Polinomio característico

Polinomio cuyas raíces son los valores propios de una matriz

En álgebra lineal , el polinomio característico de una matriz cuadrada es un polinomio que es invariante bajo similitud matricial y tiene los valores propios como raíces . Tiene el determinante y la traza de la matriz entre sus coeficientes. El polinomio característico de un endomorfismo de un espacio vectorial de dimensión finita es el polinomio característico de la matriz de ese endomorfismo sobre cualquier base (es decir, el polinomio característico no depende de la elección de una base ). La ecuación característica , también conocida como ecuación determinante , ^{[1] [2] [3]} es la ecuación que se obtiene igualando el polinomio característico a cero.

En teoría de grafos espectrales , el polinomio característico de un grafo es el polinomio característico de su matriz de adyacencia . ^[4]

Motivación

En álgebra lineal , los valores propios y los vectores propios juegan un papel fundamental, ya que, dada una transformación lineal , un vector propio es un vector cuya dirección no cambia por la transformación, y el valor propio correspondiente es la medida del cambio de magnitud resultante del vector.

Más precisamente, si la transformación está representada por una matriz cuadrada, un vector propio y el valor propio correspondiente deben satisfacer la ecuación ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \mathbf {v} ,}$ ${\displaystyle \lambda }$

$${\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} ,}$$

$${\displaystyle (\lambda I-A)\mathbf {v} =\mathbf {0} }$$

matriz identidad ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} }$ ${\displaystyle \lambda ,}$

De ello se deduce que la matriz debe ser singular y su determinante ${\displaystyle (\lambda I-A)}$

$${\displaystyle \det(\lambda I-A)=0}$$

En otras palabras, los valores propios de A son las raíces de

$${\displaystyle \det(xI-A),}$$

polinomio mónicoxnAn × npolinomioA.

Definicion formal

Considere una matriz . El polinomio característico de denotado por es el polinomio definido por ^[5] ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle p_{A}(t),}$

$${\displaystyle p_{A}(t)=\det(tI-A)}$$

matriz identidad ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle n\times n}$

Algunos autores definen el polinomio característico como Ese polinomio difiere del definido aquí por un signo por lo que no hace ninguna diferencia para propiedades como tener como raíces los valores propios de ; sin embargo, la definición anterior siempre da un polinomio mónico, mientras que la definición alternativa es mónico sólo cuando es par. ${\displaystyle \det(A-tI).}$ ${\displaystyle (-1)^{n},}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$

Ejemplos

Para calcular el polinomio característico de la matriz.

$${\displaystyle A={\begin{pmatrix}2&1\\-1&0\end{pmatrix}}.}$$

determinante de lo siguiente:

$${\displaystyle tI-A={\begin{pmatrix}t-2&-1\\1&t-0\end{pmatrix}}}$$

${\displaystyle (t-2)t-1(-1)=t^{2}-2t+1\,\!,}$ ${\displaystyle A.}$

Otro ejemplo utiliza funciones hiperbólicas de un ángulo hiperbólico φ. Para la matriz tome

$${\displaystyle A={\begin{pmatrix}\cosh(\varphi )&\sinh(\varphi )\\\sinh(\varphi )&\cosh(\varphi )\end{pmatrix}}.}$$

$${\displaystyle \det(tI-A)=(t-\cosh(\varphi ))^{2}-\sinh ^{2}(\varphi )=t^{2}-2t\ \cosh(\varphi )+1=(t-e^{\varphi })(t-e^{-\varphi }).}$$

Propiedades

El polinomio característico de una matriz es mónico (su coeficiente principal es ) y su grado es El hecho más importante sobre el polinomio característico ya se mencionó en el párrafo motivacional: los valores propios de son precisamente las raíces de (esto también es válido para el polinomio mínimo de pero su grado puede ser menor que ). Todos los coeficientes del polinomio característico son expresiones polinómicas en las entradas de la matriz. En particular, su coeficiente constante de es el coeficiente de es uno, y el coeficiente de es tr(− A ) = −tr( A ) , donde tr( A ) es la traza de (Los signos dados aquí corresponden a la definición formal dada en la sección anterior; ^[6] para la definición alternativa estos serían en su lugar y (−1) ^{n – 1} tr( A ) respectivamente. ^[7] ) ${\displaystyle p_{A}(t)}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle p_{A}(t)}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t^{0}}$ ${\displaystyle \det(-A)=(-1)^{n}\det(A),}$ ${\displaystyle t^{n}}$ ${\displaystyle t^{n-1}}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle \det(A)}$

