12 temperamento igual ( 12-ET ) [a] es el sistema musical que divide la octava en 12 partes, todas ellas igualmente templadas (igualmente espaciadas) en una escala logarítmica , con una proporción igual a la raíz duodécima de 2 ( 12 √ 2 ≈ 1,05946). El intervalo más pequeño resultante, 1 ⁄ 12 del ancho de una octava, se llama semitono o medio paso.
El temperamento igual de doce tonos es el sistema más extendido en la música actual. Ha sido el sistema de afinación predominante de la música occidental, comenzando con la música clásica , desde el siglo XVIII, y Europa utilizó casi exclusivamente aproximaciones del mismo durante milenios antes. [ cita necesaria ] También se ha utilizado en otras culturas.
En los tiempos modernos, el 12-ET generalmente se afina en relación con un tono estándar de 440 Hz, llamado A440 , lo que significa que una nota, A , se afina a 440 hercios y todas las demás notas se definen como algún múltiplo de semitonos aparte de ella, ya sea más alto. o menor en frecuencia . El tono estándar no siempre ha sido 440 Hz. Ha variado y en general ha aumentado en los últimos cientos de años. [1]
Las dos figuras a las que con frecuencia se atribuye el logro del cálculo exacto del temperamento igual dodecafónico son Zhu Zaiyu (también romanizado como Chu-Tsaiyu. Chino:朱載堉) en 1584 y Simon Stevin en 1585. Según Fritz A. Kuttner, un crítico de la teoría, [2] se sabe que "Chu-Tsaiyu presentó un método altamente preciso, simple e ingenioso para el cálculo aritmético de monocordes de temperamento igual en 1584" y que "Simon Stevin ofreció una definición matemática de temperamento igual más un cálculo algo menos preciso de los valores numéricos correspondientes en 1585 o después." Los acontecimientos se produjeron de forma independiente. [3]
Kenneth Robinson atribuye la invención del temperamento igual a Zhu Zaiyu [4] y proporciona citas textuales como prueba. [5] Se cita a Zhu Zaiyu diciendo, en un texto que data de 1584, "He fundado un nuevo sistema. Establezco un pie como el número del que se deben extraer los demás, y utilizando proporciones los extraigo. En total hay que encontrar las cifras exactas de los flautistas en doce operaciones." [5] Kuttner no está de acuerdo y comenta que su afirmación "no puede considerarse correcta sin mayores reservas". [2] Kuttner propone que ni Zhu Zaiyu ni Simon Stevin alcanzaron el mismo temperamento y que ninguno de los dos debería ser tratado como inventor. [3]
Un juego completo de campanas de bronce, entre muchos instrumentos musicales encontrados en la tumba del marqués Yi de Zeng (principios de los Estados Combatientes, c. siglo V a. C. en la Edad del Bronce china), cubre cinco octavas completas de 7 notas en clave de Do mayor, que incluye semitonos de 12 notas en el medio del rango. [6]
, un matemático de las dinastías del Sur y del Norte que vivió entre 370 y 447, describió una aproximación para el temperamento igual . [7] Presentó la secuencia numérica aproximada más antigua registrada en relación con el temperamento igual en la historia: 900 849 802 758 715 677 638 601 570 536 509,5 479 450. [8]
Zhu Zaiyu (朱載堉), un príncipe de la corte Ming , dedicó treinta años a investigar basándose en la idea de temperamento igual originalmente postulada por su padre. Describió su nueva teoría del tono en su Fusion of Music and Calendar 律暦融通, publicado en 1580. A esto le siguió la publicación de una descripción detallada de la nueva teoría del temperamento igual con una especificación numérica precisa para el 12-ET en su 5.000 Trabajo de -página Compendio completo de música y tono ( Yuelü quan shu 樂律全書) en 1584. [9] Joseph Needham también ofrece un relato ampliado. [5] Zhu obtuvo su resultado matemáticamente dividiendo la longitud de la cuerda y la tubería sucesivamente por 12 √ 2 ≈ 1.059463, y para la longitud de la tubería por 24 √ 2 , [10] de modo que después de doce divisiones (una octava) la longitud se dividió por un factor de 2:
