Ciclido de Dupin

Inversión geométrica de un toro, cilindro o cono doble

Un ciclido de Dupin

En matemáticas , un cicluro de Dupin o cicluro de Dupin es cualquier inversión geométrica de un toro , cilindro o doble cono estándar . En particular, estos últimos son en sí mismos ejemplos de cicluros de Dupin. Fueron descubiertos c.  1802 por (y nombrados en honor a) Charles Dupin , mientras aún era estudiante en la École polytechnique después de las conferencias de Gaspard Monge . ^[1] La propiedad clave de un cicluro de Dupin es que es una superficie de canal (envolvente de una familia de esferas de un parámetro) de dos maneras diferentes. Esta propiedad significa que los cicluros de Dupin son objetos naturales en la geometría de esferas de Lie .

Los ciclidos de Dupin a menudo se conocen simplemente como ciclidos , pero el último término también se utiliza para referirse a una clase más general de superficies cuárticas que son importantes en la teoría de separación de variables para la ecuación de Laplace en tres dimensiones.

Los cicluros de Dupin fueron investigados no sólo por Dupin, sino también por A. Cayley , JC Maxwell y Mabel M. Young .

Los ciclidos de Dupin se utilizan en el diseño asistido por computadora porque los parches de ciclidos tienen representaciones racionales y son adecuados para mezclar superficies de canales (cilindros, conos, toros y otros).

Definiciones y propiedades

Existen varias definiciones equivalentes de ciclidros de Dupin. En , se pueden definir como las imágenes bajo cualquier inversión de toros, cilindros y conos dobles. Esto muestra que la clase de ciclidros de Dupin es invariante bajo transformaciones de Möbius (o conformes) . En el espacio complejo, estas tres últimas variedades se pueden mapear entre sí por inversión, por lo que los ciclidros de Dupin se pueden definir como inversiones del toro (o del cilindro, o del cono doble). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$

Dado que un toro estándar es la órbita de un punto bajo un subgrupo abeliano bidimensional del grupo de Möbius, se deduce que los ciclidos también lo son, y esto proporciona una segunda forma de definirlos.

Una tercera propiedad que caracteriza a los cicluros de Dupin es que sus líneas de curvatura son todas círculos (posiblemente a través del punto en el infinito ). Equivalentemente, las esferas de curvatura, que son las esferas tangentes a la superficie con radios iguales a los recíprocos de las curvaturas principales en el punto de tangencia, son constantes a lo largo de las líneas de curvatura correspondientes: son las esferas tangentes que contienen las líneas de curvatura correspondientes como círculos máximos . Equivalentemente de nuevo, ambas láminas de la superficie focal degeneran en cónicas. ^[2] De ello se deduce que cualquier cicluro de Dupin es una superficie de canal (es decir, la envolvente de una familia de esferas de un parámetro) de dos maneras diferentes, y esto da otra caracterización.

La definición en términos de esferas muestra que la clase de ciclidros de Dupin es invariante bajo el grupo más grande de todas las transformaciones de esferas de Lie ; dos ciclidros de Dupin cualesquiera son equivalentes a Lie . Forman (en cierto sentido) la clase más simple de superficies invariantes de Lie después de las esferas y, por lo tanto, son particularmente significativas en la geometría de esferas de Lie . ^[3]

La definición también significa que un ciclado de Dupin es la envolvente de la familia de esferas de un parámetro tangente a tres esferas mutuamente tangentes dadas. De ello se deduce que es tangente a infinitas configuraciones de esferas en hexletes de Soddy .

Representación paramétrica e implícita

(CS): Un ciclúdico de Dupin puede representarse de dos maneras como la envolvente de un lápiz uniparamétrico de esferas, es decir, es una superficie de canal con dos directrices . El par de directrices son cónicas focales y consisten en una elipse y una hipérbola o en dos parábolas. En el primer caso, se define el ciclúdico como elíptico , en el segundo caso como parabólico . En ambos casos, las cónicas están contenidas en dos planos mutuamente ortogonales. En casos extremos (si la elipse es un círculo), la hipérbola degenera en una línea y el ciclúdico es un toro de revolución.

Otra propiedad especial de un ciclido es:

(CL): Cualquier línea de curvatura de un cicluro de Dupin es un círculo .

