El cent es una unidad de medida logarítmica que se utiliza para los intervalos musicales . El temperamento igual de doce tonos divide la octava en 12 semitonos de 100 cents cada uno. Normalmente, los cents se utilizan para expresar intervalos pequeños, para comprobar la entonación o para comparar los tamaños de intervalos comparables en diferentes sistemas de afinación . Para los humanos, un solo cent es demasiado pequeño para ser percibido entre notas sucesivas.
Los centésimas, como los describió Alexander John Ellis , siguen una tradición de medir intervalos mediante logaritmos que comenzó con Juan Caramuel y Lobkowitz en el siglo XVII. [a] Ellis eligió basar sus medidas en la centésima parte de un semitono, 1200 √ 2 , por sugerencia de Robert Holford Macdowell Bosanquet . Al realizar mediciones exhaustivas de instrumentos musicales de todo el mundo, Ellis utilizó centésimas para informar y comparar las escalas empleadas, [1] y describió y utilizó el sistema en su edición de 1875 de Sobre las sensaciones del tono de Hermann von Helmholtz . Se ha convertido en el método estándar para representar y comparar tonos e intervalos musicales. [2] [3]
El artículo de Alexander John Ellis , On the Musical Scales of Various Nations [1] , publicado por el Journal of the Society of Arts en 1885, introdujo oficialmente el sistema de centésimas para su uso en la exploración, mediante la comparación y el contraste, de las escalas musicales de varias naciones. El sistema de centésimas ya había sido definido en su History of Musical Pitch [Historia del tono musical ], donde Ellis escribe: "Si supusiéramos que, entre cada par de notas adyacentes, formando un semitono igual [...], se interpusieran otras 99 notas, formando intervalos exactamente iguales entre sí, dividiríamos la octava en 1200 centésimas iguales [ sic ] de un semitono igual, o centésimas como se las puede llamar brevemente". [4]
Ellis definió el tono de una nota musical en su obra de 1880 History of Musical Pitch [5] como "el número de vibraciones dobles o completas, hacia atrás y hacia adelante, realizadas en cada segundo por una partícula de aire mientras se escucha la nota". [6] Más tarde definió el tono musical como "el tono, o V [por "vibraciones dobles"] de cualquier nota musical nombrada que determina el tono de todas las demás notas en un sistema particular de afinaciones". [7] Señala que estas notas, cuando suenan en sucesión, forman la escala del instrumento, y un intervalo entre dos notas cualesquiera se mide por "la relación entre el número de tono más pequeño y el más grande, o por la fracción formada al dividir el más grande por el más pequeño". [8] Los tonos absolutos y relativos también se definieron en función de estas relaciones. [8]
Ellis señaló que "el objetivo del afinador es hacer que el intervalo [...] entre dos notas cualesquiera que respondan a dos teclas de dedos adyacentes en todo el instrumento sea exactamente el mismo. El resultado se llama temperamento o afinación igual, y es el sistema que se utiliza actualmente en toda Europa". [9] Además, ofrece cálculos para aproximar la medida de una proporción en centavos, y agrega que "por regla general, no es necesario ir más allá del número entero de centavos más cercano". [10]
Ellis presenta en este artículo aplicaciones del sistema de centésimas en escalas musicales de varias naciones, que incluyen: (I. Escalas heptatónicas) Grecia antigua y Europa moderna, [11] Persia, Arabia, Siria y Tierras Altas de Escocia, [12] India, [13] Singapur, [14] Birmania [15] y Siam, [16] (II. Escalas pentatónicas) Pacífico Sur, [17] África occidental, [18] Java, [19] China [20] y Japón. [21] Y llega a la conclusión de que "la escala musical no es una, no es 'natural', ni siquiera se basa necesariamente en las leyes de la constitución del sonido musical, tan bellamente elaboradas por Helmholtz, sino que es muy diversa, muy artificial y muy caprichosa". [22]
Un cent es una unidad de medida para la relación entre dos frecuencias. Un semitono igualmente temperado (el intervalo entre dos teclas de piano adyacentes) abarca 100 centésimas por definición. Una octava —dos notas que tienen una relación de frecuencia de 2:1— abarca doce semitonos y, por lo tanto, 1200 centésimas. La relación de frecuencias con una diferencia de un centésimo es exactamente igual a 2 1 ⁄ 1200 = 1200 √ 2 , la raíz 1200 de 2, que es aproximadamente1.000 577 7895 . Por lo tanto, aumentar una frecuencia en un centésimo corresponde a multiplicar la frecuencia original por este valor constante. Aumentar una frecuencia en 1200 centésimos duplica la frecuencia, lo que da como resultado su octava.
