Peine de Dirac

Distribución periódica ("función") del muestreo delta de Dirac de "masa puntual"

El gráfico de la función peine de Dirac es una serie infinita de funciones delta de Dirac espaciadas en intervalos de T

En matemáticas , un peine de Dirac (también conocido como función sha , tren de impulsos o función de muestreo ) es una función periódica con la fórmula para un período dado . ^[1] Aquí t es una variable real y la suma se extiende sobre todos los números enteros k. La función delta de Dirac y el peine de Dirac son distribuciones templadas . ^{[2] [3]} El gráfico de la función se asemeja a un peine (con la s como los dientes del peine), de ahí su nombre y el uso de la letra cirílica similar a un peine sha (Ш) para denotar la función. $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)\ :=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t-kT)}$$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta }$

El símbolo , donde se omite el período, representa un peine de Dirac de período unitario. Esto implica ^[1] ${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} \,\,(t)}$ $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)\ ={\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} \ \!\!\!\left({\frac {t}{T}}\right).}$$

Debido a que la función peine de Dirac es periódica, se puede representar como una serie de Fourier basada en el núcleo de Dirichlet : ^[1] $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi n{\frac {t}{T}}}.}$$

La función peine de Dirac permite representar fenómenos tanto continuos como discretos , como el muestreo y el aliasing , en un único marco de análisis de Fourier continuo sobre distribuciones templadas, sin ninguna referencia a las series de Fourier. La transformada de Fourier de un peine de Dirac es otro peine de Dirac. Debido al Teorema de Convolución sobre distribuciones templadas, que resulta ser la fórmula de suma de Poisson , en el procesamiento de señales , el peine de Dirac permite modelar el muestreo por multiplicación con él, pero también permite modelar la periodización por convolución con él. ^[4]

Identidad del peine de Dirac

El peine de Dirac se puede construir de dos maneras, ya sea utilizando el operador peine (realizando muestreo ) aplicado a la función que es constantemente , o, alternativamente, utilizando el operador rep (realizando periodización ) aplicado al delta de Dirac . Formalmente, esto produce lo siguiente: ^{[5] [6]} donde y ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \delta }$ $${\displaystyle \operatorname {comb} _{T}\{1\}=\operatorname {\text{Ш}} _{T}=\operatorname {rep} _{T}\{\delta \},}$$ $${\displaystyle \operatorname {comb} _{T}\{f(t)\}\triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }\,f(kT)\,\delta (t-kT)}$$ $${\displaystyle \operatorname {rep} _{T}\{g(t)\}\triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }\,g(t-kT).}$$

En el procesamiento de señales , esta propiedad permite por un lado muestrear una función mediante la multiplicación con , y por otro lado también permite la periodización de mediante convolución con . ^[7] La ​​identidad del peine de Dirac es un caso particular del Teorema de Convolución para distribuciones templadas. ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}}$

Escalada

La propiedad de escala del peine de Dirac se desprende de las propiedades de la función delta de Dirac . Desde ^[8] para números reales positivos , se deduce que: Nótese que requerir números de escala positivos en lugar de negativos no es una restricción porque el signo negativo solo invertiría el orden de la suma dentro de , lo que no afecta el resultado. ${\displaystyle \delta (t)={\frac {1}{a}}\ \delta \!\left({\frac {t}{a}}\right)}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}\left(t\right)={\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} \,\!\left({\frac {t}{T}}\right),}$$ $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ aT}\left(t\right)={\frac {1}{aT}}\operatorname {\text{Ш}} \,\!\left({\frac {t}{aT}}\right)={\frac {1}{a}}\operatorname {\text{Ш}} _{\ T}\!\!\left({\frac {t}{a}}\right).}$$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}}$

Serie de Fourier

Está claro que es periódica con período . Es decir, para todo t . La serie compleja de Fourier para una función periódica de este tipo es donde los coeficientes de Fourier son (simbólicamente) ${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)}$ ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t+T)=\operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)}$$ $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}e^{i2\pi n{\frac {t}{T}}},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}c_{n}&={\frac {1}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}\operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)e^{-i2\pi n{\frac {t}{T}}}\,dt\quad (-\infty <t_{0}<+\infty )\\&={\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}\operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)e^{-i2\pi n{\frac {t}{T}}}\,dt\\&={\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}\delta (t)e^{-i2\pi n{\frac {t}{T}}}\,dt\\&={\frac {1}{T}}e^{-i2\pi n{\frac {0}{T}}}\\&={\frac {1}{T}}.\end{aligned}}}$$

Todos los coeficientes de Fourier son 1/ T, lo que resulta en $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\!\!e^{i2\pi n{\frac {t}{T}}}.}$$

