Interés compuesto

Suma compuesta pagada por el uso del dinero.

Tasas de interés efectivas

El efecto de ganar un interés anual del 20% sobre una inversión inicial de $1000 y varias frecuencias de capitalización

El interés compuesto es el interés acumulado a partir de una suma principal y el interés acumulado previamente. Es el resultado de reinvertir o retener intereses que de otro modo se pagarían, o de la acumulación de deudas de un prestatario.

El interés compuesto se contrasta con el interés simple , donde el interés acumulado previamente no se suma al monto principal del período actual. El interés compuesto depende de la tasa de interés simple aplicada y de la frecuencia con la que se compone el interés.

Historia

El interés compuesto, cuando lo cobraban los prestamistas, alguna vez se consideró el peor tipo de usura y fue severamente condenado por el derecho romano y las leyes comunes de muchos otros países. ^[1]

El comerciante florentino Francesco Balducci Pegolotti proporcionó una tabla de interés compuesto en su libro Pratica della mercatura de alrededor de 1340. Da el interés de 100 liras, para tasas del 1% al 8%, por hasta 20 años. ^[2] La Summa de arithmetica de Luca Pacioli (1494) da la Regla de 72 , afirmando que para encontrar el número de años para que una inversión con interés compuesto se duplique, se debe dividir la tasa de interés entre 72.

El libro de Richard Witt Preguntas aritméticas , publicado en 1613, marcó un hito en la historia del interés compuesto. Estaba enteramente dedicado al tema (anteriormente llamado anatocismo), mientras que los escritores anteriores generalmente habían tratado brevemente el interés compuesto en un solo capítulo de un libro de texto de matemáticas. El libro de Witt proporciona tablas basadas en el 10% (la tasa de interés máxima permitida sobre préstamos) y otras tasas para diferentes propósitos, como la valoración de arrendamientos de propiedades. Witt era un matemático londinense y su libro se destaca por su claridad de expresión, profundidad de conocimiento y precisión de cálculo, con 124 ejemplos resueltos. ^{[3] [4]}

Jacob Bernoulli descubrió la constante en 1683 estudiando una cuestión sobre el interés compuesto. ${\displaystyle e}$

En el siglo XIX, y posiblemente antes, los comerciantes persas utilizaban una aproximación lineal de Taylor ligeramente modificada para la fórmula de pago mensual que podía calcularse fácilmente mentalmente. ^[5]

Descripción general

frecuencia compuesta

La frecuencia de capitalización es el número de veces por unidad de tiempo determinada que se capitaliza el interés acumulado, de forma regular. La frecuencia podría ser anual, semestral, trimestral, mensual, semanal, diaria, continua o nula hasta el vencimiento.

Por ejemplo, la capitalización mensual con interés expresado como tasa anual significa que la frecuencia de capitalización es 12, con períodos de tiempo medidos en meses.

Tasa anual equivalente

Para ayudar a los consumidores a comparar los productos financieros minoristas de manera más justa y sencilla, muchos países exigen que las instituciones financieras divulguen la tasa de interés compuesta anual sobre depósitos o anticipos sobre una base comparable. La tasa de interés sobre una base equivalente anual puede denominarse de diversas formas en diferentes mercados como tasa de porcentaje anual efectiva (EAPR), tasa equivalente anual (AER), tasa de interés efectiva , tasa anual efectiva , rendimiento porcentual anual y otros términos. La tasa anual efectiva es el interés acumulado total que sería pagadero hasta el final de un año, dividido por la suma principal. Estas tasas suelen ser la tasa de interés compuesta anualizada junto con otros cargos además de los intereses, como impuestos y otras tarifas.

