De cadena

Curva formada por una cadena colgante.

Una cadena que cuelga de puntas forma una catenaria.

Las líneas eléctricas aéreas que cuelgan libremente también forman una catenaria (más visible en las líneas de alto voltaje y con alguna imperfección cerca de los aisladores ).

La seda sobre una tela de araña formando múltiples catenarias elásticas .

En física y geometría , una catenaria ( EE.UU .: / ˈ k æ t ən ɛr i / KAT -ən-err-ee , Reino Unido : / k ə ˈ t iː n ər i / kə- TEE -nər-ee ) es la curva que una cadena o cable colgante idealizado asume bajo su propio peso cuando se apoya sólo en sus extremos en un campo gravitacional uniforme.

La curva catenaria tiene forma de U, superficialmente similar en apariencia a una parábola , lo cual no lo es.

La curva aparece en el diseño de ciertos tipos de arcos y como una sección transversal de la catenoide , la forma que asume una película de jabón delimitada por dos anillos circulares paralelos.

La catenaria también se llama alisoide , cadena , ^[1] o, particularmente en las ciencias de los materiales, un ejemplo de funicular . ^[2] La estática de cuerdas describe catenarias en un problema clásico de estática que involucra una cuerda colgante. ^[3]

Matemáticamente, la curva catenaria es la gráfica de la función coseno hiperbólica . La superficie de revolución de la curva catenaria, la catenoide , es una superficie mínima , concretamente una superficie mínima de revolución . Una cadena colgante asumirá la forma de menor energía potencial, que es una catenaria. ^[4] Galileo Galilei en 1638 discutió la catenaria en el libro Dos Nuevas Ciencias reconociendo que era diferente de una parábola . Las propiedades matemáticas de la curva catenaria fueron estudiadas por Robert Hooke en la década de 1670, y su ecuación fue derivada por Leibniz , Huygens y Johann Bernoulli en 1691.

Las catenarias y las curvas relacionadas se utilizan en arquitectura e ingeniería (p. ej., en el diseño de puentes y arcos para que las fuerzas no produzcan momentos de flexión). En la industria del petróleo y el gas costa afuera, "catenaria" se refiere a un tubo ascendente de catenaria de acero , un oleoducto suspendido entre una plataforma de producción y el fondo marino que adopta una forma de catenaria aproximada. En la industria ferroviaria se refiere al cableado aéreo que transfiere energía a los trenes. (Esto a menudo soporta un cable de contacto, en cuyo caso no sigue una verdadera curva catenaria).

En óptica y electromagnética, las funciones hiperbólicas coseno y seno son soluciones básicas de las ecuaciones de Maxwell. ^[5] Los modos simétricos que constan de dos ondas evanescentes formarían una forma de catenaria. ^{[6] [7] [8]}

Historia

Maqueta de catenaria de Antoni Gaudí en la Casa Milà

La palabra "catenaria" se deriva del vocablo latino catēna , que significa " cadena ". La palabra inglesa "catenaria" suele atribuirse a Thomas Jefferson , ^{[9] [10]} quien escribió en una carta a Thomas Paine sobre la construcción de un arco para un puente:

Hace poco recibí de Italia un tratado sobre el equilibrio de los arcos, del abate Mascheroni. Parece ser un trabajo muy científico. Todavía no he tenido tiempo de dedicarme a ello; pero encuentro que las conclusiones de sus demostraciones son que cada parte de la catenaria está en perfecto equilibrio. ^[11]

Se suele decir ^[12] que Galileo pensaba que la curva de una cadena colgante era parabólica. Sin embargo, en sus Dos nuevas ciencias (1638), Galileo escribió que una cuerda colgante es sólo una parábola aproximada, observando correctamente que esta aproximación mejora en precisión a medida que la curvatura se hace más pequeña y es casi exacta cuando la elevación es inferior a 45°. ^[13] El hecho de que la curva seguida por una cadena no es una parábola fue demostrado por Joachim Jungius (1587-1657); este resultado fue publicado póstumamente en 1669. ^[12]

La aplicación de la catenaria a la construcción de arcos se atribuye a Robert Hooke , cuya "verdadera forma matemática y mecánica" en el contexto de la reconstrucción de la catedral de San Pablo aludía a una catenaria. ^[14] Algunos arcos mucho más antiguos se aproximan a las catenarias, un ejemplo de lo cual es el Arco de Taq-i Kisra en Ctesifonte . ^[15]

