Ecuación de Cesaro

Ecuación en geometría

En geometría , la ecuación de Cesàro de una curva plana es una ecuación que relaciona la curvatura ( κ ) en un punto de la curva con la longitud del arco ( s ) desde el inicio de la curva hasta el punto dado. También se puede dar como una ecuación que relaciona el radio de curvatura ( R ) con la longitud del arco . (Estos son equivalentes porque R = ⁠1/k⁠ .) Dos curvas congruentes tendrán la misma ecuación de Cesàro. Las ecuaciones de Cesàro llevan el nombre de Ernesto Cesàro .

Curvas logarítmicas

La familia de curvas log-estéticas ^[1] está determinada en el caso general ( ) por la siguiente ecuación intrínseca: ${\displaystyle \alpha \neq 0}$

${\displaystyle R(s)^{\alpha }=c_{0}s+c_{1}}$

Esto equivale a la siguiente fórmula explícita para la curvatura:

${\displaystyle \kappa (s)=(c_{0}s+c_{1})^{-1/\alpha }}$

Además, la constante anterior representa una simple reparametrización del parámetro de longitud del arco, mientras que es equivalente a un escalamiento uniforme, por lo que las curvas logarítmicas y estéticas se caracterizan completamente por el parámetro. ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle \alpha }$

En el caso especial de , la curva log-estética se convierte en la espiral de Nielsen , con la siguiente ecuación de Cesàro (donde es un parámetro de escala uniforme): ${\displaystyle \alpha =0}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle \kappa (s)={\frac {e^{\frac {s}{a}}}{a}}}$

Varias curvas bien conocidas son ejemplos de la familia de curvas logarítmicas. Estos incluyen círculo ( ), espiral de Euler ( ), espiral logarítmica ( ) y círculo involuto ( ). ${\displaystyle \alpha =\infty }$ ${\displaystyle \alpha =-1}$ ${\displaystyle \alpha =1}$ ${\displaystyle \alpha =2}$

Ejemplos

Algunas curvas tienen una representación particularmente simple mediante una ecuación de Cesàro. Algunos ejemplos son:

• Línea : . ${\displaystyle \kappa =0}$
• Círculo : , donde α es el radio. ${\displaystyle \kappa ={\frac {1}{\alpha }}}$
• Espiral logarítmica : , donde C es una constante. ${\displaystyle \kappa ={\frac {C}{s}}}$
• Círculo involuto : , donde C es una constante. ${\displaystyle \kappa ={\frac {C}{\sqrt {s}}}}$
• Espiral de Euler : , donde C es una constante. ${\displaystyle \kappa =Cs}$
• Catenaria : . ${\displaystyle \kappa ={\frac {a}{s^{2}+a^{2}}}}$

Parametrizaciones relacionadas

La ecuación de Cesàro de una curva se relaciona con su ecuación de Whewell de la siguiente manera: si la ecuación de Whewell es φ = f  ( s ) entonces la ecuación de Cesàro es κ = f  ′( s ) .

Referencias

1. Miura, KT (2006). "Una ecuación general de las curvas estéticas y su autoafinidad". Diseño y aplicaciones asistidos por ordenador . 3 (1–4): 457–464. doi :10.1080/16864360.2006.10738484.

• El profesor de matemáticas. Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas. 1908. págs.402.
• Eduardo Kasner (1904). Los problemas actuales de la geometría . Congreso de Artes y Ciencias: Exposición Universal, St. Louis. pag. 574.
• J. Dennis Lawrence (1972). Un catálogo de curvas de planos especiales . Publicaciones de Dover. págs. 1 a 5. ISBN 0-486-60288-5.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Ecuación de Cesàro". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Ecuación natural". MundoMatemático .
• Curvas de curvatura en 2dcurves.com.