Ejemplos

Interés compuesto del 15% sobre una inversión inicial de $10,000 durante 40 años

Dividendo anual del 1,5% sobre una inversión inicial de $10 000
$266 864 en pagos totales de dividendos durante 40 años
Los dividendos no se reinvirtieron en este escenario

La inflación se agravó a lo largo de 40 años a diferentes ritmos

  8%

  7%

  6%

  5%

  4%

  3%

  2%

  1%

• Los intereses de los bonos corporativos y gubernamentales suelen pagarse dos veces al año. El monto de interés pagado cada seis meses es la tasa de interés divulgada dividida por dos y multiplicada por el principal. La tasa compuesta anual es más alta que la tasa divulgada.
• Los préstamos hipotecarios canadienses generalmente se capitalizan semestralmente con pagos mensuales o más frecuentes. ^[6]
• Las hipotecas estadounidenses utilizan un préstamo amortizable , no un interés compuesto. Con estos préstamos, se utiliza un calendario de amortización para determinar cómo aplicar los pagos al principal y los intereses. Los intereses generados por estos préstamos no se agregan al capital, sino que se cancelan mensualmente a medida que se aplican los pagos.
• A veces es matemáticamente más sencillo, por ejemplo, en la valoración de derivados , utilizar la capitalización continua. La capitalización continua en la fijación de precios de estos instrumentos es una consecuencia natural del cálculo de Itô , donde los derivados financieros se valoran con una frecuencia cada vez mayor, hasta que se acerca al límite y el derivado se valora en un tiempo continuo.

Cálculo

capitalización periódica

El valor total acumulado, incluyendo la suma principal más el interés compuesto , viene dado por la fórmula: ^{[7] [8]} ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle I}$

$${\displaystyle A=P\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{nt}}$$

dónde:

• A es la cantidad final
• P es la suma principal original
• r es el tipo de interés nominal anual
• n es la frecuencia de capitalización
• t es el período total de tiempo que se aplica el interés (expresado usando las mismas unidades de tiempo que r , generalmente años).

El interés compuesto total generado es el valor final menos el principal inicial: ^[9]

$${\displaystyle I=P\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{nt}-P}$$

Función de acumulación

Dado que el P principal es simplemente un coeficiente, a menudo se omite por simplicidad y en su lugar se utiliza la función de acumulación resultante. La función de acumulación muestra hasta dónde crece $1 después de cualquier período de tiempo. La función de acumulación del interés compuesto es:

$${\displaystyle a(t)=\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{nt}}$$

Composición continua

Cuando el número de períodos de capitalización por año aumenta sin límite, se produce una capitalización continua, en cuyo caso la tasa anual efectiva se acerca a un límite superior de e ^r − 1 . Se puede considerar que la capitalización continua permite que el período de capitalización se vuelva infinitamente pequeño, lo que se logra tomando el límite cuando n tiende al infinito . La cantidad después de t períodos de capitalización continua se puede expresar en términos de la cantidad inicial P ₀ como:

$${\displaystyle P(t)=P_{0}e^{rt}.}$$

fuerza de interés

Como el número de períodos de capitalización tiende a infinito en la capitalización continua, la tasa de interés compuesta continua se denomina fuerza del interés . Para cualquier función de acumulación continuamente diferenciable a(t), la fuerza de interés, o más generalmente el rendimiento logarítmico o continuamente compuesto , es una función del tiempo de la siguiente manera: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \delta }$

$${\displaystyle \delta _{t}={\frac {a'(t)}{a(t)}}={\frac {d}{dt}}\ln a(t)}$$

Ésta es la derivada logarítmica de la función de acumulación.

En cambio:

$${\displaystyle a(t)=e^{\int _{0}^{t}\delta _{s}\,ds}\,,}$$

integral de producto ${\displaystyle a(0)=1}$

Cuando la fórmula anterior se escribe en formato de ecuación diferencial, entonces la fuerza de interés es simplemente el coeficiente de la cantidad de cambio:

$${\displaystyle da(t)=\delta _{t}a(t)\,dt}$$

Para el interés compuesto con una tasa de interés anual constante r , la fuerza del interés es una constante y la función de acumulación del interés compuesto en términos de la fuerza del interés es una potencia simple de e :

$${\displaystyle \delta =\ln(1+r)}$$

$${\displaystyle a(t)=e^{t\delta }}$$

La fuerza del interés es menor que la tasa de interés efectiva anual, pero mayor que la tasa de descuento efectiva anual . Es el recíproco del tiempo de plegado electrónico .

