En matemáticas , la conjetura de p-curvatura de Grothendieck-Katz es un principio local-global para ecuaciones diferenciales ordinarias lineales , relacionado con la teoría diferencial de Galois y en un sentido amplio análogo al resultado del teorema de densidad de Chebotarev considerado como el caso polinomial . Es una conjetura de Alexander Grothendieck de finales de la década de 1960, y aparentemente no fue publicada por él en ninguna forma.
El caso general permanece sin resolver, a pesar de los avances recientes; se ha vinculado a investigaciones geométricas que involucran foliaciones algebraicas .
En la declaración más simple posible, la conjetura se puede formular en sus elementos esenciales para un sistema vectorial escrito como
para un vector v de tamaño n , y una matriz A n × n de funciones algebraicas con coeficientes numéricos algebraicos . La cuestión es dar un criterio para cuando hay un conjunto completo de soluciones de funciones algebraicas, es decir, una matriz fundamental (es decir, n soluciones vectoriales puestas en una matriz de bloques ). Por ejemplo, una pregunta clásica era para la ecuación hipergeométrica : ¿cuándo tiene un par de soluciones algebraicas, en términos de sus parámetros? La respuesta se conoce clásicamente como la lista de Schwarz . En términos de monodromía , la cuestión es identificar los casos de grupo de monodromía finito.
Reformulando y pasando a un sistema mayor, el caso esencial es para funciones racionales en A y coeficientes de números racionales. Entonces una condición necesaria es que para casi todos los números primos p , el sistema definido por reducción módulo p también debe tener un conjunto completo de soluciones algebraicas, sobre el cuerpo finito con p elementos.
La conjetura de Grothendieck es que estas condiciones necesarias, para casi todos los p , deberían ser suficientes. La conexión con la p -curvatura es que la condición mod p establecida es la misma que decir que la p -curvatura, formada por una operación de recurrencia sobre A , [1] es cero; por lo tanto, otra forma de decirlo es que la p -curvatura de 0 para casi todos los p implica suficientes soluciones algebraicas de la ecuación original.
Nicholas Katz ha aplicado técnicas de categorías de Tannakian para demostrar que esta conjetura es esencialmente lo mismo que decir que el grupo diferencial de Galois G (o estrictamente hablando, el álgebra de Lie g del grupo algebraico G , que en este caso es el cierre de Zariski del grupo de monodromía) puede determinarse mediante información mod p , para una cierta clase amplia de ecuaciones diferenciales. [2]
Benson Farb y Mark Kisin han demostrado una amplia clase de casos ; [3] estas ecuaciones se basan en una variedad localmente simétrica X sujeta a algunas condiciones de teoría de grupos. Este trabajo se basa en los resultados previos de Katz para ecuaciones de Picard-Fuchs (en el sentido contemporáneo de la conexión de Gauss-Manin ), tal como André amplió en la dirección de Tannakian. También aplica una versión de superrigidez particular para grupos aritméticos . Otros avances se han logrado mediante métodos aritméticos. [4]
Nicholas Katz relacionó algunos casos con la teoría de la deformación en 1972, en un artículo donde se publicó la conjetura. [5] Desde entonces, se han publicado reformulaciones. Se ha propuesto un análogo q para ecuaciones diferenciales . [6]
En respuesta a la charla de Kisin sobre este trabajo en el Colloque Grothendieck de 2009, [7] Katz dio un breve relato, a partir de su conocimiento personal, de la génesis de la conjetura. Grothendieck la expuso en un debate público en la primavera de 1969, pero no escribió nada sobre el tema. La idea le fue conducida por intuiciones fundamentales en el área de la cohomología cristalina , que en ese momento estaba siendo desarrollada por su alumno Pierre Berthelot . De alguna manera, deseando equiparar la noción de "nilpotencia" en la teoría de las conexiones con la técnica de la estructura de potencia dividida que se volvió estándar en la teoría cristalina, Grothendieck produjo la conjetura como un subproducto.
