Paralelepípedo

Hexaedro con caras de paralelogramo

En geometría , un paralelepípedo es una figura tridimensional formada por seis paralelogramos (también se utiliza en ocasiones el término romboide con este significado). Por analogía, se relaciona con un paralelogramo del mismo modo que un cubo se relaciona con un cuadrado . ^[a]

Tres definiciones equivalentes de paralelepípedo son

• un hexaedro con tres pares de caras paralelas,
• un poliedro con seis caras ( hexaedro ), cada una de las cuales es un paralelogramo, y
• Prisma cuya base es un paralelogramo .

El cuboide rectangular (seis caras rectangulares ), el cubo (seis caras cuadradas ) y el romboedro (seis caras en forma de rombo ) son casos específicos de paralelepípedo.

"Paralelepípedo" ahora se suele pronunciar / ˌ p ær ə ˌ l ɛ l ɪ ˈ p ɪ p ɪ d / o / ˌ p ær ə ˌ l ɛ l ɪ ˈ p aɪ p ɪ d / ; ^[1] tradicionalmente era / ˌ p ær ə l ɛ l ˈ ɛ p ɪ p ɛ d / PARR -ə-lel- EP -ih-ped ^[2] a pesar de su etimología en griego παραλληλεπίπεδον paralelepipedón , un cuerpo "que tiene planos paralelos ".

Los paralelepípedos son una subclase de los prismatoides .

Propiedades

Cualquiera de los tres pares de caras paralelas puede considerarse como el plano base del prisma. Un paralelepípedo tiene tres conjuntos de cuatro aristas paralelas; los bordes dentro de cada conjunto son de igual longitud.

Los paralelepípedos resultan de transformaciones lineales de un cubo (para los casos no degenerados: las transformaciones lineales biyectivas).

Dado que cada cara tiene simetría puntual , un paralelepípedo es un zonoedro . Además, todo el paralelepípedo tiene simetría puntual C _i (ver también triclínico ). Cada cara es, vista desde fuera, la imagen especular de la cara opuesta. Las caras son en general quirales , pero el paralelepípedo no.

Es posible realizar un mosaico que llene el espacio con copias congruentes de cualquier paralelepípedo.

Volumen

Paralelepípedo, generado por tres vectores.

Un paralelepípedo es un prisma que tiene como base un paralelogramo . Por tanto, el volumen de un paralelepípedo es el producto del área de la base por la altura (ver diagrama). Con ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle h}$

• ${\displaystyle B=\left|\mathbf {a} \right|\cdot \left|\mathbf {b} \right|\cdot \sin \gamma =\left|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right|}$(donde está el ángulo entre los vectores y ), y ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$
• ${\displaystyle h=\left|\mathbf {c} \right|\cdot \left|\cos \theta \right|}$(donde es el ángulo entre el vector y la normal a la base), se obtiene: ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbf {c} }$

$${\displaystyle V=B\cdot h=\left(\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \right|\sin \gamma \right)\cdot \left|\mathbf {c} \right|\left|\cos \theta \right|=\left|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right|\left|\mathbf {c} \right|\left|\cos \theta \right|=\left|\left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)\cdot \mathbf {c} \right|.}$$

producto tripledeterminante ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})^{\mathsf {T}},~\mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3})^{\mathsf {T}},~\mathbf {c} =(c_{1},c_{2},c_{3})^{\mathsf {T}},}$

Otra forma de probar ( V1 ) es usar el componente escalar en la dirección del vector : ${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }$ ${\displaystyle \mathbf {c} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}V=\left|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right|\left|\operatorname {scal} _{\mathbf {a} \times \mathbf {b} }\mathbf {c} \right|=\left|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right|{\frac {\left|\left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)\cdot \mathbf {c} \right|}{\left|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right|}}=\left|\left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)\cdot \mathbf {c} \right|.\end{aligned}}}$$

Una representación alternativa del volumen utiliza únicamente propiedades geométricas (ángulos y longitudes de los bordes):

donde , , y son las longitudes de los bordes. ${\displaystyle \alpha =\angle (\mathbf {b} ,\mathbf {c} )}$ ${\displaystyle \beta =\angle (\mathbf {a} ,\mathbf {c} )}$ ${\displaystyle \gamma =\angle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$ ${\displaystyle a,b,c}$

Prueba de ( V2 )

La prueba de ( V2 ) utiliza propiedades de un determinante y la interpretación geométrica del producto escalar :