Analogía entre un arco y una cadena colgante y comparación con la cúpula de la Basílica de San Pedro en Roma ( Giovanni Poleni , 1748)

En 1671, Hooke anunció a la Royal Society que había resuelto el problema de la forma óptima de un arco, y en 1675 publicó una solución cifrada como anagrama latino ^[16] en un apéndice de su Descripción de helioscopios, ^[17] donde escribió que había encontrado "una verdadera forma matemática y mecánica de todo tipo de arcos para la construcción". No publicó la solución a este anagrama ^[18] durante su vida, pero en 1705 su albacea la proporcionó como ut pendet continuum flexile, sic stabit contiguum rigidum inversum , que significa "Como cuelga un cable flexible, así, invertidas, se mantienen las piezas en contacto". de un arco."

En 1691, Gottfried Leibniz , Christiaan Huygens y Johann Bernoulli derivaron la ecuación en respuesta a un desafío de Jakob Bernoulli ; ^[12] sus soluciones se publicaron en el Acta Eruditorum de junio de 1691. ^{[19] [20]} David Gregory escribió un tratado sobre la catenaria en 1697 ^{[12] [21]} en el que proporcionó una derivación incorrecta de la ecuación diferencial correcta. ^[20]

Euler demostró en 1744 que la catenaria es la curva que, cuando se gira alrededor del eje x , da la superficie de área mínima (la catenoides ) para los círculos delimitadores dados. ^[1] Nicolas Fuss dio ecuaciones que describen el equilibrio de una cadena bajo cualquier fuerza en 1796. ^[22]

Arco catenario invertido

Los arcos catenarios se utilizan frecuentemente en la construcción de hornos . Para crear la curva deseada, la forma de una cadena colgante de las dimensiones deseadas se transfiere a una forma que luego se utiliza como guía para la colocación de ladrillos u otro material de construcción. ^{[23] [24]}

A veces se dice que el Arco Gateway en St. Louis, Missouri , Estados Unidos, es una catenaria (invertida), pero esto es incorrecto. ^[25] Está cerca de una curva más general llamada catenaria aplanada, con ecuación y = A  cosh( Bx ) , que es una catenaria si AB = 1 . Si bien una catenaria es la forma ideal para un arco independiente de espesor constante, el Arco Gateway es más estrecho cerca de la parte superior. Según la nominación de Monumento Histórico Nacional de EE. UU. para el arco, se trata más bien de una " catenaria ponderada ". Su forma corresponde a la forma que tendría una cadena lastrada, con eslabones más ligeros en el medio. ^{[26] [27]}

• 
  Arcos de catenaria ^[28] bajo el techo de la Casa Milà de Gaudí , Barcelona , ​​España.
• 
  El jardín de invierno de Sheffield está rodeado por una serie de arcos catenarios . ^[29]
• 
  El Arco Gateway ( St. Louis, Missouri ) es una catenaria aplanada.
• 
  Horno de arco catenario en construcción sobre forma temporal

Puentes catenarios

Los puentes colgantes simples son esencialmente cables engrosados ​​y siguen una curva catenaria.

Los puentes de cinta tensados , como el puente Leonel Viera en Maldonado, Uruguay , también siguen una curva catenaria, con cables incrustados en una plataforma rígida.

En las cadenas que cuelgan libremente, la fuerza ejercida es uniforme con respecto a la longitud de la cadena, por lo que la cadena sigue la curva catenaria. ^[30] Lo mismo ocurre con un puente colgante simple o "puente de catenaria", donde la calzada sigue el cable. ^{[31] [32]}

Un puente de cinta tensada es una estructura más sofisticada con la misma forma de catenaria. ^{[33] [34]}

Sin embargo, en un puente colgante con calzada suspendida, las cadenas o cables soportan el peso del puente y, por lo tanto, no cuelgan libremente. En la mayoría de los casos la calzada es plana, por lo que cuando el peso del cable es despreciable comparado con el peso que se soporta, la fuerza ejercida es uniforme con respecto a la distancia horizontal, y el resultado es una parábola , como se analiza más adelante (aunque el término " "catenaria" todavía se utiliza a menudo, en un sentido informal). Si el cable es pesado entonces la curva resultante está entre una catenaria y una parábola. ^{[35] [36]}

Comparación de un arco catenario (curva punteada negra) y un arco parabólico (curva sólida roja) con la misma luz y flecha. La catenaria representa el perfil de un puente colgante simple, o el cable de un puente colgante de tablero suspendido en el que su tablero y suspensores tienen una masa insignificante en comparación con su cable. La parábola representa el perfil del cable de un puente colgante de tablero suspendido en el que su cable y suspensores tienen una masa insignificante en comparación con su tablero. Entre las dos curvas se encuentra el perfil del cable de un puente colgante real con la misma luz y hundimiento. Las ecuaciones de catenaria y parábola son respectivamente, y ${\displaystyle y={\text{cosh }}x}$ ${\displaystyle y=x^{2}[({\text{cosh }}1)-1]+1}$

Fondeo de objetos marinos

Una cadena de ancla pesada forma una catenaria, con un ángulo bajo de tracción sobre el ancla.

