Teoremas de cambio de base

Relacione la imagen directa y el retroceso de las gavillas.

En matemáticas, los teoremas de cambio de base relacionan la imagen directa y la imagen inversa de los haces . Más precisamente, se refieren a la función de cambio de base, dada por la siguiente transformación natural de los haces:

${\displaystyle g^{*}(R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})\to R^{r}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})}$

dónde

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}X'&{\stackrel {g'}{\to }}&X\\f'\downarrow &&\downarrow f\\S'&{\stackrel {g}{\to }}&S\end{array}}}$

es un cuadrado cartesiano de espacios topológicos y es un haz en X . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Tales teoremas existen en diferentes ramas de la geometría: para espacios topológicos (esencialmente arbitrarios) y aplicaciones propias f , en geometría algebraica para haces (cuasi)coherentes y f propia o g plana, de manera similar en geometría analítica , pero también para haces étale para f propia o g suave.

Introducción

Un fenómeno de cambio de base simple surge en el álgebra conmutativa cuando A es un anillo conmutativo y B y A' son dos A -álgebras. Sea . En esta situación, dado un B -módulo M , existe un isomorfismo (de A' -módulos): ${\displaystyle B'=B\otimes _{A}A'}$

${\displaystyle (M\otimes _{B}B')_{A'}\cong (M_{A})\otimes _{A}A'.}$

Aquí el subíndice indica el funtor olvidadizo, es decir, es M , pero considerado como un módulo A. De hecho, tal isomorfismo se obtiene observando ${\displaystyle M_{A}}$

${\displaystyle M\otimes _{B}B'=M\otimes _{B}B\otimes _{A}A'\cong M\otimes _{A}A'.}$

Por lo tanto, las dos operaciones, a saber, los funtores olvidadizos y los productos tensoriales, conmutan en el sentido del isomorfismo anterior. Los teoremas de cambio de base que se analizan a continuación son enunciados de un tipo similar.

Definición del mapa de cambio de base

Los teoremas de cambio de base presentados a continuación afirman que (para diferentes tipos de haces y bajo varios supuestos sobre los mapas involucrados), que el siguiente mapa de cambio de base

${\displaystyle g^{*}(R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})\to R^{r}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})}$

es un isomorfismo, donde

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}X'&{\stackrel {g'}{\to }}&X\\f'\downarrow &&\downarrow f\\S'&{\stackrel {g}{\to }}&S\\\end{array}}}$

son mapas continuos entre espacios topológicos que forman un cuadrado cartesiano y es un haz en X . ^[1] Aquí denota la imagen directa superior de bajo f , es decir, el funtor derivado del funtor imagen directa (también conocido como pushforward) . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle R^{i}f_{*}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle f_{*}}$

Esta función existe sin ninguna suposición sobre las funciones f y g . Se construye de la siguiente manera: dado que es adjunta por la izquierda de , existe una función natural (llamada función unitaria) ${\displaystyle g'^{*}}$ ${\displaystyle g'_{*}}$

${\displaystyle \operatorname {id} \to g'_{*}\circ g'^{*}}$

y entonces

${\displaystyle R^{r}f_{*}\to R^{r}f_{*}\circ g'_{*}\circ g'^{*}.}$

La secuencia espectral de Grothendieck da entonces el primer mapa y el último mapa (son mapas de borde) en:

${\displaystyle R^{r}f_{*}\circ g'_{*}\circ g'^{*}\to R^{r}(f\circ g')_{*}\circ g'^{*}=R^{r}(g\circ f')_{*}\circ g'^{*}\to g_{*}\circ R^{r}f'_{*}\circ g'^{*}.}$

Combinando esto con lo anterior se obtiene

${\displaystyle R^{r}f_{*}\to g_{*}\circ R^{r}f'_{*}\circ g'^{*}.}$

Usando la adyacencia de y finalmente obtenemos el mapa deseado. ${\displaystyle g^{*}}$ ${\displaystyle g_{*}}$

