Superficie implícita

Superficie en el espacio 3D definida por una función implícita de tres variables

Toro de superficie implícito ( R = 40, a = 15) .

Superficie implícita del género 2.

Superficie no algebraica implícita ( copa de vino ).

En matemáticas , una superficie implícita es una superficie en el espacio euclidiano definida por una ecuación

${\displaystyle F(x,y,z)=0.}$

Una superficie implícita es el conjunto de ceros de una función de tres variables . Implícita significa que la ecuación no se resuelve para x , y o z .

La gráfica de una función se describe generalmente mediante una ecuación y se denomina representación explícita . La tercera descripción esencial de una superficie es la paramétrica : , donde las coordenadas x , y y z de los puntos de la superficie se representan mediante tres funciones que dependen de parámetros comunes . Generalmente, el cambio de representaciones es simple solo cuando se da la representación explícita: (implícita), (paramétrica). ${\displaystyle z=f(x,y)}$ ${\displaystyle (x(s,t),y(s,t),z(s,t))}$ ${\displaystyle x(s,t)\,,y(s,t)\,,z(s,t)}$ ${\displaystyle s,t}$ ${\displaystyle z=f(x,y)}$ ${\displaystyle z-f(x,y)=0}$ ${\displaystyle (s,t,f(s,t))}$

Ejemplos :

1. El avión ${\displaystyle x+2y-3z+1=0.}$
2. La esfera ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-4=0.}$
3. El toro ${\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(x^{2}+y^{2})=0.}$
4. Una superficie de género 2: (ver diagrama). ${\displaystyle 2y(y^{2}-3x^{2})(1-z^{2})+(x^{2}+y^{2})^{2}-(9z^{2}-1)(1-z^{2})=0}$
5. La superficie de revolución (ver diagrama copa de vino ). ${\displaystyle x^{2}+y^{2}-(\ln(z+3.2))^{2}-0.02=0}$

Para un plano, una esfera y un toro existen representaciones paramétricas simples. Esto no es así en el cuarto ejemplo.

El teorema de la función implícita describe las condiciones en las que una ecuación puede resolverse (al menos implícitamente) para x , y o z . Pero en general la solución no puede hacerse explícita. Este teorema es la clave para el cálculo de las características geométricas esenciales de una superficie: planos tangentes , normales de superficie , curvaturas (ver más abajo). Pero tienen un inconveniente esencial: su visualización es difícil. ${\displaystyle F(x,y,z)=0}$

Si es polinomial en x , y y z , la superficie se llama algebraica . El ejemplo 5 no es algebraico. ${\displaystyle F(x,y,z)}$

A pesar de la dificultad de visualización, las superficies implícitas proporcionan técnicas relativamente simples para generar superficies interesantes teóricamente (por ejemplo, la superficie de Steiner ) y prácticamente (ver más abajo).

Fórmulas

A lo largo de las consideraciones que siguen, la superficie implícita se representa mediante una ecuación donde la función cumple las condiciones necesarias de diferenciabilidad. Las derivadas parciales de son . ${\displaystyle F(x,y,z)=0}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F_{x},F_{y},F_{z},F_{xx},\ldots }$

Plano tangente y vector normal

Un punto de superficie se llama regular si y solo si el gradiente de at no es el vector cero , lo que significa ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$ ${\displaystyle (0,0,0)}$

${\displaystyle (F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{y}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0}))\neq (0,0,0)}$.

Si el punto de la superficie no es regular se llama singular . ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$

La ecuación del plano tangente en un punto regular es ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$

${\displaystyle F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0})(x-x_{0})+F_{y}(x_{0},y_{0},z_{0})(y-y_{0})+F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0})(z-z_{0})=0,}$

y un vector normal es

${\displaystyle \mathbf {n} (x_{0},y_{0},z_{0})=(F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{y}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0}))^{T}.}$

Curvatura normal

Para mantener la fórmula simple se omiten los argumentos: ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$

${\displaystyle \kappa _{n}={\frac {\mathbf {v} ^{\top }H_{F}\mathbf {v} }{\|\operatorname {grad} F\|}}}$

es la curvatura normal de la superficie en un punto regular para la dirección de la tangente unitaria . es la matriz hessiana de (matriz de las segundas derivadas). ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle H_{F}}$ ${\displaystyle F}$

La prueba de esta fórmula se basa (como en el caso de una curva implícita) en el teorema de la función implícita y en la fórmula para la curvatura normal de una superficie paramétrica .

Aplicaciones de superficies implícitas

Como en el caso de las curvas implícitas, es una tarea fácil generar superficies implícitas con las formas deseadas aplicando operaciones algebraicas (suma, multiplicación) sobre primitivas simples.

Superficie equipotencial de 4 cargas puntuales

Superficie equipotencial de cargas puntuales

El potencial eléctrico de una carga puntual en un punto genera en el punto el potencial (omitiendo las constantes físicas) ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{i}=(x_{i},y_{i},z_{i})}$ ${\displaystyle \mathbf {p} =(x,y,z)}$

${\displaystyle F_{i}(x,y,z)={\frac {q_{i}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{i}\|}}.}$

La superficie equipotencial para el valor del potencial es la superficie implícita que es una esfera con centro en el punto . ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle F_{i}(x,y,z)-c=0}$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{i}}$

El potencial de cargas puntuales está representado por ${\displaystyle 4}$

${\displaystyle F(x,y,z)={\frac {q_{1}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{1}\|}}+{\frac {q_{2}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{2}\|}}+{\frac {q_{3}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{3}\|}}+{\frac {q_{4}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{4}\|}}.}$

En la imagen, las cuatro cargas son iguales a 1 y están ubicadas en los puntos . La superficie mostrada es la superficie equipotencial (superficie implícita) . ${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,0)}$ ${\displaystyle F(x,y,z)-2.8=0}$

Superficie del producto de distancia constante

Un óvalo de Cassini puede definirse como el conjunto de puntos para el cual el producto de las distancias a dos puntos dados es constante (en cambio, para una elipse la suma es constante). De manera similar, las superficies implícitas pueden definirse por un producto de distancias constante a varios puntos fijos.