La catenaria producida por la gravedad proporciona una ventaja a las pesadas barras de anclaje. Una cuerda de ancla (o línea de ancla) generalmente consta de una cadena, un cable o ambos. Las barras de anclaje se utilizan en barcos, plataformas petrolíferas, muelles, turbinas eólicas flotantes y otros equipos marinos que deben anclarse al fondo del mar.

Cuando la cuerda está floja, la curva catenaria presenta un ángulo de tracción menor sobre el ancla o dispositivo de amarre que el que tendría si fuera casi recta. Esto mejora el rendimiento del ancla y eleva el nivel de fuerza que resistirá antes de arrastrarla. Para mantener la forma de la catenaria en presencia de viento, se necesita una cadena pesada, de modo que sólo los barcos más grandes que navegan en aguas más profundas pueden confiar en este efecto. Los barcos más pequeños también dependen de la catenaria para mantener la máxima potencia de sujeción. ^[37]

Los transbordadores de cables y los barcos con cadenas presentan un caso especial de vehículos marinos que se desplazan aunque estén amarrados por dos catenarias, cada uno de uno o más cables (cables o cadenas) que pasan a través del vehículo y son movidos por poleas motorizadas. Las catenarias se pueden evaluar gráficamente. ^[38]

Descripción matemática

Ecuación

Catenarias para diferentes valores de a

La ecuación de una catenaria en coordenadas cartesianas tiene la forma ^[35]

$${\displaystyle y=a\cosh \left({\frac {x}{a}}\right)={\frac {a}{2}}\left(e^{\frac {x}{a}}+e^{-{\frac {x}{a}}}\right),}$$

coshfunción coseno hiperbólicaa^[39]similaresaescalamiento uniforme

La ecuación de Whewell para la catenaria es ^[35]

$${\displaystyle \tan \varphi ={\frac {s}{a}},}$$

ángulo tangencialslongitud del arco ${\displaystyle \varphi }$

Diferenciar da

$${\displaystyle {\frac {d\varphi }{ds}}={\frac {\cos ^{2}\varphi }{a}},}$$

ecuación de Cesàro ^[40] ${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle \kappa ={\frac {a}{s^{2}+a^{2}}},}$$

curvatura ${\displaystyle \kappa }$

El radio de curvatura es entonces

$${\displaystyle \rho =a\sec ^{2}\varphi ,}$$

normalx^[41]

Relación con otras curvas

Cuando se hace rodar una parábola a lo largo de una línea recta, la curva de ruleta trazada por su foco es una catenaria. ^[42] La envoltura de la directriz de la parábola también es una catenaria. ^[43] La involuta desde el vértice, es decir la ruleta trazada por un punto que parte del vértice cuando se hace rodar una línea sobre una catenaria, es la tractriz . ^[42]

Otra ruleta, formada al enrollar una línea sobre una catenaria, es otra línea. Esto implica que las ruedas cuadradas pueden rodar perfectamente suavemente en una carretera formada por una serie de baches en forma de catenaria invertida. Las ruedas pueden ser cualquier polígono regular excepto un triángulo, pero la catenaria debe tener parámetros correspondientes a la forma y dimensiones de las ruedas. ^[44]

Propiedades geométricas

En cualquier intervalo horizontal, la relación entre el área bajo la catenaria y su longitud es igual a , independientemente del intervalo seleccionado. La catenaria es la única curva plana además de una línea horizontal con esta propiedad. Además, el centroide geométrico del área bajo un tramo de catenaria es el punto medio del segmento perpendicular que conecta el centroide de la curva misma y el eje x . ^[45]

Ciencia

Una carga en movimiento en un campo eléctrico uniforme viaja a lo largo de una catenaria (que tiende a formar una parábola si la velocidad de la carga es mucho menor que la velocidad de la luz c ). ^[46]

La superficie de revolución con radios fijos en cada extremo que tiene un área de superficie mínima es una catenaria que gira alrededor del eje x . ^[42]

Análisis

Modelo de cadenas y arcos.

