Evolvente

Curva trazada por una cuerda a medida que se desenrolla de otra curva

Dos involutas (rojas) de una parábola

En matemáticas , una involuta (también conocida como evolvente ) es un tipo particular de curva que depende de otra forma o curva. Una involuta de una curva es el lugar geométrico de un punto en un trozo de cuerda tensa cuando la cuerda se desenrolla de la curva o se enrolla alrededor de ella. ^[1]

La evoluta de una involuta es la curva original.

Se generaliza por la familia de curvas ruleta , es decir, las involutas de una curva son las ruletas de la curva generadas por una línea recta.

Las nociones de involuta y evoluta de una curva fueron introducidas por Christiaan Huygens en su obra titulada Horologium oscillatorium sive de motu pendulorum ad horologia aptato demonstratees geométricae (1673), donde demostró que la involuta de un cicloide sigue siendo un cicloide, proporcionando así un método para construir el péndulo cicloidal , que tiene la propiedad útil de que su período es independiente de la amplitud de oscilación. ^[2]

Involuta de una curva parametrizada

Sea una curva regular en el plano con su curvatura en ningún punto 0 y , entonces la curva con la representación paramétrica ${\displaystyle {\vec {c}}(t),\;t\in [t_{1},t_{2}]}$ ${\displaystyle a\in (t_{1},t_{2})}$

${\displaystyle {\vec {C}}_{a}(t)={\vec {c}}(t)-{\frac {{\vec {c}}'(t)}{|{\vec {c}}'(t)|}}\;\int _{a}^{t}|{\vec {c}}'(w)|\;dw}$

es una involuta de la curva dada.

Si se añade un número arbitrario pero fijo a la integral, se obtiene una involuta que corresponde a una cuerda extendida (como una bola de lana que tiene cierta longitud de hilo colgando antes de desenrollarla). Por lo tanto, la involuta se puede variar mediante una constante y/o añadiendo un número a la integral (véase Involutas de una parábola semicúbica). ${\displaystyle l_{0}}$ ${\displaystyle {\Bigl (}\int _{a}^{t}|{\vec {c}}'(w)|\;dw{\Bigr )}}$ ${\displaystyle l_{0}}$ ${\displaystyle a}$

Si uno consigue ${\displaystyle {\vec {c}}(t)=(x(t),y(t))^{T}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=x(t)-{\frac {x'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}\int _{a}^{t}{\sqrt {x'(w)^{2}+y'(w)^{2}}}\,dw\\Y(t)&=y(t)-{\frac {y'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}\int _{a}^{t}{\sqrt {x'(w)^{2}+y'(w)^{2}}}\,dw\;.\end{aligned}}}$

Propiedades de las involutas

Involuta: propiedades. Los ángulos representados son de 90 grados.

Para derivar propiedades de una curva regular es ventajoso suponer que la longitud del arco es el parámetro de la curva dada, lo que lleva a las siguientes simplificaciones: y , con la curvatura y la normal unitaria. Se obtiene para la involuta: ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \;|{\vec {c}}'(s)|=1\;}$ ${\displaystyle \;{\vec {c}}''(s)=\kappa (s){\vec {n}}(s)\;}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle {\vec {n}}}$

${\displaystyle {\vec {C}}_{a}(s)={\vec {c}}(s)-{\vec {c}}'(s)(s-a)\ }$y

${\displaystyle {\vec {C}}_{a}'(s)=-{\vec {c}}''(s)(s-a)=-\kappa (s){\vec {n}}(s)(s-a)\;}$

y la declaración:

• En este punto la involuta no es regular (porque ), ${\displaystyle {\vec {C}}_{a}(a)}$ ${\displaystyle |{\vec {C}}_{a}'(a)|=0}$

y de lo siguiente: ${\displaystyle \;{\vec {C}}_{a}'(s)\cdot {\vec {c}}'(s)=0\;}$

• La normal de la involuta en el punto es la tangente de la curva dada en el punto . ${\displaystyle {\vec {C}}_{a}(s)}$ ${\displaystyle {\vec {c}}(s)}$
• Las involutas son curvas paralelas , debido a y al hecho de que es la normal unitaria en . ${\displaystyle {\vec {C}}_{a}(s)={\vec {C}}_{0}(s)+a{\vec {c}}'(s)}$ ${\displaystyle {\vec {c}}'(s)}$ ${\displaystyle {\vec {C}}_{0}(s)}$

La familia de involutas y la familia de tangentes a la curva original forman un sistema de coordenadas ortogonal . En consecuencia, se pueden construir involutas gráficamente. Primero, se dibuja la familia de líneas tangentes. Luego, se puede construir una involuta permaneciendo siempre ortogonal a la línea tangente que pasa por el punto.

