Aritmética ordinal

En el campo matemático de la teoría de conjuntos , la aritmética ordinal describe las tres operaciones habituales con números ordinales : suma , multiplicación y exponenciación . Cada uno se puede definir esencialmente de dos maneras diferentes: ya sea construyendo un conjunto explícito bien ordenado que represente el resultado de la operación o usando recursividad transfinita . La forma normal de Cantor proporciona una forma estandarizada de escribir ordinales. Además de estas operaciones ordinales habituales, también existe la aritmética "natural" de ordinales y las operaciones con números.

Suma

La unión de dos conjuntos disjuntos y bien ordenados $S$ y $T$ puede estar bien ordenada. El tipo de orden de esa unión es el ordinal que resulta de sumar los tipos de orden de $S$ y $T$ . Si dos conjuntos bien ordenados aún no están disjuntos, entonces pueden reemplazarse por conjuntos disjuntos isomorfos de orden , por ejemplo, reemplace $S$ por ${0} \times S$ y $T$ por ${1} \times T$ . De esta manera, el conjunto bien ordenado $S$ se escribe "a la izquierda" del conjunto bien ordenado $T$ , lo que significa que se define un orden en $S \cup T$ en el que cada elemento de $S$ es más pequeño que cada elemento de $T$ . Los propios conjuntos $S$ y $T$ mantienen el orden que ya tienen.

La definición de suma $α + β$ también puede darse mediante recursividad transfinita en $β$ :

$α + 0 = α$
$α + S (β) = S (α + β)$ , donde $S$ denota la función sucesora .
$\alpha +\beta =\bigcup _{\delta <\beta }(\alpha +\delta )$ cuando $β$ es un ordinal límite .

La suma ordinal de números naturales es la misma que la suma estándar. El primer ordinal transfinito es $ω$ , el conjunto de todos los números naturales, seguido de $ω + 1$ , $ω + 2$ , etc. El ordinal $ω + ω$ se obtiene mediante dos copias de los números naturales ordenados de la forma habitual y la segunda copia completamente a la derecha del primero. Escribiendo $0' < 1' < 2' < ...$ para la segunda copia, $ω + ω$ parece

0 < 1 < 2 < 3 < ... < 0' < 1' < 2' < ...

Esto es diferente de $ω$ porque en $ω$ sólo $0$ no tiene un predecesor directo mientras que en $ω + ω$ los dos elementos $0$ y $0'$ no tienen predecesores directos.

Propiedades

La suma ordinal, en general, no es conmutativa . Por ejemplo, $3 + ω = ω$ ya que la relación de orden para $3 + ω$ es $0 < 1 < 2 < 0' < 1' < 2' < ...$ , que puede reetiquetarse como $ω$ . En contraste, $ω + 3$ no es igual a $ω$ ya que la relación de orden $0 < 1 < 2 < ... < 0' < 1' < 2'$ tiene un elemento más grande (es decir, $2'$ ) y $ω$ no ( $ω$ y $ω + 3$ son equipotentes , pero no isomórficos de orden).

La suma ordinal sigue siendo asociativa ; se puede ver por ejemplo que $(ω + 4) + ω = ω + (4 + ω) = ω + ω$ .

La suma es estrictamente creciente y continua en el argumento correcto:

\alpha <\beta \Rightarrow \gamma +\alpha <\gamma +\beta

pero la relación análoga no se cumple para el argumento de izquierda; en cambio solo tenemos:

\alpha <\beta \Rightarrow \alpha +\gamma \leq \beta +\gamma

La suma ordinal es cancelativa por la izquierda : si $α + β = α + γ$ , entonces $β = γ$ . Además, se puede definir la resta por la izquierda para ordinales $β \leq α$ : existe un $γ$ único tal que $α = β + γ$ . Por el contrario, la cancelación de derechos no funciona:

3+\omega =0+\omega =\omega

pero

3\neq 0

Tampoco la resta correcta, incluso cuando $β \leq α$ : por ejemplo, no existe ningún $γ$ tal que $γ + 42 = ω$ .

Si los ordinales menores que $α$ están cerrados en la suma y contienen 0, entonces $α$ ocasionalmente se denomina número $γ$ (ver ordinal aditivamente indescomponible ). Estos son exactamente los ordinales de la forma $ω β$ .