En el modelo matemático la cadena (o cuerda, cable, cuerda, etc.) se idealiza suponiendo que es tan delgada que puede considerarse como una curva y que es tan flexible que cualquier fuerza de tensión ejercida por la cadena es paralelo a la cadena. ^[47] El análisis de la curva para un arco óptimo es similar excepto que las fuerzas de tensión se convierten en fuerzas de compresión y todo se invierte. ^[48] ​​Un principio subyacente es que la cadena puede considerarse un cuerpo rígido una vez que ha alcanzado el equilibrio. ^[49] Las ecuaciones que definen la forma de la curva y la tensión de la cadena en cada punto pueden derivarse mediante una inspección cuidadosa de las diversas fuerzas que actúan sobre un segmento utilizando el hecho de que estas fuerzas deben estar en equilibrio si la cadena está en equilibrio. equilibrio estático .

Sea el camino seguido por la cadena dado paramétricamente por r = ( x , y ) = ( x ( s ), y ( s )) donde s representa la longitud del arco y r es el vector de posición . Esta es la parametrización natural y tiene la propiedad de que

$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{ds}}=\mathbf {u} }$$

donde u es un vector unitario tangente .

Diagrama de fuerzas que actúan sobre un segmento de una catenaria de c a r . Las fuerzas son la tensión T ₀ en c , la tensión T en r y el peso de la cadena (0, − λgs ) . Como la cadena está en reposo la suma de estas fuerzas debe ser cero.

Se puede derivar una ecuación diferencial para la curva de la siguiente manera. ^[50] Sea c el punto más bajo de la cadena, llamado vértice de la catenaria. ^[51] La pendientedy/dxde la curva es cero en c ya que es un punto mínimo. Supongamos que r está a la derecha de c ya que el otro caso está implícito en la simetría. Las fuerzas que actúan sobre la sección de la cadena de c a r son la tensión de la cadena en c , la tensión de la cadena en r y el peso de la cadena. La tensión en c es tangente a la curva en c y, por lo tanto, es horizontal sin ningún componente vertical y tira de la sección hacia la izquierda, por lo que puede escribirse (− T ₀ , 0) donde T ₀ es la magnitud de la fuerza. La tensión en r es paralela a la curva en r y tira de la sección hacia la derecha. La tensión en r se puede dividir en dos componentes, por lo que se puede escribir T u = ( T cos φ , T sin φ ) , donde T es la magnitud de la fuerza y ​​φ es el ángulo entre la curva en r y x - eje (ver ángulo tangencial ). Finalmente, el peso de la cadena está representado por (0, − λgs ) donde λ es la masa por unidad de longitud, g es la intensidad del campo gravitacional y s es la longitud del segmento de cadena entre c y r .

La cadena está en equilibrio por lo que la suma de las tres fuerzas es 0 , por lo tanto

$${\displaystyle T\cos \varphi =T_{0}}$$

$${\displaystyle T\sin \varphi =\lambda gs\,,}$$

y dividiendo estos da

$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\tan \varphi ={\frac {\lambda gs}{T_{0}}}\,.}$$

es conveniente escribir

$${\displaystyle a={\frac {T_{0}}{\lambda g}}}$$

que es la longitud de la cadena cuyo peso es igual en magnitud a la tensión en c . ^[52] Entonces

$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {s}{a}}}$$

es una ecuación que define la curva.

La componente horizontal de la tensión, T cos φ = T ₀ es constante y la componente vertical de la tensión, T sen φ = λgs es proporcional a la longitud de la cadena entre r y el vértice. ^[53]

Después de derivar las ecuaciones de la curva (en la siguiente sección) , se puede reemplazar la ecuación para obtener la ecuación simple . ${\textstyle y=a\cosh \left({\frac {x}{a}}\right)}$ ${\displaystyle T=\lambda gs/sin\varphi =\lambda gy}$

Derivación de ecuaciones para la curva.

