En matemáticas e informática , una forma canónica , normal o estándar de un objeto matemático es una forma estándar de presentar ese objeto como una expresión matemática . A menudo, es aquel que proporciona la representación más simple de un objeto y permite identificarlo de una manera única. La distinción entre formas "canónicas" y "normales" varía de un subcampo a otro. En la mayoría de los campos, una forma canónica especifica una representación única para cada objeto, mientras que una forma normal simplemente especifica su forma, sin el requisito de unicidad. [1]
La forma canónica de un número entero positivo en representación decimal es una secuencia finita de dígitos que no comienza con cero. De manera más general, para una clase de objetos sobre los cuales se define una relación de equivalencia , una forma canónica consiste en la elección de un objeto específico en cada clase. Por ejemplo:
En informática, y más concretamente en álgebra informática , a la hora de representar objetos matemáticos en un ordenador, suelen existir muchas formas diferentes de representar un mismo objeto. En este contexto, una forma canónica es una representación tal que cada objeto tiene una representación única (siendo la canonicalización el proceso mediante el cual una representación se pone en su forma canónica). [2] Por lo tanto, la igualdad de dos objetos se puede probar fácilmente probando la igualdad de sus formas canónicas.
A pesar de esta ventaja, las formas canónicas frecuentemente dependen de elecciones arbitrarias (como ordenar las variables), lo que introduce dificultades para probar la igualdad de dos objetos que resultan de cálculos independientes. Por lo tanto, en álgebra informática, la forma normal es una noción más débil: una forma normal es una representación tal que el cero está representado de forma única. Esto permite probar la igualdad poniendo la diferencia de dos objetos en forma normal.
La forma canónica también puede significar una forma diferencial que se define de forma natural (canónica).
Dado un conjunto S de objetos con una relación de equivalencia R en S , se da una forma canónica designando algunos objetos de S como "en forma canónica", de modo que cada objeto considerado sea equivalente a exactamente un objeto en forma canónica. En otras palabras, las formas canónicas en S representan las clases de equivalencia, una vez y sólo una vez. Para comprobar si dos objetos son equivalentes, basta con comprobar la igualdad en sus formas canónicas. Por tanto, una forma canónica proporciona un teorema de clasificación y más, en el sentido de que no sólo clasifica cada clase, sino que también proporciona un representante distinguido (canónico) para cada objeto de la clase.
Formalmente, una canonicalización con respecto a una relación de equivalencia R en un conjunto S es una aplicación c : S → S tal que para todo s , s 1 , s 2 ∈ S :
La propiedad 3 es redundante; se sigue aplicando 2 a 1.
En términos prácticos, suele resultar ventajoso poder reconocer las formas canónicas. También hay que considerar una cuestión algorítmica práctica: ¿cómo pasar de un objeto dado s en S a su forma canónica s *? Las formas canónicas se utilizan generalmente para hacer más eficaz la operación con clases de equivalencia. Por ejemplo, en aritmética modular , la forma canónica de una clase de residuo generalmente se toma como el número entero menos negativo que contiene. Las operaciones con clases se llevan a cabo combinando estos representantes y luego reduciendo el resultado al menor residuo no negativo. El requisito de unicidad a veces se relaja, permitiendo que las formas sean únicas hasta alguna relación de equivalencia más fina, como permitir la reordenación de los términos (si no existe un ordenamiento natural de los términos).
Una forma canónica puede ser simplemente una convención o un teorema profundo. Por ejemplo, los polinomios se escriben convencionalmente con los términos en potencias descendentes: es más habitual escribir x 2 + x + 30 que x + 30 + x 2 , aunque las dos formas definen el mismo polinomio. Por el contrario, la existencia de la forma canónica de Jordan para una matriz es un teorema profundo.
Según OED y LSJ , el término canónico proviene de la palabra griega antigua kanonikós ( κανονικός , "regular, según regla") de kanṓn ( κᾰνών , "vara, regla"). El sentido de norma, estándar o arquetipo se ha utilizado en muchas disciplinas. El uso matemático está atestiguado en una carta de Logan de 1738 . [3] El término alemán Kanonische Form está atestiguado en un artículo de 1846 de Eisenstein , [4] más tarde, ese mismo año, Richelot usa el término Normalform en un artículo, [5] y en 1851 Sylvester escribe: [6]
"Procedo ahora al [...] modo de reducir las funciones algebraicas a sus formas más simples y simétricas, o como bien propone llamarlas mi admirable amigo M. Hermite , sus formas canónicas ".
