La proyección ortográfica (también proyección ortogonal y analema ) [a] es un medio para representar objetos tridimensionales en dos dimensiones . La proyección ortográfica es una forma de proyección paralela en la que todas las líneas de proyección son ortogonales al plano de proyección , [2] lo que da como resultado que cada plano de la escena aparezca en transformación afín en la superficie de visualización. El reverso de una proyección ortográfica es una proyección oblicua , que es una proyección paralela en la que las líneas de proyección no son ortogonales al plano de proyección.
El término ortográfico a veces significa una técnica en proyección multivista en la que los ejes principales o los planos del sujeto también son paralelos al plano de proyección para crear las vistas primarias . [2] Si los planos o ejes principales de un objeto en una proyección ortográfica no son paralelos al plano de proyección, la representación se llama axonométrica o vista auxiliar . ( La proyección axonométrica es sinónimo de proyección paralela ). Los subtipos de vistas primarias incluyen plantas , elevaciones y secciones ; los subtipos de vistas auxiliares incluyen proyecciones isométricas , dimétricas y trimétricas .
Una lente que proporciona una proyección ortográfica es una lente telecéntrica objeto-espacio .
Una proyección ortográfica simple sobre el plano z = 0 se puede definir mediante la siguiente matriz:
Para cada punto v = ( v x , vy , v z ), el punto transformado Pv sería
A menudo, resulta más útil utilizar coordenadas homogéneas . La transformación anterior se puede representar para coordenadas homogéneas como
Para cada vector homogéneo v = ( v x , vy , v z , 1), el vector transformado Pv sería
En gráficos por computadora , una de las matrices más comunes utilizadas para la proyección ortográfica se puede definir mediante una tupla de 6 , ( izquierda , derecha , abajo , arriba , cerca , lejos ), que define los planos de recorte . Estos planos forman una caja con la esquina mínima en ( izquierda , abajo , -cerca ) y la esquina máxima en ( derecha , arriba , -lejos ) . [3]
La caja se traslada de modo que su centro esté en el origen, luego se escala al cubo unitario que se define por tener una esquina mínima en (−1,−1,−1) y una esquina máxima en (1,1,1).
La transformación ortográfica puede darse mediante la siguiente matriz:
que puede darse como una escala S seguida de una traslación T de la forma
La inversión de la matriz de proyección P −1 , que puede utilizarse como matriz de no proyección, se define:
Existen tres subtipos de proyección ortográfica : la proyección isométrica , la proyección dimétrica y la proyección trimétrica , dependiendo del ángulo exacto en el que la vista se desvía de la ortogonal. [2] [4] Normalmente, en el dibujo axonométrico, como en otros tipos de dibujos pictóricos, se muestra que un eje del espacio es vertical.
En la proyección isométrica , la forma más comúnmente utilizada de proyección axonométrica en el dibujo de ingeniería, [5] la dirección de visualización es tal que los tres ejes del espacio aparecen igualmente escorzados y hay un ángulo común de 120° entre ellos. Como la distorsión causada por el escorzo es uniforme, se conserva la proporcionalidad entre las longitudes y los ejes comparten una escala común; esto facilita la capacidad de tomar medidas directamente del dibujo. Otra ventaja es que los ángulos de 120° se construyen fácilmente utilizando solo un compás y una regla .
En la proyección dimétrica , la dirección de visión es tal que dos de los tres ejes del espacio aparecen igualmente escorzados, cuya escala y ángulos de presentación correspondientes se determinan según el ángulo de visión; la escala de la tercera dirección se determina por separado.
En la proyección trimétrica , la dirección de la mirada es tal que los tres ejes del espacio aparecen escorzados de manera desigual. La escala a lo largo de cada uno de los tres ejes y los ángulos entre ellos se determinan por separado según lo dicta el ángulo de la mirada. La perspectiva trimétrica rara vez se utiliza en los dibujos técnicos. [4]
En la proyección multivista , se producen hasta seis imágenes de un objeto, llamadas vistas primarias , con cada plano de proyección paralelo a uno de los ejes de coordenadas del objeto. Las vistas se colocan entre sí de acuerdo con uno de dos esquemas: proyección de primer ángulo o proyección de tercer ángulo . En cada uno, las apariencias de las vistas pueden considerarse como proyectadas sobre planos que forman una caja de seis lados alrededor del objeto. Aunque se pueden dibujar seis lados diferentes, normalmente tres vistas de un dibujo dan suficiente información para hacer un objeto tridimensional. Estas vistas se conocen como vista frontal (también elevación ), vista superior (también planta ) y vista final (también sección ). Cuando el plano o eje del objeto representado no es paralelo al plano de proyección, y donde varios lados de un objeto son visibles en la misma imagen, se denomina vista auxiliar . Por lo tanto, la proyección isométrica , la proyección dimétrica y la proyección trimétrica se considerarían vistas auxiliares en la proyección multivista. Una característica típica de la proyección multivista es que un eje del espacio generalmente se muestra como vertical.
Un mapa de proyección ortográfica es una proyección cartográfica de la cartografía . Al igual que la proyección estereográfica y la proyección gnomónica , la proyección ortográfica es una proyección en perspectiva (o azimutal) , en la que la esfera se proyecta sobre un plano tangente o secante . El punto de perspectiva de la proyección ortográfica está a una distancia infinita . Representa un hemisferio del globo tal como aparece desde el espacio exterior , donde el horizonte es un gran círculo . Las formas y áreas están distorsionadas , particularmente cerca de los bordes. [6] [7]
La proyección ortográfica se conoce desde la antigüedad y sus usos cartográficos están bien documentados. Hiparco utilizó la proyección en el siglo II a. C. para determinar los lugares de salida y puesta de las estrellas. Alrededor del año 14 a. C., el ingeniero romano Marco Vitruvio Polión utilizó la proyección para construir relojes de sol y calcular las posiciones del sol. [7]
Vitruvio también parece haber inventado el término ortográfico (del griego orthos , «recto», y graphē , «dibujo») para designar la proyección. Sin embargo, el nombre analemma , que también significaba reloj de sol que mostraba latitud y longitud, era el nombre común hasta que François d'Aguilon de Amberes promovió su nombre actual en 1613. [7]
Los mapas más antiguos que se conservan en esta proyección son dibujos en xilografía de globos terrestres de 1509 (anónimo), 1533 y 1551 (Johannes Schöner) y 1524 y 1551 (Apian). [7]