Cíclidos elípticos

Un ciclídico elíptico se puede representar paramétricamente mediante las siguientes fórmulas (ver sección Ciclido como superficie de canal):

Significado de los parámetros de diseño : es el radio de la esfera generadora en los covértices de la elipse Los dos círculos en el plano xz con centros tienen radios . Aquí: y ${\displaystyle a,b,c,d}$
${\displaystyle d}$
${\displaystyle (\pm a,0,0)}$ ${\displaystyle d\mp c}$
${\displaystyle a=1,\;b=0.98\to c=0.199}$ ${\displaystyle d=0.3}$

${\displaystyle x={\frac {d(c-a\cos u\cos v)+b^{2}\cos u}{a-c\cos u\cos v}}\ ,}$

${\displaystyle y={\frac {b\sin u(a-d\cos v)}{a-c\cos u\cos v}}\ ,}$

${\displaystyle z={\frac {b\sin v(c\cos u-d)}{a-c\cos u\cos v}}\ ,}$

${\displaystyle 0\leq u,v<2\pi \ .}$

Los números son los ejes semimayor y semimenor y la excentricidad lineal de la elipse: ${\displaystyle a,b,c,d}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,z=0\ .}$

La hipérbola es la cónica focal de la elipse. Esto significa que los focos/vértices de la elipse son los vértices/focos de la hipérbola. Las dos cónicas forman las dos superficies focales degeneradas de la cíclica. ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{c^{2}}}-{\frac {z^{2}}{b^{2}}}=1,y=0}$

${\displaystyle d}$puede considerarse como el radio promedio de las esferas generadoras.

Para , respectivamente se obtienen las líneas de curvatura (círculos) de la superficie. ${\displaystyle u=const}$ ${\displaystyle v=const}$

La representación implícita correspondiente es:

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}+b^{2}-d^{2})^{2}-4(ax-cd)^{2}-4b^{2}y^{2}=0\ .}$

En el caso de que se obtenga , es decir, la elipse es un círculo y la hipérbola degenera en una línea. Los cíclidos correspondientes son toros de revolución. ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle c=0}$

Los parámetros de diseño más intuitivos son las intersecciones del ciclado con el eje x. Véase la sección Cilado a través de 4 puntos en el eje x.

Ciclidos parabólicos

Un ciclído parabólico se puede representar mediante la siguiente representación paramétrica (ver sección Ciclido como superficie de canal):

cíclope parabólico con sus directrices (parábolas focales)

${\displaystyle x={\frac {p}{2}}\,{\frac {2v^{2}+k(1-u^{2}-v^{2})}{1+u^{2}+v^{2}}}\ ,}$

${\displaystyle y=pu\,{\frac {v^{2}+k}{1+u^{2}+v^{2}}}\ ,}$

${\displaystyle z=pv\,{\frac {1+u^{2}-k}{1+u^{2}+v^{2}}}\ ,}$

${\displaystyle -\infty <u,v<\infty \ .}$

El número determina la forma de ambas parábolas, que son cónicas focales: ${\displaystyle p}$

${\displaystyle y^{2}=p^{2}-2px,\ z=0\ }$y ${\displaystyle \ z^{2}=2px,\ y=0\ .}$

${\displaystyle k}$determina la relación de los diámetros de los dos agujeros (ver diagrama). significa: ambos diámetros son iguales. Para el diagrama es . ${\displaystyle k=0.5}$ ${\displaystyle k=0.7}$

Una representación implícita correspondiente es

${\displaystyle \left(x+\left({\frac {k}{2}}-1\right)p\right)\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-{\frac {k^{2}p^{2}}{4}}\right)+pz^{2}=0\ .}$

Observación : Al visualizar los círculos aparecen espacios vacíos que son causados ​​por la restricción necesaria de los parámetros . ${\displaystyle u,v}$

Ciclido como superficie de canal

Ciclido de Dupin como superficie de canal ( envolvente de una familia de esferas)

Existen dos formas de generar un ciclado de Dupin elíptico como superficie de canal . La primera utiliza una elipse como directriz, la segunda una hipérbola: ^[4]

Elipse como directriz

En el plano xy la directriz es la elipse con ecuación

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\ ,\ z=0\quad }$y . ${\displaystyle \ a>b}$