Multiplicación

La unión disjunta

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, usando orden lexicográfico, tiene tipo de orden

ω • 2

. Esto es diferente de

ω

El conjunto

{(n,0 ), (n,1 ) : n \in N}

, bajo orden lexicográfico, tiene tipo de orden

2 • ω

, que es igual a

ω

El producto cartesiano , S×T , de dos conjuntos bien ordenados $S$ y $T$ puede estar bien ordenado mediante una variante del orden lexicográfico que coloca primero la posición menos significativa. Efectivamente, cada elemento de $T$ se reemplaza por una copia disjunta de $S.$ El tipo de orden del producto cartesiano es el ordinal que resulta de multiplicar los tipos de orden de $S$ y $T$ .

La definición de multiplicación también se puede dar de forma inductiva (la siguiente inducción es sobre $β$ ):

$α$ · 0 = 0.
$α \cdot S (β) = (α \cdot β) + α$ , para un ordinal sucesor $S (β)$ .
$\alpha \cdot \beta =\bigcup _{\delta <\beta }(\alpha \cdot \delta )$ , cuando $β$ es un ordinal límite.

Como ejemplo, aquí está la relación de orden para $ω \cdot 2$ :

0 ₀ < 1 ₀ < 2 ₀ < 3 ₀ < ... < 0 ₁ < 1 ₁ < 2 ₁ < 3 ₁ < ...,

que tiene el mismo tipo de orden que $ω + ω$ . En contraste, $2 \cdot ω$ se ve así:

0 ₀ < 1 ₀ < 0 1 _{< 1}₁ < 0 ₂ < 1 ₂ < 0 ₃ < 1 ₃ < ...

y después de volver a etiquetarlo, se parece a $ω$ . Así, $ω \cdot 2 = ω + ω \neq ω = 2 \cdot ω$ , lo que demuestra que la multiplicación de ordinales no es en general conmutativa, cf. imágenes.

Como es el caso de la suma, la multiplicación ordinal de números naturales es lo mismo que la multiplicación estándar.

Propiedades

$α \cdot 0 = 0 \cdot α = 0$ , y la propiedad del producto cero se cumple: $α \cdot β = 0 \to α = 0$ o $β = 0$ . El ordinal 1 es una identidad multiplicativa, $α \cdot 1 = 1 \cdot α = α$ . La multiplicación es asociativa, $(α \cdot β) \cdot γ = α \cdot (β \cdot γ)$ . La multiplicación es estrictamente creciente y continua en el argumento correcto: ( $α < β$ y $γ > 0$ ) → $γ \cdot α < γ \cdot β$ . La multiplicación no esestrictamente creciente en el argumento de la izquierda, por ejemplo, 1 < 2 sino $1 \cdot ω = 2 \cdot ω = ω$ . Sin embargo, es (no estrictamente) creciente, es decir, $α \leq β$ → $α \cdot γ \leq β \cdot γ$ .

La multiplicación de ordinales no es en general conmutativa. Específicamente, un número natural mayor que 1 nunca conmuta con ningún ordinal infinito, y dos ordinales infinitos $α$ y $β$ conmutan si y solo si $α m = β n$ para algunos números naturales $my$ n distintos $de$ cero . La relación " $α$ conmuta con $β$ " es una relación de equivalencia en los ordinales mayores que 1, y todas las clases de equivalencia son infinitas contablemente.

La distributividad se cumple, a la izquierda: $α (β + γ) = αβ + αγ$ . Sin embargo, la ley distributiva de la derecha $(β + γ) α = βα + γα$ generalmente no es cierta: $(1 + 1) \cdot ω = 2 \cdot ω = ω$ mientras que $1 \cdot ω + 1 \cdot ω = ω + ω$ , que es diferente. Existe una ley de cancelación por la izquierda : si $α > 0$ y $α \cdot β = α \cdot γ$ , entonces $β = γ$ . La cancelación de derechos no funciona, por ejemplo, $1 \cdot ω = 2 \cdot ω = ω$ , pero 1 y 2 son diferentes. Se cumple una división por la izquierda con propiedad del resto : para todos $α$ y $β$ , si $β > 0$ , entonces hay $γ$ y $δ$ únicos tales que $α = β \cdot γ + δ$ y $δ < β$ . La división por la derecha no funciona: no existe $α$ tal que $α \cdot ω \leq ω ω \leq (α + 1) \cdot ω$ .

