Campo cerrado real

Campo no algebraicamente cerrado cuya extensión por sqrt(–1) es algebraicamente cerrada

En matemáticas , un campo real cerrado es un campo F que tiene las mismas propiedades de primer orden que el campo de los números reales . Algunos ejemplos son el campo de los números reales, el campo de los números algebraicos reales y el campo de los números hiperreales .

Definición

Un campo real cerrado es un campo F en el que se cumple cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:

1. F es elementalmente equivalente a los números reales. En otras palabras, tiene las mismas propiedades de primer orden que los reales: cualquier oración en el lenguaje de campos de primer orden es verdadera en F si y sólo si es verdadera en los reales.
2. Hay un orden total en F que lo convierte en un campo ordenado tal que, en este orden, cada elemento positivo de F tiene una raíz cuadrada en F y cualquier polinomio de grado impar con coeficientes en F tiene al menos una raíz en F.
3. F es un campo formalmente real tal que todo polinomio de grado impar con coeficientes en F tiene al menos una raíz en F , y para cada elemento a de F hay b en F tal que a  =  b ² o a  = − b ² .
4. F no es algebraicamente cerrado , pero su cierre algebraico es una extensión finita .
5. F no es algebraicamente cerrada pero la extensión del campo sí lo es. ${\displaystyle F({\sqrt {-1}}\,)}$
6. Hay un orden en F que no se extiende a un orden en cualquier extensión algebraica adecuada de F.
7. F es un campo formalmente real tal que ninguna extensión algebraica adecuada de F es formalmente real. (En otras palabras, el campo es máximo en una clausura algebraica con respecto a la propiedad de ser formalmente real).
8. Hay un orden en F que lo convierte en un campo ordenado tal que, en este orden, el teorema del valor intermedio se cumple para todos los polinomios sobre F con grado ≥ 0.
9. F es un campo ordenado débilmente o-mínimo . ^[1]

Ejemplos de campos cerrados reales.

• el campo de los números algebraicos reales
• el campo de los números computables
• el campo de números definibles
• el campo de los números reales
• el campo de la serie de Puiseux con coeficientes reales
• el campo Levi-Civita
• los campos numéricos hiperrealistas
• los campos numéricos superreales
• el campo de los números surrealistas

Cierre real

Si F es un campo ordenado, el teorema de Artin-Schreier establece que F tiene una extensión algebraica, llamada cierre real K de F , tal que K es un campo real cerrado cuyo ordenamiento es una extensión del ordenamiento dado en F , y es único hasta un isomorfismo único de campos idénticos en F ^[2] (tenga en cuenta que cada homomorfismo de anillo entre campos cerrados reales automáticamente preserva el orden , porque x  ≤  y si y solo si ∃ z  : y  =  x  +  z ² ). Por ejemplo, el cierre real del cuerpo ordenado de los números racionales es el cuerpo de los números algebraicos reales. El teorema lleva el nombre de Emil Artin y Otto Schreier , quienes lo demostraron en 1926. ${\displaystyle \mathbb {R} _{\mathrm {alg} }}$

Si ( F , P ) es un campo ordenado y E es una extensión de Galois de F , entonces, según el lema de Zorn, hay una extensión de campo ordenada máxima ( M , Q ) con M un subcampo de E que contiene F y el orden en M se extiende PAG . Esta M , junto con su orden Q , se llama clausura real relativa de ( F , P ) en E. Llamamos ( F , P ) real cerrado con respecto a E si M es solo F. Cuando E es la clausura algebraica de F, la clausura real relativa de F en E es en realidad la clausura real de F descrita anteriormente. ^[3]

Si F es un campo (no se supone ningún orden compatible con las operaciones de campo, ni se supone que F sea ordenable), entonces F todavía tiene un cierre real, que puede que ya no sea un campo, sino simplemente un anillo cerrado real . Por ejemplo, el cierre real del campo es el anillo (las dos copias corresponden a los dos ordenamientos de ). En cambio, si se considera como un subcampo ordenado de , su cierre real vuelve a ser el campo . ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\mathrm {alg} }\!\times \mathbb {R} _{\mathrm {alg} }}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\mathrm {alg} }}$

Decidibilidad y eliminación de cuantificadores.