Tiene la representación paramétrica

${\displaystyle \ x=a\cos \varphi \;,\ y=b\sin \varphi \;,\ z=0\ .}$

${\displaystyle a}$es el semieje mayor y el semieje menor. es la excentricidad lineal de la elipse. Por lo tanto: . Los radios de las esferas generadoras son ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c^{2}=a^{2}-b^{2}}$

${\displaystyle r(\varphi )=d-c\cos \varphi \ .}$

${\displaystyle d}$es un parámetro de diseño. Puede verse como el promedio de los radios de las esferas. En el caso de la elipse es un círculo y el cíclido un toro de revolución con el radio del círculo generador (generatriz). ${\displaystyle c=0}$ ${\displaystyle d}$

En el diagrama: . ${\displaystyle \;a=1,\;b=0.99,\ d=0.25\;}$

Maxwell: Propiedad de los focos de la elipse directriz. La elipse es el conjunto equidistante de los círculos azul y violeta.

Propiedad de Maxwell

La siguiente relación simple entre el centro real de la esfera (punto de la elipse) y el radio de la esfera correspondiente se debe a Maxwell: ^[5]

• La diferencia/suma del radio de la esfera y la distancia del centro de la esfera (punto de la elipse) a uno (pero fijo) de los focos es constante.

Prueba

Los focos de la elipse son . Si se elige y se calcula la distancia , se obtiene . Junto con el radio de la esfera real (ver arriba) se obtiene . Si se elige el otro foco se obtiene: ${\displaystyle \ E=(a\cos \varphi ,b\sin \varphi ,0)\ }$ ${\displaystyle \ F_{i}=(\pm c,0,0)\ }$ ${\displaystyle \ F_{1}=(c,0,0)\ }$ ${\displaystyle \ |EF_{1}|\ }$ ${\displaystyle \ |EF_{1}|=a-c\cos \varphi \ }$ ${\displaystyle \ |EF_{1}|-r=a-d\ }$
${\displaystyle \ |EF_{2}|+r=a+d\ .}$

Por eso:

En el plano xy las envolventes de los círculos de las esferas son dos círculos con los focos de la elipse como centros y los radios (ver diagrama). ${\displaystyle a\pm d}$

Realizar un ciclo a través de 4 puntos en el eje x

Determinación de los parámetros de diseño a,b,c,d pertenecientes a los reales dados ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}$

arriba: ciclido de anillo con medio: ciclido de cuerno con abajo: ciclido de husillo con ${\displaystyle x_{1}=3,x_{2}=1,x_{3}=-3,x_{4}=-7}$
${\displaystyle x_{1}=1,x_{2}=3,x_{3}=-3,x_{4}=-7}$
${\displaystyle x_{1}=3,x_{2}=-3,x_{3}=1,x_{4}=-7}$

La propiedad de Maxwell da razón para determinar un ciclado de anillo al prescribir sus intersecciones con el eje x:

Dados: Cuatro puntos en el eje x (ver diagrama). ${\displaystyle x_{1}>x_{2}>x_{3}>x_{4}}$

Se busca: Centro , semiejes , excentricidad lineal y focos de la elipse directriz y el parámetro del cíclido del anillo correspondiente. ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle d}$

De la propiedad de Maxwell se deriva

${\displaystyle 2(a+d)=x_{1}-x_{4}\;,\quad \ 2(a-d)=x_{2}-x_{3}\ .}$

Resolviendo los rendimientos ${\displaystyle a,c}$

${\displaystyle a={\frac {1}{4}}\left(x_{1}+x_{2}-x_{3}-x_{4}\right),\quad }$ ${\displaystyle d={\frac {1}{4}}\left(x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4}\right)\ .}$

Los focos (en el eje x) son

${\displaystyle f_{1}={\frac {1}{2}}(x_{2}+x_{3}),\quad f_{2}={\frac {1}{2}}(x_{1}+x_{4})}$y por lo tanto

${\displaystyle c={\frac {1}{4}}\left(-x_{1}+x_{2}+x_{3}-x_{4}\right)\;,\quad \ b={\sqrt {a^{2}-c^{2}}}\ }$

