Fundamentos axiomáticos de espacios topológicos.

En el campo matemático de la topología , un espacio topológico suele definirse declarando sus conjuntos abiertos . ^[1] Sin embargo, esto no es necesario, ya que existen muchos fundamentos axiomáticos equivalentes, cada uno de los cuales conduce exactamente al mismo concepto. Por ejemplo, un espacio topológico determina una clase de conjuntos cerrados , de operadores interiores y de cierre, y de convergencia de varios tipos de objetos. En cambio, cada uno de estos puede tomarse como la clase principal de objetos, y todos los demás (incluida la clase de conjuntos abiertos) se determinan directamente desde ese nuevo punto de partida. Por ejemplo, en el conocido libro de texto de Kazimierz Kuratowski sobre topología de conjuntos de puntos , un espacio topológico se define como un conjunto junto con un cierto tipo de "operador de cierre", y todos los demás conceptos se derivan de él. ^[2] Asimismo, los axiomas basados ​​en la vecindad (en el contexto de los espacios de Hausdorff ) pueden remontarse a la definición original de Felix Hausdorff de un espacio topológico en Grundzüge der Mengenlehre . ^{[ cita necesaria ]}

Muchos libros de texto diferentes utilizan muchas interdependencias diferentes de conceptos para desarrollar una topología de conjuntos de puntos. El resultado es siempre la misma colección de objetos: conjuntos abiertos, conjuntos cerrados, etc. Para muchos propósitos prácticos, la cuestión de qué fundamento se elige es irrelevante, siempre y cuando se entiendan el significado y la interrelación entre los objetos (muchos de los cuales se dan en este artículo), que son los mismos independientemente de la elección del desarrollo. Sin embargo, hay casos en los que puede resultar útil tener flexibilidad. Por ejemplo, existen varias nociones naturales de convergencia de medidas , y no está inmediatamente claro si surgen de una estructura topológica o no. Estas cuestiones quedan enormemente aclaradas por los axiomas topológicos basados ​​en la convergencia.

Definiciones estándar a través de conjuntos abiertos

Un espacio topológico es un conjunto junto con una colección de subconjuntos de satisfacción: ^[3] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$

• El conjunto vacío y están en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S.}$
• La unión de cualquier colección de conjuntos en también está en ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$
• La intersección de cualquier par de conjuntos en también es en De manera equivalente, la intersección de cualquier colección finita de conjuntos en también es en ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$

Dado un espacio topológico, uno se refiere a los elementos de como conjuntos abiertos de y es común referirse solo de esta manera, o mediante la etiqueta topología . Luego se hacen las siguientes definiciones secundarias: ${\displaystyle (X,S),}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S}$

• Dado un segundo espacio topológico, se dice que una función es continua si y sólo si para cada subconjunto abierto de uno es un subconjunto abierto de ^[4] ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f^{-1}(U)}$ ${\displaystyle X.}$
• Un subconjunto de es cerrado si y sólo si su complemento es abierto. ^[5] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\setminus C}$
• Dado un subconjunto del cierre es el conjunto de todos los puntos tales que cualquier conjunto abierto que contenga dicho punto debe intersectarse ^[6] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A.}$
• Dado un subconjunto del interior es la unión de todos los conjuntos abiertos contenidos en ^[7] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A.}$
• Dado un elemento de uno se dice que un subconjunto es una vecindad de si y sólo si está contenido en un subconjunto abierto del cual también es un subconjunto de ^[8] Algunos libros de texto usan "vecindad de " para referirse a un conjunto abierto que contiene ^{[9 ]} ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$
• Se dice que una red converge a un punto de si para cualquier conjunto abierto que la contenga finalmente está contenida en ^[10] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle U.}$
• Dado un conjunto, un filtro es una colección de subconjuntos no vacíos que está cerrado bajo intersección finita y bajo superconjuntos. ^[11] Algunos libros de texto permiten que un filtro contenga el conjunto vacío y reservan el nombre de "filtro adecuado" para el caso en el que se excluye. ^[12] Una topología define una noción de filtro que converge a un punto de al requerir que cualquier conjunto abierto que lo contenga sea un elemento del filtro. ^[13] ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$
• Dado un conjunto, una base de filtro es una colección de subconjuntos no vacíos de modo que cada dos subconjuntos se cruzan de manera no trivial y contienen un tercer subconjunto en la intersección. ^[14] Dada una topología en uno, se dice que una base de filtro converge a un punto si cada vecindario contiene algún elemento de la base de filtro. ^[15] ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Definición mediante conjuntos cerrados