El ejemplo introductorio mencionado anteriormente es un caso especial de esto, es decir, para los esquemas afines y, en consecuencia, , y el haz cuasi-coherente asociado al B -módulo M . ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (B),S=\operatorname {Spec} (A),S'=\operatorname {Spec} (A')}$ ${\displaystyle X'=\operatorname {Spec} (B')}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}:={\tilde {M}}}$

Es conceptualmente conveniente organizar los mapas de cambio de base anteriores, que solo involucran un único funtor de imagen directa superior, en uno que codifique todos a la vez. De hecho, argumentos similares a los anteriores producen un mapa en la categoría derivada de haces en S': ${\displaystyle R^{r}f_{*}}$

${\displaystyle g^{*}Rf_{*}({\mathcal {F}})\to Rf'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})}$

donde denota el funtor derivado (total) de . ${\displaystyle Rf_{*}}$ ${\displaystyle f_{*}}$

Topología general

Cambio de base adecuado

Si X es un espacio topológico de Hausdorff , S es un espacio de Hausdorff localmente compacto y f es universalmente cerrado (es decir, es una función cerrada para cualquier función continua ), entonces la función cambia de base ${\displaystyle X\times _{S}T\to T}$ ${\displaystyle T\to S}$

${\displaystyle g^{*}R^{r}f_{*}{\mathcal {F}}\to R^{r}f'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}}$

es un isomorfismo. ^[2] De hecho, tenemos: para , ${\displaystyle s\in S}$

${\displaystyle (R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})_{s}=\varinjlim H^{r}(U,{\mathcal {F}})=H^{r}(X_{s},{\mathcal {F}}),\quad X_{s}=f^{-1}(s)}$

y asi para ${\displaystyle s=g(t)}$

${\displaystyle g^{*}(R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})_{t}=H^{r}(X_{s},{\mathcal {F}})=H^{r}(X'_{t},g'^{*}{\mathcal {F}})=R^{r}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})_{t}.}$

Para codificar todos los funtores derivados superiores individuales de en una entidad, la declaración anterior se puede reformular de manera equivalente diciendo que el mapa de cambio de base ${\displaystyle f_{*}}$

${\displaystyle g^{*}Rf_{*}{\mathcal {F}}\to Rf'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}}$

es un cuasi-isomorfismo .

Las suposiciones de que los espacios involucrados son de Hausdorff han sido debilitadas por Schnürer y Soergel (2016).

Lurie (2009) ha extendido el teorema anterior a la cohomología de haces no abelianos , es decir, haces que toman valores en conjuntos simpliciales (a diferencia de los grupos abelianos). ^[3]

Imagen directa con soporte compacto

Si el mapa f no está cerrado, el mapa de cambio de base no necesita ser un isomorfismo, como lo muestra el siguiente ejemplo (los mapas son las inclusiones estándar):

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\emptyset &{\stackrel {g'}{\to }}&\mathbb {C} \setminus \{0\}\\f'\downarrow &&\downarrow f\\\{0\}&{\stackrel {g}{\to }}&\mathbb {C} \end{array}}}$

Por un lado , siempre es cero, pero si es un sistema local en correspondiente a una representación del grupo fundamental (que es isomorfo a Z ), entonces se puede calcular como los invariantes de la acción monodromía de sobre el tallo (para cualquier ), que no necesitan anularse. ${\displaystyle f'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle g^{*}f_{*}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$ ${\displaystyle x\neq 0}$

Para obtener un resultado de cambio de base, el funtor (o su funtor derivado) tiene que ser reemplazado por la imagen directa con soporte compacto . Por ejemplo, si es la inclusión de un subconjunto abierto, como en el ejemplo anterior, es la extensión por cero, es decir, sus tallos están dados por ${\displaystyle f_{*}}$ ${\displaystyle Rf_{!}}$ ${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle Rf_{!}{\mathcal {F}}}$