Los números ordinales forman un semirrenglón izquierdo , pero no forman un anillo . De ahí que los ordinales no sean un dominio euclidiano , ya que ni siquiera son un anillo; además, la "norma" euclidiana tendría un valor ordinal utilizando aquí la división izquierda.

Un número $δ (ver$ Ordinal multiplicativamente indescomponible ) es un $β$ ordinal mayor que 1 tal que $αβ = β$ siempre que $0 < α < β$ . Estos consisten en el ordinal 2 y los ordinales de la forma $β = ω ω γ$ .

exponenciación

La definición de exponenciación mediante tipos de órdenes se explica más fácilmente utilizando la definición de Von Neumann de un ordinal como el conjunto de todos los ordinales más pequeños . Luego, para construir un conjunto de orden tipo $α β$ considere el conjunto de todas las funciones $f : β \to α$ tal que $f (x) = 0$ para todos menos un número finito de elementos $x \in β$ (esencialmente, consideramos las funciones con soporte finito ) . Este conjunto está ordenado lexicográficamente con la posición menos significativa primero: escribimos $f < g$ si y solo si existe $x \in β$ con $f (x) < g (x)$ y $f (y) = g (y)$ para todo $y \in β$ con $x < y$ . Este es un buen ordenamiento y, por tanto, da un número ordinal.

La definición de exponenciación también se puede dar de forma inductiva (la siguiente inducción es sobre $β$ , el exponente):

$α0 = 1$ .
$α S (β) = (α β) \cdot α$ , para un ordinal sucesor $S (β)$ .
$\alpha ^{\beta }=\bigcup _{0<\delta <\beta }(\alpha ^{\delta })$ , cuando $β$ es un ordinal límite.

Ambas definiciones se simplifican considerablemente si el exponente $β$ es un número finito: $α β$ es entonces simplemente el producto de $β$ copias de $α$ ; por ejemplo, $ω 3 = ω \cdot ω \cdot ω$ , y los elementos de $ω 3$ pueden verse como ternas de números naturales, ordenados lexicográficamente. Esto concuerda con la exponenciación ordinaria de los números naturales.

Pero para exponentes infinitos, la definición puede no ser obvia. Por ejemplo, $α ω$ puede identificarse con un conjunto de secuencias finitas de elementos de $α$ , adecuadamente ordenados. La ecuación $2 ω = ω$ expresa el hecho de que secuencias finitas de ceros y unos pueden identificarse con números naturales, utilizando el sistema numérico binario . El ordinal $ω ω$ puede verse como el tipo de orden de secuencias finitas de números naturales; cada elemento de $ω ω$ (es decir, cada ordinal menor que $ω ω$ ) se puede escribir de forma única en la forma donde $k$ , $n$ $1$ , ..., $n$ $k$ son números naturales, $c$ $1$ , ..., $c$ $k$ son números naturales distintos de cero , y $norte$ $1$ $> ... >$ $norte$ $k$ . $\omega ^{n_{1}}c_{1}+\omega ^{n_{2}}c_{2}+\cdots +\omega ^{n_{k}}c_{k}$

Lo mismo es cierto en general: cada elemento de $α β$ (es decir, cada ordinal menor que $α β$ ) se puede escribir de forma única en la forma donde $k$ es un número natural, $b$ $1$ , ..., $b$ $k$ son ordinales menores que $β$ con $b$ $1$ $> ... >$ $b$ $k$ , y $a$ $1$ $, ...,$ $a$ $k$ son ordinales distintos de cero más pequeños que $α$ . Esta expresión corresponde a la función $f$ $:$ $β$ $\to$ $α$ que envía $b$ $i$ a $a$ $i$ para $i$ $= 1, ...,$ $k$ y envía todos los demás elementos de $β$ a 0. $\alpha ^{b_{1}}a_{1}+\alpha ^{b_{2}}a_{2}+\cdots +\alpha ^{b_{k}}a_{k}$

