Centro del triangulo

Punto de un triángulo que puede considerarse su centro bajo algún criterio

Cinco centros triangulares importantes.

  Triángulo de referencia △ ABC

  Bisectrices de ángulos y circunferencia inscrita (se intersecan/centran en el incentro I )

  Medianas (se intersecan en el centroide G )

  Bisectrices perpendiculares y circunferencia circunscrita (se intersecan/centran en el circuncentro O )

  Altitudes (se intersecan en el ortocentro H )

  Círculo de nueve puntos (centrado en el centro de nueve puntos N que, junto con H, G, O , se encuentra en la línea de Euler e )

En geometría , el centro de un triángulo es un punto en el plano del triángulo que, en cierto sentido, está en el centro del mismo. Por ejemplo, el baricentro , el circuncentro , el incentro y el ortocentro eran conocidos por los antiguos griegos y se pueden obtener mediante construcciones sencillas .

Cada uno de estos centros clásicos tiene la propiedad de ser invariante (más precisamente, equivariante ) bajo transformaciones de semejanza . En otras palabras, para cualquier triángulo y cualquier transformación de semejanza (como una rotación , una reflexión , una dilatación o una traslación ), el centro del triángulo transformado es el mismo punto que el centro transformado del triángulo original. Esta invariancia es la propiedad definitoria de un centro de triángulo. Descarta otros puntos bien conocidos, como los puntos de Brocard, que no son invariantes bajo la reflexión y, por lo tanto, no pueden calificar como centros de triángulos.

En un triángulo equilátero , todos los centros de los triángulos coinciden en su baricentro. Sin embargo, los centros de los triángulos generalmente ocupan posiciones diferentes entre sí en todos los demás triángulos. Las definiciones y propiedades de miles de centros de triángulos se han recopilado en la Enciclopedia de centros de triángulos .

Historia

Aunque los antiguos griegos descubrieron los centros clásicos de un triángulo, no habían formulado ninguna definición de centro de triángulo. Después de los antiguos griegos, se descubrieron varios puntos especiales asociados con un triángulo como el punto de Fermat , el centro de nueve puntos , el punto de Lemoine , el punto de Gergonne y el punto de Feuerbach .

Durante el resurgimiento del interés por la geometría de triángulos en la década de 1980, se observó que estos puntos especiales comparten algunas propiedades generales que ahora forman la base para una definición formal del centro del triángulo. ^{[1] [2] La} Enciclopedia de centros de triángulos de Clark Kimberling contiene una lista anotada de más de 50 000 centros de triángulos. ^[3] Cada entrada de la Enciclopedia de centros de triángulos se denota por o donde es el índice posicional de la entrada. Por ejemplo, el centroide de un triángulo es la segunda entrada y se denota por o . ${\displaystyle X(n)}$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X(2)}$ ${\displaystyle X_{2}}$

Definición formal

Una función de valor real f de tres variables reales a, b, c puede tener las siguientes propiedades:

• Homogeneidad: para alguna constante n y para todo t > 0 . ${\displaystyle f(ta,tb,tc)=t^{n}f(a,b,c)}$
• Bisimetría en la segunda y tercera variable: ${\displaystyle f(a,b,c)=f(a,c,b).}$

Si una f distinta de cero tiene ambas propiedades, se denomina función de centro de triángulo. Si f es una función de centro de triángulo y a, b, c son las longitudes de los lados de un triángulo de referencia, entonces el punto cuyas coordenadas trilineales son se denomina centro de triángulo. ${\displaystyle f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b)}$

Esta definición garantiza que los centros de triángulos semejantes cumplan con los criterios de invariancia especificados anteriormente. Por convención, solo se cita la primera de las tres coordenadas trilineales de un centro de triángulo, ya que las otras dos se obtienen por permutación cíclica de a, b, c . Este proceso se conoce como ciclicidad . ^{[4] [5]}

Cada función de centro de triángulo corresponde a un único centro de triángulo. Esta correspondencia no es biyectiva . Diferentes funciones pueden definir el mismo centro de triángulo. Por ejemplo, las funciones y ambas corresponden al baricentro. Dos funciones de centro de triángulo definen el mismo centro de triángulo si y solo si su razón es una función simétrica en a, b, c . ${\displaystyle f_{1}(a,b,c)={\tfrac {1}{a}}}$ ${\displaystyle f_{2}(a,b,c)=bc}$