De manera similar, después de 84 divisiones (7 octavas), la longitud se dividió por un factor de 128:
A Zhu Zaiyu se le atribuye el mérito de ser la primera persona en resolver matemáticamente el problema del temperamento igual. [11] Al menos un investigador ha propuesto que Matteo Ricci , un jesuita en China, registró este trabajo en su diario personal [11] [12] y pudo haber transmitido el trabajo a Europa. (Los recursos estándar sobre el tema no mencionan dicha transferencia. [13] ) En 1620, un matemático europeo hizo referencia al trabajo de Zhu. [ ¿OMS? ] [12] Murray Barbour dijo: "La primera aparición impresa conocida de las cifras correctas para el temperamento igual fue en China, donde la brillante solución del Príncipe Tsaiyü sigue siendo un enigma". [14] El físico alemán del siglo XIX Hermann von Helmholtz escribió en Sobre las sensaciones del tono que un príncipe chino (ver más abajo) introdujo una escala de siete notas y que la división de la octava en doce semitonos fue descubierta en China. [15]
Zhu Zaiyu ilustró su teoría del temperamento igual mediante la construcción de un conjunto de 36 tubos de afinación de bambú de 3 octavas, con instrucciones sobre el tipo de bambú, el color de la pintura y especificaciones detalladas sobre su longitud y diámetros interior y exterior. También construyó un instrumento de afinación de 12 cuerdas, con un conjunto de tubos de afinación ocultos dentro de su cavidad inferior. En 1890, Victor-Charles Mahillon , conservador del museo del Conservatorio de Bruselas, duplicó un juego de flautas según las especificaciones de Zhu Zaiyu. Dijo que la teoría tonal china sabía más sobre la longitud de los tubos de afinación que su contraparte occidental, y que el conjunto de tubos duplicados según los datos de Zaiyu demostraba la exactitud de esta teoría.
Una de las primeras discusiones sobre el temperamento igualitario ocurre en los escritos de Aristoxenus en el siglo IV a.C. [dieciséis]
Vincenzo Galilei (padre de Galileo Galilei ) fue uno de los primeros defensores prácticos del temperamento igual dodecafónico. Compuso un conjunto de suites de danza en cada una de las 12 notas de la escala cromática en todas las "tonales de transposición", y publicó también, en su " Fronimo " de 1584, 24 + 1 ricercars . [17] Usó la proporción 18:17 para trastear el laúd (aunque fue necesario algún ajuste para las octavas puras). [18]
El compatriota de Galilei y compañero laudista Giacomo Gorzanis había escrito música basada en el temperamento igual en 1567. [19] Gorzanis no fue el único laudista que exploró todos los modos o tonalidades: Francesco Spinacino escribió un "Recercare de tutti li Toni" ( Ricercar en todos los tonos ) ya en 1507. [20] En el siglo XVII, el laudista y compositor John Wilson escribió un conjunto de 30 preludios, incluidos 24 en todas las tonalidades mayores y menores. [21] [22] Henricus Grammateus hizo una aproximación cercana al temperamento igual en 1518. Las primeras reglas de afinación en temperamento igual fueron dadas por Giovani Maria Lanfranco en su "Scintille de musica". [23] Zarlino, en su polémica con Galilei, inicialmente se opuso al temperamento igual, pero finalmente lo admitió en relación con el laúd en sus Sopplimenti musicali en 1588.