Si bien se utiliza la misma notación de exponente para la exponenciación ordinal y la exponenciación cardinal , las dos operaciones son bastante diferentes y no deben confundirse. La exponenciación cardinal $A B$ se define como el número cardinal del conjunto de todas las funciones $B \to A$ , mientras que la exponenciación ordinal $α β$ solo contiene las funciones $β \to α$ con soporte finito, típicamente un conjunto de cardinalidad mucho menor. Para evitar confundir la exponenciación ordinal con la exponenciación cardinal, se pueden usar símbolos para ordinales (por ejemplo, $ω$ ) en la primera y símbolos para cardinales (por ejemplo, ) en la segunda. $\aleph _{0}$

Propiedades

$α0 = 1$ .
Si $0 < α$ , entonces $0 α = 0$ .
$1 α = 1$ .
$α1 = α$ . $$
$α β \cdot α γ = α β + γ$ .
$(α β) γ = α β \cdot γ$ .
Hay $α$ , $β$ y $γ$ para los cuales $(α \cdot β) γ \neq α γ \cdot β γ$ . Por ejemplo, $(ω \cdot 2) 2 = ω \cdot2 \cdot ω \cdot2 = ω 2 \cdot 2 \neq ω 2 \cdot 4$ .
La exponenciación ordinal es estrictamente creciente y continua en el argumento correcto: si $γ > 1$ y $α < β$ , entonces $γ α < γ β$ .
Si $α < β$ , entonces $α γ \leq β γ$ . Tenga en cuenta, por ejemplo, que 2 < 3 y, sin embargo, $2 ω = 3 ω = ω$ .
Si $α > 1$ y $α β = α γ$ , entonces $β = γ$ . Si $α = 1$ o $α = 0$ este no es el caso.
Para todos $α$ y $β$ , si $β > 1$ y $α > 0$ entonces existen $γ$ , $δ$ y $ρ$ únicos tales que $α = β γ \cdot δ + ρ$ tales que $0 < δ < β$ y $ρ < β γ$ .

Jacobsthal demostró que las únicas soluciones de $α β = β α$ con $α \leq β$ están dadas por $α = β$ , o $α = 2$ y $β = 4$ , o $α$ es cualquier límite ordinal y $β = εα$ donde $ε$ es un número ε mayor que $α$ . ^[1]

Más allá de la exponenciación

Hay operaciones ordinales que continúan la secuencia iniciada por la suma, la multiplicación y la exponenciación, incluidas versiones ordinales de tetración , pentación y hexación . Véase también función de Veblen .

Cantor forma normal

Cada número ordinal $α$ se puede escribir de forma única como , donde $k$ es un número natural, son números naturales distintos de cero y son números ordinales. El caso degenerado $α$ $= 0$ ocurre cuando $k$ $= 0$ y no hay $β$ s ni $c$ s. Esta descomposición de $α$ se denomina forma normal de Cantor de $α$ y puede considerarse el sistema numérico posicional base- $ω$ . El exponente más alto se llama grado de y satisface . La igualdad se aplica si y sólo si . En ese caso, la forma normal de Cantor no expresa el ordinal en términos de otros más pequeños; Esto puede suceder como se explica a continuación. $\omega ^{\beta _{1}}c_{1}+\omega ^{\beta _{2}}c_{2}+\cdots +\omega ^{\beta _{k}}c_{k}$ $c_{1},c_{2},\ldots ,c_{k}$ $\beta _{1}>\beta _{2}>\ldots >\beta _{k}\geq 0$ $\beta _{1}$ $\alpha$ $\beta _{1}\leq \alpha$ $\beta _{1}=\alpha$ $\alpha =\omega ^{\alpha }$

Una variación menor de la forma normal de Cantor, con la que suele ser un poco más fácil trabajar, es establecer todos los números $ci iguales$ a 1 y permitir que los exponentes sean iguales. En otras palabras, cada número ordinal α se puede escribir únicamente como , donde $k$ es un número natural y son números ordinales. $\omega ^{\beta _{1}}+\omega ^{\beta _{2}}+\cdots +\omega ^{\beta _{k}}$ $\beta _{1}\geq \beta _{2}\geq \ldots \geq \beta _{k}\geq 0$

Otra variación de la forma normal de Cantor es la " expansión de base $δ ", donde$ $ω$ se reemplaza por cualquier ordinal $δ > 1$ , y los números $ci son$ ordinales distintos de cero menores que $δ$ .