Incluso si una función de centro de triángulo está bien definida en todas partes, no siempre se puede decir lo mismo de su centro de triángulo asociado. Por ejemplo, sea 0 si ⁠ ⁠ y ⁠ ⁠ son racionales y 1 en caso contrario. Entonces, para cualquier triángulo con lados enteros, el centro de triángulo asociado se evalúa como 0:0:0, que no está definido. ${\displaystyle f(a,b,c)}$ ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {a}{c}}}$

Dominio predeterminado

En algunos casos, estas funciones no están definidas en la totalidad de ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$ Por ejemplo, las trilineales de X ₃₆₅ , que es la entrada número 365 en la Enciclopedia de centros de triángulos , son , por lo que a, b, c no pueden ser negativos. Además, para representar los lados de un triángulo, deben satisfacer la desigualdad triangular . Entonces, en la práctica, el dominio de cada función está restringido a la región de ⁠ ⁠ donde Esta región T es el dominio de todos los triángulos y es el dominio predeterminado para todas las funciones basadas en triángulos. ${\displaystyle a^{1/2}:b^{1/2}:c^{1/2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ $${\displaystyle a\leq b+c,\quad b\leq c+a,\quad c\leq a+b.}$$

Otros dominios útiles

Existen varios casos en los que puede ser conveniente restringir el análisis a un dominio más pequeño que T. Por ejemplo:

• Los centros X ₃ , X ₄ , X ₂₂ , X ₂₄ , X ₄₀ hacen referencia específica a triángulos agudos , es decir, a la región de T donde $${\displaystyle a^{2}\leq b^{2}+c^{2},\quad b^{2}\leq c^{2}+a^{2},\quad c^{2}\leq a^{2}+b^{2}.}$$
• Al diferenciar entre el punto de Fermat y X _13, es importante el dominio de los triángulos con un ángulo superior a 2π/3; en otras palabras, triángulos para los cuales se cumple cualquiera de las siguientes condiciones:

$${\displaystyle a^{2}>b^{2}+bc+c^{2};\quad b^{2}>c^{2}+ca+a^{2};\quad c^{2}>a^{2}+ab+b^{2}.}$$

• Un dominio de mucho valor práctico, ya que es denso en T pero excluye todos los triángulos triviales (es decir, puntos) y triángulos degenerados (es decir, líneas), es el conjunto de todos los triángulos escalenos . Se obtiene eliminando los planos b = c , c = a , a = b de T .

Simetría de dominio

No todo subconjunto D ⊆ T es un dominio viable. Para que se cumpla la prueba de bisimetría, D debe ser simétrico respecto de los planos b = c , c = a , a = b . Para que se cumpla la ciclicidad, también debe ser invariante bajo rotaciones de 2π/3 respecto de la línea a = b = c . El dominio más simple de todos es la línea ( t , t , t ) que corresponde al conjunto de todos los triángulos equiláteros .

Ejemplos

Circuncentro

El punto de confluencia de las mediatrices de los lados del triángulo △ ABC es el circuncentro. Las coordenadas trilineales del circuncentro son

$${\displaystyle a(b^{2}+c^{2}-a^{2}):b(c^{2}+a^{2}-b^{2}):c(a^{2}+b^{2}-c^{2}).}$$

Sea Se puede demostrar que f es homogénea: así como bisimétrica: por lo que f es una función de centro triangular. Como el centro triangular correspondiente tiene las mismas trilineales que el circuncentro, se deduce que el circuncentro es un centro triangular. ${\displaystyle f\left(a,b,c\right)=a\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}f(ta,tb,tc)&=ta{\Bigl [}(tb)^{2}+(tc)^{2}-(ta)^{2}{\Bigr ]}\\[2pt]&=t^{3}{\Bigl [}a(b^{2}+c^{2}-a^{2}){\Bigr ]}\\[2pt]&=t^{3}f(a,b,c)\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}f(a,c,b)&=a(c^{2}+b^{2}-a^{2})\\[2pt]&=a(b^{2}+c^{2}-a^{2})\\[2pt]&=f(a,b,c)\end{aligned}}}$$