${\displaystyle (Rf_{!}{\mathcal {F}})_{s}={\begin{cases}{\mathcal {F}}_{s}&s\in X,\\0&s\notin X.\end{cases}}}$

En general, existe una función , que es un cuasi-isomorfismo si f es propia, pero no en general. El teorema de cambio de base propia mencionado anteriormente tiene la siguiente generalización: existe un cuasi-isomorfismo ^[4] ${\displaystyle Rf_{!}{\mathcal {F}}\to Rf_{*}{\mathcal {F}}}$

${\displaystyle g^{*}Rf_{!}{\mathcal {F}}\to Rf'_{!}g'^{*}{\mathcal {F}}.}$

Cambio de base para haces cuasi coherentes

Cambio de base adecuado

Los teoremas de cambio de base propios para haces cuasi coherentes se aplican en la siguiente situación: es un morfismo propio entre esquemas noetherianos , y es un haz coherente que es plano sobre S (es decir, es plano sobre ). En esta situación, se cumplen las siguientes afirmaciones: ^[5] ${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S,f(x)}}$

• "Teorema de semicontinuidad":
  • Para cada , la función es semicontinua superior . ${\displaystyle p\geq 0}$ ${\displaystyle s\mapsto \dim _{k(s)}H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s}):S\to \mathbb {Z} }$
  • La función es localmente constante, donde denota la característica de Euler . ${\displaystyle s\mapsto \chi ({\mathcal {F}}_{s})}$ ${\displaystyle \chi ({\mathcal {F}})}$
• " Teorema de Grauert ": si S se reduce y se conecta, entonces para cada uno de ellos los siguientes son equivalentes ${\displaystyle p\geq 0}$
  • ${\displaystyle s\mapsto \dim _{k(s)}H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})}$es constante
  • ${\displaystyle R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}}$Es localmente gratuito y el mapa natural

${\displaystyle R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}k(s)\to H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})}$

es un isomorfismo para todo . ${\displaystyle s\in S}$

Además, si se cumplen estas condiciones, entonces el mapa natural

${\displaystyle R^{p-1}f_{*}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}k(s)\to H^{p-1}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})}$

es un isomorfismo para todo . ${\displaystyle s\in S}$

• Si, para algún p , para todo , entonces la función natural ${\displaystyle H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})=0}$ ${\displaystyle s\in S}$

${\displaystyle R^{p-1}f_{*}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}k(s)\to H^{p-1}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})}$

es un isomorfismo para todo . ${\displaystyle s\in S}$

Como el tallo de la gavilla está estrechamente relacionado con la cohomología de la fibra del punto bajo f , esta afirmación se parafrasea diciendo que "la cohomología conmuta con la extensión de la base". ^[6] ${\displaystyle R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}}$

Estas afirmaciones se prueban utilizando el siguiente hecho, donde además de los supuestos anteriores : hay un complejo finito de módulos A proyectivos finitamente generados y un isomorfismo natural de funtores. ${\displaystyle S=\operatorname {Spec} A}$ ${\displaystyle 0\to K^{0}\to K^{1}\to \cdots \to K^{n}\to 0}$

${\displaystyle H^{p}(X\times _{S}\operatorname {Spec} -,{\mathcal {F}}\otimes _{A}-)\to H^{p}(K^{\bullet }\otimes _{A}-),p\geq 0}$

sobre la categoría de -álgebras. ${\displaystyle A}$

Cambio de base plana

El mapa de cambio de base

${\displaystyle g^{*}(R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})\to R^{r}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})}$

es un isomorfismo para un haz cuasi-coherente (en ), siempre que la función sea plana (junto con una serie de condiciones técnicas: f debe ser un morfismo separado de tipo finito , los esquemas involucrados deben ser noetherianos). ^[7] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g:S'\rightarrow S}$

