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Curva paralela

Curvas paralelas de la gráfica de para distancias
Dos definiciones de una curva paralela: 1) envolvente de una familia de círculos congruentes, 2) por una distancia normal fija
Las curvas paralelas de un círculo (rojo) también son círculos.

Un paralelo de una curva es la envolvente de una familia de círculos congruentes centrados en la curva. Generaliza el concepto de líneas paralelas (rectas) . También se puede definir como una curva cuyos puntos están a una distancia normal constante de una curva dada. [1] Estas dos definiciones no son completamente equivalentes, ya que la última supone suavidad , mientras que la primera no. [2]

En el diseño asistido por ordenador, el término preferido para una curva paralela es curva descentrada . [2] [3] [4] (En otros contextos geométricos, el término descentrado también puede referirse a la traslación . [5] ) Las curvas descentradas son importantes, por ejemplo, en el mecanizado controlado numéricamente , donde describen, por ejemplo, la forma del corte realizado por una herramienta de corte redonda de una máquina de dos ejes. La forma del corte está descentrada con respecto a la trayectoria del cortador por una distancia constante en la dirección normal a la trayectoria del cortador en cada punto. [6]

En el área de gráficos de computadora 2D, conocida como gráficos vectoriales , el cálculo (aproximado) de curvas paralelas está involucrado en una de las operaciones de dibujo fundamentales, llamada trazo, que generalmente se aplica a polilíneas o polibéiseres (a su vez llamados trayectorias) en ese campo. [7]

Excepto en el caso de una línea o un círculo , las curvas paralelas tienen una estructura matemática más complicada que la curva progenitora. [1] Por ejemplo, incluso si la curva progenitora es suave , sus desplazamientos pueden no serlo; esta propiedad se ilustra en la figura superior, utilizando una curva sinusoidal como curva progenitora. [2] En general, incluso si una curva es racional , sus desplazamientos pueden no serlo. Por ejemplo, los desplazamientos de una parábola son curvas racionales, pero los desplazamientos de una elipse o de una hipérbola no son racionales, aunque estas curvas progenitoras sí lo sean. [3]

La noción también se generaliza a superficies 3D , donde se denomina superficie desplazada o superficie paralela . [8] Aumentar un volumen sólido mediante una distancia desplazada (constante) a veces se denomina dilatación . [9] La operación opuesta a veces se denomina descascarillado . [8] Las superficies desplazadas son importantes en el mecanizado controlado numéricamente , donde describen la forma del corte realizado por una fresa de punta esférica de una máquina de tres ejes. [10] Otras formas de brocas de corte se pueden modelar matemáticamente mediante superficies desplazadas generales. [11]

Curva paralela de una curva dada paramétricamente

Si se dispone de una representación paramétrica regular de la curva dada, la segunda definición de una curva paralela (véase más arriba) conduce a la siguiente representación paramétrica de la curva paralela con la distancia :

con la unidad normal .

En coordenadas cartesianas:

El parámetro de distancia puede ser negativo. En este caso, se obtiene una curva paralela en el lado opuesto de la curva (ver diagrama de las curvas paralelas de un círculo). Se puede comprobar fácilmente que una curva paralela de una línea es una línea paralela en el sentido común, y la curva paralela de un círculo es un círculo concéntrico.

Propiedades geométricas:[12]

Si la curva dada es polinómica (es decir, y son polinómicas), entonces las curvas paralelas normalmente no son polinómicas. En el área de CAD esto es un inconveniente, porque los sistemas CAD utilizan polinomios o curvas racionales. Para obtener al menos curvas racionales, la raíz cuadrada de la representación de la curva paralela tiene que ser solucionable. Estas curvas se denominan curvas hodógrafas pitagóricas y fueron investigadas por RT Farouki. [14]

Curvas paralelas de una curva implícita

Curvas paralelas de la curva implícita (roja) con ecuación

En general, no es posible la representación analítica de una curva paralela o de una curva implícita . Sólo en los casos simples de líneas y círculos las curvas paralelas se pueden describir fácilmente. Por ejemplo:

Línea → función de distancia: (forma normal de Hesse)
Función círculo → distancia:

En general, suponiendo ciertas condiciones, se puede demostrar la existencia de una función de distancia orientada . En la práctica, hay que tratarla numéricamente. [15] Considerando curvas paralelas, se cumple lo siguiente:

Propiedades de la función distancia:[12][16]

Ejemplo:
El diagrama muestra curvas paralelas de la curva implícita con ecuación Observación: Las curvas no son curvas paralelas, porque no es cierto en el área de interés.