La primera mención del temperamento igual relacionado con la duodécima raíz de dos en Occidente apareció en el manuscrito de Simon Stevin Van De Spiegheling der singconst (c. 1605), publicado póstumamente casi tres siglos después, en 1884. [24] Sin embargo, debido a Debido a la insuficiente precisión de su cálculo, muchos de los números de longitud de cuerda que obtuvo estaban desviados en una o dos unidades de los valores correctos. [13] Como resultado, las proporciones de frecuencia de los acordes de Simon Stevin no tienen una proporción unificada, sino una proporción por tono, lo que Gene Cho afirma que es incorrecto. [25]
Las siguientes fueron las longitudes de acordes de Simon Stevin de Van de Spiegheling der singconst : [26]
Una generación más tarde, el matemático francés Marin Mersenne presentó varias longitudes de cuerdas templadas iguales obtenidas por Jean Beaugrand, Ismael Bouillaud y Jean Galle. [27]
En 1630, Johann Faulhaber publicó una tabla monocorde de 100 céntimos, que contenía varios errores debido al uso de tablas logarítmicas. No explicó cómo obtuvo sus resultados. [28]
Desde 1450 hasta aproximadamente 1800, los intérpretes de instrumentos pulsados (lutenistas y guitarristas) generalmente favorecían el temperamento igual, [29] y el manuscrito del laúd de Brossard compilado en el último cuarto del siglo XVII contiene una serie de 18 preludios atribuidos a Bocquet escritos en todas las tonalidades. incluido el último preludio, titulado Prélude sur tous les tons , que modula enarmónicamente a través de todas las tonalidades. [30] [ se necesita aclaración ] Angelo Michele Bartolotti publicó una serie de pasacalles en todas las tonalidades, con pasajes conectados y modulados enarmónicamente. Entre los compositores para teclados del siglo XVII, Girolamo Frescobaldi defendió el temperamento igualitario. Algunos teóricos, como Giuseppe Tartini , se oponían a la adopción del temperamento igualitario; sentían que degradar la pureza de cada acorde degradaba el atractivo estético de la música, aunque Andreas Werckmeister defendió enfáticamente la igualdad de temperamento en su tratado de 1707 publicado póstumamente. [31]
El temperamento igual dodecafónico se impuso por diversas razones. Se adaptaba cómodamente al diseño de teclado existente y permitía una libertad armónica total con la carga de una impureza moderada en cada intervalo, especialmente en consonancias imperfectas. Esto permitió una mayor expresión a través de la modulación enarmónica , que se volvió extremadamente importante en el siglo XVIII en la música de compositores como Francesco Geminiani , Wilhelm Friedemann Bach , Carl Philipp Emmanuel Bach y Johann Gottfried Müthel . [ cita necesaria ] El temperamento igual de doce tonos tenía algunas desventajas, como terceras imperfectas, pero cuando Europa pasó al temperamento igual, cambió la música que escribía para adaptarse al sistema y minimizar la disonancia. [b]
El progreso del temperamento igual desde mediados del siglo XVIII en adelante se describe con detalle en bastantes publicaciones académicas modernas: Ya era el temperamento elegido durante la era clásica (segunda mitad del siglo XVIII), [ cita necesaria ] y se convirtió en estándar durante la era romántica temprana (primera década del siglo XIX), [ cita necesaria ] a excepción de los órganos que cambiaron a él de manera más gradual, completándose solo en la segunda década del siglo XIX. (En Inglaterra, algunos organistas y directores de coro de la catedral se opusieron incluso después de esa fecha; Samuel Sebastian Wesley , por ejemplo, se opuso todo el tiempo. Murió en 1876.) [ cita necesaria ]
Es posible lograr un temperamento igual preciso utilizando el método Sabbatini del siglo XVII de dividir la primera octava en tres tercios mayores templados. [32] Esto también fue propuesto por varios escritores durante la época clásica. La afinación sin ritmos pero empleando varias comprobaciones, logrando una precisión prácticamente moderna, ya se hacía en las primeras décadas del siglo XIX. [33] El uso de velocidades de pulsación, propuesto por primera vez en 1749, se volvió común después de su difusión por Helmholtz y Ellis en la segunda mitad del siglo XIX. [34] La máxima precisión estaba disponible con tablas de 2 decimales publicadas por White en 1917. [35]
Es en el ambiente de temperamento igual donde se desarrollaron y florecieron los nuevos estilos de tonalidad simétrica y politonalidad , la música atonal como la escrita con la técnica de los doce tonos o el serialismo , y el jazz (al menos su componente pianístico).