Una forma de modelar la fuerza de la inflación es con la fórmula de Stoodley: donde se estiman p , r y s . ${\displaystyle \delta _{t}=p+{s \over {1+rse^{st}}}}$

base compuesta

Convertir una tasa de interés de una base compuesta a otra base compuesta, de modo que

$${\displaystyle \left(1+{\frac {r_{1}}{n_{1}}}\right)^{n_{1}}=\left(1+{\frac {r_{2}}{n_{2}}}\right)^{n_{2}}}$$

usar

$${\displaystyle r_{2}=\left[\left(1+{\frac {r_{1}}{n_{1}}}\right)^{\frac {n_{1}}{n_{2}}}-1\right]{n_{2}},}$$

donde r ₁ es la tasa de interés con frecuencia de capitalización n ₁ y r ₂ es la tasa de interés con frecuencia de capitalización n ₂ .

Cuando el interés se capitaliza continuamente, utilice

$${\displaystyle \delta =n\ln {\left(1+{\frac {r}{n}}\right)},}$$

donde es la tasa de interés sobre una base de capitalización continua, y r es la tasa de interés declarada con una frecuencia de capitalización n . ${\displaystyle \delta }$

Pagos mensuales amortizados de préstamo o hipoteca

El interés de los préstamos e hipotecas que se amortizan (es decir, que tienen un pago mensual fluido hasta que se cancela el préstamo) a menudo se capitaliza mensualmente. La fórmula para los pagos se encuentra a partir del siguiente argumento.

Fórmula exacta para el pago mensual

Una fórmula exacta para el pago mensual ( ) es ${\displaystyle c}$

$${\displaystyle c={\frac {rP}{1-{\frac {1}{(1+r)^{n}}}}}}$$

$${\displaystyle c={\frac {rP}{1-e^{-n\ln(1+r)}}}}$$

dónde:

• ${\displaystyle c}$= pago mensual
• ${\displaystyle P}$= director
• ${\displaystyle r}$= tasa de interés mensual
• ${\displaystyle n}$= número de períodos de pago

Fórmula de hoja de cálculo

En las hojas de cálculo se utiliza la función PMT() . La sintaxis es:

PAGO(tasa_de_interés, número_pagos, valor_presente, valor_futuro, [Tipo])

Fórmula aproximada de pago mensual.

Se puede encontrar una fórmula con una precisión de unos pocos porcentajes observando que para las tasas típicas de los pagarés estadounidenses ( y plazos = 10 a 30 años), la tasa mensual de los pagarés es pequeña en comparación con 1, de modo que lo que produce la simplificación: ${\displaystyle I<8\%}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle r<<1}$ ${\displaystyle \ln(1+r)\approx r}$

$${\displaystyle c\approx {\frac {Pr}{1-e^{-nr}}}={\frac {P}{n}}{\frac {nr}{1-e^{-nr}}}}$$

lo que sugiere definir variables auxiliares

$${\displaystyle Y\equiv nr=IT}$$

$${\displaystyle c_{0}\equiv {\frac {P}{n}}.}$$

Aquí está el pago mensual requerido para un préstamo sin interés que se paga en cuotas. En términos de estas variables se puede escribir la aproximación . ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle c\approx c_{0}{\frac {Y}{1-e^{-Y}}}}$

La ampliación es válida para más del 1% siempre y cuando . ${\textstyle c\approx c_{0}\left(1+X+{\frac {X^{2}}{3}}\right)}$ ${\displaystyle X\leq 1}$

Ejemplo de pago de hipoteca

Para una hipoteca de $120.000 con un plazo de 30 años y una tasa de interés del 4,5%, pagadera mensualmente, encontramos:

$${\displaystyle T=30}$$

$${\displaystyle I=0.045}$$

$${\displaystyle c_{0}={\frac {\$120,000}{360}}=\$333.33}$$

lo que da

$${\displaystyle X={\frac {1}{2}}IT=.675}$$

de modo que

$${\displaystyle c\approx c_{0}\left(1+X+{\frac {1}{3}}X^{2}\right)=\$333.33(1+.675+.675^{2}/3)=\$608.96}$$

El monto exacto del pago es, por lo tanto, la aproximación es una sobreestimación de aproximadamente un sexto de porcentaje. ${\displaystyle c=\$608.02}$

Depósitos mensuales

Dado un depósito principal y un depósito recurrente, el rendimiento total de una inversión se puede calcular mediante el interés compuesto ganado por unidad de tiempo. Si es necesario, el interés sobre depósitos adicionales no recurrentes y recurrentes también se puede definir dentro de la misma fórmula (ver más abajo). ^[10]