En el mismo período, el uso está atestiguado por Hesse ("forma normal"), [7] Hermite ("forma canónica"), [8] Borchardt ("forma canónica"), [9] y Cayley ("forma canónica"). [10]
En 1865, el Diccionario de ciencia, literatura y arte define la forma canónica como:
"En Matemáticas, denota una forma, generalmente la más simple o simétrica, a la que, sin pérdida de generalidad, se pueden reducir todas las funciones de la misma clase".
Nota: en esta sección, " hasta " alguna relación de equivalencia E significa que la forma canónica no es única en general, pero que si un objeto tiene dos formas canónicas diferentes, son E-equivalentes.
Muchos matemáticos y científicos utilizan la forma estándar para escribir números extremadamente grandes de una manera más concisa y comprensible, siendo la más destacada la notación científica . [11]
En geometría analítica :
Por el contrario, existen formas alternativas para escribir ecuaciones. Por ejemplo, la ecuación de una recta se puede escribir como una ecuación lineal en forma punto-pendiente y pendiente-intersección .
Los poliedros convexos se pueden poner en forma canónica de modo que:
Cada variedad diferenciable tiene un paquete cotangente . Ese paquete siempre puede estar dotado de una determinada forma diferencial , llamada forma única canónica . Esta forma le da al paquete cotangente la estructura de una variedad simpléctica y permite integrar campos vectoriales en la variedad mediante las ecuaciones de Euler-Lagrange o mediante la mecánica hamiltoniana . Estos sistemas de ecuaciones diferenciales integrables se denominan sistemas integrables .
El estudio de los sistemas dinámicos se superpone con el de los sistemas integrables ; ahí se tiene la idea de una forma normal (sistemas dinámicos) .
En el estudio de variedades en tres dimensiones, se tiene la primera forma fundamental , la segunda forma fundamental y la tercera forma fundamental .
La manipulación simbólica de una fórmula de una forma a otra se denomina "reescritura" de esa fórmula. Se pueden estudiar las propiedades abstractas de reescribir fórmulas genéricas, estudiando el conjunto de reglas mediante las cuales las fórmulas pueden manipularse válidamente. Éstas son las "reglas de reescritura", una parte integral de un sistema de reescritura abstracto . Una pregunta común es si es posible llevar alguna expresión genérica a una forma única y común, la forma normal. Si diferentes secuencias de reescrituras aún dan como resultado la misma forma, entonces esa forma puede denominarse forma normal, y la reescritura se denomina confluente. No siempre es posible obtener una forma normal.
En teoría de grafos , una rama de las matemáticas, la canonización de grafos es el problema de encontrar una forma canónica de un grafo dado G. Una forma canónica es un gráfico etiquetado Canon( G ) que es isomorfo a G , de modo que cada gráfico que es isomorfo a G tiene la misma forma canónica que G . Por lo tanto, a partir de una solución al problema de canonización de grafos, también se podría resolver el problema del isomorfismo de grafos : para probar si dos grafos G y H son isomorfos, calcular sus formas canónicas Canon( G ) y Canon( H ), y probar si estas dos formas canónicas son idénticas.
En informática , la reducción de datos a cualquier tipo de forma canónica se denomina comúnmente normalización de datos .
Por ejemplo, la normalización de una base de datos es el proceso de organizar los campos y tablas de una base de datos relacional para minimizar la redundancia y la dependencia. [13]
En el campo de la seguridad del software , una vulnerabilidad común es la entrada maliciosa no controlada (consulte Inyección de código ). La mitigación de este problema es una validación de entrada adecuada . Antes de realizar la validación de la entrada, la entrada generalmente se normaliza eliminando la codificación (por ejemplo, codificación HTML ) y reduciendo los datos de entrada a un único conjunto de caracteres común .
Otras formas de datos, típicamente asociadas con el procesamiento de señales (incluido el audio y las imágenes ) o el aprendizaje automático , se pueden normalizar para proporcionar un rango limitado de valores.
En la gestión de contenidos , el concepto de una única fuente de verdad (SSOT) es aplicable, al igual que en la normalización de bases de datos en general y en el desarrollo de software . Los sistemas de gestión de contenidos competentes ofrecen formas lógicas de obtenerlos, como por ejemplo la transclusión .