Más ejemplos

Involutas de un círculo

Y: [17]

Curva paralela a una curva con una esquina

Curvas paralelas a una curva con una normal discontinua alrededor de una esquina

Al determinar la trayectoria de corte de una pieza con una esquina aguda para mecanizar , debe definir la curva paralela (desplazada) a una curva dada que tiene una normal discontinua en la esquina. Aunque la curva dada no sea suave en la esquina aguda, su curva paralela puede ser suave con una normal continua, o puede tener cúspides cuando la distancia desde la curva coincide con el radio de curvatura en la esquina aguda.

Ventiladores normales

Como se describió anteriormente, la representación paramétrica de una curva paralela, , a una curva dada, , con distancia es:

con la unidad normal .

En una esquina aguda ( ), la normal a dada por es discontinua, lo que significa que el límite unilateral de la normal desde la izquierda es desigual al límite desde la derecha . Matemáticamente,

.
Abanico normal para definir curvas paralelas alrededor de una esquina aguda

Sin embargo, podemos definir un abanico normal [11] que proporciona un interpolante entre y , y utilizar en lugar de en la esquina aguda:

dónde .

La definición resultante de la curva paralela proporciona el comportamiento deseado:

Algoritmos

En general, la curva paralela de una curva de Bézier no es otra curva de Bézier, un resultado demostrado por Tiller y Hanson en 1984. [18] Por lo tanto, en la práctica, se utilizan técnicas de aproximación. Cualquier nivel deseado de precisión es posible subdividiendo repetidamente la curva, aunque las mejores técnicas requieren menos subdivisiones para alcanzar el mismo nivel de precisión. Una encuesta de 1997 realizada por Elber, Lee y Kim [19] es ampliamente citada, aunque más recientemente se han propuesto mejores técnicas. Una técnica moderna basada en el ajuste de curvas , con referencias y comparaciones con otros algoritmos, así como con el código fuente de JavaScript de código abierto, se publicó en una entrada de blog [20] en septiembre de 2022.

Otro algoritmo eficiente para la compensación es el enfoque de nivel descrito por Kimmel y Bruckstein (1993). [21]

Superficies paralelas (desplazadas)

Superficie desplazada de una forma irregular compleja

Las superficies desplazadas son importantes en el mecanizado controlado numéricamente , donde describen la forma del corte realizado por una fresa de punta esférica de una fresa de tres ejes. [10] Si hay una representación paramétrica regular disponible de la superficie dada, la segunda definición de una curva paralela (ver arriba) se generaliza a la siguiente representación paramétrica de la superficie paralela con la distancia :

con la unidad normal .

El parámetro de distancia también puede ser negativo. En este caso, se obtiene una superficie paralela en el lado opuesto de la superficie (ver diagrama similar sobre las curvas paralelas de un círculo). Se puede comprobar fácilmente: una superficie paralela de un plano es un plano paralelo en el sentido común y la superficie paralela de una esfera es una esfera concéntrica.

Propiedades geométricas:[22]

Las curvaturas principales son los valores propios del operador de forma , las direcciones de curvatura principal son sus vectores propios , la curvatura gaussiana es su determinante y la curvatura media es la mitad de su traza .
Los radios de curvatura principales son los valores propios del inverso del operador de forma , las direcciones de curvatura principales son sus vectores propios , el recíproco de la curvatura gaussiana es su determinante y el radio de curvatura medio es la mitad de su traza .

Nótese la similitud con las propiedades geométricas de las curvas paralelas.

Generalizaciones

El problema se generaliza de manera bastante obvia a dimensiones superiores, por ejemplo, a superficies desplazadas, y de manera ligeramente menos trivial a superficies de tuberías . [23] Nótese que la terminología para las versiones de dimensiones superiores varía incluso más ampliamente que en el caso planar, por ejemplo, otros autores hablan de fibras paralelas, cintas y tubos. [24] Para curvas incrustadas en superficies 3D, el desplazamiento puede tomarse a lo largo de una geodésica . [25]

Otra forma de generalizarlo es (incluso en 2D) considerar una distancia variable, por ejemplo parametrizada por otra curva. [22] Se puede por ejemplo trazar (envolver) con una elipse en lugar de un círculo [22] como es posible por ejemplo en METAFONT . [26]