Cuando el período es una unidad, esto se simplifica a Esta es una serie divergente , cuando se entiende como una serie de números complejos ordinarios, pero se vuelve convergente en el sentido de distribuciones . $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} \ \!(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\!\!e^{i2\pi nx}.}$$

Una "raíz cuadrada" del peine de Dirac se emplea en algunas aplicaciones de la física, específicamente: ^[9] Sin embargo, esta no es una distribución en el sentido ordinario. $${\displaystyle \delta _{N}^{(1/2)}(\xi )={\frac {1}{\sqrt {NT}}}\sum _{\nu =0}^{N-1}e^{-i{\frac {2\pi }{T}}\xi \nu },\quad \lim _{N\rightarrow \infty }\left|\delta _{N}^{(1/2)}(\xi )\right|^{2}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\xi -kT).}$$

Transformada de Fourier

La transformada de Fourier de un peine de Dirac también es un peine de Dirac. Para la transformada de Fourier expresada en el dominio de la frecuencia (Hz), el peine de Dirac de período se transforma en un peine de Dirac de período reescalado, es decir, para ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle 1/T,}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[f\right](\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }dtf(t)e^{-2\pi i\xi t},}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[\operatorname {\text{Ш}} _{T}\right](\xi )={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\xi -k{\frac {1}{T}})={\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} _{\ {\frac {1}{T}}}(\xi )~}$

es proporcional a otro peine de Dirac, pero con período en el dominio de la frecuencia (radianes/s). El peine de Dirac de período unitario es, por lo tanto, una función propia de al valor propio ${\displaystyle 1/T}$ ${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} }$ ${\displaystyle T=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle 1.}$

Este resultado se puede establecer ^[7] considerando las respectivas transformadas de Fourier de la familia de funciones definidas por ${\displaystyle S_{\tau }(\xi )={\mathcal {F}}[s_{\tau }](\xi )}$ ${\displaystyle s_{\tau }(x)}$

${\displaystyle s_{\tau }(x)=\tau ^{-1}e^{-\pi \tau ^{2}x^{2}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-\pi \tau ^{-2}(x-n)^{2}}.}$

Dado que es una serie convergente de funciones gaussianas , y las gaussianas se transforman en gaussianas , cada una de sus respectivas transformadas de Fourier también da como resultado una serie de gaussianas, y el cálculo explícito establece que ${\displaystyle s_{\tau }(x)}$ ${\displaystyle S_{\tau }(\xi )}$

${\displaystyle S_{\tau }(\xi )=\tau ^{-1}\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{-\pi \tau ^{2}m^{2}}e^{-\pi \tau ^{-2}(\xi -m)^{2}}.}$

Las funciones y son, por lo tanto, cada una de ellas similar a una función periódica que consiste en una serie de picos gaussianos equidistantes y cuyas respectivas "alturas" (prefactores) están determinadas por funciones envolventes gaussianas que disminuyen lentamente y caen a cero en el infinito. Nótese que en el límite cada pico gaussiano se convierte en un impulso de Dirac infinitamente agudo centrado respectivamente en y para cada respectivo y , y por lo tanto también todos los prefactores en finalmente se vuelven indistinguibles de . Por lo tanto, las funciones y sus respectivas transformadas de Fourier convergen a la misma función y esta función límite es una serie de picos gaussianos infinitos equidistantes, cada pico se multiplica por el mismo prefactor de uno, es decir, el peine de Dirac para el período unitario: ${\displaystyle s_{\tau }(x)}$ ${\displaystyle S_{\tau }(\xi )}$ ${\displaystyle \tau ^{-1}e^{-\pi \tau ^{-2}(x-n)^{2}}}$ ${\displaystyle \tau ^{-1}e^{-\pi \tau ^{-2}(\xi -m)^{2}}}$ ${\displaystyle \tau \rightarrow 0}$ ${\displaystyle x=n}$ ${\displaystyle \xi =m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle e^{-\pi \tau ^{2}m^{2}}}$ ${\displaystyle S_{\tau }(\xi )}$ ${\displaystyle e^{-\pi \tau ^{2}\xi ^{2}}}$ ${\displaystyle s_{\tau }(x)}$ ${\displaystyle S_{\tau }(\xi )}$

${\displaystyle \lim _{\tau \rightarrow 0}s_{\tau }(x)=\operatorname {\text{Ш}} ({x}),}$ y ${\displaystyle \lim _{\tau \rightarrow 0}S_{\tau }(\xi )=\operatorname {\text{Ш}} ({\xi }).}$

Como , obtenemos en este límite el resultado a demostrar: ${\displaystyle S_{\tau }={\mathcal {F}}[s_{\tau }]}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}[\operatorname {\text{Ш}} ]=\operatorname {\text{Ш}} .}$

El resultado correspondiente para el período se puede encontrar explotando la propiedad de escala de la transformada de Fourier , ${\displaystyle T}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}[\operatorname {\text{Ш}} _{T}]={\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} _{\frac {1}{T}}.}$