Sea un espacio topológico. Según las leyes de De Morgan , el conjunto de conjuntos cerrados satisface las siguientes propiedades: ^[16] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$

• El conjunto vacío y son elementos de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$
• La intersección de cualquier colección de conjuntos en también está en ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T.}$
• La unión de cualquier par de conjuntos en también lo es en ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T.}$

Ahora supongamos que es sólo un conjunto. Dada cualquier colección de subconjuntos que satisfagan los axiomas anteriores, el conjunto correspondiente es una topología y es la única topología para la cual es la correspondiente colección de conjuntos cerrados. ^[17] Esto quiere decir que una topología se puede definir declarando los conjuntos cerrados. Como tal, se pueden reformular todas las definiciones en términos de conjuntos cerrados: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{U:X\setminus U\in T\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$

• Dado un segundo espacio topológico una función es continua si y sólo si para cada subconjunto cerrado del conjunto es cerrado como un subconjunto de ^[18] ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f^{-1}(U)}$ ${\displaystyle X.}$
• un subconjunto de es abierto si y sólo si su complemento es cerrado. ^[19] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\setminus C}$
• dado un subconjunto del cierre es la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen ^[20] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A.}$
• dado un subconjunto del interior es el complemento de la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X\setminus A.}$

Definición mediante operadores de cierre

Dado un espacio topológico, el cierre puede considerarse como un mapa donde denota el conjunto potencia de Uno tiene los siguientes axiomas de cierre de Kuratowski : ^[21] ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \wp (X)\to \wp (X),}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle X.}$

• ${\displaystyle A\subseteq \operatorname {cl} (A)}$
• ${\displaystyle \operatorname {cl} (\operatorname {cl} (A))=\operatorname {cl} (A)}$
• ${\displaystyle \operatorname {cl} (A\cup B)=\operatorname {cl} (A)\cup \operatorname {cl} (B)}$
• ${\displaystyle \operatorname {cl} (\varnothing )=\varnothing }$

Si es un conjunto equipado con un mapeo que satisface las propiedades anteriores, entonces el conjunto de todas las salidas posibles de cl satisface los axiomas anteriores para conjuntos cerrados y, por lo tanto, define una topología; es la topología única cuyo operador de cierre asociado coincide con el cl dado. ^[22] Como antes, se deduce que en un espacio topológico todas las definiciones pueden expresarse en términos del operador de cierre: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$

• Dado un segundo espacio topológico una función es continua si y sólo si para cada subconjunto de uno tiene que el conjunto es un subconjunto de ^[23] ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f(\operatorname {cl} (A))}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} (f(A)).}$
• Un subconjunto de está abierto si y sólo si ^[24] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} (X\setminus A)=X\setminus A.}$
• Un subconjunto de está cerrado si y sólo si ^[25] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} (C)=C.}$
• Dado un subconjunto del interior es el complemento de ^[26] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} (X\setminus A).}$

Definición mediante operadores interiores

Dado un espacio topológico, el interior puede considerarse como un mapa donde denota el conjunto potencia de Satisface las siguientes condiciones: ^[27] ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \wp (X)\to \wp (X),}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle X.}$

• ${\displaystyle \operatorname {int} (A)\subseteq A}$
• ${\displaystyle \operatorname {int} (\operatorname {int} (A))=\operatorname {int} (A)}$
• ${\displaystyle \operatorname {int} (A\cap B)=\operatorname {int} (A)\cap \operatorname {int} (B)}$
• ${\displaystyle \operatorname {int} (X)=X}$