La ecuación diferencial dada anteriormente se puede resolver para producir ecuaciones para la curva. ^[54]

De

$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {s}{a}}\,,}$$

la fórmula para la longitud del arco da

$${\displaystyle {\frac {ds}{dx}}={\sqrt {1+\left({\dfrac {dy}{dx}}\right)^{2}}}={\frac {\sqrt {a^{2}+s^{2}}}{a}}\,.}$$

Entonces

$${\displaystyle {\frac {dx}{ds}}={\frac {1}{\frac {ds}{dx}}}={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+s^{2}}}}}$$

y

$${\displaystyle {\frac {dy}{ds}}={\frac {\frac {dy}{dx}}{\frac {ds}{dx}}}={\frac {s}{\sqrt {a^{2}+s^{2}}}}\,.}$$

La segunda de estas ecuaciones se puede integrar para dar

$${\displaystyle y={\sqrt {a^{2}+s^{2}}}+\beta }$$

y al cambiar la posición del eje x , se puede tomar que β es 0. Entonces

$${\displaystyle y={\sqrt {a^{2}+s^{2}}}\,,\quad y^{2}=a^{2}+s^{2}\,.}$$

El eje x así elegido se llama directriz de la catenaria.

Se deduce que la magnitud de la tensión en un punto ( x , y ) es T = λgy , que es proporcional a la distancia entre el punto y la directriz. ^[53]

Esta tensión también se puede expresar como T = T ₀ y / a .

La integral de la expresión paradx/dsse puede encontrar utilizando técnicas estándar , dando ^[55]

$${\displaystyle x=a\operatorname {arsinh} \left({\frac {s}{a}}\right)+\alpha \,.}$$

y, nuevamente, cambiando la posición del eje y , se puede tomar que α es 0. Entonces

$${\displaystyle x=a\operatorname {arsinh} \left({\frac {s}{a}}\right)\,,\quad s=a\sinh \left({\frac {x}{a}}\right)\,.}$$

El eje y así elegido pasa por el vértice y se llama eje de la catenaria.

Estos resultados se pueden utilizar para eliminar s dando

$${\displaystyle y=a\cosh \left({\frac {x}{a}}\right)\,.}$$

Derivación alternativa

La ecuación diferencial se puede resolver usando un enfoque diferente. ^[56] De

$${\displaystyle s=a\tan \varphi }$$

resulta que

$${\displaystyle {\frac {dx}{d\varphi }}={\frac {dx}{ds}}{\frac {ds}{d\varphi }}=\cos \varphi \cdot a\sec ^{2}\varphi =a\sec \varphi }$$

$${\displaystyle {\frac {dy}{d\varphi }}={\frac {dy}{ds}}{\frac {ds}{d\varphi }}=\sin \varphi \cdot a\sec ^{2}\varphi =a\tan \varphi \sec \varphi \,.}$$

Integrando da,

$${\displaystyle x=a\ln(\sec \varphi +\tan \varphi )+\alpha }$$

$${\displaystyle y=a\sec \varphi +\beta \,.}$$

Como antes, los ejes x e y se pueden desplazar para que α y β puedan tomarse como 0. Entonces

$${\displaystyle \sec \varphi +\tan \varphi =e^{\frac {x}{a}}\,,}$$

$${\displaystyle \sec \varphi -\tan \varphi =e^{-{\frac {x}{a}}}\,.}$$

Sumar y restar las dos últimas ecuaciones da la solución.

$${\displaystyle y=a\sec \varphi =a\cosh \left({\frac {x}{a}}\right)\,,}$$

$${\displaystyle s=a\tan \varphi =a\sinh \left({\frac {x}{a}}\right)\,.}$$

Determinación de parámetros

Tres catenarias por los mismos dos puntos, dependiendo de la fuerza horizontal T _H .

En general el parámetro a es la posición del eje. La ecuación se puede determinar en este caso de la siguiente manera: ^[57]

Vuelva a etiquetar si es necesario para que P ₁ esté a la izquierda de P ₂ y sea H la distancia horizontal y v la distancia vertical de P ₁ a P ₂ . Traslade los ejes de modo que el vértice de la catenaria se encuentre en el eje y y su altura a se ajuste para que la catenaria satisfaga la ecuación estándar de la curva.

$${\displaystyle y=a\cosh \left({\frac {x}{a}}\right)}$$

y sean las coordenadas de P ₁ y P ₂ ( x ₁ , y ₁ ) y ( x ₂ , y ₂ ) respectivamente. La curva pasa por estos puntos, por lo que la diferencia de altura es

$${\displaystyle v=a\cosh \left({\frac {x_{2}}{a}}\right)-a\cosh \left({\frac {x_{1}}{a}}\right)\,.}$$

y la longitud de la curva de P ₁ a P ₂ es

$${\displaystyle L=a\sinh \left({\frac {x_{2}}{a}}\right)-a\sinh \left({\frac {x_{1}}{a}}\right)\,.}$$