Para una matriz, el polinomio característico viene dado por ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle A,}$

$${\displaystyle t^{2}-\operatorname {tr} (A)t+\det(A).}$$

Usando el lenguaje del álgebra exterior , el polinomio característico de una matriz se puede expresar como ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle p_{A}(t)=\sum _{k=0}^{n}t^{n-k}(-1)^{k}\operatorname {tr} \left(\textstyle \bigwedge ^{k}A\right)}$$

trazapotencia exteriorlos menores principalesalgoritmo recursivo de Faddeev-LeVerrier ${\textstyle \operatorname {tr} \left(\bigwedge ^{k}A\right)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A,}$ ${\textstyle {\binom {n}{k}}.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle k.}$

Cuando la característica del campo de los coeficientes es cada una de esas trazas, alternativamente se puede calcular como un único determinante, el de la matriz, ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle k\times k}$

$${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\textstyle \bigwedge ^{k}A\right)={\frac {1}{k!}}{\begin{vmatrix}\operatorname {tr} A&k-1&0&\cdots &0\\\operatorname {tr} A^{2}&\operatorname {tr} A&k-2&\cdots &0\\\vdots &\vdots &&\ddots &\vdots \\\operatorname {tr} A^{k-1}&\operatorname {tr} A^{k-2}&&\cdots &1\\\operatorname {tr} A^{k}&\operatorname {tr} A^{k-1}&&\cdots &\operatorname {tr} A\end{vmatrix}}~.}$$

El teorema de Cayley-Hamilton establece que reemplazar por en el polinomio característico (interpretando las potencias resultantes como potencias matriciales y el término constante como multiplicado por la matriz identidad) produce la matriz cero. Hablando informalmente, cada matriz satisface su propia ecuación característica. Esta afirmación equivale a decir que el polinomio mínimo de divide al polinomio característico de ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A.}$

Dos matrices similares tienen el mismo polinomio característico. Sin embargo, lo contrario no es cierto en general: dos matrices con el mismo polinomio característico no tienen por qué ser similares.

La matriz y su transpuesta tienen el mismo polinomio característico. es similar a una matriz triangular si y sólo si su polinomio característico se puede factorizar completamente en factores lineales (lo mismo ocurre con el polinomio mínimo en lugar del polinomio característico). En este caso es similar a una matriz en forma normal de Jordan . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A}$

Polinomio característico de un producto de dos matrices.

Si y son dos matrices cuadradas, entonces los polinomios característicos de y coinciden: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle BA}$

$${\displaystyle p_{AB}(t)=p_{BA}(t).\,}$$

Cuando no es singular , este resultado se deriva del hecho de que y son similares : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle BA}$

$${\displaystyle BA=A^{-1}(AB)A.}$$

Para el caso en el que ambos y son singulares, la identidad deseada es una igualdad entre los polinomios y los coeficientes de las matrices. Así, para demostrar esta igualdad, basta demostrar que se verifica en un subconjunto abierto no vacío (para la topología habitual o, más generalmente, para la topología de Zariski ) del espacio de todos los coeficientes. Como las matrices no singulares forman un subconjunto tan abierto del espacio de todas las matrices, esto demuestra el resultado. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle t}$

De manera más general, si es una matriz de orden y es una matriz de orden, entonces es y es una matriz, y se tiene ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle n\times m,}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle m\times m}$ ${\displaystyle BA}$ ${\displaystyle n\times n}$

$${\displaystyle p_{BA}(t)=t^{n-m}p_{AB}(t).\,}$$

Para probar esto, se puede suponer que intercambiando, si es necesario, y Luego, bordeando en la parte inferior por filas de ceros, y en la derecha, por columnas de ceros, se obtienen dos matrices tales que y es igual a bordeada por filas y columnas de ceros. El resultado se desprende del caso de matrices cuadradas, comparando los polinomios característicos de y ${\displaystyle n>m,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n-m}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle n-m}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A^{\prime }}$ ${\displaystyle B^{\prime }}$ ${\displaystyle B^{\prime }A^{\prime }=BA}$ ${\displaystyle A^{\prime }B^{\prime }}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle n-m}$ ${\displaystyle A^{\prime }B^{\prime }}$ ${\displaystyle AB.}$