Cambio de base plana en la categoría derivada

Es posible una extensión de gran alcance del cambio de base plana al considerar el mapa de cambio de base

${\displaystyle Lg^{*}Rf_{*}({\mathcal {F}})\to Rf'_{*}(Lg'^{*}{\mathcal {F}})}$

en la categoría derivada de haces en S', de manera similar a lo mencionado anteriormente. Aquí está el funtor derivado (total) del pullback de -módulos (porque implica un producto tensorial, no es exacto cuando g no es plano y por lo tanto no es igual a su funtor derivado ). Este mapa es un cuasi-isomorfismo siempre que se cumplan las siguientes condiciones: ^[8] ${\displaystyle Lg^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle g^{*}{\mathcal {G}}={\mathcal {O}}_{X}\otimes _{g^{-1}{\mathcal {O}}_{S}}g^{-1}{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle g^{*}}$ ${\displaystyle Lg^{*}}$

• ${\displaystyle S}$es cuasi-compacto y es cuasi-compacto y cuasi-separado, ${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es un objeto en , la categoría derivada acotada de -módulos, y sus haces de cohomología son cuasi-coherentes (por ejemplo, podría ser un complejo acotado de haces cuasi-coherentes) ${\displaystyle D^{b}({\mathcal {O}}_{X}{\text{-mod}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
• ${\displaystyle X}$y son independientes de Tor sobre , lo que significa que si y satisfacen , entonces para todos los enteros , ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s'\in S'}$ ${\displaystyle f(x)=s=g(s')}$ ${\displaystyle p\geq 1}$

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{p}^{{\mathcal {O}}_{S,s}}({\mathcal {O}}_{X,x},{\mathcal {O}}_{S',s'})=0}$.

• Se cumple una de las siguientes condiciones:
  • ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$tiene una amplitud plana finita relativa a , lo que significa que es cuasi-isomorfo en un complejo tal que es -plano para todo fuera de algún intervalo acotado ; equivalentemente, existe un intervalo tal que para cualquier complejo en , uno tiene para todo fuera de ; o ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D^{-}(f^{-1}{\mathcal {O}}_{S}{\text{-mod}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}'}$ ${\displaystyle ({\mathcal {F}}')^{i}}$ ${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {O}}_{S}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle [m,n]}$ ${\displaystyle [m,n]}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle D^{-}(f^{-1}{\mathcal {O}}_{S}{\text{-mod}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})=0}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle [m,n]}$
  • ${\displaystyle g}$tiene una dimensión Tor finita, lo que significa que tiene una amplitud plana finita relativa a . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S'}}$ ${\displaystyle g}$

Una ventaja de esta formulación es que se ha debilitado la hipótesis de planitud. Sin embargo, para realizar cálculos concretos de la cohomología de los lados izquierdo y derecho ahora se requiere la secuencia espectral de Grothendieck .

Cambio de base en la geometría algebraica derivada

La geometría algebraica derivada proporciona un medio para descartar el supuesto de planitud, siempre que el pullback se reemplace por el pullback de homotopía . En el caso más fácil, cuando X , S y son afines (con la notación anterior), el pullback de homotopía está dado por el producto tensorial derivado . ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle S'}$

${\displaystyle X'=\operatorname {Spec} (B'\otimes _{B}^{L}A)}$

Entonces, suponiendo que los esquemas (o, más generalmente, los esquemas derivados) involucrados son cuasi compactos y cuasi separados, la transformación natural

${\displaystyle Lg^{*}Rf_{*}{\mathcal {F}}\to Rf'_{*}Lg'^{*}{\mathcal {F}}}$

es un cuasi-isomorfismo para cualquier haz cuasi-coherente, o más generalmente un complejo de haces cuasi-coherentes. ^[9] El resultado de cambio de base plano mencionado anteriormente es de hecho un caso especial ya que para g plano el pullback de homotopía (que está dado localmente por un producto tensorial derivado) concuerda con el pullback ordinario (dado localmente por el producto tensorial no derivado), y dado que el pullback a lo largo de las aplicaciones planas g y g' se derivan automáticamente (es decir, ). Las suposiciones auxiliares relacionadas con la independencia de Tor o la amplitud de Tor en el teorema de cambio de base precedente también se vuelven innecesarias. ${\displaystyle Lg^{*}=g^{*}}$