La forma normal de Cantor nos permite expresar (y ordenar) de forma única los ordinales $α$ que se construyen a partir de números naturales mediante un número finito de operaciones aritméticas de suma, multiplicación y exponenciación de base : en otras palabras, asumiendo en la forma normal de Cantor, También podemos expresar los exponentes en forma normal de Cantor, y haciendo la misma suposición para α $y$ así sucesivamente de forma recursiva, obtenemos un sistema de notación para estos ordinales (por ejemplo, $\omega$ $\beta _{1}<\alpha$ $\beta _{i}$ $\beta _{i}$

\omega ^{\omega ^{\omega ^{7}\cdot 6+\omega +42}\cdot 1729+\omega ^{9}+88}\cdot 3+\omega ^{\omega ^{\omega }}\cdot 5+65537

denota un ordinal).

El ordinal ε ₀ ( épsilon cero ) es el conjunto de valores ordinales α de las expresiones aritméticas de longitud finita de la forma normal de Cantor que son hereditariamente no triviales, donde no trivial significa β ₁ < α cuando 0 < α . Es el ordinal más pequeño que no tiene una expresión aritmética finita en términos de $ω$ , y el ordinal más pequeño tal que , es decir, en la forma normal de Cantor el exponente no es menor que el ordinal mismo. Es el límite de la secuencia. $\varepsilon _{0}=\omega ^{\varepsilon _{0}}$

0,\,1=\omega ^{0},\,\omega =\omega ^{1},\,\omega ^{\omega },\,\omega ^{\omega ^{\omega }},\,\ldots \,.

El ordinal ε ₀ es importante por varias razones en aritmética (esencialmente porque mide la fuerza de la teoría de prueba de la aritmética de Peano de primer orden : es decir, los axiomas de Peano pueden mostrar inducción transfinita hasta cualquier ordinal menor que ε ₀ pero no hasta ε ₀ en sí).

La forma normal de Cantor también nos permite calcular sumas y productos de ordinales: para calcular la suma, por ejemplo, basta con saber (consulte las propiedades enumeradas en § Suma y § Multiplicación) que

\omega ^{\beta }c+\omega ^{\beta '}c'=\omega ^{\beta '}c'\,,

if (si se puede aplicar la ley distributiva de la izquierda y reescribirla como , y si la expresión ya está en la forma normal de Cantor); y para calcular productos, los hechos esenciales son que cuando está en forma normal de Cantor y , entonces $\beta '>\beta$ $\beta '=\beta$ $\omega ^{\beta }(c+c')$ $\beta '<\beta$ $0<\alpha =\omega ^{\beta _{1}}c_{1}+\cdots +\omega ^{\beta _{k}}c_{k}$ $0<\beta '$

\alpha \omega ^{\beta '}=\omega ^{\beta _{1}+\beta '}\,

\alpha n=\omega ^{\beta _{1}}c_{1}n+\omega ^{\beta _{2}}c_{2}+\cdots +\omega ^{\beta _{k}}c_{k}\,,

si $n$ es un número natural distinto de cero.

Para comparar dos ordinales escritos en forma normal de Cantor, primero compare , luego , luego , luego , etc. En la primera aparición de desigualdad, el ordinal que tiene el componente mayor es el ordinal mayor. Si son iguales hasta que uno termina antes que el otro, entonces el que termina primero es más pequeño. $\beta _{1}$ $c_{1}$ $\beta _{2}$ $c_{2}$

Factorización en números primos

Ernst Jacobsthal demostró que los ordinales satisfacen una forma del teorema de factorización única: cada ordinal distinto de cero puede escribirse como producto de un número finito de ordinales primos. Esta factorización en ordinales primos en general no es única, pero existe una factorización "mínima" en primos que es única hasta cambiar el orden de los factores primos finitos (Sierpiński 1958).