Sea la matriz 3 × 3, cuyas columnas son los vectores (ver arriba). Entonces lo siguiente es cierto: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}V^{2}&=\left(\det M\right)^{2}=\det M\det M=\det M^{\mathsf {T}}\det M=\det(M^{\mathsf {T}}M)\\&=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} \\\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} \\\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} &\mathbf {c} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {c} \cdot \mathbf {c} \end{bmatrix}}\\&=\ a^{2}\left(b^{2}c^{2}-b^{2}c^{2}\cos(\alpha )\right)\\&\quad -ab\cos(\gamma )\left(ab\cos(\gamma )c^{2}-ac\cos(\beta )\;bc\cos(\alpha )\right)\\&\quad +ac\cos(\beta )\left(ab\cos(\gamma )bc\cos(\alpha )-ac\cos(\beta )b^{2}\right)\\&=\ a^{2}b^{2}c^{2}-a^{2}b^{2}c^{2}\cos(\alpha )\\&\quad -a^{2}b^{2}c^{2}\cos ^{2}(\gamma )+a^{2}b^{2}c^{2}\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )\\&\quad +a^{2}b^{2}c^{2}\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-a^{2}b^{2}c^{2}\cos(\beta )\\&=\ a^{2}b^{2}c^{2}\left(1-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\gamma )+\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )+\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )+\cos ^{2}(\beta )\right)\\&=\ a^{2}b^{2}c^{2}\;\left(1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )\right).\end{aligned}}}$$

(Los últimos pasos utilizan , ..., , , , ...) ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =a^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =ab\cos \gamma }$ ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {c} =ac\cos \beta }$ ${\displaystyle \mathbf {b} \cdot \mathbf {c} =bc\cos \alpha }$

Tetraedro correspondiente

El volumen de cualquier tetraedro que comparte tres aristas convergentes de un paralelepípedo es igual a una sexta parte del volumen de ese paralelepípedo (ver prueba ).

Área de superficie

El área de superficie de un paralelepípedo es la suma de las áreas de los paralelogramos delimitadores:

$${\displaystyle {\begin{aligned}A&=2\cdot \left(|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |+|\mathbf {a} \times \mathbf {c} |+|\mathbf {b} \times \mathbf {c} |\right)\\&=2\left(ab\sin \gamma +bc\sin \alpha +ca\sin \beta \right).\end{aligned}}}$$

Casos especiales por simetría.

• Se conoce como cubo al paralelepípedo con simetría Oh _, que tiene seis caras cuadradas congruentes.
• Se conoce como cuboide cuadrado al paralelepípedo con simetría D _4h , que tiene dos caras cuadradas y cuatro caras rectangulares congruentes.
• Al paralelepípedo con simetría D _3d se le conoce como trapezoedro trigonal , que tiene seis caras rómbicas congruentes (también llamado romboedro isoédrico ).
• Para paralelepípedos con simetría D _2h , existen dos casos:
  • Cuboide rectangular : tiene seis caras rectangulares (también llamado paralelepípedo rectangular , o en ocasiones simplemente cuboide ).
  • Prisma rómbico recto : tiene dos caras rómbicas y cuatro caras rectangulares congruentes.

    Nota: el caso especial completamente rómbico, con dos caras rómbicas y cuatro caras cuadradas congruentes , tiene el mismo nombre y el mismo grupo de simetría (D _2h , orden 8). ${\displaystyle (a=b=c)}$

• Para paralelepípedos con simetría C _2h , existen dos casos:
  • Prisma paralelogramo recto : tiene cuatro caras rectangulares y dos caras paralelogramos.
  • Prisma rómbico oblicuo : tiene dos caras rómbicas, mientras que de las otras caras, dos adyacentes son iguales y las otras dos también (los dos pares son imagen especular de cada uno).

Paralelepípedo perfecto

Un paralelepípedo perfecto es un paralelepípedo con aristas de longitud entera, diagonales de caras y diagonales espaciales . En 2009, se demostró la existencia de decenas de paralelepípedos perfectos, ^[3] respondiendo a una pregunta abierta de Richard Guy . Un ejemplo tiene aristas 271, 106 y 103, diagonales de caras menores 101, 266 y 255, diagonales de caras mayores 183, 312 y 323 y diagonales espaciales 374, 300, 278 y 272.

Se conocen algunos paralelepípedos perfectos que tienen dos caras rectangulares. Pero no se sabe si existen alguno con todas las caras rectangulares; tal caso se llamaría cuboide perfecto .

Paralelotopo

Coxeter llamó paralelotopo a la generalización de un paralelepípedo en dimensiones superiores . En la literatura moderna, el término paralelepípedo también se utiliza a menudo en dimensiones superiores (o finitas arbitrarias). ^[4]

Específicamente en n -espacio dimensional se llama n -paralelotopo dimensional, o simplemente n -paralelotopo (o n -paralelepípedo). Por tanto, un paralelogramo es un paralelotopo de 2 y un paralelepípedo es un paralelotopo de 3.