El centro de las cónicas focales (elipse e hipérbola) tiene la coordenada x

${\displaystyle m_{0}={\frac {1}{4}}\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}\right)\ .}$

Si se desea representar el cicluro con ayuda de la representación paramétrica anterior, hay que tener en cuenta el desplazamiento del centro. ${\displaystyle m_{0}}$

Significado del orden de los números ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}$

(El cálculo anterior supone , ver diagrama). ${\displaystyle x_{1}>x_{2}>x_{3}>x_{4}}$

(H) El intercambio genera un cicluro de cuerno. (S) El intercambio genera un cicluro de husillo. (H1) Para uno se obtiene un cicluro de 1 cuerno. (R) Para uno se obtiene un cicluro de anillo que se toca a sí mismo en el origen. ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$
${\displaystyle x_{2},x_{3}}$
${\displaystyle x_{1}=x_{2}=2}$
${\displaystyle x_{2}=x_{3}=0}$

Superficies paralelas

Superficies paralelas de un cícludo anular con parámetros ${\displaystyle a=1,b=0.98,\ d=0.30,0.45,0.60}$

Aumentando o disminuyendo el parámetro , de manera que el tipo no cambie, se obtienen superficies paralelas (similares a curvas paralelas ) del mismo tipo (ver diagrama). ${\displaystyle d}$

Hipérbola como directriz

La segunda forma de generar el ciclado del anillo como superficie del canal utiliza la hipérbola focal como directriz. Tiene la ecuación

Cíclido con dos esferas en contacto con centros en la hipérbola directriz

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{c^{2}}}-{\frac {z^{2}}{b^{2}}}=1\ ,\ y=0\ .}$

En este caso, las esferas tocan la ciclida desde fuera en la segunda familia de círculos (líneas de curvatura). A cada brazo de la hipérbola pertenece una subfamilia de círculos. Las esferas de una familia encierran la ciclida (en el diagrama: violeta). Las esferas de la otra familia son tocadas desde fuera por la ciclida (azul).

Representación paramétrica de la hipérbola:

${\displaystyle (\pm c\cosh \psi ,0,b\sinh \psi )\ .}$

Los radios de las esferas correspondientes son

${\displaystyle R(\psi )=a\cosh \psi \mp d\ .}$

En el caso de un toro ( ) la hipérbola degenera en el eje del toro. ${\displaystyle c=0}$

Propiedad de Maxwell para el caso de la hipérbola. El brazo de la hipérbola es una curva equidistante de ambos círculos grises. ${\displaystyle H_{+}}$

Propiedad de Maxwell (caso de hipérbola)

Los focos de la hipérbola son . La distancia del punto de la hipérbola al foco es y junto con el radio de la esfera se obtiene . Análogamente se obtiene . Para un punto en el segundo brazo de la hipérbola se derivan las ecuaciones: ${\displaystyle \;H_{\pm }(\psi )=(\pm c\cosh \psi ,0,b\sinh \psi )\;}$ ${\displaystyle \;F_{i}=(\pm a,0,0)\;}$ ${\displaystyle \;H_{+}(\psi )=(c\cosh \psi ,0,b\sinh \psi )\;}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle \;|H_{+}F_{1}|=a\cosh \psi -c\;}$ ${\displaystyle R_{+}(\psi )=a\cosh \psi -d}$ ${\displaystyle \;|H_{+}F_{1}|-R_{+}=d-c\;}$ ${\displaystyle \;|H_{+}F_{2}|-R_{+}=d+c\;}$ ${\displaystyle \;R_{-}-|H_{-}F_{1}|=d-c\;,\ R_{-}-|H_{-}F_{2}|=d+c\;.}$

Por eso:

En el plano xz los círculos de las esferas con centros y radios tienen como envolventes los dos círculos (en el diagrama gris) con centros y radios . ${\displaystyle H_{\pm }(\psi )}$ ${\displaystyle R_{\pm }(\psi )}$ ${\displaystyle F_{1/2}=(\pm a,0,0)}$ ${\displaystyle d\mp c}$

Construcción de puntos

Derivación de la representación paramétrica

Cíclide elíptico

La elipse y la hipérbola (cónicas focales) son las superficies focales degeneradas del cíclope elíptico. Para cualquier par de puntos de la elipse y la hipérbola se cumple lo siguiente (debido a la definición de superficie focal): ${\displaystyle E,H}$