Polinomio característico de A k

Si es un valor propio de una matriz cuadrada con vector propio entonces es un valor propio de porque ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {v} ,}$ ${\displaystyle \lambda ^{k}}$ ${\displaystyle A^{k}}$

$${\displaystyle A^{k}{\textbf {v}}=A^{k-1}A{\textbf {v}}=\lambda A^{k-1}{\textbf {v}}=\dots =\lambda ^{k}{\textbf {v}}.}$$

Se puede demostrar que las multiplicidades también concuerdan, y esto se generaliza a cualquier polinomio en lugar de : ^[8] ${\displaystyle x^{k}}$

Teorema  :  Sea una matriz cuadrada y sea un polinomio. Si el polinomio característico de tiene una factorización ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle p_{A}(t)=(t-\lambda _{1})(t-\lambda _{2})\cdots (t-\lambda _{n})}$$

entonces el polinomio característico de la matriz viene dado por ${\displaystyle f(A)}$

$${\displaystyle p_{f(A)}(t)=(t-f(\lambda _{1}))(t-f(\lambda _{2}))\cdots (t-f(\lambda _{n})).}$$

Es decir, la multiplicidad algebraica de in es igual a la suma de las multiplicidades algebraicas de in sobre tales que en particular, y aquí un polinomio, por ejemplo, se evalúa en una matriz simplemente como ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle f(A)}$ ${\displaystyle \lambda '}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda '}$ ${\displaystyle f(\lambda ')=\lambda .}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} (f(A))=\textstyle \sum _{i=1}^{n}f(\lambda _{i})}$ ${\displaystyle \operatorname {det} (f(A))=\textstyle \prod _{i=1}^{n}f(\lambda _{i}).}$ ${\displaystyle f(t)=t^{3}+1,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f(A)=A^{3}+I.}$

El teorema se aplica a matrices y polinomios sobre cualquier campo o anillo conmutativo . ^[9] Sin embargo, la suposición de que hay una factorización en factores lineales no siempre es cierta, a menos que la matriz esté sobre un campo algebraicamente cerrado como los números complejos. ${\displaystyle p_{A}(t)}$

Prueba

Esta prueba sólo se aplica a matrices y polinomios sobre números complejos (o cualquier campo algebraicamente cerrado). En ese caso, el polinomio característico de cualquier matriz cuadrada siempre se puede factorizar como

$${\displaystyle p_{A}(t)=\left(t-\lambda _{1}\right)\left(t-\lambda _{2}\right)\cdots \left(t-\lambda _{n}\right)}$$

¿ Dónde están los valores propios de posiblemente repetidos? Además, el teorema de descomposición de Jordan garantiza que cualquier matriz cuadrada se puede descomponer como una matriz invertible y triangular superior en la diagonal (con cada valor propio repetido según su multiplicidad algebraica). (La forma normal de Jordan tiene propiedades más fuertes, pero son suficientes; alternativamente se puede utilizar la descomposición de Schur , que es menos popular pero algo más fácil de probar). ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=S^{-1}US,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$

deja entonces ${\textstyle f(t)=\sum _{i}\alpha _{i}t^{i}.}$

$${\displaystyle f(A)=\textstyle \sum \alpha _{i}(S^{-1}US)^{i}=\textstyle \sum \alpha _{i}S^{-1}USS^{-1}US\cdots S^{-1}US=\textstyle \sum \alpha _{i}S^{-1}U^{i}S=S^{-1}(\textstyle \sum \alpha _{i}U^{i})S=S^{-1}f(U)S.}$$

Para una matriz triangular superior con diagonal, la matriz es triangular superior con diagonal adentro y, por lo tanto , es triangular superior con diagonal . Por lo tanto, los valores propios de son Dado que es similar a tiene los mismos valores propios, con las mismas multiplicidades algebraicas. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n},}$ ${\displaystyle U^{i}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}^{i},\dots ,\lambda _{n}^{i}}$ ${\displaystyle U^{i},}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle f\left(\lambda _{1}\right),\dots ,f\left(\lambda _{n}\right).}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle f(\lambda _{1}),\dots ,f(\lambda _{n}).}$ ${\displaystyle f(A)=S^{-1}f(U)S}$ ${\displaystyle f(U),}$

Función secular y ecuación secular.

función secular

El término función secular se ha utilizado para lo que ahora se llama polinomio característico (en alguna literatura todavía se utiliza el término función secular). El término proviene del hecho de que el polinomio característico se utilizaba para calcular perturbaciones seculares (en una escala de tiempo de un siglo, es decir, lentas en comparación con el movimiento anual) de las órbitas planetarias, según la teoría de las oscilaciones de Lagrange .

ecuación secular

La ecuación secular puede tener varios significados.