Si es un conjunto equipado con un mapeo que satisface las propiedades anteriores, entonces el conjunto de todas las salidas posibles de int satisface los axiomas anteriores para conjuntos abiertos y, por lo tanto, define una topología; es la topología única cuyo operador interior asociado coincide con el int dado. ^[28] De ello se deduce que en un espacio topológico todas las definiciones pueden expresarse en términos del operador interior, por ejemplo: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$

• Dados espacios topológicos y una función es continua si y solo si para cada subconjunto de uno el conjunto es un subconjunto de ^[29] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f^{-1}(\operatorname {int} (B))}$ ${\displaystyle \operatorname {int} (f^{-1}(B)).}$
• Un conjunto es abierto si y sólo si es igual a su interior. ^[30]
• El cierre de un conjunto es el complemento del interior de su complemento. ^[31]

Definición vía barrios

Recuerde que este artículo sigue la convención de que un barrio no es necesariamente abierto. En un espacio topológico, se tienen los siguientes hechos: ^[32]

• Si es una vecindad de entonces es un elemento de ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U.}$
• La intersección de dos vecindades de es una vecindad de De manera equivalente, la intersección de un número finito de vecindades de es una vecindad de ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$
• Si contiene una vecindad de entonces es una vecindad de ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x.}$
• Si es una vecindad de entonces existe una vecindad de tal que es una vecindad de cada punto de . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$

Si es un conjunto y se declara una colección no vacía de vecindades para cada punto que satisface las condiciones anteriores, entonces se define una topología declarando que un conjunto es abierto si y sólo si es una vecindad de cada uno de sus puntos; es la topología única cuyo sistema asociado de vecindades es el dado. ^[32] De ello se deduce que en un espacio topológico todas las definiciones pueden expresarse en términos de vecindades: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X,}$

• Dado otro espacio topológico, un mapa es continuo si y sólo para cada elemento y cada vecindad de la preimagen es una vecindad de ^[33] ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f(x),}$ ${\displaystyle f^{-1}(B)}$ ${\displaystyle x.}$
• Un subconjunto de es abierto si y sólo si es vecindad de cada uno de sus puntos. ${\displaystyle X}$
• Dado un subconjunto del interior es la colección de todos los elementos de tal que es un barrio de . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$
• Dado un subconjunto de la clausura es la colección de todos los elementos de tal que cada vecindad de se cruza ^[34] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A.}$

Definición mediante convergencia de redes.

La convergencia de redes satisface las siguientes propiedades: ^{[35] [36]}

1. Toda red constante converge hacia sí misma.
2. Cada subred de una red convergente converge hacia los mismos límites.
3. Si una red no converge a un punto , entonces hay una subred tal que ninguna otra subred converge a. De manera equivalente, si es una red tal que cada una de sus subredes tiene una subsubred que converge a un punto, entonces converge a ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x.}$
4. Principio diagonal /Convergencia de límites iterados. Siiny para cada índicees una red queconverge ainentonces existe una (sub)red diagonal deque converge a ${\displaystyle \left(x_{a}\right)_{a\in A}\to x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a\in A,}$ ${\displaystyle \left(x_{a}^{i}\right)_{i\in I_{a}}}$ ${\displaystyle x_{a}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \left(x_{a}^{i}\right)_{a\in A,i\in I_{a}}}$ ${\displaystyle x.}$
   • Ared diagonal se refiere a cualquiersubredde ${\displaystyle \left(x_{a}^{i}\right)_{a\in A,i\in I_{a}}.}$
   • La notación denota la red definida por cuyo dominio es el conjunto ordenado lexicográficamente primero por y luego por ^[36] explícitamente, dado que dos pares cualesquiera declaran que se cumple si y sólo si tanto (1) como (2) si entonces ${\displaystyle \left(x_{a}^{i}\right)_{a\in A,i\in I_{a}}}$ ${\displaystyle (a,i)\mapsto x_{a}^{i}}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigcup \limits _{a\in A}}A\times I_{a}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle I_{a};}$ ${\displaystyle (a_{1},i_{1}),\left(a_{2},i_{2}\right)\in {\textstyle \bigcup \limits _{a\in A}}A\times I_{a},}$ ${\displaystyle (a_{1},i_{1})\leq \left(a_{2},i_{2}\right)}$ ${\displaystyle a_{1}\leq a_{2},}$ ${\displaystyle a_{1}=a_{2}}$ ${\displaystyle i_{1}\leq i_{2}.}$