1er centro isogónico

Sea △ A'BC el triángulo equilátero de base BC y vértice A' en el lado negativo de BC y sean △ AB'C y △ ABC' triángulos equiláteros construidos de manera similar basados ​​en los otros dos lados del triángulo △ ABC . Entonces las líneas AA', BB', CC' son concurrentes y el punto de concurrencia es el primer centro isogonal. Sus coordenadas trilineales son

${\displaystyle \csc \left(A+{\frac {\pi }{3}}\right):\csc \left(B+{\frac {\pi }{3}}\right):\csc \left(C+{\frac {\pi }{3}}\right).}$

Expresando estas coordenadas en términos de a, b, c , se puede verificar que efectivamente satisfacen las propiedades definitorias de las coordenadas del centro de un triángulo. Por lo tanto, el primer centro isogónico es también un centro de un triángulo.

Punto de Fermat

Dejar

$${\displaystyle f(a,b,c)={\begin{cases}1&\quad {\text{if }}a^{2}>b^{2}+bc+c^{2}&\iff {\text{if }}A>2\pi /3\\[8pt]0&\quad \!\!\displaystyle {{{\text{if }}b^{2}>c^{2}+ca+a^{2}} \atop {{\text{ or }}c^{2}>a^{2}+ab+b^{2}}}&\iff \!\!\displaystyle {{{\text{if }}B>2\pi /3} \atop {{\text{ or }}C>2\pi /3}}\\[8pt]\csc(A+{\frac {\pi }{3}})&\quad {\text{otherwise }}&\iff A,B,C>2\pi /3\end{cases}}}$$

Entonces f es bisimétrica y homogénea, por lo que es una función de centro de triángulo. Además, el centro de triángulo correspondiente coincide con el vértice obtuso siempre que cualquier ángulo de vértice supere 2π/3, y con el primer centro isogónico en caso contrario. Por lo tanto, este centro de triángulo no es otro que el punto de Fermat .

No-ejemplos

Puntos de Brocard

Las coordenadas trilineales del primer punto de Brocard son: Estas coordenadas satisfacen las propiedades de homogeneidad y ciclicidad pero no la bisimetría. Por lo tanto, el primer punto de Brocard no es (en general) un centro de triángulo. El segundo punto de Brocard tiene coordenadas trilineales: y se aplican observaciones similares. $${\displaystyle {\frac {c}{b}}\ :\ {\frac {a}{c}}\ :\ {\frac {b}{a}}}$$ $${\displaystyle {\frac {b}{c}}\ :\ {\frac {c}{a}}\ :\ {\frac {a}{b}}}$$

El primer y segundo punto de Brocard son uno de los muchos pares de puntos bicéntricos, ^[6] pares de puntos definidos a partir de un triángulo con la propiedad de que el par (pero no cada punto individual) se conserva bajo semejanzas del triángulo. Varias operaciones binarias, como el punto medio y el producto trilineal, cuando se aplican a los dos puntos de Brocard, así como a otros pares bicéntricos, producen centros de triángulos.

Algunos centros triangulares conocidos

Centros de triángulos clásicos

Centros triangulares recientes

En la siguiente tabla de centros de triángulos más recientes, no se mencionan notaciones específicas para los distintos puntos. Además, para cada centro solo se especifica la primera coordenada trilineal f(a,b,c). Las demás coordenadas se pueden derivar fácilmente utilizando la propiedad de ciclicidad de las coordenadas trilineales.

Clases generales de centros de triángulos

Centro de Kimberling

En honor a Clark Kimberling, quien creó la enciclopedia en línea de más de 32.000 centros de triángulos, los centros de triángulos enumerados en la enciclopedia se denominan colectivamente centros Kimberling . ^[8]

Centro de un triángulo polinomial

Un centro triangular P se denomina centro triangular polinomial si las coordenadas trilineales de P pueden expresarse como polinomios en a, b, c .

Centro de un triángulo regular

Un centro de un triángulo P se denomina punto regular del triángulo si las coordenadas trilineales de P se pueden expresar como polinomios en △, a , b , c , donde △ es el área del triángulo.