1) La línea es una normal del ciclido y ${\displaystyle {\overline {EH}}}$

2) el punto correspondiente del cicluro divide la cuerda con relación (ver diagrama). ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle EH}$ ${\displaystyle r:R}$

A partir de la representación paramétrica de las cónicas focales y los radios de las esferas

Elipse: ${\displaystyle \quad \ \ \ E(u)=(a\cos u,b\sin u,0),\quad r(u)=d-c\cos u\ \ ,}$

Hipérbola: ${\displaystyle \quad H(v)=({\frac {c}{\cos v}},0,b\tan v),\quad R(u)={\frac {a}{\cos v}}-d\ .}$

Se obtiene el punto correspondiente del ciclo (ver diagrama): ${\displaystyle P}$

${\displaystyle \ P(u,v)={\frac {R(v)}{r(u)+R(v)}}\;E(u)+{\frac {r(u)}{r(u)+R(v)}}\;H(v)\ .}$

(Para la representación paramétrica inusual pero conveniente de la hipérbola: ver hipérbola ).

El cálculo en detalle conduce a la representación paramétrica del ciclo elíptico dada arriba.

Si se utiliza la representación paramétrica dada en el artículo sobre superficies de canales, entonces, en general, sólo una familia de curvas paramétricas consta de círculos.

Ciclo parabólico

Generación de un ciclado parabólico como superficie de canal

La derivación de la representación paramétrica para el caso parabólico se realiza de forma análoga:

Con las representaciones paramétricas de las parábolas focales (superficies focales degeneradas) y los radios de las esferas:

${\displaystyle P_{1}(u)=\left({\frac {p}{2}}(1-u^{2}),pu,0\right),\quad r_{1}={\frac {p}{2}}(1-k+u^{2})\;}$

${\displaystyle P_{2}(v)=\left({\frac {p}{2}}v^{2},0,pv\right),\qquad \qquad r_{2}={\frac {p}{2}}(k+v^{2})\ }$

Uno consigue

${\displaystyle \ P(u,v)={\frac {r_{2}(v)}{r_{1}(u)+r_{2}(v)}}\;P_{1}(u)+{\frac {r_{1}(u)}{r_{1}(u)+r_{2}(v)}}\;P_{2}(v)}$

que proporciona la representación paramétrica anterior de un ciclado parabólico.

Ciclidos de Dupin e inversiones geométricas

Una ventaja para las investigaciones de los ciclidos es la propiedad:

(I): Cualquier cicluro de Dupin es la imagen de un cilindro circular recto o de un cono doble circular recto o de un toro de revolución por una inversión (reflexión en una esfera).

La inversión en la esfera con ecuación se puede describir analíticamente mediante: ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}}$

${\displaystyle (x,y,z)\rightarrow {\frac {R^{2}\cdot (x,y,z)}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\ .}$

Las propiedades más importantes de una inversión en una esfera son:

1. Las esferas y los círculos se asignan a los mismos objetos.
2. Los planos y líneas que contienen el origen (centro de inversión) se proyectan sobre sí mismos.
3. Los planos y líneas que no contienen el origen se representan en esferas o círculos que pasan por el origen.
4. Una inversión es involutiva (idéntica a la función inversa).
5. Una inversión conserva los ángulos.

Se pueden representar superficies arbitrarias mediante una inversión. Las fórmulas anteriores dan en cualquier caso representaciones paramétricas o implícitas de la superficie de la imagen, si las superficies se dan de forma paramétrica o implícita. En el caso de una superficie paramétrica se obtiene:

${\displaystyle (x(u,v),y(u,v),z(u,v))\rightarrow {\frac {R^{2}\cdot (x(u,v),y(u,v),z(u,v))}{x(u,v)^{2}+y(u,v)^{2}+z(u,v)^{2}}}\ .}$

ciclido anular generado por una inversión de un cilindro en una esfera (magenta)

Anillo ciclónico parabólico generado por una inversión de un cilindro que contiene el origen

Cíclido de cuerno generado por una inversión de un cono

ciclido de anillo generado por una inversión de un toro

Pero: Sólo en el caso de cilindros y conos circulares rectos y toros de revolución se obtienen ciclidros de Dupin y viceversa.