Si es un conjunto, entonces dada una noción de convergencia neta (que indica qué redes convergen a qué puntos ^[36] ) que satisface los cuatro axiomas anteriores, un operador de cierre se define enviando cualquier conjunto dado al conjunto de todos los límites de todas las redes. valorada en la topología correspondiente es la topología única que induce las convergencias dadas de redes a puntos. ^[35] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A;}$

Dado un subconjunto de un espacio topológico ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle X:}$

• ${\displaystyle A}$es abierto en si y sólo si cada red que converge a un elemento de está eventualmente contenida en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A.}$
• el cierre de in es el conjunto de todos los límites de todas las redes convergentes valoradas en ^{[37] [36]} ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A.}$
• ${\displaystyle A}$es cerrado si y solo si no existe una red en que converge a un elemento del complemento ^[38] Un subconjunto es cerrado si y solo si cada punto límite de cada red convergente pertenece necesariamente a ^[39] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X\setminus A.}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A.}$

Una función entre dos espacios topológicos es continua si y sólo si para todas y cada una de las redes en las que converge en la red ^{[nota 1]} converge en ^[40] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle Y.}$

Definición mediante convergencia de filtros.

También se puede definir una topología en un conjunto declarando qué filtros convergen a qué puntos. ^{[ cita necesaria ]} Se tienen las siguientes caracterizaciones de objetos estándar en términos de filtros y prefiltros (también conocidos como bases de filtros):

• Dado un segundo espacio topológico, una función es continua si y sólo si conserva la convergencia de los prefiltros . ^[41] ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$
• Un subconjunto de está abierto si y sólo si cada filtro que converge a un elemento de contiene ^[42] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A.}$
• Un subconjunto de es cerrado si y sólo si no existe un prefiltro en el que converge a un punto del complemento ^[43] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X\setminus A.}$
• Dado un subconjunto del cierre consta de todos los puntos para los cuales hay un prefiltro al converger a ^[44] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x.}$
• Un subconjunto de es una vecindad de si y sólo si es un elemento de cada filtro que converge a ^[42] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$

Ver también

• Espacio de Cauchy  : concepto de topología y análisis general
• Espacio de convergencia  : generalización de la noción de convergencia que se encuentra en la topología general.
• Filtros en topología  : uso de filtros para describir y caracterizar todas las nociones y resultados topológicos básicos.
• Espacio secuencial  - Espacio topológico caracterizado por secuencias
• Topología (estructura)  : colección de subconjuntos abiertos de un espacio topológico.