Otra manera de establecer que la transformada de peine de Dirac se convierte en otra transformada de Dirac comienza examinando las transformadas de Fourier continuas de funciones periódicas en general, y luego se especializa en el caso del peine de Dirac. Para demostrar también que la regla específica depende de la convención para la transformada de Fourier, esto se demostrará utilizando la frecuencia angular con para cualquier función periódica su transformada de Fourier ${\displaystyle \omega =2\pi \xi :}$ ${\displaystyle f(t)=f(t+T)}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[f\right](\omega )=F(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }dtf(t)e^{-i\omega t}}$ obedece:

${\displaystyle F(\omega )(1-e^{i\omega T})=0}$

porque la transformada de Fourier y conduce a y Esta ecuación implica que casi en todas partes con las únicas excepciones posibles que se encuentran en con y Al evaluar la transformada de Fourier en la expresión de la serie de Fourier correspondiente multiplicada por una función delta correspondiente resulta. Para el caso especial de la transformada de Fourier del peine de Dirac, la integral de la serie de Fourier sobre un único período cubre solo la función de Dirac en el origen y, por lo tanto, da para cada Esto se puede resumir interpretando el peine de Dirac como un límite del núcleo de Dirichlet tal que, en las posiciones todas las exponenciales en la suma apuntan en la misma dirección y se suman de manera constructiva. En otras palabras, la transformada de Fourier continua de funciones periódicas conduce a ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle f(t+T)}$ ${\displaystyle F(\omega )}$ ${\displaystyle F(\omega )e^{i\omega T}.}$ ${\displaystyle F(\omega )=0}$ ${\displaystyle \omega =k\omega _{0},}$ ${\displaystyle \omega _{0}=2\pi /T}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}$ ${\displaystyle F(k\omega _{0})}$ ${\displaystyle 1/T}$ ${\displaystyle k.}$ ${\displaystyle \omega =k\omega _{0},}$ ${\displaystyle \sum \nolimits _{m=-\infty }^{\infty }e^{\pm i\omega mT}}$

${\displaystyle F(\omega )=2\pi \sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}\delta (\omega -k\omega _{0})}$con ${\displaystyle \omega _{0}=2\pi /T,}$

y

${\displaystyle c_{k}={\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{+T/2}dtf(t)e^{-i2\pi kt/T}.}$

Los coeficientes de la serie de Fourier para todos cuando , es decir ${\displaystyle c_{k}=1/T}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f\rightarrow \operatorname {\text{Ш}} _{T}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[\operatorname {\text{Ш}} _{T}\right](\omega )={\frac {2\pi }{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\omega -k{\frac {2\pi }{T}})}$

es otro peine de Dirac, pero con período en el dominio de frecuencia angular (radianes/s). ${\displaystyle 2\pi /T}$

Como se mencionó, la regla específica depende de la convención para la transformada de Fourier utilizada. De hecho, al utilizar la propiedad de escala de la función delta de Dirac, lo anterior puede reexpresarse en el dominio de frecuencia ordinario (Hz) y se obtiene nuevamente: $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t){\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}{\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} _{\ {\frac {1}{T}}}(\xi )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\!\!e^{-i2\pi \xi nT},}$$

de modo que el peine de Dirac de período unitario se transforma en sí mismo: $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} \ \!(t){\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\operatorname {\text{Ш}} \ \!(\xi ).}$$

Finalmente, el peine de Dirac también es una función propia de la transformada de Fourier continua unitaria en el espacio de frecuencia angular al valor propio 1 cuando porque para la transformada de Fourier unitaria ${\displaystyle T={\sqrt {2\pi }}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[f\right](\omega )=F(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }dtf(t)e^{-i\omega t},}$

Lo anterior puede reexpresarse como $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t){\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}{\frac {\sqrt {2\pi }}{T}}\operatorname {\text{Ш}} _{\ {\frac {2\pi }{T}}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\!\!e^{-i\omega nT}.}$$

Muestreo y aliasing

Al multiplicar cualquier función por un peine de Dirac, se transforma en un tren de impulsos con integrales iguales al valor de la función en los nodos del peine. Esta operación se utiliza con frecuencia para representar el muestreo. $${\displaystyle (\operatorname {\text{Ш}} _{\ T}x)(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\!\!x(t)\delta (t-kT)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\!\!x(kT)\delta (t-kT).}$$

Debido a la propiedad de autotransformación del peine de Dirac y al teorema de convolución , esto corresponde a la convolución con el peine de Dirac en el dominio de la frecuencia. $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}x\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\ {\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} _{\frac {1}{T}}*X}$$

Dado que la convolución con una función delta es equivalente a desplazar la función por , la convolución con el peine de Dirac corresponde a la replicación o suma periódica : ${\displaystyle \delta (t-kT)}$ ${\displaystyle kT}$

