En matemáticas , la categoría Ab tiene a los grupos abelianos como objetos y a los homomorfismos de grupo como morfismos . Este es el prototipo de una categoría abeliana : [1] de hecho, cada pequeña categoría abeliana puede incluirse en Ab . [2]
El objeto cero de Ab es el grupo trivial {0} que consta únicamente de su elemento neutro .
Los monomorfismos en Ab son los homomorfismos de grupo inyectivo , los epimorfismos son los homomorfismos de grupo sobreyectivo y los isomorfismos son los homomorfismos de grupo biyectivo .
Ab es una subcategoría completa de Grp , la categoría de todos los grupos . La principal diferencia entre Ab y Grp es que la suma de dos homomorfismos f y g entre grupos abelianos es nuevamente un homomorfismo de grupo:
La tercera igualdad requiere que el grupo sea abeliano. Esta adición de morfismo convierte a Ab en una categoría preaditiva , y debido a que la suma directa de un número finito de grupos abelianos produce un biproducto , efectivamente tenemos una categoría aditiva .
En Ab , la noción de kernel en el sentido de la teoría de categorías coincide con kernel en el sentido algebraico , es decir, el kernel categórico del morfismo f : A → B es el subgrupo K de A definido por K = { x ∈ A : f ( x ) = 0}, junto con el homomorfismo de inclusión i : K → A . Lo mismo ocurre con las coquillas ; el cokernel de f es el grupo cociente C = B / f ( A ) junto con la proyección natural p : B → C . (Obsérvese otra diferencia crucial entre Ab y Grp : en Grp puede suceder que f ( A ) no sea un subgrupo normal de B y que, por tanto, no se pueda formar el grupo cociente B / f ( A ).) Con estas descripciones concretas de granos y cocas, es bastante fácil comprobar que Ab es de hecho una categoría abeliana .
El producto en Ab viene dado por el producto de grupos , formado tomando el producto cartesiano de los conjuntos subyacentes y realizando la operación de grupo por componentes. Como Ab tiene núcleos, se puede demostrar que Ab es una categoría completa . El coproducto en Ab viene dado por la suma directa; dado que Ab tiene granos, se deduce que Ab también es cocompleto .
Tenemos un funtor olvidadizo Ab → Set que asigna a cada grupo abeliano el conjunto subyacente , y a cada homomorfismo de grupo la función subyacente . Este funtor es fiel y por tanto Ab es una categoría concreta . El functor olvidadizo tiene un adjunto izquierdo (que asocia a un conjunto dado el grupo abeliano libre con ese conjunto como base) pero no tiene un adjunto derecho.
Tomar límites directos en Ab es un funtor exacto . Dado que el grupo de números enteros Z sirve como generador , la categoría Ab es, por tanto, una categoría de Grothendieck ; de hecho, es el ejemplo prototípico de una categoría de Grothendieck.
Un objeto en Ab es inyectivo si y sólo si es un grupo divisible ; es proyectivo si y sólo si es un grupo abeliano libre . La categoría tiene un generador proyectivo ( Z ) y un cogenerador inyectivo ( Q / Z ).
Dados dos grupos abelianos A y B , su producto tensorial A ⊗ B está definido; es nuevamente un grupo abeliano. Con esta noción de producto, Ab es una categoría monoide simétrica cerrada .
Ab no es un topos ya que, por ejemplo, tiene un objeto cero.