Cúspides

Esta sección se basa en. ^[3]

Existen, genéricamente, dos tipos de cúspides en las involutas. El primer tipo se encuentra en el punto en el que la involuta toca la curva misma. Se trata de una cúspide de orden 3/2. El segundo tipo se encuentra en el punto en el que la curva tiene un punto de inflexión. Se trata de una cúspide de orden 5/2.

Esto se puede ver visualmente construyendo un mapa definido por donde es la parametrización de la longitud de arco de la curva y es el ángulo de pendiente de la curva en el punto . Esto mapea el plano 2D en una superficie en el espacio 3D. Por ejemplo, esto mapea el círculo en el hiperboloide de una hoja . ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}}$ $${\displaystyle (s,t)\mapsto (x(s)+t\cos(\theta ),y(s)+t\sin(\theta ),t)}$$ ${\displaystyle (x(s),y(s))}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle (x(s),y(s))}$

Mediante este mapa, las involutas se obtienen en un proceso de tres pasos: se asignan a , luego a la superficie en , luego se proyectan hacia abajo a eliminando el eje z: donde es cualquier constante real. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ $${\displaystyle s\mapsto (s,l-s)\mapsto f(s,l-s)\mapsto (f(s,l-s)_{x},f(s,l-s)_{y})}$$ ${\displaystyle l}$

Dado que el mapeo tiene una derivada distinta de cero , las cúspides de la involuta solo pueden ocurrir donde la derivada de es vertical (paralela al eje z), lo que solo puede ocurrir donde la superficie en tiene un plano tangente vertical. ${\displaystyle s\mapsto f(s,l-s)}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle s\mapsto f(s,l-s)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Genéricamente, la superficie tiene planos tangentes verticales sólo en dos casos: donde la superficie toca la curva y donde la curva tiene un punto de inflexión.

cúspide del orden 3/2

Para el primer tipo, se puede empezar por la involuta de un círculo, con ecuación entonces fijada , y expandir para , pequeños , para obtener dando así la curva de orden 3/2 , una parábola semicúbica . $${\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=r(\cos t+(t-a)\sin t)\\Y(t)&=r(\sin t-(t-a)\cos t)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=r+rt^{2}/2+O(t^{4})\\Y(t)&=rt^{3}/3+O(t^{5})\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle Y^{2}-{\frac {8}{9r}}(X-r)^{3}+O(Y^{8/3})=0}$

cúspide del orden 5/2

Tangentes e involutas de la curva cúbica . Las cúspides de orden 3/2 están en la curva cúbica, mientras que las cúspides de orden 5/2 están en el eje x (la línea tangente en el punto de inflexión). ${\displaystyle y=x^{3}}$

Para el segundo tipo, considere la curva . El arco desde a tiene una longitud , y la tangente en tiene un ángulo . Por lo tanto, la involuta que comienza desde a una distancia tiene una fórmula paramétrica. Expandiéndola hasta el orden , obtenemos que es una cúspide de orden 5/2. Explícitamente, se puede resolver para la expansión polinómica satisfecha por : o que muestra claramente la forma de la cúspide. ${\displaystyle y=x^{3}}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=s}$ ${\displaystyle \int _{0}^{s}{\sqrt {1+(3t^{2})^{2}}}dt=s+{\frac {9}{10}}s^{5}-{\frac {9}{8}}s^{9}+O(s^{13})}$ ${\displaystyle x=s}$ ${\displaystyle \theta =\arctan(3s^{2})}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle L}$ $${\displaystyle {\begin{cases}x(s)=s+(L-s-{\frac {9}{10}}s^{5}+\cdots )\cos \theta \\y(s)=s^{3}+(L-s-{\frac {9}{10}}s^{5}+\cdots )\sin \theta \end{cases}}}$$ ${\displaystyle s^{5}}$ $${\displaystyle {\begin{cases}x(s)=L-{\frac {9}{2}}Ls^{4}+({\frac {9}{2}}L-{\frac {9}{10}})s^{5}+O(s^{6})\\y(s)=3Ls^{2}-2s^{3}+O(s^{6})\end{cases}}}$$ ${\displaystyle x,y}$ $${\displaystyle \left(x-L+{\frac {y^{2}}{2L}}\right)^{2}-\left({\frac {9}{2}}L+{\frac {51}{10}}\right)^{2}\left({\frac {y}{3L}}\right)^{5}+O(s^{11})=0}$$ $${\displaystyle x=L-{\frac {y^{2}}{2L}}\pm \left({\frac {9}{2}}L+{\frac {51}{10}}\right)\left({\frac {y}{3L}}\right)^{2.5}+O(y^{2.75}),\quad \quad y\geq 0}$$