Si se conocen las frecuencias y de dos notas, el número de cents que mide el intervalo de a es:
De la misma manera, si se conoce y el número de centavos en el intervalo de a , entonces es igual a:
La tercera mayor en entonación justa tiene una relación de frecuencia de 5:4 o ~386 centésimas, pero en temperamento igual es de 400 centésimas. Esta diferencia de 14 centésimas es aproximadamente una séptima parte de un semitono y es lo suficientemente grande como para ser audible.
A medida que x aumenta de 0 a 1 ⁄ 12 , la función 2 x aumenta casi linealmente de1.000 00 a1.059 46 , lo que permite una aproximación lineal por partes . Por lo tanto, aunque los centavos representan una escala logarítmica, los intervalos pequeños (menos de 100 centavos) se pueden aproximar vagamente con la relación lineal 1 + 0,000 5946 en lugar de la verdadera relación exponencial 2 c ⁄ 1200 . El error redondeado es cero cuando es 0 o 100, y solo es aproximadamente 0,72 centavos más alto en = 50 (cuyo valor correcto de 2 1 ⁄ 24 ≅ 1.029 30 se aproxima por 1 + 0,000 5946 × 50 ≅ 1,02973). Este error está muy por debajo de cualquier valor audible para el ser humano, lo que hace que esta aproximación lineal por partes sea adecuada para la mayoría de los propósitos prácticos.
Es difícil establecer cuántos centésimas son perceptibles para los humanos; esta precisión varía mucho de persona a persona. Un autor afirmó que los humanos pueden distinguir una diferencia de tono de aproximadamente 5 a 6 centésimas. [23] El umbral de lo que es perceptible, técnicamente conocido como la diferencia apenas perceptible (JND), también varía en función de la frecuencia, la amplitud y el timbre . En un estudio, los cambios en la calidad del tono redujeron la capacidad de los músicos estudiantes para reconocer, como desafinados, los tonos que se desviaron de sus valores apropiados en ±12 centésimas. [24] También se ha establecido que un mayor contexto tonal permite a los oyentes juzgar el tono con mayor precisión. [25] "Mientras que los intervalos de menos de unos pocos centésimas son imperceptibles para el oído humano en un contexto melódico, en la armonía cambios muy pequeños pueden causar grandes cambios en los pulsos y la aspereza de los acordes". [26]
Al escuchar tonos con vibrato , hay evidencia de que los humanos perciben la frecuencia media como el centro del tono. [27] Un estudio de interpretaciones modernas del Ave María de Schubert encontró que el lapso de vibrato generalmente oscilaba entre ±34 centavos y ±123 centavos con una media de ±71 centavos y notó una mayor variación en las arias de ópera de Verdi . [28]
Los adultos normales pueden reconocer diferencias de tono de tan solo 25 centésimas con mucha fiabilidad. Sin embargo, los adultos con amusia tienen problemas para reconocer diferencias de menos de 100 centésimas y, a veces, tienen problemas con estos intervalos o con intervalos mayores. [29]
La representación de intervalos musicales mediante logaritmos es casi tan antigua como los propios logaritmos. Los logaritmos habían sido inventados por Lord Napier en 1614. [30] Ya en 1647, Juan Caramuel y Lobkowitz (1606-1682) en una carta a Athanasius Kircher describió el uso de logaritmos de base 2 en música. [31] En esta base, la octava se representa por 1, el semitono por 1/12, etc.