Citas

1. Dugundji 1966; Engelking 1977; Kelly 1955.
2. Kuratowski 1966, p.38.
3. Dugundji 1966, pág.62; Engelking 1977, páginas 11-12; Kelley 1955, pág.37; Kuratowski 1966, pág.45.
4. Dugundji 1966, pág.79; Engelking 1977, páginas 27-28; Kelley 1955, pág.85; Kuratowski 1966, p.105.
5. Dugundji 1966, pág.68; Engelking 1977, p.13; Kelley 1955, pág.40.
6. Dugundji 1966, pág.69; Engelking 1977, p.13.
7. Dugundji 1966, pág.71; Engelking 1977, p.14; Kelley 1955, pág.44; Kuratowski 1966, p.58.
8. Kelley 1955, p.38; Kuratowski 1966, p.61.
9. Dugundji 1966, pág.63; Engelking 1977, p.12.
10. Dugundji 1966, p.210; Engelking 1977, p.49; Kelley 1955, pág.66; Kuratowski 1966, p.203.
11. Engelking 1977, p.52; Kelley 1955, pág.83.
12. Kuratowski 1966, p.6.
13. Engelking 1977, p.52; Kelley 1955, pág.83; Kuratowski 1966, p.63.
14. Dugundji 1966, 211; Engelking 1977, p.52.
15. Dugundji 1966, p.212; Engelking 1977, p.52.
16. Dugundji 1966, pág.69; Engelking 1977, p.13; Kelley 1955, pág.40; Kuratowski 1966, p.44.
17. Dugundji 1966, pág.74; Engelking 1977, p.22; Kelley 1955, pág.40; Kuratowski 1966, p.44.
18. Dugundji 1966, pág.79; Engelking 1977, p.28; Kelley 1955, pág.86; Kuratowski 1966, p.105.
19. Kelley 1955, p.41.
20. Dugundji 1966, pág.70; Engelking 1977; Kelley 1955, pág.42.
21. Dugundji 1966, páginas 69-70; Engelking 1977, p.14; Kelley 1955, páginas 42-43.
22. Dugundji 1966, pág.73; Engelking 1977, p.22; Kelley 1955, pág.43.
23. Dugundji 1966, pág.80; Engelking 1977, p.28; Kelley 1955, pág.86; Kuratowski 1966, p.105.
24. Kuratowski 1966, p.43.
25. Dugundji 1966, pág.69; Kelley 1955, pág.42; Kuratowski 1966, p.43.
26. Dugundji 1966, pág.71; Engelking 1977, p.15; Kelley 1955, páginas 44-45; Kuratowski 1966, p.55.
27. Engelking 1977, p.15.
28. Dugundji 1966, pág.74; Engelking 1977, p.23.
29. Engelking 1977, p.28; Kuratowski 1966, p.103.
30. Dugundji 1966, pág.71; Kelley 1955, pág.44.
31. Kelley 1955, páginas 44-45.
32. Willard 2004, págs. 31-32.
33. Kuratowski 1966, p.103.
34. Kuratowski 1966, p.61.
35. Kelley 1955, p.74.
36. Willard 2004, pag. 77.
37. Engelking 1977, pág.50; Kelley 1955, pág.66.
38. Engelking 1977, p.51; Kelley 1955, pág.66.
39. Willard 2004, págs. 73–77.
40. Engelking 1977, p.51; Kelley 1955, pág.86.
41. Dugundji 1966, p.216; Engelking 1977, p.52.
42. Kelley 1955, p.83.
43. Dugundji 1966, p.215.
44. Dugundji 1966, p.215; Engelking 1977, p.52.

Notas

1. Suponiendo que la red está indexada por (por lo que es solo una notación para la función que envía ), entonces denota la composición de con Es decir, es la función ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle x_{\bullet }:I\to X}$ ${\displaystyle i\mapsto x_{i}}$ ${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle x_{\bullet }:I\to X}$ ${\displaystyle f:X\to Y.}$ ${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right):=f\circ x_{\bullet }=\left(f\left(x_{i}\right)\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle f\circ x_{\bullet }:I\to Y.}$

Referencias

• Dugundji, James (1978). Topología . Serie Allyn y Bacon en Matemáticas Avanzadas (Reimpresión de la edición original de 1966). Boston, Mass.–Londres–Sydney: Allyn and Bacon, Inc.
• Engelking, Ryszard (1977). Topología general . Monografía Matematyczne. vol. 60 (Traducido por el autor de la edición polaca). Varsovia: PWN: editores científicos polacos.
• Kelley, John L. (1975). Topología general . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 27 (Reimpresión de la edición de 1955). Nueva York-Berlín: Springer-Verlag.
• Kuratowski, K. (1966). Topología. vol. I. (Traducido del francés por J. Jaworowski. Edición revisada y aumentada). Nueva York-Londres/Varsovia: Academic Press/Państwowe Wydawnictwo Naukowe.
• Willard, Stephen (2004) [1970]. Topología general. Mineola, Nueva York : Publicaciones de Dover . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240.