Un ordinal primo es un ordinal mayor que 1 que no se puede escribir como producto de dos ordinales menores. Algunos de los primeros primos son 2, 3, 5, ..., $ω$ , $ω + 1$ , $ω 2 + 1$ , $ω 3 + 1$ , ..., $ω ω$ , $ω ω + 1$ , $ω ω + 1 + 1.$ , ... Hay tres tipos de ordinales primos:

Los primos finitos 2, 3, 5,...
Los ordinales de la forma $ω ω α$ para cualquier ordinal $α$ . Estos son los ordinales primos que son límites, y son los números delta , los ordinales transfinitos que son cerrados bajo la multiplicación.
Los ordinales de la forma $ω α + 1$ para cualquier ordinal $α > 0$ . Estos son los infinitos primos sucesores y son los sucesores de los números gamma , los ordinales aditivamente indescomponibles.

La factorización en números primos no es única: por ejemplo, $2\times3 = 3\times2$ , $2\times ω = ω$ , $(ω +1)\times ω = ω \times ω$ y $ω \times ω ω = ω ω$ . Sin embargo, existe una factorización única en números primos que satisface las siguientes condiciones adicionales:

Cada prima límite debe ocurrir antes que cualquier prima sucesora.
Si dos primos consecutivos de la factorización prima son ambos límites o ambos finitos, el segundo debe ser menor o igual que el primero.

Esta factorización prima se puede leer fácilmente usando la forma normal de Cantor de la siguiente manera:

Primero escriba el ordinal como un producto $αβ$ donde $α$ es la potencia más pequeña de $ω$ en la forma normal de Cantor y $β$ es un sucesor.
Si $α = ω γ$ entonces escribir $γ$ en forma normal de Cantor da una expansión de $α$ como producto de números primos límite.
Ahora mire la forma normal de Cantor de $β$ . Si $β = ω λ m + ω μ n$ + términos más pequeños, entonces $β = (ω μ n + términos más pequeños)(ω λ - μ + 1) m$ es un producto de un ordinal más pequeño y un número primo y natural $m$ . Repitiendo esto y factorizando los números naturales en primos se obtiene la factorización prima de $β$ .

Entonces, la factorización del ordinal de la forma normal de Cantor

ω α 1 n 1 + \dots + ω α k n k

(con

α 1 > \dots > α k

)

en un producto mínimo de infinitos primos y números naturales es

(ω ω β 1 \dots ω ω β m) n k (ω α k -1 -α k + 1) n k -1 \dots (ω α 1 - α 2 + 1) n 1

donde cada $n i$ debe ser reemplazado por su factorización en una secuencia no creciente de números primos finitos y

α k = ω β 1 + \dots + ω β m

con

β 1 \geq \dots \geq β m

Ordinales contables grandes

Como se analizó anteriormente, la forma normal de Cantor de los ordinales por debajo de ε ₀ se puede expresar en un alfabeto que contiene solo los símbolos de funciones para la suma, la multiplicación y la exponenciación, así como símbolos constantes para cada número natural y para $ω$ . Podemos eliminar los infinitos números usando solo el símbolo constante 0 y la operación del sucesor, S (por ejemplo, el número natural 4 puede expresarse como S(S(S(S(0))))). Esto describe una notación ordinal : un sistema para nombrar ordinales en un alfabeto finito. Este sistema particular de notación ordinal se llama colección de expresiones ordinales aritméticas y puede expresar todos los ordinales inferiores a ε ₀ , pero no puede expresar ε ₀ . Hay otras notaciones ordinales capaces de capturar ordinales mucho más allá de ε ₀ , pero debido a que solo hay un número contable de cadenas de longitud finita en cualquier alfabeto finito, para cualquier notación ordinal dada habrá ordinales por debajo de $ω 1$ (el primer ordinal incontable ) que son no expresable. Estos ordinales se conocen como ordinales contables grandes .

Las operaciones de suma, multiplicación y exponenciación son ejemplos de funciones ordinales recursivas primitivas , y se pueden utilizar funciones ordinales recursivas primitivas más generales para describir ordinales más grandes.

Operaciones naturales

Las operaciones de suma natural y producto natural en ordinales fueron definidas en 1906 por Gerhard Hessenberg y, a veces, se las denomina suma (o producto) de Hessenberg (Sierpiński 1958). La suma natural de $α$ y $β$ a menudo se denota por $α \oplus β$ o $α # β$ , y el producto natural por $α \otimes β$ o $α ⨳ β$ .