Cuando L ² − v ² se expande usando estas expresiones, el resultado es

$${\displaystyle L^{2}-v^{2}=2a^{2}\left(\cosh \left({\frac {x_{2}-x_{1}}{a}}\right)-1\right)=4a^{2}\sinh ^{2}\left({\frac {H}{2a}}\right)\,,}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{H}}{\sqrt {L^{2}-v^{2}}}={\frac {2a}{H}}\sinh \left({\frac {H}{2a}}\right)\,.}$$

Esta es una ecuación trascendental en a y debe resolverse numéricamente . Como es estrictamente monótono en , ^[58] hay como máximo una solución con a > 0 y por lo tanto hay como máximo una posición de equilibrio. ${\displaystyle \sinh(x)/x}$ ${\displaystyle x>0}$

Sin embargo, si ambos extremos de la curva ( P ₁ y P ₂ ) están al mismo nivel ( y ₁ = y ₂ ), se puede demostrar que ^[59]

$${\displaystyle a={\frac {{\frac {1}{4}}L^{2}-h^{2}}{2h}}\,}$$

P ₁P ₂hP ₁P ₂

También se puede demostrar que

$${\displaystyle L=2a\sinh {\frac {H}{2a}}\,}$$

$${\displaystyle H=2a\operatorname {arcosh} {\frac {h+a}{a}}\,}$$

P ₁P ₂H = x ₂ − x ₁

La fuerza de tracción horizontal en P ₁ y P ₂ es T ₀ = λga , donde λ es la masa por unidad de longitud de la cadena o cable.

Formulación variacional

Considere una cadena de longitud suspendida de dos puntos de igual altura y a distancia . La curva tiene que minimizar su energía potencial. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle D}$

$${\displaystyle U=\int _{0}^{D}g\rho y{\sqrt {1+y'^{2}}}dx}$$

$${\displaystyle \int _{0}^{D}{\sqrt {1+y'^{2}}}dx=L\,.}$$

Por lo tanto, el lagrangiano modificado es

$${\displaystyle {\mathcal {L}}=(g\rho y-\lambda ){\sqrt {1+y'^{2}}}}$$

multiplicador de Lagrangeidentidad de Beltrami ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}-y'{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial y'}}=C}$$

${\displaystyle C}$

$${\displaystyle {\frac {(g\rho y-\lambda )}{\sqrt {1+y'^{2}}}}=-C}$$

Esta es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden que puede resolverse mediante el método de separación de variables . Su solución es el habitual coseno hiperbólico donde los parámetros se obtienen a partir de las restricciones.

Generalizaciones con fuerza vertical.

Cadenas no uniformes

Si la densidad de la cadena es variable, entonces el análisis anterior se puede adaptar para producir ecuaciones para la curva dada la densidad, o dada la curva para encontrar la densidad. ^[60]

Sea w el peso por unidad de longitud de la cadena, entonces el peso de la cadena tiene magnitud

$${\displaystyle \int _{\mathbf {c} }^{\mathbf {r} }w\,ds\,,}$$

donde los límites de integración son c y r . El equilibrio de fuerzas como en la cadena uniforme produce

$${\displaystyle T\cos \varphi =T_{0}}$$

$${\displaystyle T\sin \varphi =\int _{\mathbf {c} }^{\mathbf {r} }w\,ds\,,}$$

$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\tan \varphi ={\frac {1}{T_{0}}}\int _{\mathbf {c} }^{\mathbf {r} }w\,ds\,.}$$

La diferenciación entonces da

$${\displaystyle w=T_{0}{\frac {d}{ds}}{\frac {dy}{dx}}={\frac {T_{0}{\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}}{\sqrt {1+\left({\dfrac {dy}{dx}}\right)^{2}}}}\,.}$$

En términos de φ y el radio de curvatura ρ esto se convierte en

$${\displaystyle w={\frac {T_{0}}{\rho \cos ^{2}\varphi }}\,.}$$

Curva del puente colgante

Puente de puerta de oro . La mayoría de los cables de los puentes colgantes siguen una curva parabólica, no una catenaria, porque la calzada es mucho más pesada que el cable.

Se puede hacer un análisis similar para encontrar la curva que sigue el cable que sostiene un puente colgante con una calzada horizontal. ^[61] Si el peso de la calzada por unidad de longitud es w y el peso del cable y del alambre que sostiene el puente es insignificante en comparación, entonces el peso sobre el cable (ver figura en Catenaria#Modelo de cadenas y arcos) de c a r es wx donde x es la distancia horizontal entre c y r . Procediendo como antes se obtiene la ecuación diferencial.