• En álgebra lineal , a veces se utiliza en lugar de ecuación característica.
• En astronomía es la expresión algebraica o numérica de la magnitud de las desigualdades en el movimiento de un planeta que permanecen después de que se han tenido en cuenta las desigualdades de un corto período. ^[10]

• En los cálculos de orbitales moleculares relacionados con la energía del electrón y su función de onda también se utiliza en lugar de la ecuación característica.

Para álgebras asociativas generales

La definición anterior del polinomio característico de una matriz con entradas en un campo se generaliza sin ningún cambio en el caso en el que es solo un anillo conmutativo . Garibaldi (2004) define el polinomio característico para elementos de un álgebra arbitraria de dimensión finita ( asociativa , pero no necesariamente conmutativa) sobre un campo y demuestra las propiedades estándar del polinomio característico en esta generalidad. ${\displaystyle A\in M_{n}(F)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$

Ver también

• Ecuación característica (desambiguación)
• Invariantes de tensores
• Matriz complementaria
• Algoritmo de Faddeev-LeVerrier
• Teorema de Cayley-Hamilton
• Algoritmo de Samuelson-Berkowitz

Referencias

1. Guillemin, Ernst (1953). Introducción a la teoría de circuitos. Wiley. págs.366, 541. ISBN 0471330663.
2. Forsythe, George E.; Motzkin, Theodore (enero de 1952). "Una extensión de la transformación de Gauss para mejorar la condición de sistemas de ecuaciones lineales" (PDF) . Matemáticas de la Computación . 6 (37): 18–34. doi : 10.1090/S0025-5718-1952-0048162-0 . Consultado el 3 de octubre de 2020 .
3. Frank, Evelyn (1946). "Sobre los ceros de polinomios con coeficientes complejos". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . 52 (2): 144-157. doi : 10.1090/S0002-9904-1946-08526-2 .
4. "Polinomio característico de un gráfico - Wolfram MathWorld" . Consultado el 26 de agosto de 2011 .
5. Steven romano (1992). Álgebra lineal avanzada (2 ed.). Saltador. pag. 137.ISBN _ 3540978372.
6. Proposición 28 en estas notas de clase ^{[ enlace muerto permanente ]}
7. Teorema 4 en estas notas de clase
8. Cuerno, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Análisis matricial (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge . Págs. 108 y 109, sección 2.4.2. ISBN 978-0-521-54823-6.
9. Lang, Serge (1993). Álgebra. Nueva York: Springer. p.567, Teorema 3.10. ISBN 978-1-4613-0041-0. OCLC  852792828.
10. "ecuación secular" . Consultado el 21 de enero de 2010 .

• TS Blyth y EF Robertson (1998) Álgebra lineal básica , p. 149, Springer ISBN 3-540-76122-5 . 
• John B. Fraleigh y Raymond A. Beauregard (1990) Álgebra lineal, segunda edición, p. 246, Addison-Wesley ISBN 0-201-11949-8 . 
• Garibaldi, Skip (2004), "El polinomio característico y el determinante no son construcciones ad hoc", American Mathematical Monthly , 111 (9): 761–778, arXiv : math/0203276 , doi :10.2307/4145188, JSTOR  4145188, MR  2104048
• Werner Greub (1974) Álgebra lineal, cuarta edición, págs. 120–5, Springer, ISBN 0-387-90110-8 . 
• Paul C. Shields (1980) Álgebra lineal elemental, tercera edición, p. 274, Worth Publishers ISBN 0-87901-121-1 . 
• Gilbert Strang (1988) Álgebra lineal y sus aplicaciones , tercera edición, p. 246, Brooks/Cole ISBN 0-15-551005-3 .