Las diagonales de un n -paralelotopo se cortan en un punto y son atravesadas por este punto. La inversión en este punto deja el n -paralelotopo sin cambios. Véase también Puntos fijos de grupos de isometría en el espacio euclidiano .

Los bordes que irradian desde un vértice de un k -paralelotopo forman un k -marco del espacio vectorial, y el paralelotopo se puede recuperar a partir de estos vectores, tomando combinaciones lineales de los vectores, con pesos entre 0 y 1. ${\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})}$

El n -volumen de un n -paralelotopo incrustado en donde se puede calcular mediante el determinante de Gram . Alternativamente, el volumen es la norma del producto exterior de los vectores: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle m\geq n}$

$${\displaystyle V=\left\|v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{n}\right\|.}$$

Si m = n , esto equivale al valor absoluto del determinante de la matriz formada por los componentes de los n vectores.

Una fórmula para calcular el volumen de un n -paralelotopo P en , cuyos n + 1 vértices son , es ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle V_{0},V_{1},\ldots ,V_{n}}$

$${\displaystyle \mathrm {Vol} (P)=\left|\det \left(\left[V_{0}\ 1\right]^{\mathsf {T}},\left[V_{1}\ 1\right]^{\mathsf {T}},\ldots ,\left[V_{n}\ 1\right]^{\mathsf {T}}\right)\right|,}$$

${\displaystyle [V_{i}\ 1]}$ ${\displaystyle V_{i}}$

De manera similar, el volumen de cualquier n - simplex que comparte n aristas convergentes de un paralelotopo tiene un volumen igual a uno 1/ n ! del volumen de ese paralelotopo.

Etimología

El término paralelepípedo proviene del griego antiguo παραλληλεπίπεδον ( parallēlepípedon , "cuerpo con superficies planas paralelas"), de parallēl ("paralelo") + epípedon ("superficie plana"), de epí- ("sobre") + pedon ("suelo" ). Así, las caras de un paralelepípedo son planas y las caras opuestas son paralelas. ^{[5] [6]}

En inglés, el término paralelipipedón está atestiguado en una traducción de 1570 de los Elementos de Euclides realizada por Henry Billingsley . La ortografía paralelepipedum se utiliza en la edición de 1644 del Cursus mathematicus de Pierre Hérigone . En 1663, el paralelepípedo actual está atestiguado en Chorea gigantum de Walter Charleton . ^[5]

El Diccionario de Charles Hutton (1795) muestra paralelepípedo y paralelopedón , mostrando la influencia de la forma combinada paralelo- , como si el segundo elemento fuera pipedón en lugar de epipedón . Noah Webster (1806) incluye la grafía paralelepípedo . La edición de 1989 del Diccionario de ingles Oxford describe el paralelopípedo (y paralelipípedo ) explícitamente como formas incorrectas, pero estas se enumeran sin comentarios en la edición de 2004, y sólo se dan pronunciaciones con énfasis en la quinta sílaba pi ( /paɪ/ ).

Ver también

• Listas de formas

Notas

1. En geometría euclidiana , los cuatro conceptos ( paralelepípedo y cubo en tres dimensiones, paralelogramo y cuadrado en dos dimensiones) están definidos, pero en el contexto de una geometría afín más general , en la que los ángulos no se diferencian, sólo existen paralelogramos y paralelepípedos .

1. "paralelepípedo". Dictionary.com íntegro (en línea). Dakota del Norte
2. Diccionario de ingles Oxford 1904; Segunda Internacional de Webster 1947
3. Sawyer, Jorge F.; Reiter, Clifford A. (2011). "Existen los paralelepípedos perfectos". Matemáticas de la Computación . 80 (274): 1037-1040. arXiv : 0907.0220 . doi :10.1090/s0025-5718-2010-02400-7. S2CID  206288198..
4. Morgan, CL (1974). Incrustar espacios métricos en el espacio euclidiano. Revista de Geometría, 5(1), 101–107. https://doi.org/10.1007/bf01954540
5. "paralelepípedo". Diccionario de ingles Oxford . 1933.
6. paralelohlepi/pedón. Liddell, Henry George ; Scott, Robert ; Un léxico griego-inglés en el Proyecto Perseo .

Referencias

• Coxeter, Politopos regulares HSM , 3ª ed. Nueva York: Dover, pág. 122, 1973. (Define el paralelotopo como una generalización de un paralelogramo y un paralelepípedo en n dimensiones).

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Paralelepípedo". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Paralelotopo". MundoMatemático .
• Modelo de papel paralelepípedo (neto)