$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\tan \varphi ={\frac {w}{T_{0}}}x\,.}$$

Esto se resuelve mediante una simple integración para obtener

$${\displaystyle y={\frac {w}{2T_{0}}}x^{2}+\beta }$$

y entonces el cable sigue una parábola. Si el peso del cable y de los alambres de soporte no es despreciable, entonces el análisis es más complejo. ^[62]

Catenaria de igual fuerza

En una catenaria de igual resistencia, el cable se refuerza según la magnitud de la tensión en cada punto, por lo que su resistencia a la rotura es constante a lo largo de su longitud. Suponiendo que la resistencia del cable es proporcional a su densidad por unidad de longitud, el peso, w , por unidad de longitud de la cadena se puede escribirt/C, donde c es constante y se puede aplicar el análisis de cadenas no uniformes. ^[63]

En este caso las ecuaciones para la tensión son

$${\displaystyle {\begin{aligned}T\cos \varphi &=T_{0}\,,\\T\sin \varphi &={\frac {1}{c}}\int T\,ds\,.\end{aligned}}}$$

Combinando da

$${\displaystyle c\tan \varphi =\int \sec \varphi \,ds}$$

y por diferenciación

$${\displaystyle c=\rho \cos \varphi }$$

donde ρ es el radio de curvatura.

La solución a esto es

$${\displaystyle y=c\ln \left(\sec \left({\frac {x}{c}}\right)\right)\,.}$$

En este caso, la curva tiene asíntotas verticales y esto limita el tramo a π c . Otras relaciones son

$${\displaystyle x=c\varphi \,,\quad s=\ln \left(\tan \left({\frac {\pi +2\varphi }{4}}\right)\right)\,.}$$

La curva fue estudiada en 1826 por Davies Gilbert y, aparentemente de forma independiente, por Gaspard-Gustave Coriolis en 1836.

Recientemente, se demostró que este tipo de catenaria podría actuar como un componente básico de la metasuperficie electromagnética y se conocía como "catenaria de gradiente de fase igual". ^[64]

catenaria elástica

En una catenaria elástica , la cadena se reemplaza por un resorte que puede estirarse en respuesta a la tensión. Se supone que el resorte se estira de acuerdo con la ley de Hooke . Específicamente, si p es la longitud natural de una sección de resorte, entonces la longitud del resorte con tensión T aplicada tiene longitud

$${\displaystyle s=\left(1+{\frac {T}{E}}\right)p\,,}$$

donde E es una constante igual a kp , donde k es la rigidez del resorte. ^[65] En la catenaria el valor de T es variable, pero la relación sigue siendo válida a nivel local, por lo que ^[66]

$${\displaystyle {\frac {ds}{dp}}=1+{\frac {T}{E}}\,.}$$

^[67]

Las ecuaciones para la tensión del resorte son

$${\displaystyle T\cos \varphi =T_{0}\,,}$$

$${\displaystyle T\sin \varphi =\lambda _{0}gp\,,}$$

a partir del cual

$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\tan \varphi ={\frac {\lambda _{0}gp}{T_{0}}}\,,\quad T={\sqrt {T_{0}^{2}+\lambda _{0}^{2}g^{2}p^{2}}}\,,}$$

donde p es la longitud natural del segmento de c a r y λ ₀ es la masa por unidad de longitud del resorte sin tensión y g es la intensidad del campo gravitacional. Escribir

$${\displaystyle a={\frac {T_{0}}{\lambda _{0}g}}}$$

entonces

$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\tan \varphi ={\frac {p}{a}}\quad {\text{and}}\quad T={\frac {T_{0}}{a}}{\sqrt {a^{2}+p^{2}}}\,.}$$

Entonces

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{ds}}&=\cos \varphi ={\frac {T_{0}}{T}}\\[6pt]{\frac {dy}{ds}}&=\sin \varphi ={\frac {\lambda _{0}gp}{T}}\,,\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\frac {dx}{dp}}&={\frac {T_{0}}{T}}{\frac {ds}{dp}}&&=T_{0}\left({\frac {1}{T}}+{\frac {1}{E}}\right)&&={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+p^{2}}}}+{\frac {T_{0}}{E}}\\[6pt]{\frac {dy}{dp}}&={\frac {\lambda _{0}gp}{T}}{\frac {ds}{dp}}&&={\frac {T_{0}p}{a}}\left({\frac {1}{T}}+{\frac {1}{E}}\right)&&={\frac {p}{\sqrt {a^{2}+p^{2}}}}+{\frac {T_{0}p}{Ea}}\,.\end{alignedat}}}$$

La integración da las ecuaciones paramétricas.

