La raíz duodécima de dos o (o equivalentemente ) es un número irracional algebraico , aproximadamente igual a 1,0594631. Es más importante en la teoría musical occidental , donde representa la relación de frecuencias ( intervalo musical ) de un semitono ( ) en temperamento igual de doce tonos . Este número fue propuesto por primera vez en relación con la afinación musical en los siglos XVI y XVII. Permite la medición y comparación de diferentes intervalos (relaciones de frecuencia) como compuestos por diferentes números de un solo intervalo, el semitono de temperamento igual (por ejemplo, una tercera menor son 3 semitonos, una tercera mayor son 4 semitonos y una quinta perfecta son 7 semitonos). [a] Un semitono en sí mismo se divide en 100 cents (1 cent = ).
La raíz duodécima de dos a 20 cifras significativas es1.059 463 094 359 295 2646 . [2] Las aproximaciones de fracciones en orden creciente de precisión incluyen 18/17 , 89/84 , 196/185 , 1657/1564 , y 18904/17843 .
Un intervalo musical es una relación de frecuencias y la escala cromática temperada divide la octava (que tiene una relación de 2:1) en doce partes iguales. Cada nota tiene una frecuencia que es 2 1 ⁄ 12 veces la de la nota inferior. [3]
Aplicando este valor sucesivamente a los tonos de una escala cromática, empezando desde La por encima del Do central (conocido como La 4 ) con una frecuencia de 440 Hz, se produce la siguiente secuencia de tonos :
La frecuencia A final (A 5 : 880 Hz) es exactamente el doble de la frecuencia A inferior (A 4 : 440 Hz), es decir, una octava más alta.
Otras escalas de afinación utilizan relaciones de intervalo ligeramente diferentes:
Dado que la relación de frecuencia de un semitono es cercana al 106% ( ), aumentar o disminuir la velocidad de reproducción de una grabación en un 6% cambiará el tono hacia arriba o hacia abajo en aproximadamente un semitono, o "medio paso". Las grabadoras de cinta magnética de carrete a carrete de alta gama suelen tener ajustes de tono de hasta ±6%, generalmente utilizados para hacer coincidir el tono de reproducción o grabación con otras fuentes de música que tienen afinaciones ligeramente diferentes (o posiblemente grabadas en equipos que no funcionaban a la velocidad correcta). Los estudios de grabación modernos utilizan el cambio de tono digital para lograr resultados similares, que van desde centésimas hasta varios medios pasos. Los ajustes de carrete a carrete también afectan el tempo del sonido grabado, mientras que el cambio digital no.
Históricamente, este número fue propuesto por primera vez en relación con la afinación musical en 1580 (borrador, reescrito en 1610) por Simon Stevin . [4] En 1581, el músico italiano Vincenzo Galilei puede ser el primer europeo en sugerir el temperamento igual de doce tonos. [1] La raíz duodécima de dos fue calculada por primera vez en 1584 por el matemático y músico chino Zhu Zaiyu usando un ábaco para alcanzar veinticuatro decimales con precisión, [1] calculada alrededor de 1605 por el matemático flamenco Simon Stevin , [1] en 1636 por el matemático francés Marin Mersenne y en 1691 por el músico alemán Andreas Werckmeister . [5]
![{\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc835f27425fb3140e1f75a5faa35b1e8b9efc35)
![{\displaystyle {\sqrt[{1200}]{2}}=2^{1/1200}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/221eb1075aacd8a300f1fd9576d825dbcc49b96e)
![{\displaystyle r={\sqrt[{n}]{p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b55fb394d767c50fb569ca27fd636072c72fbd7c)