Centro del triángulo mayor

Se dice que un centro de un triángulo P es un centro de un triángulo mayor si las coordenadas trilineales de P se pueden expresar en la forma donde ⁠ ⁠ es una función del ángulo X únicamente y no depende de los otros ángulos ni de las longitudes de los lados. ^[9] ${\displaystyle f(A):f(B):f(C)}$ ${\displaystyle f(X)}$

Centro del triángulo trascendental

Un centro triangular P se denomina centro triangular trascendental si P no tiene representación trilineal utilizando únicamente funciones algebraicas de a, b, c .

Misceláneas

Triángulos isósceles y equiláteros

Sea f una función de centro de un triángulo. Si dos lados de un triángulo son iguales (por ejemplo, a = b ), entonces dos componentes del centro del triángulo asociado son siempre iguales. Por lo tanto, todos los centros de un triángulo isósceles deben estar sobre su línea de simetría . En un triángulo equilátero, los tres componentes son iguales, por lo que todos los centros coinciden con el baricentro. Por lo tanto, al igual que un círculo, un triángulo equilátero tiene un único centro. $${\displaystyle {\begin{aligned}f(a,b,c)&=f(b,a,c)&({\text{since }}a=b)\\&=f(b,c,a)&{\text{(by bisymmetry)}}\end{aligned}}}$$

Excéntricos

Dejar $${\displaystyle f(a,b,c)={\begin{cases}-1&\quad {\text{if }}a\geq b{\text{ and }}a\geq c,\\\;\;\;1&\quad {\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

Se ve fácilmente que se trata de una función de centro de triángulo y (siempre que el triángulo sea escaleno) el centro del triángulo correspondiente es el excentro opuesto al ángulo del vértice más grande. Los otros dos excentros se pueden identificar mediante funciones similares. Sin embargo, como se indicó anteriormente, solo uno de los excentros de un triángulo isósceles y ninguno de los excentros de un triángulo equilátero puede ser un centro de triángulo.

Funciones biantisimétricas

Una función f es biantisimétrica si Si dicha función también es distinta de cero y homogénea, se ve fácilmente que la aplicación es una función de centro triangular. El centro triangular correspondiente es Por ello, a veces se considera que la definición de función de centro triangular incluye funciones biantisimétricas homogéneas distintas de cero. $${\displaystyle f(a,b,c)=-f(a,c,b)\quad {\text{for all}}\quad a,b,c.}$$ $${\displaystyle (a,b,c)\to f(a,b,c)^{2}\,f(b,c,a)\,f(c,a,b)}$$ $${\displaystyle f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b).}$$

Nuevos centros a partir de antiguos

Cualquier función de centro de triángulo f se puede normalizar multiplicándola por una función simétrica de a, b, c de modo que n = 0. Una función de centro de triángulo normalizada tiene el mismo centro de triángulo que la original, y también la propiedad más fuerte de que Junto con la función cero, las funciones de centro de triángulo normalizadas forman un álgebra bajo la suma, la resta y la multiplicación. Esto proporciona una manera fácil de crear nuevos centros de triángulos. Sin embargo, distintas funciones de centro de triángulo normalizadas a menudo definirán el mismo centro de triángulo, por ejemplo f y $${\displaystyle f(ta,tb,tc)=f(a,b,c)\quad {\text{for all}}\quad t>0,\ (a,b,c).}$$ ${\displaystyle (abc)^{-1}(a+b+c)^{3}f.}$

Centros sin interés

Supongamos que a, b, c son variables reales y sean α, β, γ tres constantes reales cualesquiera.

$${\displaystyle f(a,b,c)={\begin{cases}\alpha &\quad {\text{if }}a<b{\text{ and }}a<c&(a{\text{ is least}}),\\[2pt]\gamma &\quad {\text{if }}a>b{\text{ and }}a>c&(a{\text{ is greatest}}),\\[2pt]\beta &\quad {\text{otherwise}}&(a{\text{ is in the middle}}).\end{cases}}}$$

Entonces f es una función de centro de triángulo y α  : β  : γ es el centro de triángulo correspondiente siempre que los lados del triángulo de referencia estén etiquetados de modo que a < b < c . Por lo tanto, cada punto es potencialmente un centro de triángulo. Sin embargo, la gran mayoría de los centros de triángulos son de poco interés, al igual que la mayoría de las funciones continuas son de poco interés.