Fijando , obtenemos la involuta que pasa por el origen. Es especial porque no contiene cúspide. Por expansión serial, tiene ecuación paramétrica o ${\displaystyle L=0}$ $${\displaystyle {\begin{cases}x(s)={\frac {18}{5}}s^{5}-{\frac {126}{5}}s^{9}+O(s^{13})\\y(s)=-2s^{3}+{\frac {54}{5}}s^{7}-{\frac {318}{5}}s^{11}+O(s^{15})\end{cases}}}$$ ${\displaystyle x=-{\frac {18}{5\cdot 2^{1/3}}}y^{5/3}+O(y^{3})}$

Ejemplos

Involutas de un círculo

Involutas de un círculo

Para un círculo con representación paramétrica , se tiene . Por lo tanto , y la longitud del camino es . ${\displaystyle (r\cos(t),r\sin(t))}$ ${\displaystyle {\vec {c}}'(t)=(-r\sin t,r\cos t)}$ ${\displaystyle |{\vec {c}}'(t)|=r}$ ${\displaystyle r(t-a)}$

Evaluando la ecuación dada anteriormente de la involuta, se obtiene

${\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=r(\cos(t+a)+t\sin(t+a))\\Y(t)&=r(\sin(t+a)-t\cos(t+a))\end{aligned}}}$

para la ecuación paramétrica de la involuta del círculo.

El término es opcional; sirve para establecer la posición inicial de la curva en el círculo. La figura muestra las involutas de (verde), (rojo), (violeta) y (azul claro). Las involutas parecen espirales de Arquímedes , pero en realidad no lo son. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a=-0.5}$ ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle a=0.5}$ ${\displaystyle a=1}$

La longitud del arco para y de la involuta es ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq t_{2}}$

${\displaystyle L={\frac {r}{2}}t_{2}^{2}.}$

Involutas de una parábola semicúbica (azul). Solo la curva roja es una parábola. Observe cómo las involutas y las tangentes forman un sistema de coordenadas ortogonal. Este es un hecho general.

Involutas de una parábola semicúbica

La ecuación paramétrica describe una parábola semicúbica . De uno se obtiene y . Extender la cadena por simplifica considerablemente el cálculo posterior y se obtiene ${\displaystyle {\vec {c}}(t)=({\tfrac {t^{3}}{3}},{\tfrac {t^{2}}{2}})}$ ${\displaystyle {\vec {c}}'(t)=(t^{2},t)}$ ${\displaystyle |{\vec {c}}'(t)|=t{\sqrt {t^{2}+1}}}$ ${\displaystyle \int _{0}^{t}w{\sqrt {w^{2}+1}}\,dw={\frac {1}{3}}{\sqrt {t^{2}+1}}^{3}-{\frac {1}{3}}}$ ${\displaystyle l_{0}={1 \over 3}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=-{\frac {t}{3}}\\Y(t)&={\frac {t^{2}}{6}}-{\frac {1}{3}}.\end{aligned}}}$

Al eliminar t se demuestra que esta involuta es una parábola . ${\displaystyle Y={\frac {3}{2}}X^{2}-{\frac {1}{3}},}$

Las demás involutas son pues curvas paralelas de una parábola, y no son parábolas, ya que son curvas de grado seis (véase Curva paralela § Otros ejemplos ).

La involuta roja de una catenaria (azul) es una tractriz.

Involutas de una catenaria

Para la catenaria , el vector tangente es , y, como su longitud es . Por lo tanto, la longitud del arco desde el punto (0, 1) es ${\displaystyle (t,\cosh t)}$ ${\displaystyle {\vec {c}}'(t)=(1,\sinh t)}$ ${\displaystyle 1+\sinh ^{2}t=\cosh ^{2}t,}$ ${\displaystyle |{\vec {c}}'(t)|=\cosh t}$ ${\displaystyle \textstyle \int _{0}^{t}\cosh w\,dw=\sinh t.}$

Por lo tanto, la involuta que parte de (0, 1) está parametrizada por

${\displaystyle (t-\tanh t,1/\cosh t),}$

y es por tanto una tractriz .