En sus Principios de acústica y música de 1701, Joseph Sauveur propuso el uso de logaritmos de base 10, probablemente porque había tablas disponibles. Sauveur utilizó logaritmos calculados con tres decimales. El logaritmo de base 10 de 2 es igual a aproximadamente 0,301, que Sauveur multiplica por 1000 para obtener 301 unidades en la octava. Para trabajar con unidades más manejables, sugiere tomar 7/301 para obtener unidades de 1/43 de octava. [b] La octava, por lo tanto, se divide en 43 partes, llamadas "mérides", divididas a su vez en 7 partes, las "heptamerides". Sauveur también imaginó la posibilidad de dividir aún más cada heptameride en 10, pero en realidad no hace uso de unidades tan microscópicas. [32]
Félix Savart (1791-1841) retomó el sistema de Sauveur, sin limitar el número de decimales del logaritmo de 2, de modo que el valor de su unidad varía según las fuentes. Con cinco decimales, el logaritmo de base 10 de 2 es 0,30103, lo que da 301,03 savarts en la octava. [33] Este valor se redondea a menudo a 1/301 o a 1/300 de octava. [34] [35]
A principios del siglo XIX, Gaspard de Prony propuso una unidad logarítmica de base , donde la unidad corresponde a un semitono en temperamento igual. [36] Alexander John Ellis en 1880 describe una gran cantidad de estándares de tono que anotó o calculó, indicando en pronys con dos decimales, es decir, con una precisión de 1/100 de un semitono, [37] el intervalo que los separaba de un tono teórico de 370 Hz, tomado como punto de referencia. [38]
Un centítono (también Iring ) es un intervalo musical (2 1 ⁄ 600 , ) igual a dos centavos (2 2 ⁄ 1200 ) [39] [40] propuesto como unidad de medida ( ) por Widogast Iring en Die reine Stimmung in der Musik (1898) como 600 pasos por octava y más tarde por Joseph Yasser en A Theory of Evolving Tonality (1932) como 100 pasos por tono entero temperado igual .
Iring se dio cuenta de que el Grad/Werckmeister (1,96 cents, 12 por coma pitagórica ) y el schisma (1,95 cents) son casi iguales (≈ 614 pasos por octava) y ambos pueden aproximarse en 600 pasos por octava (2 cents). [41] Yasser promovió el decitono , el centítono y el militono (10, 100 y 1000 pasos por tono entero = 60, 600 y 6000 pasos por octava = 20, 2 y 0,2 cents). [42] [43]
Por ejemplo: Quinta perfecta temperada igual = 700 cents = 175,6 savarts = 583,3 milioctavas = 350 centitones. [44]
Los siguientes archivos de audio reproducen varios intervalos. En cada caso, la primera nota que se reproduce es el do central. La siguiente nota es más aguda que el do por el valor asignado en centésimas. Finalmente, las dos notas se reproducen simultáneamente.
Tenga en cuenta que la diferencia de tono entre notas es de 5 y 6 centésimas. Si se tocan por separado, es posible que las notas no muestren una diferencia audible, pero si se tocan juntas, es posible que se escuchen los golpes (por ejemplo, si se toca un do central y una nota 10 centésimas más alta). En cualquier instante particular, las dos formas de onda se refuerzan o cancelan más o menos entre sí, dependiendo de su relación de fase instantánea . Un afinador de piano puede verificar la precisión de la afinación cronometrando los golpes cuando suenan dos cuerdas a la vez.
, frecuencia de pulso = 0,16Hz
, frecuencia de pulso = 1,53 Hz
, frecuencia de pulso = 3,81 Hz
![{\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc835f27425fb3140e1f75a5faa35b1e8b9efc35)
![{\displaystyle {\sqrt[{600}]{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea43c0bc8f62081f2f0b830dd7da893a9d97a9a9)
{{cite book}}: Mantenimiento de CS1: falta la ubicación del editor ( enlace )Las proporciones de intervalo se pueden convertir a valores en centavos que se usan comúnmente hoy en día.
{{citation}}: Mantenimiento de CS1: falta la ubicación del editor ( enlace )