La suma natural y el producto se definen de la siguiente manera. Sea y esté en forma normal de Cantor (es decir, y ). Sean los exponentes ordenados en orden no creciente. Entonces se define como $\alpha =\omega ^{\alpha _{1}}+\cdots +\omega ^{\alpha _{k}}$ $\beta =\omega ^{\beta _{1}}+\cdots +\omega ^{\beta _{\ell }}$ $\alpha _{1}\geq \cdots \geq \alpha _{k}$ $\beta _{1}\geq \cdots \geq \beta _{\ell }$ $\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{k+\ell }$ $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k},\beta _{1},\ldots ,\beta _{\ell }$ $\alpha \oplus \beta$

\alpha \oplus \beta =\omega ^{\gamma _{1}}+\cdots +\omega ^{\gamma _{k+\ell }}.

\alpha

\beta

\alpha \otimes \beta =\bigoplus _{\begin{aligned}&1\leq i\leq k\\&1\leq j\leq \ell \end{aligned}}\omega ^{\alpha _{i}\oplus \beta _{j}}.

\alpha =\omega ^{\omega ^{\omega }}+\omega

\beta =\omega ^{\omega }+\omega ^{5}

\alpha \oplus \beta =\omega ^{\omega ^{\omega }}+\omega ^{\omega }+\omega ^{5}+\omega

\alpha +\beta =\omega ^{\omega ^{\omega }}+\omega ^{\omega }+\omega ^{5}

\alpha \otimes \beta =\omega ^{\omega ^{\omega }+\omega }+\omega ^{\omega ^{\omega }+5}+\omega ^{\omega +1}+\omega ^{6}

\alpha \beta =\omega ^{\omega ^{\omega }+\omega }+\omega ^{\omega ^{\omega }+5}

Las operaciones naturales surgen en la teoría de órdenes bien parciales ; dados dos órdenes bien parciales y , de tipos ordinales y , el tipo ordinal de la unión disjunta es , mientras que el tipo ordinal del producto directo es . ^[2] $S$ $T$ $o(S)$ $o(T)$ $o(S)\oplus o(T)$ $o(S)\otimes o(T)$

La suma natural y el producto son conmutativos y asociativos, y el producto natural se distribuye sobre la suma natural. Las operaciones también son monótonas, en el sentido de que if then ; si entonces ; y si y entonces . $\alpha <\beta$ $\alpha \oplus \gamma <\beta \oplus \gamma$ $\alpha \leq \beta$ $\alpha \otimes \gamma \leq \beta \otimes \gamma$ $\alpha <\beta$ $\gamma >0$ $\alpha \otimes \gamma <\beta \otimes \gamma$

Tenemos . $\underbrace {\alpha \oplus \cdots \oplus \alpha } _{n}=\alpha \otimes n$

Siempre lo hemos hecho y . Si ambos y entonces . Si ambos y entonces . $\alpha +\beta \leq \alpha \oplus \beta$ $\alpha \beta \leq \alpha \otimes \beta$ $\alpha <\omega ^{\gamma }$ $\beta <\omega ^{\gamma }$ $\alpha \oplus \beta <\omega ^{\gamma }$ $\alpha <\omega ^{\omega ^{\gamma }}$ $\beta <\omega ^{\omega ^{\gamma }}$ $\alpha \otimes \beta <\omega ^{\omega ^{\gamma }}$

La suma y el producto naturales no son continuos en el argumento correcto, ya que, por ejemplo , y no ; y , y no . $\lim _{n<\omega }\alpha \oplus n=\alpha +\omega$ $\alpha \oplus \omega$ $\lim _{n<\omega }\alpha \otimes n=\alpha \omega$ $\alpha \otimes \omega$

La suma y el producto naturales son lo mismo que la suma y la multiplicación (restringidas a ordinales) del campo de números surrealistas de John Conway .

Las operaciones naturales surgen en la teoría de órdenes bien parciales ; dados dos órdenes bien parciales $S$ y $T$ , de tipos ( linealizaciones máximas ) $o (S)$ y $o (T)$ , el tipo de unión disjunta es $o (S) \oplus o (T)$ , mientras que el tipo del producto directo es $o (S) \otimes o (T)$ . ^[3] Se puede tomar esta relación como una definición de las operaciones naturales eligiendo $S$ y $T$ como ordinales $α$ y $β$ ; entonces $α \oplus β$ es el tipo de orden máximo de un orden total que extiende la unión disjunta (como un orden parcial) de $α$ y $β$ ; mientras que $α \otimes β$ es el tipo de orden máximo de un pedido total que extiende el producto directo (como un orden parcial) de $α$ y $β$ . ^[4] Una aplicación útil de esto es cuando $α$ y $β$ son subconjuntos de algún orden total mayor; entonces su unión tiene un tipo de orden como máximo $α \oplus β$ . Si ambos son subconjuntos de algún grupo abeliano ordenado , entonces su suma tiene un tipo de orden como máximo $α \otimes β$ .

