Tercera forma fundamental

En geometría diferencial , la tercera forma fundamental es una métrica de superficie denotada por . A diferencia de la segunda forma fundamental , es independiente de la normal de superficie . ${\displaystyle \mathrm {I\!I\!I} }$

Definición

Sea S el operador de forma y M una superficie lisa . Además, sean u _p y v _p elementos del espacio tangente T _p ( M ) . La tercera forma fundamental está dada entonces por

${\displaystyle \mathrm {I\!I\!I} (\mathbf {u} _{p},\mathbf {v} _{p})=S(\mathbf {u} _{p})\cdot S(\mathbf {v} _{p})\,.}$

Propiedades

La tercera forma fundamental se puede expresar completamente en términos de la primera forma fundamental y la segunda forma fundamental . Si dejamos que H sea la curvatura media de la superficie y K la curvatura gaussiana de la superficie, tenemos

${\displaystyle \mathrm {I\!I\!I} -2H\mathrm {I\!I} +K\mathrm {I} =0\,.}$

Como el operador de forma es autoadjunto, para u , v ∈ T _p ( M ) , encontramos

${\displaystyle \mathrm {I\!I\!I} (u,v)=\langle Su,Sv\rangle =\langle u,S^{2}v\rangle =\langle S^{2}u,v\rangle \,.}$

Véase también

• Tensor métrico
• Primera forma fundamental
• Segunda forma fundamental
• Una forma tautológica