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\operatorname {arsinh} \left({\frac {p}{a}}\right)+{\frac {T_{0}}{E}}p+\alpha \,,\\[6pt]y&={\sqrt {a^{2}+p^{2}}}+{\frac {T_{0}}{2Ea}}p^{2}+\beta \,.\end{aligned}}}$$

Nuevamente, los ejes x e y se pueden desplazar para que α y β puedan tomarse como 0. Entonces

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\operatorname {arsinh} \left({\frac {p}{a}}\right)+{\frac {T_{0}}{E}}p\,,\\[6pt]y&={\sqrt {a^{2}+p^{2}}}+{\frac {T_{0}}{2Ea}}p^{2}\end{aligned}}}$$

son ecuaciones paramétricas para la curva. En el límite rígido donde E es grande, la forma de la curva se reduce a la de una cadena no elástica.

Otras generalizaciones

Cadena bajo una fuerza general.

Sin hacer suposiciones sobre la fuerza G que actúa sobre la cadena, se puede hacer el siguiente análisis. ^[68]

Primero, sea T = T ( s ) la fuerza de tensión en función de s . La cadena es flexible por lo que sólo puede ejercer una fuerza paralela a sí misma. Dado que la tensión se define como la fuerza que la cadena ejerce sobre sí misma, T debe ser paralela a la cadena. En otras palabras,

$${\displaystyle \mathbf {T} =T\mathbf {u} \,,}$$

donde T es la magnitud de T y u es el vector unitario tangente.

En segundo lugar, sea G = G ( s ) la fuerza externa por unidad de longitud que actúa sobre un pequeño segmento de una cadena en función de s . Las fuerzas que actúan sobre el segmento de la cadena entre s y s + Δ s son la fuerza de tensión T ( s + Δ s ) en un extremo del segmento, la fuerza casi opuesta − T ( s ) en el otro extremo, y la fuerza externa que actúa sobre el segmento es aproximadamente G Δ s . Estas fuerzas deben equilibrarse de manera que

$${\displaystyle \mathbf {T} (s+\Delta s)-\mathbf {T} (s)+\mathbf {G} \Delta s\approx \mathbf {0} \,.}$$

Divida por Δ s y tome el límite como Δ s → 0 para obtener

$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {T} }{ds}}+\mathbf {G} =\mathbf {0} \,.}$$

Estas ecuaciones se pueden utilizar como punto de partida en el análisis de una cadena flexible que actúa bajo cualquier fuerza externa. En el caso de la catenaria estándar, G = (0, − λg ) donde la cadena tiene masa λ por unidad de longitud y g es la intensidad del campo gravitacional.

Ver también

• Arco catenario
• Fuente de cadena o cuentas autosifonantes
• Catenaria aérea : líneas eléctricas suspendidas sobre vehículos ferroviarios o tranvías.
• Ruleta (curva) : una catenaria elíptica/hiperbólica
• Troposkein : la forma de una cuerda hilada
• catenaria ponderada

Notas

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Bibliografía

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Otras lecturas

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• Venturoli, Giuseppe (1822). "Capítulo XXIII: De la catenaria". Elementos de la Teoría de la Mecánica . Trans. Daniel Creswell. J. Nicholson e hijo.

enlaces externos

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Catenaria", Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews
• Catenaria en PlanetMath .
• Calculadora de curva catenaria
• Catenaria en el Centro de Geometría
• "Catenaria" en el Diccionario visual de curvas planas especiales
• La catenaria: cadenas, arcos y películas de jabón.
• Calculadora de error de hundimiento del cable: calcula la desviación de una línea recta de una curva catenaria y proporciona la derivación de la calculadora y las referencias.
• Se derivan ecuaciones de curva cetenaria dinámicas y estáticas: se derivan las ecuaciones que gobiernan la forma (caso estático) y la dinámica (caso dinámico) de un centenario. Solución a las ecuaciones comentadas.
• La línea recta, la catenaria, la braquistócrona, el círculo y el enfoque unificado de Fermat de algunas geodésicas.
• Ira Freeman Boletín "Una forma general de la catenaria del puente colgante" de la AMS