También podemos definir la suma natural de $α$ y $β$ inductivamente (por inducción simultánea sobre $α$ y $β$ ) como el ordinal más pequeño mayor que la suma natural de $α$ y $γ$ para todo $γ < β$ y de $γ$ y $β$ para todo $γ < α$ . También existe una definición inductiva del producto natural (por inducción mutua), pero es algo tedioso escribirla y no la haremos (ver el artículo sobre números surrealistas para la definición en ese contexto, que, sin embargo, utiliza números surrealistas). resta, algo que obviamente no se puede definir en ordinales).

La suma natural es asociativa y conmutativa. Siempre es mayor o igual a la suma habitual, pero puede ser estrictamente mayor. Por ejemplo, la suma natural de $ω$ y 1 es $ω + 1$ (la suma habitual), pero esta también es la suma natural de 1 y $ω$ . El producto natural es asociativo y conmutativo y se distribuye sobre la suma natural. El producto natural es siempre mayor o igual al producto habitual, pero puede ser estrictamente mayor. Por ejemplo, el producto natural de $ω$ y 2 es $ω \cdot 2$ (el producto habitual), pero este también es el producto natural de 2 y $ω$ .

Bajo suma natural, los ordinales se pueden identificar con los elementos del monoide conmutativo libre generado por los números gamma $ω α$ . Bajo suma y multiplicación natural, los ordinales se pueden identificar con los elementos del semirrelo conmutativo libre generado por los números delta $ω ω α$ . Los ordinales no tienen factorización única en números primos bajo el producto natural. Si bien el anillo polinomial completo tiene una factorización única, el subconjunto de polinomios con coeficientes no negativos no la tiene: por ejemplo, si $x$ es cualquier número delta, entonces

x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 = (x + 1 ) (x 4 + x 2 + 1 ) = (x 2 + x + 1 ) (x 3 + 1 )

tiene dos expresiones incompatibles como producto natural de polinomios con coeficientes no negativos que no se pueden descomponer más.

Aritmética ágil

Existen operaciones aritméticas sobre ordinales en virtud de la correspondencia uno a uno entre ordinales y números . Tres operaciones comunes con números son la suma de números, la multiplicación de números y la exclusión mínima (mex) . La suma de números es una generalización de la operación exclusiva bit a bit en números naturales. El $mex$ de un conjunto de ordinales es el ordinal más pequeño que no está presente en el conjunto.

Notas

^ Ernst Jacobsthal, Vertauschbarkeit transfiniter Ordnungszahlen, Mathematische Annalen , Bd 64 (1907), 475-488. Disponible aquí
^ DHJ De Jongh y R. Parikh, Ordenamientos y jerarquías bien parciales, Indag. Matemáticas. 39 (1977), 195-206. Disponible aquí
^ DHJ De Jongh y R. Parikh, Ordenamientos y jerarquías bien parciales, Indag. Matemáticas. 39 (1977), 195-206. Disponible aquí
^ Philip W. Carruth, Aritmética de ordinales con aplicaciones a la teoría de grupos abelianos ordenados, Bull. América. Matemáticas. Soc. 48 (1942), 262–271. Ver Teorema 1. Disponible aquí

Referencias

Thomas Jech (21 de marzo de 2006). Teoría de conjuntos: edición del tercer milenio, revisada y ampliada. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-3-540-44085-7.
Kunen, Kenneth , 1980. Teoría de conjuntos: una introducción a las pruebas de independencia . Elsevier. ISBN 0-444-86839-9 .
Sierpiński, Wacław (1958), Números cardinales y ordinales , Polska Akademia Nauk Monografie Matematyczne, vol. 34, Varsovia: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, MR 0095787

enlaces externos

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