En la forma anterior, Ben-Zvi, Francis y Nadler (2010) extendieron el cambio de base a la situación donde X , S y S' son pilas (posiblemente derivadas) , siempre que la función f sea una función perfecta (que incluye el caso en que f es una función cuasi-compacta y cuasi-separada de esquemas, pero también incluye pilas más generales, como la pila de clasificación BG de un grupo algebraico en característica cero).

Variantes y aplicaciones

El cambio de base propio también se cumple en el contexto de variedades complejas y espacios analíticos complejos . ^[10] El teorema sobre funciones formales es una variante del cambio de base propio, donde el retroceso se reemplaza por una operación de compleción .

El principio del balancín y el teorema del cubo , que son hechos fundamentales en la teoría de variedades abelianas , son una consecuencia del cambio de base adecuado. ^[11]

Un cambio de base también es válido para los módulos D : si X , S , X' y S' son variedades suaves (pero f y g no necesitan ser planas o propias, etc.), hay un cuasi-isomorfismo.

${\displaystyle g^{\dagger }\int _{f}{\mathcal {F}}\to \int _{f'}g'^{\dagger }{\mathcal {F}},}$

donde y denotan los funtores de imagen directa e inversa para D -módulos. ^[12] ${\displaystyle -^{\dagger }}$ ${\displaystyle \int }$

Cambio de base para poleas étale

Para las poleas de torsión de étale , hay dos resultados de cambio de base denominados cambio de base propio y suave , respectivamente: el cambio de base se cumple si es propio . ^[13] También se cumple si g es suave , siempre que f sea cuasicompacto y siempre que la torsión de sea prima respecto de la característica de los campos de residuos de X. ^[14] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle f:X\rightarrow S}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Estrechamente relacionado con el cambio de base propio está el siguiente hecho (los dos teoremas suelen demostrarse simultáneamente): sea X una variedad sobre un cuerpo cerrado separablemente y un haz construible sobre . Entonces son finitos en cada uno de los siguientes casos: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X_{\text{et}}}$ ${\displaystyle H^{r}(X,{\mathcal {F}})}$

• X está completo, o
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$no tiene p -torsión, donde p es la característica de k .

Bajo supuestos adicionales, Deninger (1988) extendió el teorema de cambio de base adecuado a poleas étale sin torsión.

Aplicaciones

En estrecha analogía con la situación topológica mencionada anteriormente, el mapa de cambio de base para una inmersión abierta f ,

${\displaystyle g^{*}f_{*}{\mathcal {F}}\to f'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}}$

no suele ser un isomorfismo. ^[15] En cambio, la extensión por functor cero satisface un isomorfismo ${\displaystyle f_{!}}$

${\displaystyle g^{*}f_{!}{\mathcal {F}}\to f'_{!}g^{*}{\mathcal {F}}.}$

Este hecho y el cambio de base adecuado sugieren definir el funtor de imagen directa con soporte compacto para una función f por

${\displaystyle Rf_{!}:=Rp_{*}j_{!}}$

donde es una compactificación de f , es decir, una factorización en una inmersión abierta seguida de una función propia. Se necesita el teorema de cambio de base propia para demostrar que esto está bien definido, es decir, es independiente (hasta el isomorfismo) de la elección de la compactificación. Además, de nuevo en analogía con el caso de haces en un espacio topológico, una fórmula de cambio de base para vs. se cumple para funciones no propias f . ${\displaystyle f=p\circ j}$ ${\displaystyle g_{*}}$ ${\displaystyle Rf_{!}}$