Una envolvente de elipses que forman dos curvas generales desplazadas por encima y por debajo de una curva dada

Más recientemente, Adobe Illustrator ha añadido una función similar en la versión CS5 , aunque los puntos de control para el ancho variable se especifican visualmente. [27] En contextos donde es importante distinguir entre compensación de distancia constante y variable, a veces se utilizan las siglas CDO y VDO. [9]

Curvas de desplazamiento generales

Supongamos que tiene una representación paramétrica regular de una curva, , y tiene una segunda curva que puede parametrizarse por su normal unitaria, , donde la normal de (esta parametrización por normal existe para curvas cuya curvatura es estrictamente positiva o negativa, y por lo tanto convexa, suave y no recta). La representación paramétrica de la curva de desplazamiento general de desplazamiento por es:

¿Dónde está la unidad normal de ?

Tenga en cuenta que el desplazamiento trival, , le proporciona curvas paralelas (también conocidas como desplazamiento) ordinarias.

Propiedades geométricas:[22]

Superficies descentradas generales

Las superficies descentradas generales describen la forma de los cortes realizados por una variedad de brocas de corte utilizadas por fresas de tres ejes en el mecanizado controlado numéricamente . [11] Suponga que tiene una representación paramétrica regular de una superficie, , y tiene una segunda superficie que puede parametrizarse por su normal unitaria, , donde la normal de (esta parametrización por normal existe para superficies cuya curvatura gaussiana es estrictamente positiva y, por lo tanto, convexa, suave y no plana). La representación paramétrica de la superficie descentrada general de descentrada por es:

¿Dónde está la unidad normal de ?

Tenga en cuenta que el desplazamiento trival, , le proporciona superficies paralelas (también conocidas como desplazadas) ordinarias.

Propiedades geométricas:[22]

Las curvaturas principales son los valores propios del operador de forma , las direcciones de curvatura principal son sus vectores propios , la curvatura gaussiana es su determinante y la curvatura media es la mitad de su traza .
Los radios de curvatura principales son los valores propios del inverso del operador de forma , las direcciones de curvatura principales son sus vectores propios , el recíproco de la curvatura gaussiana es su determinante y el radio de curvatura medio es la mitad de su traza .

Nótese la similitud con las propiedades geométricas de las curvas de desplazamiento generales.

Derivación de propiedades geométricas para desplazamientos generales

Las propiedades geométricas enumeradas anteriormente para curvas y superficies de desplazamiento general se pueden derivar para desplazamientos de dimensión arbitraria. Suponga que tiene una representación paramétrica regular de una superficie n-dimensional, , donde la dimensión de es n-1. Suponga también que tiene una segunda superficie n-dimensional que se puede parametrizar por su normal unitaria, , donde la normal de (esta parametrización por normal existe para superficies cuya curvatura gaussiana es estrictamente positiva y, por lo tanto, convexa, suave y no plana). La representación paramétrica de la superficie de desplazamiento general de desplazamiento por es:

donde es la normal unitaria de . (El desplazamiento trival, , proporciona superficies paralelas ordinarias).

En primer lugar, observe que la normal de la normal de por definición. Ahora, aplicaremos la diferencial con respecto a , lo que nos da sus vectores tangentes que abarcan su plano tangente.

Tenga en cuenta que los vectores tangentes para son la suma de los vectores tangentes para y su desplazamiento , que comparten la misma normal unitaria. Por lo tanto, la superficie de desplazamiento general comparte el mismo plano tangente y normal con y . Esto coincide con la naturaleza de las envolventes.

Ahora consideramos las ecuaciones de Weingarten para el operador de forma , que se puede escribir como . Si es invertible, . Recordemos que las curvaturas principales de una superficie son los valores propios del operador de forma, las direcciones de curvatura principales son sus vectores propios , la curvatura de Gauss es su determinante y la curvatura media es la mitad de su traza . La inversa del operador de forma tiene estos mismos valores para los radios de curvatura.

Sustituyendo en la ecuación la diferencial de , obtenemos:

¿Dónde está el operador de forma para ?

A continuación, utilizamos nuevamente las ecuaciones de Weingarten para reemplazar :

¿Dónde está el operador de forma para ?

Luego, resolvemos y multiplicamos ambos lados por para volver a las ecuaciones de Weingarten , esta vez para :

Por lo tanto, , e invirtiendo ambos lados nos da, .

Véase también

Referencias

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Lectura adicional

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