En el diagrama de metamorfosis la superficie superior izquierda se genera mediante esta regla: Con

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x,y,z)={}&{\Big (}{\sqrt {(x-1)^{2}+y^{2}+z^{2}}}\cdot {\sqrt {(x+1)^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\&\qquad \cdot {\sqrt {x^{2}+(y-1)^{2}+z^{2}}}\cdot {\sqrt {x^{2}+(y+1)^{2}+z^{2}}}{\Big )}\end{aligned}}}$

Se muestra la superficie del producto de distancia constante . ${\displaystyle F(x,y,z)-1.1=0}$

Metamorfosis entre dos superficies implícitas: un toro y una superficie producto de distancia constante.

Metamorfosis de superficies implícitas

Otro método sencillo para generar nuevas superficies implícitas se denomina metamorfosis de superficies implícitas:

Para dos superficies implícitas (en el diagrama: una superficie de producto de distancia constante y un toro) se definen nuevas superficies utilizando el parámetro de diseño : ${\displaystyle F_{1}(x,y,z)=0,F_{2}(x,y,z)=0}$ ${\displaystyle \mu \in [0,1]}$

${\displaystyle F(x,y,z)=\mu F_{1}(x,y,z)+(1-\mu )F_{2}(x,y,z)=0}$

En el diagrama el parámetro de diseño es sucesivamente . ${\displaystyle \mu =0,\,0.33,\,0.66,\,1}$

Aproximación de tres toros ( proyección paralela )

Imagen de rayos POV (proyección central) de una aproximación de tres toros.

Aproximaciones suaves de varias superficies implícitas

${\displaystyle \Pi }$-superficies ^[1] se pueden utilizar para aproximar cualquier objeto liso y acotado dado cuya superficie esté definida por un único polinomio como producto de polinomios subsidiarios. En otras palabras, podemos diseñar cualquier objeto liso con una única superficie algebraica. Denotemos los polinomios definitorios como . Entonces, el objeto de aproximación está definido por el polinomio ${\displaystyle R^{3}}$ ${\displaystyle f_{i}\in \mathbb {R} [x_{1},\ldots ,x_{n}](i=1,\ldots ,k)}$

${\displaystyle F(x,y,z)=\prod _{i}f_{i}(x,y,z)-r}$^[1]

donde representa el parámetro de mezcla que controla el error de aproximación. ${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$

De manera análoga a la aproximación suave con curvas implícitas, la ecuación

${\displaystyle F(x,y,z)=F_{1}(x,y,z)\cdot F_{2}(x,y,z)\cdot F_{3}(x,y,z)-r=0}$

representa, para parámetros adecuados, aproximaciones suaves de tres toros que se intersecan con ecuaciones ${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(x^{2}+y^{2})=0,\\[3pt]F_{2}=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(x^{2}+z^{2})=0,\\[3pt]F_{3}=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(y^{2}+z^{2})=0.\end{aligned}}}$

(En el diagrama los parámetros son ) ${\displaystyle R=1,\,a=0.2,\,r=0.01.}$

Imagen POV-Ray: metamorfosis entre una esfera y una superficie producto de distancia constante (6 puntos).

Visualización de superficies implícitas

Existen varios algoritmos para representar superficies implícitas, ^[2] incluido el algoritmo de cubos en marcha . ^[3] Básicamente, hay dos ideas para visualizar una superficie implícita: una genera una red de polígonos que se visualiza (ver triangulación de superficie ) y la segunda se basa en el trazado de rayos que determina los puntos de intersección de los rayos con la superficie. ^[4] Los puntos de intersección se pueden aproximar mediante el trazado de esferas , utilizando una función de distancia con signo para encontrar la distancia a la superficie. ^[5]

Véase también

• Curva implícita

Referencias

1. Adriano N. Raposo; Abel JP Gomes (2019). "Pi-superficies: productos de superficies implícitas hacia la composición constructiva de objetos 3D". WSCG 2019 27. Conferencia internacional en Europa central sobre gráficos por computadora, visualización y visión por computadora. arXiv : 1906.06751 .
2. Jules Bloomenthal; Chandrajit Bajaj; Brian Wyvill (15 de agosto de 1997). Introducción a las superficies implícitas. Morgan Kaufmann. ISBN 978-1-55860-233-5.
3. Ian Stephenson (1 de diciembre de 2004). Representación de producción: diseño e implementación. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-85233-821-3.
4. Eric Haines, Tomas Akenine-Moller: Joyas del trazado de rayos , Springer, 2019, ISBN 978-1-4842-4427-2 
5. Hardy, Alexandre; Steeb, Willi-Hans (2008). Herramientas matemáticas en gráficos de computadora con implementaciones de C#. World Scientific. ISBN 978-981-279-102-3.

Lectura adicional

• Gomes, A., Voiculescu, I., Jorge, J., Wyvill, B., Galbraith, C.: Curvas y superficies implícitas: matemáticas, estructuras de datos y algoritmos , 2009, Springer-Verlag Londres, ISBN 978-1-84882-405-8 
• Thorpe: Temas elementales de geometría diferencial , Springer-Verlag, Nueva York, 1979, ISBN 0-387-90357-7