En geometría , una configuración de vértices [1] [2] [3] [4] es una notación abreviada para representar la figura de vértices [ dudoso – discutir ] de un poliedro o mosaico como la secuencia de caras alrededor de un vértice . Para los poliedros uniformes solo hay un tipo de vértice y, por lo tanto, la configuración de vértices define completamente el poliedro. ( Los poliedros quirales existen en pares de imágenes especulares con la misma configuración de vértices).
Una configuración de vértice se expresa como una secuencia de números que representan la cantidad de lados de las caras que rodean el vértice. La notación " abc " describe un vértice que tiene 3 caras a su alrededor, caras con lados a , b y c .
Por ejemplo, " 3.5.3.5 " indica un vértice que pertenece a 4 caras, alternando triángulos y pentágonos . Esta configuración de vértices define el icosidodecaedro transitivo de vértices . La notación es cíclica y por lo tanto es equivalente con diferentes puntos de partida, por lo que 3.5.3.5 es lo mismo que 5.3.5.3. El orden es importante, por lo que 3.3.5.5 es diferente de 3.5.3.5 (el primero tiene dos triángulos seguidos de dos pentágonos). Los elementos repetidos se pueden recopilar como exponentes, por lo que este ejemplo también se representa como (3.5) 2 .
Se le ha llamado de diversas formas: descripción de vértice , [5] [6] [7] tipo de vértice , [8] [9] símbolo de vértice , [10] [11] disposición de vértice , [12] patrón de vértice , [13] vector de cara . [14] También se le llama símbolo de Cundy y Rollett por su uso para los sólidos de Arquímedes en su libro de 1952 Modelos matemáticos . [15] [16] [17]
Una configuración de vértices también se puede representar como una figura de vértice poligonal que muestra las caras alrededor del vértice. Esta figura de vértice tiene una estructura tridimensional, ya que las caras no están en el mismo plano en el caso de los poliedros, pero en el caso de los poliedros con vértices uniformes, todos los vértices vecinos están en el mismo plano, por lo que esta proyección plana se puede utilizar para representar visualmente la configuración de vértices.
Se utilizan distintas notaciones, a veces con una coma (,) y a veces con un punto (.) como separador. El operador de punto es útil porque parece un producto y se puede utilizar una notación de exponente. Por ejemplo, 3.5.3.5 a veces se escribe como (3.5) 2 .
La notación también puede considerarse una forma expansiva del símbolo Schläfli simple para poliedros regulares . La notación Schläfli { p , q } significa q p -gonos alrededor de cada vértice. Por lo tanto, { p , q } puede escribirse como ppp.. ( q veces) o p q . Por ejemplo, un icosaedro es {3,5} = 3.3.3.3.3 o 3 5 .
Esta notación se aplica tanto a teselas poligonales como a poliedros. Una configuración de vértices plana denota una teselación uniforme, al igual que una configuración de vértices no plana denota un poliedro uniforme.
La notación es ambigua para las formas quirales . Por ejemplo, el cubo romo tiene formas en el sentido de las agujas del reloj y en el sentido contrario a las agujas del reloj que son idénticas en las imágenes especulares. Ambas tienen una configuración de vértices 3.3.3.3.4.
La notación también se aplica a caras regulares no convexas, los polígonos estrellados . Por ejemplo, un pentagrama tiene el símbolo {5/2}, lo que significa que tiene 5 lados que rodean el centro dos veces.
Por ejemplo, hay 4 poliedros estrellados regulares con figuras de vértice de polígono regular o polígono estrellado. El pequeño dodecaedro estrellado tiene el símbolo de Schläfli de {5/2,5} que se expande a una configuración de vértice explícita 5/2.5/2.5/2.5/2.5/2 o combinada como (5/2) 5 . El gran dodecaedro estrellado , {5/2,3} tiene una figura de vértice triangular y configuración (5/2.5/2.5/2) o (5/2) 3 . El gran dodecaedro , {5,5/2} tiene una figura de vértice pentagrammica, con configuración de vértice es (5.5.5.5.5)/2 o (5 5 )/2. Un gran icosaedro , {3,5/2} también tiene una figura de vértice pentagrammica, con configuración de vértice (3.3.3.3.3)/2 o (3 5 )/2.
Se considera que las caras de una figura de vértice progresan en una dirección. Algunos poliedros uniformes tienen figuras de vértice con inversiones donde las caras progresan retrógradamente. Una figura de vértice representa esto en la notación de polígono estrellado de lados p/q tales que p <2 q , donde p es el número de lados y q el número de vueltas alrededor de un círculo. Por ejemplo, "3/2" significa un triángulo que tiene vértices que dan dos vueltas, lo que es lo mismo que una vuelta al revés. De manera similar, "5/3" es un pentagrama al revés 5/2.
Los poliedros semirregulares tienen configuraciones de vértice con defecto de ángulo positivo .
NOTA: La figura del vértice puede representar un teselado regular o semirregular en el plano si su defecto es cero. Puede representar un teselado del plano hiperbólico si su defecto es negativo.
En el caso de poliedros uniformes, el defecto angular se puede utilizar para calcular el número de vértices. El teorema de Descartes establece que todos los defectos angulares de una esfera topológica deben sumar 4 π radianes o 720 grados.
Como los poliedros uniformes tienen todos los vértices idénticos, esta relación nos permite calcular el número de vértices, que es 4 π / defecto o 720 / defecto .
Ejemplo: Un cubo truncado 3.8.8 tiene un defecto de ángulo de 30 grados. Por lo tanto, tiene 720/30 = 24 vértices.
En particular se deduce que { a , b } tiene 4 / (2 - b (1 - 2/ a )) vértices.
Cada configuración de vértices enumerada define potencialmente de forma única un poliedro semirregular. Sin embargo, no todas las configuraciones son posibles.
Los requisitos topológicos limitan la existencia. Específicamente, pqr implica que un p -gono está rodeado por q -gonos y r -gonos alternados, por lo que p es par o q es igual a r . De manera similar , q es par o p es igual a r , y r es par o p es igual a q . Por lo tanto, los triples potencialmente posibles son 3.3.3, 3.4.4, 3.6.6, 3.8.8, 3.10.10, 3.12.12, 4.4. n (para cualquier n > 2), 4.6.6, 4.6.8, 4.6.10, 4.6.12, 4.8.8, 5.5.5, 5.6.6, 6.6.6. De hecho, todas estas configuraciones con tres caras que se encuentran en cada vértice resultan existir.
El número entre paréntesis es el número de vértices, determinado por el defecto del ángulo.
Los sólidos duales uniformes o catalanes , incluidas las bipirámides y los trapezoedros , son verticalmente regulares ( transitivos en sus caras ) y, por lo tanto, pueden identificarse mediante una notación similar que a veces se denomina configuración de caras . [3] Cundy y Rollett antepusieron una V a estos símbolos duales . Por el contrario, Tilings and patterns utiliza corchetes alrededor del símbolo para los tiles isoédricos.
Esta notación representa un recuento secuencial del número de caras que existen en cada vértice alrededor de una cara . [18] Por ejemplo, V3.4.3.4 o V(3.4) 2 representa el dodecaedro rómbico que es transitivo en cuanto a caras: cada cara es un rombo , y los vértices alternos del rombo contienen 3 o 4 caras cada uno.