En teoría de números , un carácter de Hecke es una generalización de un carácter de Dirichlet , introducido por Erich Hecke para construir una clase de funciones L mayores que las funciones L de Dirichlet , y un escenario natural para las funciones zeta de Dedekind y algunas otras que tienen funciones zeta. ecuaciones análogas a la de la función zeta de Riemann .
Un nombre que a veces se utiliza para el carácter de Hecke es el término alemán Größencharakter (a menudo escrito Grössencharakter, Grossencharacter, etc.).
Un carácter Hecke es un carácter del grupo de clases idele de un campo numérico o campo de función global . Corresponde únicamente a un carácter del grupo idele que es trivial en los ideles principales , a través de la composición con el mapa de proyección.
Esta definición depende de la definición de carácter, que varía ligeramente entre autores: puede definirse como un homomorfismo de los números complejos distintos de cero (también llamado "cuasicarácter"), o como un homomorfismo del círculo unitario en C ( "unitario"). Cualquier cuasicarácter (del grupo de clases idle) se puede escribir de forma única como un carácter unitario multiplicado por una potencia real de la norma, por lo que no hay gran diferencia entre las dos definiciones.
El conductor de un carácter de Hecke χ es el ideal más grande m tal que χ es un carácter de Hecke mod m . Aquí decimos que χ es un carácter de Hecke mod m si χ (considerado como un carácter en el grupo idele) es trivial en el grupo de ideles finitos cuyos componentes v-ádicos se encuentran en 1 + m O v .
La definición original de un personaje de Hecke, remontándonos a Hecke, era en términos de un personaje con ideales fraccionarios . Para un campo numérico K , sea m = m f m ∞ un módulo K , siendo m f , la "parte finita", un ideal integral de K y m ∞ , la " parte infinita", siendo un (formal) producto de lugares reales de K . Sea I m el grupo de ideales fraccionarios de K relativamente primos con m f y sea P m el subgrupo de ideales fraccionarios principales ( a ) donde a está cerca de 1 en cada lugar de m de acuerdo con las multiplicidades de sus factores: para cada lugar finito v en m f , ord v ( a − 1 ) es al menos tan grande como el exponente de v en m f , y a es positivo bajo cada incrustación real en m ∞ . Un carácter de Hecke con módulo m es un homomorfismo de grupo de I m en los números complejos distintos de cero, tal que en los ideales ( a ) en P m su valor es igual al valor en a de un homomorfismo continuo para los números complejos distintos de cero del producto de los grupos multiplicativos de todas las terminaciones de Arquímedes de K donde cada componente local del homomorfismo tiene la misma parte real (en el exponente). (Aquí incrustamos a en el producto de las terminaciones de Arquímedes de K usando incrustaciones correspondientes a los diversos lugares de Arquímedes en K ). Por lo tanto, se puede definir un carácter de Hecke en el módulo del grupo de clases de rayos m , que es el cociente I m / P m .
En rigor, Hecke estableció como ideales principales la conducta de aquellos que admiten un generador totalmente positivo. Entonces, en términos de la definición dada anteriormente, en realidad solo trabajó con módulos donde aparecían todos los lugares reales. El papel de la parte infinita m ∞ ahora se incluye bajo la noción de tipo infinito.
La definición ideal es mucho más complicada que la idélica, y la motivación de Hecke para su definición fue construir funciones L (a veces denominadas funciones L de Hecke ) [1] que amplían la noción de función L de Dirichlet desde las racionales. a otros campos numéricos. Para un carácter de Hecke χ, su función L se define como la serie de Dirichlet
llevado a cabo sobre ideales integrales relativamente primos al módulo m del carácter de Hecke. La notación N(I) significa la norma ideal . La condición de parte real común que rige el comportamiento de los caracteres de Hecke en los subgrupos P m implica que estas series de Dirichlet son absolutamente convergentes en algún semiplano recto. Hecke demostró que estas funciones L tienen una continuación meromórfica en todo el plano complejo, siendo analíticas excepto por un polo simple de orden 1 en s = 1 cuando el carácter es trivial. Para los caracteres primitivos de Hecke (definidos en relación con un módulo de manera similar a los caracteres primitivos de Dirichlet), Hecke demostró que estas funciones L satisfacen una ecuación funcional que relaciona los valores de la función L de un carácter y la función L de su conjugado complejo. personaje.
Considere un carácter ψ del grupo de clases idele, tomado como un mapa dentro del círculo unitario que es 1 en ideles principales y en un conjunto finito excepcional S que contiene todos los lugares infinitos. Entonces ψ genera un carácter χ del grupo ideal I S , el grupo abeliano libre en los ideales primos que no están en S . [2] Tome un elemento uniformizador π para cada p primo que no esté en S y defina un mapa Π de I S a clases idele asignando cada p a la clase del idele que es π en la coordenada p y 1 en el resto. Sea χ el compuesto de Π y ψ. Entonces χ está bien definido como un carácter del grupo ideal. [3]
En la dirección opuesta, dado un carácter admisible χ de I S , corresponde un carácter único de clase idle ψ. [4] Aquí admisible se refiere a la existencia de un módulo m basado en el conjunto S tal que el carácter χ es 1 en los ideales que son 1 mod m . [5]
Los caracteres son "grandes" en el sentido de que el tipo infinito cuando está presente de manera no trivial significa que estos caracteres no son de orden finito. Todos los caracteres de Hecke de orden finito están, en cierto sentido, explicados por la teoría de campos de clases : sus funciones L son funciones L de Artin , como muestra la reciprocidad de Artin . Pero incluso un campo tan simple como el campo gaussiano tiene caracteres de Hecke que van más allá del orden finito de manera seria (ver el ejemplo a continuación). Los desarrollos posteriores en la teoría de la multiplicación compleja indicaron que el lugar adecuado de los caracteres "grandes" era proporcionar las funciones L de Hasse-Weil para una clase importante de variedades algebraicas (o incluso motivos ).
La prueba original de Hecke de la ecuación funcional para L ( s , χ) utilizó una función theta explícita . La tesis doctoral de John Tate en Princeton en 1950, escrita bajo la supervisión de Emil Artin , aplicó sistemáticamente la dualidad de Pontryagin para eliminar la necesidad de funciones especiales. Kenkichi Iwasawa desarrolló de forma independiente una teoría similar que fue el tema de su charla ICM de 1950. Una reformulación posterior en un seminario de Bourbaki por Weil (1966) mostró que partes de la prueba de Tate podían expresarse mediante la teoría de la distribución : el espacio de distribuciones (para funciones de prueba de Schwartz-Bruhat ) en el grupo Adele de K se transforma bajo la acción de los ideles por un dado χ tiene dimensión 1.
Un carácter algebraico de Hecke es un carácter de Hecke que toma valores algebraicos : fueron introducidos por Weil en 1947 con el nombre de tipo A 0 . Estos caracteres aparecen en la teoría de campos de clases y en la teoría de la multiplicación compleja . [6]
De hecho, sea E una curva elíptica definida sobre un campo numérico F con multiplicación compleja por el campo cuadrático imaginario K , y supongamos que K está contenido en F. Entonces hay un carácter algebraico de Hecke χ para F , con el conjunto excepcional S el conjunto de números primos de mala reducción de E junto con los infinitos lugares. Este carácter tiene la propiedad de que para un ideal primo p de buena reducción , el valor χ( p ) es raíz del polinomio característico del endomorfismo de Frobenius . Como consecuencia, la función zeta de Hasse-Weil para E es un producto de dos series de Dirichlet, para χ y su conjugado complejo. [7]