Ejemplo de cilindro

a) Como las rectas que no contienen el origen se proyectan mediante una inversión en una esfera (en la imagen: magenta) sobre círculos que contienen el origen, la imagen del cilindro es un cíclido anular con círculos que se tocan mutuamente en el origen. Como las imágenes de los segmentos de recta, que se muestran en la imagen, aparecen en los segmentos de círculo de recta como imágenes. Las esferas que tocan el cilindro en el lado interior se proyectan sobre un primer lápiz de esferas que generan el cíclido como superficie de canal. Las imágenes de los planos tangentes del cilindro se convierten en el segundo lápiz de esferas que tocan el cíclido. Estos últimos pasan por el origen.
b) El segundo ejemplo invierte un cilindro que contiene el origen. Las rectas que pasan por el origen se proyectan sobre sí mismas. Por lo tanto, la superficie es ilimitada y un cíclido parabólico.

Ejemplo de cono

Las líneas que generan el cono están representadas en círculos que se intersecan en el origen y en la imagen del vértice del cono. La imagen del cono es una cíclica de doble cuerno. La imagen muestra las imágenes de los segmentos de línea (del cono), que en realidad son segmentos de círculos.

Ejemplo de toro

Los dos lápices de círculos del toro (mostrados en la imagen) se proyectan sobre los lápices de círculos correspondientes del cicludo. En el caso de un toro que se intersecta a sí mismo, se obtendría un cicludo de huso.

Círculos de Villarceau

Cíclide anular con círculos de Villarceau

Dado que los anillos-cicluros de Dupin pueden verse como imágenes de toros a través de inversiones adecuadas y una inversión asigna un círculo a un círculo o línea, las imágenes de los círculos de Villarceau forman otras dos familias de círculos en un anillo-cicluro (ver diagrama).

Determinación de los parámetros de diseño ${\displaystyle a,b,c,d}$

La fórmula de la inversión de una superficie paramétrica (ver arriba) proporciona una representación paramétrica de un cíclope (como inversión de un toro) con círculos como curvas paramétricas. Pero los puntos de una red paramétrica no están bien distribuidos. Por lo tanto, es mejor calcular los parámetros de diseño y utilizar la representación paramétrica anterior: ${\displaystyle a,b,c,d}$

Cíclido (azul) como imagen de una inversión de un toro (negro) en la esfera unitaria (roja)

Datos: Un toro, que se desplaza de la posición estándar a lo largo del eje x. Sean las intersecciones del toro con el eje x (ver diagrama). Todas son distintas de cero. De lo contrario, la inversión del toro no sería un anillo-cicluro. Se busca: semiejes y excentricidad lineal de la elipse (directriz) y parámetro del anillo-cicluro, que es la imagen del toro bajo la inversión en la unidad-esfera. ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}$
${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle d}$

La inversión se aplica a , que son las coordenadas x de 4 puntos del anillo-ciclido (ver diagrama). Desde la sección Ciclido a través de 4 puntos en el eje x se obtiene ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{x_{i}}}}$

${\displaystyle a={\frac {1}{4}}\left({\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}-{\frac {1}{x_{3}}}-{\frac {1}{x_{4}}}\right),\quad }$ ${\displaystyle d={\frac {1}{4}}\left(-{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}-{\frac {1}{x_{3}}}+{\frac {1}{x_{4}}}\right)\ }$y

${\displaystyle c={\frac {1}{4}}\left({\frac {1}{x_{1}}}-{\frac {1}{x_{2}}}-{\frac {1}{x_{3}}}+{\frac {1}{x_{4}}}\right)\;,\quad \ b={\sqrt {a^{2}-c^{2}}}\ }$

El centro de las cónicas focales tiene la coordenada x

${\displaystyle m_{0}={\frac {1}{4}}\left({\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+{\frac {1}{x_{3}}}+{\frac {1}{x_{4}}}\right)\ .}$