En el temperamento igual dodecafónico, que divide la octava en 12 partes iguales, la anchura de un semitono , es decir, la relación de frecuencias del intervalo entre dos notas adyacentes, es la duodécima raíz de dos :
Este intervalo se divide en 100 céntimos .
Para encontrar la frecuencia, P n , de una nota en 12-ET, se puede utilizar la siguiente definición:
En esta fórmula, P n se refiere al tono o frecuencia (generalmente en hercios ) que está tratando de encontrar. Pa se refiere a la frecuencia de un tono de referencia. n y a se refieren a números asignados al tono deseado y al tono de referencia, respectivamente. Estos dos números provienen de una lista de números enteros consecutivos asignados a semitonos consecutivos. Por ejemplo, La 4 (el tono de referencia) es la tecla 49 desde el extremo izquierdo de un piano (afinada a 440 Hz ), y C 4 ( Do central ) y F# 4 son las teclas 40 y 46 respectivamente. Estos números se pueden usar para encontrar la frecuencia de C 4 y F# 4 :
Los intervalos del 12-ET se aproximan mucho a algunos intervalos en entonación justa . [37]
12 ET es muy preciso en el límite de 3, pero a medida que uno aumenta los límites de los primos a 11, empeora gradualmente en aproximadamente un sexto de semitono cada vez. Sus armónicos undécimo y decimotercero son extremadamente inexactos. 12 Los armónicos decimoséptimo y decimonoveno de ET son casi tan precisos como su tercer armónico, pero a estas alturas, el límite primario ha llegado demasiado alto para sonar consonante para la mayoría de las personas. [ cita necesaria ]
12 ET tiene una muy buena aproximación de la quinta justa ( 3 /2) y su inversión , el cuarto perfecto ( 4 /3), especialmente para la división de la octava en un número relativamente pequeño de tonos. Específicamente, una quinta justa perfecta es solo un quincuagésimo primero de semitono más aguda que la aproximación con el mismo temperamento. Porque el tono mayor ( 9 /8) es simplemente dos quintas perfectas menos una octava, y su inversión, la séptima menor pitagórica ( dieciséis /9), son simplemente dos cuartas perfectas combinadas, en su mayor parte conservan la precisión de sus predecesores; el error se duplica, pero sigue siendo pequeño; tan pequeño, de hecho, que los humanos no pueden percibirlo. Se pueden seguir usando fracciones con potencias superiores a tres, siendo las dos siguientes 27 /dieciséisy 32 /27, pero a medida que los términos de las fracciones crecen, se vuelven menos agradables al oído. [ cita necesaria ]
12 Aproximación ET del quinto armónico ( 5 /4) tiene aproximadamente un séptimo de semitono de diferencia. Debido a que los intervalos que están a menos de un cuarto de escala aún suenan afinados, otros intervalos de cinco límites en 12 ET, como 5 /3y 8 /5, tienen errores de tamaño similar. La tríada mayor , por tanto, suena afinada ya que su relación de frecuencias es aproximadamente 4:5:6, además, fusionada con su primera inversión, y dos tónicas de sub-octava, es 1:2:3:4:5:6, los seis armónicos naturales más bajos del tono de bajo. [ cita necesaria ]
12 Aproximación de ET al séptimo armónico ( 7 /4) tiene aproximadamente un tercio de semitono de diferencia. Debido a que el error es mayor que un cuarto de semitono, los intervalos de siete límites en 12 ET tienden a sonar desafinados. En las fracciones tritonales 7 /5y 10 /7, los errores de los armónicos quinto y séptimo se cancelan parcialmente entre sí, de modo que las fracciones justas están a un cuarto de semitono de sus equivalentes igualmente templados. [ cita necesaria ]