Para el mapa estructural de un esquema sobre un cuerpo k , las cohomologías individuales de , denotadas por se denominan cohomología con soporte compacto . Es una variante importante de la cohomología étale usual . ${\displaystyle f:X\to S=\operatorname {Spec} k}$ ${\displaystyle Rf_{!}({\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle H_{c}^{*}(X,{\mathcal {F}})}$

También se utilizan ideas similares para construir un análogo del funtor en la teoría de homotopía A 1 . ^{[16] [17]} ${\displaystyle Rf_{!}}$

Véase también

• El punto de vista relativo de Grothendieck en la geometría algebraica
• Cambio de base (desambiguación)
• Levantamiento de cambio de base de formas automorfas

Lectura adicional

• Esnault, H.; Kerz, M.; Wittenberg, O. (2016), "Un isomorfismo de restricción para ciclos de dimensión relativa cero", Cambridge Journal of Mathematics , 4 (2): 163–196, arXiv : 1503.08187v2 , doi :10.4310/CJM.2016.v4.n2.a1, S2CID  54896268

Notas

1. Los roles de y son simétricos, y en algunos contextos (especialmente en el cambio de base suave) la formulación más familiar es la otra (que trata en cambio con la función para un haz en ). Para mantener la coherencia, los resultados de este artículo a continuación se expresan todos para la misma situación, es decir, la función ; pero los lectores deben asegurarse de comprobar esto con sus expectativas. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle f^{*}R^{i}g_{*}{\mathcal {G}}\rightarrow R^{i}g'_{*}f'^{*}{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle g^{*}R^{i}f_{*}{\mathcal {F}}\rightarrow R^{i}f'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}}$
2. Milne (2012, Teorema 17.3)
3. Lurie (2009, Teorema 7.3.1.16)
4. Iversen (1986), se supone que los cuatro espacios son localmente compactos y de dimensión finita.
5. Grothendieck (1963, Sección 7.7), Hartshorne (1977, Teorema III.12.11), Vakil (2015, Capítulo 28 Teoremas de cohomología y cambio de base )
6. Hartshorne (1977, pág. 255)
7. Hartshorne (1977, Proposición III.9.3)
8. Berthelot, Grothendieck & Illusie (1971, SGA 6 IV, Proposición 3.1.0)
9. Toën (2012, Proposición 1.4)
10. Grauert (1960)
11. Mumford (2008)
12. Hotta, Takeuchi y Tanisaki (2008, teorema 1.7.3)
13. Artin, Grothendieck & Verdier (1972, Exposé XII), Milne (1980, sección VI.2)
14. Artin, Grothendieck y Verdier (1972, Exposición XVI)
15. Milne (2012, Ejemplo 8.5)
16. Ayoub, Joseph (2007), Les six opérations de Grothendieck et le formalisme des Cycles évanescents dans le monde motivique. I. , Société Mathématique de France, ISBN 978-2-85629-244-0, Zbl1146.14001 ​
17. Cisinski, Denis-Charles; Déglise, Frédéric (2019), Categorías trianguladas de motivos mixtos , Springer Monographs in Mathematics, arXiv : 0912.2110 , Bibcode :2009arXiv0912.2110C, doi :10.1007/978-3-030-33242-6, ISBN 978-3-030-33241-9, Número de identificación del sujeto  115163824

Referencias

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• Schnürer, OM; Soergel, W. (2016), "Cambio de base propio para aplicaciones localmente propias separadas", Rend. Semin. Mat. Univ. Padova , 135 : 223–250, arXiv : 1404.7630v2 , doi :10.4171/RSMUP/135-13, S2CID  118024164
• Vakil, Ravi (2015), Fundamentos de geometría algebraica (PDF)

Enlaces externos

• Material de apoyo de Brian Conrad
• Problemas con la semicontinuidad