Separación de variables

Las ciclidas de Dupin son un caso especial de una noción más general de ciclida, que es una extensión natural de la noción de superficie cuadrática . Mientras que una cuadrática puede describirse como el conjunto cero de un polinomio de segundo orden en coordenadas cartesianas ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ), una ciclida viene dada por el conjunto cero de un polinomio de segundo orden en ( x ₁ , x ₂ , x ₃ , r ² ), donde r ² = x ₁ ² + x ₂ ² + x ₃ ² . Por lo tanto, es una superficie cuártica en coordenadas cartesianas, con una ecuación de la forma:

${\displaystyle Ar^{4}+\sum _{i=1}^{3}P_{i}x_{i}r^{2}+\sum _{i,j=1}^{3}Q_{ij}x_{i}x_{j}+\sum _{i=1}^{3}R_{i}x_{i}+B=0}$

donde Q es una matriz 3x3, P y R son vectores tridimensionales y A y B son constantes. ^[6]

Las familias de ciclidos dan lugar a diversas geometrías de coordenadas cíclicas.

En la disertación de Maxime Bôcher de 1891, Ueber die Reihenentwickelungen der Potentialtheorie , se demostró que la ecuación de Laplace en tres variables se puede resolver mediante la separación de variables en 17 geometrías de coordenadas cuadráticas y cíclicas conformemente distintas. Se pueden obtener muchas otras geometrías cíclicas mediante el estudio de la separación R de variables para la ecuación de Laplace. ^[7]

Véase también

• Inversión de curvas y superficies (alemán)

Enlaces externos

• Ciclidos de Dupin en MathCurve

Notas

1. O'Connor y Robertson 2000
2. Hilbert y Cohn-Vossen 1999
3. Cecil 1992
4. W. Blaschke: Analytische Geometrie , Springer-Verlag, 2013, ISBN  303486812X , pág.115
5. mencionado en W. Boehm: Sobre cíclidos en modelado geométrico . Diseño geométrico asistido por computadora 7, 1990, pág. 243–255.
6. Miller 1977
7. Luna y Spencer 1961

Referencias

• Cecil, Thomas E. (1992), Geometría de esferas de Lie , Nueva York: Universitext, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97747-8.
• Eisenhart, Luther P. (1960), "§133 Cíclides de Dupin", Tratado sobre la geometría diferencial de curvas y superficies , Nueva York: Dover, págs. 312–314.
• Hilbert, David ; Cohn-Vossen, Stephan (1999), Geometría y la imaginación , American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1998-4.
• Moon, Parry; Spencer, Domina Eberle (1961), Manual de teoría de campos: incluye sistemas de coordenadas, ecuaciones diferenciales y sus soluciones , Springer, ISBN 0-387-02732-7.
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (2000), "Pierre Charles François Dupin", Archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor.
• Pinkall, Ulrich (1986), "§3.3 Cíclidos de Dupin", en G. Fischer (ed.), Modelos matemáticos de las colecciones de universidades y museos , Braunschweig, Alemania: Vieweg, págs. 28-30.
• Miller, Willard (1977), Simetría y separación de variables.
• A. Cayley (1873) "Sobre el ciclido", Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics 12: pág. 148–163.
• V. Chandru, D. Dutta, CM Hoffmann (1989) "Sobre la geometría de los cicluros de Dupin", The Visual Computer. (5), pág. 277–290.
• C. Dupin (1822) Aplicaciones de Geometrie et de Mechanique. Bachiller, París.
• F. Klein, W. Blaschke (1926) Vorlesungen Über Höhere Geometrie. Springer-Verlag, ISBN 978-3-642-98494-5 , pág. 56. 
• JC Maxwell (1868) "Sobre el ciclido", Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics 9: pág. 111–126.
• MJ Pratt (1989) Combinación de cíclidos en el modelado de sólidos. En: Wolfgang Strasser, Hans-Peter Seidel (Ed.): Teoría y práctica en el modelado geométrico. Springer-Verlag, ISBN 0-387-51472-4 , pág. 235. 
• YL Srinivas, V. Kumar, D. Dutta (1996) "Diseño de superficies utilizando parches de ciclidos", Diseño asistido por computadora 28(4): 263–276.
• Mabel M. Young (1916) "El ciclúrico de Dupin como superficie autodual", American Journal of Mathematics 38(3): 269–286

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Ciclide". MathWorld .
• E. Berberich, M. Kerber: Disposiciones sobre superficies del género uno: Toros y cíclidos de Dupin.