El teorema de modularidad (anteriormente llamado conjetura de Taniyama-Shimura , conjetura de Taniyama-Shimura-Weil o conjetura de modularidad para curvas elípticas ) establece que las curvas elípticas sobre el campo de números racionales están relacionadas con formas modulares . Andrew Wiles y Richard Taylor demostraron el teorema de modularidad para curvas elípticas semiestables , lo que fue suficiente para implicar el último teorema de Fermat . Más tarde, una serie de artículos de los antiguos alumnos de Wiles, Brian Conrad , Fred Diamond y Richard Taylor , que culminaron en un artículo conjunto con Christophe Breuil , ampliaron las técnicas de Wiles para demostrar el teorema de modularidad completo en 2001.
El teorema establece que cualquier curva elíptica se puede obtener mediante un mapa racional con coeficientes enteros de la curva modular clásica para algún número entero ; esta es una curva con coeficientes enteros con una definición explícita. Este mapeo se llama parametrización modular de nivel . Si es el entero más pequeño para el cual se puede encontrar tal parametrización (que por el propio teorema de modularidad ahora se sabe que es un número llamado conductor ) , entonces la parametrización puede definirse en términos de un mapeo generado por un tipo particular de sistema modular. forma de peso dos y nivel , una nueva forma normalizada con expansión de números enteros, seguida, si es necesario, de una isogenia .
El teorema de modularidad implica una afirmación analítica estrechamente relacionada:
A cada curva elíptica E podemos adjuntarle una serie L correspondiente . La serie es una serie de Dirichlet , comúnmente escrita
La función generadora de los coeficientes es entonces
Si hacemos la sustitución
vemos que hemos escrito la expansión de Fourier de una función de la variable compleja , por lo que los coeficientes de la serie también se consideran coeficientes de Fourier de . La función obtenida de esta manera es, sorprendentemente, una forma cúspide de peso dos y nivel y también es una forma propia (un vector propio de todos los operadores de Hecke ); esta es la conjetura de Hasse-Weil , que se deriva del teorema de modularidad.
Algunas formas modulares de peso dos, a su vez, corresponden a diferenciales holomórficos para una curva elíptica. El jacobiano de la curva modular puede (hasta la isogenia) escribirse como un producto de variedades abelianas irreducibles , correspondientes a las formas propias de Hecke de peso 2. Los factores unidimensionales son curvas elípticas (también puede haber factores de dimensiones superiores, por lo que no todas las formas propias de Hecke corresponden a curvas elípticas racionales). La curva obtenida al encontrar la forma de cúspide correspondiente y luego construir una curva a partir de ella es isógena a la curva original (pero, en general, no isomorfa a ella).
Yutaka Taniyama [1] presentó una versión preliminar (ligeramente incorrecta) de la conjetura en el simposio internacional de 1955 sobre teoría algebraica de números en Tokio y Nikkō . Goro Shimura y Taniyama trabajaron para mejorar su rigor hasta 1957. André Weil [2] redescubrió la conjetura y demostró en 1967 que se seguiría de las ecuaciones funcionales (conjeturadas) para algunas series retorcidas de la curva elíptica; ésta fue la primera evidencia seria de que la conjetura podría ser cierta. Weil también demostró que el conductor de la curva elíptica debería ser el nivel de la forma modular correspondiente. La conjetura de Taniyama-Shimura-Weil pasó a formar parte del programa Langlands . [3] [4]
La conjetura atrajo un interés considerable cuando Gerhard Frey [5] sugirió en 1986 que implica el último teorema de Fermat . Lo hizo intentando demostrar que cualquier contraejemplo del último teorema de Fermat implicaría la existencia de al menos una curva elíptica no modular. Este argumento se completó en 1987 cuando Jean-Pierre Serre [6] identificó un eslabón perdido (ahora conocido como la conjetura épsilon o teorema de Ribet) en el trabajo original de Frey, seguido dos años más tarde por la finalización de una demostración por parte de Ken Ribet [7]. de la conjetura épsilon.