Coordenadas baricéntricas

Si f es una función de centro de triángulo, entonces también lo es af y el centro de triángulo correspondiente es Como estas son precisamente las coordenadas baricéntricas del centro de triángulo correspondiente a f , se deduce que los centros de triángulos podrían haber sido definidos igualmente en términos de baricéntricas en lugar de trilineales. En la práctica, no es difícil cambiar de un sistema de coordenadas a otro. $${\displaystyle a\,f(a,b,c):b\,f(b,c,a):c\,f(c,a,b).}$$

Sistemas binarios

Existen otros pares de centros además del punto de Fermat y el primer centro isogónico. Otro sistema está formado por X ₃ y el incentro del triángulo tangencial. Consideremos la función del centro del triángulo dada por:

$${\displaystyle f(a,b,c)={\begin{cases}\cos A&{\text{if }}\triangle {\text{ is acute}},\\[2pt]\cos A+\sec B\sec C&{\text{if }}\measuredangle A{\text{ is obtuse}},\\[2pt]\cos A-\sec A&{\text{if either}}\measuredangle B{\text{ or }}\measuredangle C{\text{ is obtuse}}.\end{cases}}}$$

Para el centro del triángulo correspondiente hay cuatro posibilidades distintas: Nótese que la primera es también el circuncentro. $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{if reference }}\triangle {\text{ is acute:}}\quad \cos A\ :\,\cos B\ :\,\cos C\\[6pt]&{\begin{array}{rcccc}{\text{if }}\measuredangle A{\text{ is obtuse:}}&\cos A+\sec B\sec C&:&\cos B-\sec B&:&\cos C-\sec C\\[4pt]{\text{if }}\measuredangle B{\text{ is obtuse:}}&\cos A-\sec A&:&\cos B+\sec C\sec A&:&\cos C-\sec C\\[4pt]{\text{if }}\measuredangle C{\text{ is obtuse:}}&\cos A-\sec A&:&\cos B-\sec B&:&\cos C+\sec A\sec B\end{array}}\end{aligned}}}$$

Los cálculos rutinarios muestran que en todos los casos estas trilineales representan el incentro del triángulo tangencial. Por lo tanto, este punto es un centro de triángulo que es un compañero cercano del circuncentro.

Bisimetría e invariancia

La reflexión de un triángulo invierte el orden de sus lados. En la imagen, las coordenadas se refieren al triángulo ( c , b , a ) y (usando "|" como separador) la reflexión de un punto arbitrario es Si f es una función de centro de triángulo, la reflexión de su centro de triángulo es que, por bisimetría, es la misma que Como este es también el centro del triángulo correspondiente a f en relación con el triángulo ( c , b , a ) , la bisimetría asegura que todos los centros de los triángulos sean invariantes bajo reflexión. Dado que las rotaciones y las traslaciones pueden considerarse como reflexiones dobles, también deben preservar los centros de los triángulos. Estas propiedades de invariancia proporcionan justificación para la definición. ${\displaystyle \gamma :\beta :\alpha }$ ${\displaystyle \gamma \ |\ \beta \ |\ \alpha .}$ ${\displaystyle f(c,a,b)\ |\ f(b,c,a)\ |\ f(a,b,c),}$ ${\displaystyle f(c,b,a)\ |\ f(b,a,c)\ |\ f(a,c,b).}$

Terminología alternativa

Otros nombres para la dilatación son escala uniforme , escala isotrópica , homotecia y homotecia .

Geometrías no euclidianas y otras

El estudio de los centros de los triángulos se ocupa tradicionalmente de la geometría euclidiana , pero los centros de los triángulos también se pueden estudiar en geometría no euclidiana . ^[10] Los centros de los triángulos que tienen la misma forma tanto para la geometría euclidiana como para la hiperbólica se pueden expresar utilizando girotrigonometría . ^{[11] [12] [13]} En la geometría no euclidiana, se debe descartar la suposición de que los ángulos interiores del triángulo suman 180 grados.

