio complejo tiene una forma real que se obtiene tomando los mismos vectores que en el espacio original y restringiendo los escalares para que sean reales. Las propiedades anteriores definen en realidad una estructura real en el espacio vectorial complejo ^[2] ${\textstyle \varphi }$ ${\textstyle \mathbb {R} }$ ${\textstyle V,}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V.}$

Un ejemplo de esta noción es la operación de transposición conjugada de matrices complejas definida anteriormente. Sin embargo, en espacios vectoriales complejos genéricos, no existe una noción canónica de conjugación compleja.

Véase también

• Cuadrado absoluto  – Producto de un número por sí mismoPages displaying short descriptions of redirect targets
• Recta conjugada compleja  – Operación en geometría compleja
• Representación conjugada compleja
• Espacio vectorial conjugado complejo  – Concepto matemáticoPages displaying short descriptions of redirect targets
• Álgebra de composición  : tipo de álgebra, posiblemente no asociativa.
• Conjugado (raíces cuadradas)  – Cambio de signo de una raíz cuadrada
• Función hermítica  – Tipo de función compleja
• Derivadas de Wirtinger  : concepto en análisis complejo

Referencias

1. Friedberg, Stephen; Insel, Arnold; Spence, Lawrence (2018), Álgebra lineal (5.ª ed.), ISBN 978-0134860244Apéndice D
2. Arfken, Métodos matemáticos para físicos , 1985, pág. 201

Notas al pie

1. Ver Exponenciación#Potencias no enteras de números complejos .

Bibliografía

• Budinich, P. y Trautman, A. The Spinorial Chessboard . Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-19078-3 . (Los mapas antilineales se analizan en la sección 3.3). 

1. "Explicación de la lección: Representación matricial de números complejos | Nagwa". www.nagwa.com . Consultado el 4 de enero de 2023 .
2. Budinich, P. y Trautman, A. El tablero de ajedrez Spinorial . Springer-Verlag, 1988, pág. 29