• ${\displaystyle P}$= depósito principal
• ${\displaystyle r}$= tasa de rendimiento (mensual)
• ${\displaystyle M}$= depósito mensual, y
• ${\displaystyle t}$= tiempo, en meses

El interés compuesto de cada depósito es:

$${\displaystyle M'=M(1+r)^{t}}$$

$${\displaystyle M'=\sum _{i=0}^{t-1}{M(1+r)^{t-i}}}$$

serie geométricafórmula de forma cerrada ${\displaystyle M'=M\sum _{i=0}^{t-1}(1+r)^{t}{\frac {1}{(1+r)^{i}}}}$ ${\displaystyle 1/(1+r)}$

$${\displaystyle P'=M{\frac {(1+r)^{t}-1}{r}}+P(1+r)^{t}}$$

Si ocurren dos o más tipos de depósitos (ya sean recurrentes o no recurrentes), el valor compuesto ganado se puede representar como

$${\displaystyle {\text{Value}}=M{\frac {(1+r)^{t}-1}{r}}+P(1+r)^{t}+k{\frac {(1+r)^{t-x}-1}{r}}+C(1+r)^{t-y}}$$

donde C es cada suma global y k son depósitos recurrentes no mensuales, respectivamente, y x e y son las diferencias en el tiempo entre un nuevo depósito y el período total t que se está modelando.

Una estimación práctica para el cálculo inverso de la tasa de rendimiento cuando no se conocen la fecha exacta y el monto de cada depósito recurrente, una fórmula que supone un depósito mensual recurrente uniforme durante el período, es: ^[11]

$${\displaystyle r=\left({\frac {P'-P-\sum {M}}{P+\sum {M}/2}}\right)^{1/t}}$$

$${\displaystyle r=\left({\frac {P'-\sum {M}/2}{P+\sum {M}/2}}\right)^{1/t}-1}$$

Ver también

• interés de la tarjeta de crédito
• Crecimiento exponencial
• Ecuación de Fisher
• Interés
• Tasa de interés
• Tasa de retorno
• Tasa de retorno de la inversión
• Valor real versus valor nominal (economía)
• Curva de rendimiento

Referencias

1.  Este artículo incorpora texto de una publicación que ahora es de dominio público :  Chambers, Ephraim , ed. (1728). "Interés". Cyclopædia, o diccionario universal de artes y ciencias (1ª ed.). James y John Knapton, et al.
2. Evans, Alan (1936). Francesco Balducci Pegolotti, La práctica della Mercatura . Cambridge, Massachusetts. págs. 301–2.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
3. Lewin, CG (1970). "Un libro antiguo sobre interés compuesto: preguntas aritméticas de Richard Witt". Revista del Instituto de Actuarios . 96 (1): 121-132. doi :10.1017/S002026810001636X.
4. Lewin, CG (1981). "Interés compuesto en el siglo XVII". Revista del Instituto de Actuarios . 108 (3): 423–442. doi :10.1017/S0020268100040865.
5. Milánfar, Peyman (1996). "Un método popular persa para calcular el interés". Revista Matemáticas . 69 (5): 376. doi :10.1080/0025570X.1996.11996479.
6. http://laws.justice.gc.ca/en/showdoc/cs/I-15/bo-ga:s_6//en#anchorbo-ga:s_6 ^{[ enlace muerto permanente ]} Ley de intereses (Canadá), Departamento de Justicia . La Ley de Intereses especifica que los intereses no son recuperables a menos que el préstamo hipotecario contenga una declaración que muestre el tipo de interés a cobrar, "calculado anualmente o semestralmente, no por adelantado". En la práctica, los bancos utilizan el tipo semestral.
7. "Fórmula de interés compuesto". qrc.depaul.edu . Consultado el 5 de diciembre de 2018 .
8. Personal de Investopedia (19 de noviembre de 2003). "Composición continua". Investopedia . Consultado el 5 de diciembre de 2018 .
9. "Fórmula de interés compuesto: explicada". www.thecalculatorsite.com . Consultado el 5 de diciembre de 2018 .
10. "Uso del interés compuesto para optimizar el margen de inversión".
11. http://moneychimp.com/features/portfolio_performance_calculator.htm "recomendado por Los cuatro pilares de la inversión y The Motley Fool"