También se pueden definir centros de tetraedros o símplices de dimensiones superiores , por analogía con triángulos bidimensionales. ^[13]

Algunos centros se pueden extender a polígonos con más de tres lados. El centroide , por ejemplo, se puede encontrar para cualquier polígono. Se han realizado algunas investigaciones sobre los centros de polígonos con más de tres lados. ^{[14] [15]}

Véase también

• Línea central
• Enciclopedia de centros de triángulos
• Triángulo cónico
• Triángulo central
• Geometría triangular moderna
• Línea de Euler

Notas

1. en realidad el primer centro isogónico, pero también el punto de Fermat siempre que A , B , C ≤ 2π/3

1. Kimberling, Clark . "Centros de triángulos" . Consultado el 23 de mayo de 2009. A diferencia de los cuadrados y los círculos, los triángulos tienen muchos centros. Los antiguos griegos encontraron cuatro: incentro, baricentro, circuncentro y ortocentro. Un quinto centro, descubierto mucho más tarde, es el punto de Fermat. A partir de entonces, se añadieron a la literatura los puntos que ahora se denominan centro de nueve puntos, punto simediano, punto de Gergonne y punto de Feuerbach, por nombrar algunos. En la década de 1980, se observó que estos puntos especiales comparten algunas propiedades generales que ahora forman la base de una definición formal del centro de un triángulo.
2. Kimberling, Clark (11 de abril de 2018) [1994]. "Puntos centrales y líneas centrales en el plano de un triángulo". Revista de matemáticas . 67 (3): 163–187. doi :10.2307/2690608. JSTOR  2690608.
3. Kimberling, Clark . «Esta es la PARTE 26: Centros X(50001) – X(52000)». Enciclopedia de centros de triángulos . Consultado el 17 de junio de 2022 .
4. Weisstein, Eric W. "Triangle Center". MathWorld–A Wolfram Web Resource . Consultado el 25 de mayo de 2009 .
5. Weisstein, Eric W. "Función de centro de triángulo". MathWorld–Un recurso web de Wolfram . Consultado el 1 de julio de 2009 .
6. Pares de puntos bicéntricos, Enciclopedia de centros de triángulos, consultado el 2 de mayo de 2012
7. Oakley, Cletus O.; Baker, Justine C. (noviembre de 1978). "El teorema del trisector de Morley". The American Mathematical Monthly . 85 (9): 737–745. doi :10.1080/00029890.1978.11994688. ISSN  0002-9890.
8. Weisstein, Eric W. "Kimberling Center". MathWorld–A Wolfram Web Resource . Consultado el 25 de mayo de 2009 .
9. Weisstein, Eric W. "Major Triangle Center". MathWorld–A Wolfram Web Resource . Consultado el 25 de mayo de 2009 .
10. Russell, Robert A. (18 de abril de 2019). "Centros de triángulos no euclidianos". arXiv : 1608.08190 [math.MG].
11. Ungar, Abraham A. (2009). "Coordenadas baricéntricas hiperbólicas" (PDF) . Revista australiana de análisis matemático y aplicaciones . 6 (1): 1–35., artículo #18
12. Ungar, Abraham A. (2010). Centros de triángulos hiperbólicos: el enfoque relativista especial. Dordrecht: Springer. ISBN 978-90-481-8637-2.OCLC 663096629  .
13. Ungar, Abraham Albert (agosto de 2010). Cálculo baricéntrico en geometría euclidiana e hiperbólica. WORLD SCIENTIFIC. doi :10.1142/7740. ISBN 978-981-4304-93-1.
14. Al-Sharif, Abdullah; Hajja, Mowaffaq; Krasopoulos, Panagiotis T. (noviembre de 2009). "Coincidencias de centros de cuadriláteros planos". Resultados en Matemáticas . 55 (3–4): 231–247. doi :10.1007/s00025-009-0417-6. ISSN  1422-6383. S2CID  122725235.
15. Prieto-Martínez, Luis Felipe; Sánchez-Cauce, Raquel (2021-04-02). "Generalización del concepto de centro de triángulos de Kimberling para otros polígonos". Resultados en Matemáticas . 76 (2): 81. arXiv : 2004.01677 . doi :10.1007/s00025-021-01388-4. ISSN  1420-9012. S2CID  214795185.

Enlaces externos

• Manfred Evers, Sobre centros y líneas centrales de triángulos en el plano elíptico
• Manfred Evers, Sobre la geometría de un triángulo en el plano elíptico y en el plano hiperbólico extendido
• Clark Kimberling , Centros Triangle de la Universidad de Evansville
• Ed Pegg, Centros triangulares en 2D, 3D, esférico e hiperbólico de Wolfram Research .
• Paul Yiu, Un recorrido por la geometría triangular de la Florida Atlantic University .