Incluso después de recibir mucha atención, los matemáticos contemporáneos consideraban que la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil era extraordinariamente difícil de probar o tal vez incluso inaccesible a la prueba. [8] Por ejemplo, el Ph.D. El supervisor John Coates afirma que parecía "imposible probarlo realmente", y Ken Ribet se consideraba "una de la gran mayoría de personas que creía que era completamente inaccesible".
En 1995, Andrew Wiles, con la ayuda de Richard Taylor , demostró la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil para todas las curvas elípticas semiestables , que utilizó para demostrar el último teorema de Fermat, [9] y finalmente se demostró la conjetura completa de Taniyama-Shimura-Weil. por Diamante, [10] Conrad, Diamante y Taylor; y Breuil, Conrad, Diamond y Taylor; A partir del trabajo de Wiles, fueron eliminando gradualmente los casos restantes hasta que se demostró el resultado completo en 1999. [11] [12]
Una vez completamente demostrada, la conjetura pasó a ser conocida como teorema de modularidad.
Varios teoremas en teoría de números similares al último teorema de Fermat se derivan del teorema de modularidad. Por ejemplo: ningún cubo puede escribirse como la suma de dos potencias coprimas , . (El caso ya era conocido por Euler .)
El teorema de modularidad es un caso especial de conjeturas más generales debidas a Robert Langlands . El programa Langlands busca adjuntar una forma automórfica o representación automórfica (una generalización adecuada de una forma modular) a objetos más generales de geometría aritmética algebraica, como a cada curva elíptica sobre un campo numérico . La mayoría de los casos de estas conjeturas extendidas aún no se han demostrado. Sin embargo, Freitas, Le Hung y Siksek [13] demostraron que las curvas elípticas definidas sobre campos cuadráticos reales son modulares.
Por ejemplo, [14] [15] [16] la curva elíptica , con discriminante (y conductor) 37, está asociada a la forma
Para números primos ℓ distintos de 37, se puede verificar la propiedad sobre los coeficientes. Así, para ℓ = 3, hay 6 soluciones de la ecuación módulo 3: (0, 0) , (0, 1) , (1, 0) , (1, 1) , (2, 0) , (2, 1) ; por lo tanto a (3) = 3 − 6 = −3 .
La conjetura, que se remonta a la década de 1950, fue completamente probada en 1999 utilizando las ideas de Andrew Wiles , quien la demostró en 1994 para una gran familia de curvas elípticas. [17]
Hay varias formulaciones de la conjetura. Demostrar que son equivalentes fue uno de los principales desafíos de la teoría de números en la segunda mitad del siglo XX. La modularidad de una curva elíptica E del conductor N se puede expresar también diciendo que existe una aplicación racional no constante definida sobre Q , desde la curva modular X 0 ( N ) hasta E. En particular, los puntos de E pueden parametrizarse mediante funciones modulares .
Por ejemplo, una parametrización modular de la curva viene dada por [18]
donde, como arriba, q = exp(2π iz ). Las funciones x ( z ) e y ( z ) son modulares de peso 0 y nivel 37; en otras palabras, son meromórficos , definidos en el semiplano superior Im( z ) > 0 y satisfacen
y lo mismo para y ( z ), para todos los números enteros a, b, c, d con ad − bc = 1 y 37| C .
Otra formulación depende de la comparación de las representaciones de Galois asociadas, por un lado, a curvas elípticas y, por otro, a formas modulares. Esta última formulación se ha utilizado en la prueba de la conjetura. Tratar el nivel de las formas (y la conexión con el conductor de la curva) es particularmente delicado.
La aplicación más espectacular de la conjetura es la demostración del último teorema de Fermat (FLT). Supongamos que para un primo p ≥ 5, la ecuación de Fermat
tiene una solución con números enteros distintos de cero, de ahí un contraejemplo de FLT. Luego, como Yves Hellegouarch fue el primero en notar, [19] la curva elíptica
de discriminante
No puede ser modular. [7] Por lo tanto, la prueba de la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil para esta familia de curvas elípticas (llamadas curvas de Hellegouarch-Frey) implica FLT. La prueba del vínculo entre estas dos afirmaciones, basada en una idea de Gerhard Frey (1985), es difícil y técnica. Fue establecido por Kenneth Ribet en 1987. [20]