El undécimo armónico ( 11 /8), a 551,32 centavos, cae casi exactamente a la mitad entre los dos intervalos de igual temperamento más cercanos en 12 ET y, por lo tanto, no se aproxima a ninguno de los dos. De hecho, 11 /8está casi lo más lejos posible de cualquier aproximación igualmente moderada en 12 ET. El decimotercer armónico ( 13 /8), dos quintos de semitono más agudo que una sexta menor, es casi igual de inexacto. Aunque esto significa que la fracción 13 /11y también su inversión ( 22 /13) se aproximan con precisión (específicamente, en tres semitonos), dado que los errores de los armónicos undécimo y decimotercero en su mayoría se cancelan, la mayoría de las personas que no están familiarizadas con los cuartos de tono o la microtonalidad no estarán familiarizadas con los armónicos undécimo y decimotercero. De manera similar, si bien el error del undécimo o decimotercer armónico podría cancelarse en su mayor parte con el error del séptimo armónico, la mayoría de los músicos occidentales no encontrarían consonantes las fracciones resultantes, ya que 12 ET no las aproxima con precisión. [ cita necesaria ]
El decimoséptimo armónico ( 17 /dieciséis) es sólo unas 5 centésimas más aguda que un semitono en 12 ET. Se puede combinar con la aproximación del tercer armónico de 12 ET para producir 17 /12, que es, como la siguiente aproximación de Pell después 7 /5, a sólo tres centavos del tritono igualmente temperado (la raíz cuadrada de dos), y 17 /9, que está a sólo un centavo del séptimo mayor de 12 ET. El armónico decimonoveno es sólo aproximadamente 2,5 centésimas más bemol que tres de los 12 semitonos de ET, por lo que también se puede combinar con el tercer armónico para producir 19 /12, que es aproximadamente 4,5 centavos más plano que una sexta menor con el mismo temperamento, y 19 /18, que es aproximadamente 6,5 centavos más plano que un semitono. Sin embargo, debido a que 17 y 19 son bastante grandes para proporciones de consonánticas y la mayoría de las personas no están familiarizadas con 17 límite y 19 intervalos límite, 17 límite y 19 intervalos límite no son útiles para la mayoría de los propósitos, por lo que probablemente no se pueda considerar que desempeñen un papel en cualquier consonancia de 12 ET. [ cita necesaria ]
En la siguiente tabla, los tamaños de varios intervalos justos se comparan con sus contrapartes de temperamento igual, expresados como una proporción y en centavos . La mayoría de las personas no pueden notar las diferencias de menos de seis centavos y los intervalos de más de un cuarto de paso; que en este caso son 25 céntimos, fuera de tono. [ cita necesaria ]
12-ET atenúa varias comas , lo que significa que hay varias fracciones cercanas a 1 /1que son tratados como 1 /1por el 12-ET debido a su mapeo de diferentes fracciones al mismo intervalo igualmente templado. Por ejemplo,729/512( 3 6 /2 9) y 1024 /729( 2 10 /3 6) están asignados al tritono, por lo que se tratan como nominalmente el mismo intervalo; por lo tanto, su cociente,531441/ 524288 ( 3 12 /2 19) se asigna/trata al unísono. Esta es la coma pitagórica , y es la única coma de 3 límites del 12-ET. Sin embargo, a medida que aumenta el límite primo e incluye más intervalos, aumenta el número de comas. La coma de cinco límites más importante del 12-ET es81/ 80 (3 4/ 2 4 × 5 1 ), que se conoce como coma sintónica y es el factor entre las terceras y sextas pitagóricas y sus contrapartes justas. Las otras comas de 5 límites de 12-ET incluyen:
Una de las comas de límite 7 que el 12-ET atenúa es el kleisma septimal , que es igual a225/ 224 , o 3 2 ×5 2 /2 5 ×7 1. Las otras comas de 7 límites de 12-ET incluyen:
Históricamente, se han utilizado múltiples sistemas de afinación que pueden verse como ligeras variaciones del 12-TEDO, con doce notas por octava pero con cierta variación entre los tamaños de los intervalos, de modo que las notas no están espaciadas del todo por igual. Un ejemplo de esto es una escala de tres límites en la que las quintas justas de temperamento igual de 700 centavos se reemplazan por quintas perfectas justamente entonadas de 701,955 centavos. Debido a que los dos intervalos difieren en menos de 2 centésimas, o 1 ⁄ 600 de octava, las dos escalas son muy similares. De hecho, los chinos desarrollaron la entonación justa de 3 límites al menos un siglo antes de que He Chengtian creara la secuencia de 12-TEDO. [38] Asimismo, la afinación pitagórica, que fue desarrollada por los antiguos griegos, fue el sistema predominante en Europa hasta el Renacimiento, cuando los europeos se dieron cuenta de que los intervalos disonantes como 81 ⁄ 64 [39] podían volverse más consonantes al templarlos a intervalos más simples. proporciones como 5 ⁄ 4 , lo que resultó en que Europa desarrollara una serie de temperamentos de significado que modificaron ligeramente los tamaños de los intervalos pero que aún podrían verse como un aproximado de 12-TEDO. Debido a la tendencia de los temperamentos de medios tonos a concentrar el error en una quinta perfecta enarmónica, volviéndola muy disonante , los teóricos de la música europeos, como Andreas Werckmeister, Johann Philipp Kirnberger, Francesco Antonio Vallotti y Thomas Young, crearon varios temperamentos de pozo con el objetivo de dividir suba las comas para reducir la disonancia de los intervalos más afectados. Werckmeister y Kirnberger no estaban satisfechos con su primer temperamento y, por lo tanto, crearon múltiples temperamentos, siendo los últimos temperamentos más aproximados al temperamento igual que los temperamentos anteriores. Del mismo modo, Europa en su conjunto pasó gradualmente de los temperamentos medios y buenos al 12-TEDO, el sistema que todavía utiliza en la actualidad.
Mientras que algunos tipos de música, como el serialismo , utilizan las doce notas de 12-TEDO, la mayoría de la música sólo utiliza notas de un subconjunto particular de 12-TEDO conocido como escala. Existen muchos tipos diferentes de escalas.
El tipo de escala más popular en 12-TEDO es la media. Meantone se refiere a cualquier escala donde todas sus notas son consecutivas en el círculo de quintas. Existen escalas de medios tonos de diferentes tamaños, y algunas escalas de medios tonos utilizadas incluyen medios tonos de cinco notas , medios tonos de siete notas y medios tonos de nueve notas . Meantone está presente en el diseño de instrumentos occidentales. Por ejemplo, las teclas de un piano y sus predecesores están estructuradas de modo que las teclas blancas forman una escala de siete notas y las teclas negras forman una escala de cinco notas. Otro ejemplo es que las guitarras y otros instrumentos de cuerda con al menos cinco cuerdas suelen estar afinados de modo que sus cuerdas al aire formen una escala de cinco notas.
Otras escalas utilizadas en 12-TEDO incluyen la escala menor melódica ascendente , la escala armónica menor , la escala armónica mayor , la escala disminuida y la escala interior .
![{\displaystyle \left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{12}=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f0e94dc870dfc2af0eb35a7b362eb3776054719)
![{\displaystyle \left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{84}=2^{7}=128}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efc85da07cabc4f33cc3fc965e9ef6e74361e7c7)
![{\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}=2^{\frac {1}{12}}\aproximadamente 1,059463}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/232c2beab28b1c46c328080d982595d9ef196e08)
![{\displaystyle P_{n}=P_{a}\left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{(na)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3381e111c79f7e16a073bbe05c6cabeaba2ff79a)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}P_{40}&=440\left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{(40-49)}&&\aproximadamente 261,626\ \mathrm {Hz} \\P_{46}&=440\left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{(46-49)}&&\aproximadamente 369,994\ \mathrm {Hz} \end{alineado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b2cc77efb874655e7633d236cfd2c9f7e5b8229)