${\displaystyle (\operatorname {\text{Ш}} _{\ {\frac {1}{T}}}\!*X)(f)=\!\sum _{k=-\infty }^{\infty }\!\!X\!\left(f-{\frac {k}{T}}\right)}$

Esto conduce a una formulación natural del teorema de muestreo de Nyquist-Shannon . Si el espectro de la función no contiene frecuencias superiores a B (es decir, su espectro es distinto de cero solo en el intervalo ), entonces las muestras de la función original en intervalos son suficientes para reconstruir la señal original. Basta con multiplicar el espectro de la función muestreada por una función rectangular adecuada , lo que equivale a aplicar un filtro de paso bajo de pared de ladrillos . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (-B,B)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2B}}}$

${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ \!{\frac {1}{2B}}}x\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\ \ 2B\,\operatorname {\text{Ш}} _{\ 2B}*X}$

${\displaystyle {\frac {1}{2B}}\Pi \left({\frac {f}{2B}}\right)(2B\,\operatorname {\text{Ш}} _{\ 2B}*X)=X}$

En el dominio del tiempo, esta "multiplicación con la función rect" es equivalente a la "convolución con la función sinc". ^[10] Por lo tanto, restaura la función original a partir de sus muestras. Esto se conoce como la fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon .

Observación : En el caso más riguroso, la multiplicación de la función rect por una función generalizada, como el peine de Dirac, falla. Esto se debe a resultados indeterminados del producto de multiplicación en los límites de intervalo. Como solución alternativa, se utiliza una función unitaria de Lighthill en lugar de la función rect. Es suave en los límites de intervalo, por lo tanto, produce productos de multiplicación determinados en todas partes, consulte Lighthill 1958, p. 62, Teorema 22 para obtener más detalles.

Uso en estadísticas direccionales

En estadística direccional , el peine de Dirac del período es equivalente a una función delta de Dirac envuelta y es el análogo de la función delta de Dirac en estadística lineal. ${\displaystyle 2\pi }$

En estadística lineal, la variable aleatoria se distribuye habitualmente sobre la recta de números reales, o algún subconjunto de ella, y la densidad de probabilidad de es una función cuyo dominio es el conjunto de números reales, y cuya integral de a es la unidad. En estadística direccional, la variable aleatoria se distribuye sobre el círculo unitario, y la densidad de probabilidad de es una función cuyo dominio es algún intervalo de los números reales de longitud y cuya integral sobre ese intervalo es la unidad. Así como la integral del producto de una función delta de Dirac con una función arbitraria sobre la recta de números reales da como resultado el valor de esa función en cero, la integral del producto de un peine de Dirac de período con una función arbitraria de período sobre el círculo unitario da como resultado el valor de esa función en cero. ${\displaystyle (x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle (\theta )}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$

Véase también

• Filtro de peine
• Peine de frecuencia
• Fórmula de suma de Poisson
• Función theta

Notas

1. "El peine de Dirac y su transformada de Fourier". dspillustrations.com . Consultado el 28 de junio de 2022 .
2. Schwartz, L. (1951). Teoría de las distribuciones . vol. I-II. París: Hermann.
3. Strichartz, R. (1994). Una guía para la teoría de la distribución y las transformadas de Fourier . CRC Press. ISBN 0-8493-8273-4.
4. Bracewell, RN (1986) [1.ª ed. 1965, 2.ª ed. 1978]. La transformada de Fourier y sus aplicaciones (edición revisada). McGraw-Hill.
5. Woodward 1953.
6. Brandwood 2003.
7. Bracewell 1986.
8. Rahman, M. (2011). Aplicaciones de las transformadas de Fourier a funciones generalizadas . Southampton: WIT Press. ISBN 978-1-84564-564-9.
9. Schleich, Wolfgang (2001). Óptica cuántica en el espacio de fases (1.ª ed.). Wiley-VCH. pp. 683–684. ISBN 978-3-527-29435-0.
10. Woodward 1953, págs. 33–34.

Referencias

• Brandwood, D. (2003). Transformadas de Fourier en radar y procesamiento de señales . Boston: Artech House. ISBN 1580531741. Número de serie LCCN  2002044073.
• Lighthill, MJ (1958). Introducción al análisis de Fourier y funciones generalizadas . Cambridge: Cambridge University Press. doi :10.1017/CBO9781139171427. ISBN 978-0-521-05556-7.
• Woodward, PM (1953). Probabilidad y teoría de la información, con aplicaciones al radar . Pergamon Press. OCLC  6570386.

Lectura adicional

• Córdoba, A (1989). "Peines de Dirac". Letters in Mathematical Physics . 17 (3): 191–196. Bibcode :1989LMaPh..17..191C. doi :10.1007/BF00401584. S2CID  189883287.