Las demás involutas no son tractoras, ya que son curvas paralelas de una tractriz.

Involutas de una cicloide

Involutas de una cicloide (azul): Sólo la curva roja es otra cicloide

La representación paramétrica describe una cicloide . A partir de , se obtiene (después de haber utilizado algunas fórmulas trigonométricas) ${\displaystyle {\vec {c}}(t)=(t-\sin t,1-\cos t)}$ ${\displaystyle {\vec {c}}'(t)=(1-\cos t,\sin t)}$

${\displaystyle |{\vec {c}}'(t)|=2\sin {\frac {t}{2}},}$

y

${\displaystyle \int _{\pi }^{t}2\sin {\frac {w}{2}}\,dw=-4\cos {\frac {t}{2}}.}$

Por lo tanto, las ecuaciones de la involuta correspondiente son

${\displaystyle X(t)=t+\sin t,}$

${\displaystyle Y(t)=3+\cos t,}$

que describen la cicloide roja desplazada del diagrama. Por lo tanto

• Las involutas del cicloide son curvas paralelas del cicloide. ${\displaystyle (t-\sin t,1-\cos t)}$

${\displaystyle (t+\sin t,3+\cos t).}$

(Las curvas paralelas de una cicloide no son cicloides).

Involuta y evoluta

La evoluta de una curva dada está formada por los centros de curvatura de . Entre involutas y evolutas se cumple la siguiente afirmación: ^{[4] [5]} ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle c_{0}}$

Una curva es la evoluta de cualquiera de sus involutas.

Involuta y evoluta

• 
  Tractrix (roja) como evolvente de una catenaria
• 
  La evoluta de una tractriz es una catenaria

Solicitud

Los perfiles más comunes de los dientes de los engranajes modernos son involutos de un círculo. En un sistema de engranajes involutivos, los dientes de dos engranajes engranados entran en contacto en un único punto instantáneo que sigue una única línea recta de acción. Las fuerzas que ejercen los dientes en contacto entre sí también siguen esta línea y son normales a los dientes. El sistema de engranajes involutivos que mantiene estas condiciones sigue la ley fundamental del engranaje: la relación de velocidades angulares entre los dos engranajes debe permanecer constante en todo momento.

En el caso de dientes de otras formas, las velocidades y fuerzas relativas aumentan y disminuyen a medida que se acoplan los dientes sucesivos, lo que produce vibración, ruido y desgaste excesivo. Por este motivo, casi todos los sistemas de engranajes planos modernos son de tipo evolvente o cicloidal , un sistema relacionado. ^[6]

Mecanismo de un compresor scroll

La evolvente de un círculo también es una forma importante en la compresión de gases , ya que se puede construir un compresor de espiral basándose en esta forma. Los compresores de espiral hacen menos ruido que los compresores convencionales y han demostrado ser bastante eficientes .

El reactor isotópico de alto flujo utiliza elementos combustibles con forma evolvente, ya que estos permiten un canal de ancho constante entre ellos para el refrigerante.

Véase también

• Sobre (matemáticas)
• Evolucionar
• Problema del pastoreo de cabras
• Engranaje evolvente
• Ruleta (curva)
• Compresor de desplazamiento

Referencias

1. Rutter, JW (2000). Geometría de curvas. CRC Press. pp. 204. ISBN 9781584881667.
2. McCleary, John (2013). Geometría desde un punto de vista diferenciable . Cambridge University Press. pp. 89. ISBN. 9780521116077.
3. Arnolʹd, VI (1990). Huygens y Barrow, Newton y Hooke: pioneros en el análisis matemático y la teoría de catástrofes desde los evolucionistas hasta los cuasicristales. Basilea: Birkhaüser Verlag. ISBN 0-8176-2383-3.OCLC 21873606  .
4. K. Burg, H. Haf, F. Wille, A. Meister: Vektoranalysis: Höhere Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler und ... , Springer-Verlag, 2012, ISBN 3834883468 , pág. 30. 
5. R. Courant: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung, 1. Band , Springer-Verlag, 1955, pág. 267.
6. VGA Goss (2013) "Aplicación de la geometría analítica a la forma de los dientes de engranajes", Resonance 18(9): 817 a 31 Springerlink (se requiere suscripción).

Enlaces externos

• Involuta en MathWorld