El lenguaje de campos cerrados reales incluye símbolos para las operaciones de suma y multiplicación, las constantes 0 y 1, y la relación de orden ≤ (así como la igualdad, si ésta no se considera un símbolo lógico). En este lenguaje, la teoría (de primer orden) de campos reales cerrados, consta de todas las oraciones que se derivan de los siguientes axiomas: ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{rcf}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\text{rcf}}}$

• los axiomas de campos ordenados ;
• el axioma que afirma que todo número positivo tiene raíz cuadrada;
• para cada número impar , el axioma que afirma que todos los polinomios de grado tienen al menos una raíz. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$

Todos estos axiomas pueden expresarse en lógica de primer orden (es decir, la cuantificación abarca sólo elementos del campo). Tenga en cuenta que es solo el conjunto de todas las oraciones de primer orden que son verdaderas sobre el cuerpo de los números reales. ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\text{rcf}}}$

Tarski demostró que es completo , lo que significa que cualquier oración puede demostrarse como verdadera o falsa a partir de los axiomas anteriores. Además, es decidible , lo que significa que existe un algoritmo para determinar la verdad o falsedad de cualquier oración de este tipo. Esto se hizo mostrando la eliminación del cuantificador : hay un algoritmo que, dada cualquier fórmula , que puede contener variables libres , produce una fórmula equivalente sin cuantificador en las mismas variables libres, donde equivalente significa que las dos fórmulas son verdaderas exactamente para el mismos valores de las variables. La prueba de Tarski utiliza una generalización del teorema de Sturm . Dado que la veracidad de las fórmulas sin cuantificadores y sin variables libres puede comprobarse fácilmente, se obtiene el procedimiento de decisión deseado. Estos resultados se obtuvieron c.  1930 y publicado en 1948. ^[4] ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\text{rcf}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{rcf}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\text{rcf}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{rcf}}}$

El teorema de Tarski-Seidenberg extiende este resultado al siguiente teorema de proyección . Si R es un campo cerrado real, una fórmula con n variables libres define un subconjunto de R ⁿ , el conjunto de los puntos que satisfacen la fórmula. Tal subconjunto se llama conjunto semialgebraico . Dado un subconjunto de k variables, la proyección de R ⁿ a R ^k es la función que asigna cada n -tupla a la k -tupla de los componentes correspondientes al subconjunto de variables. El teorema de proyección afirma que una proyección de un conjunto semialgebraico es un conjunto semialgebraico, y que existe un algoritmo que, dada una fórmula sin cuantificadores que define un conjunto semialgebraico, produce una fórmula sin cuantificadores para su proyección.

De hecho, el teorema de proyección es equivalente a la eliminación de cuantificadores, ya que la proyección de un conjunto semialgebraico definido por la fórmula p ( x , y ) se define por

${\displaystyle (\exists x)P(x,y),}$

donde xey representan respectivamente el conjunto de variables eliminadas y el conjunto de variables mantenidas.

La decidibilidad de una teoría de primer orden de los números reales depende dramáticamente de las operaciones y funciones primitivas que se consideran (aquí suma y multiplicación). Agregar otros símbolos de funciones, por ejemplo, la función seno o exponencial , puede proporcionar teorías indecidibles; véase el teorema de Richardson y Decidibilidad de las teorías de primer orden de los números reales .

Además, la completitud y la decidibilidad de la teoría de primer orden de los números reales (usando la suma y la multiplicación) contrasta marcadamente con los resultados de Gödel y Turing sobre la incompletitud y la indecidibilidad de la teoría de primer orden de los números naturales (usando suma y multiplicación). No hay contradicción, ya que la afirmación " x es un número entero" no puede formularse como una fórmula de primer orden en el lenguaje . ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{rcf}}}$

Complejidad de decidir 𝘛 rcf

El algoritmo original de Tarski para la eliminación de cuantificadores tiene una complejidad computacional no elemental , lo que significa que ninguna torre

${\displaystyle 2^{2^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{n}}}}}}$

Puede limitar el tiempo de ejecución del algoritmo si n es el tamaño de la fórmula de entrada. La descomposición algebraica cilíndrica , introducida por George E. Collins , proporciona un algoritmo de complejidad mucho más practicable.

${\displaystyle d^{2^{O(n)}}}$

donde n es el número total de variables (libres y ligadas), d es el producto de los grados de los polinomios que aparecen en la fórmula y O ( n ) es la notación O grande .

Davenport y Heintz (1988) demostraron que esta complejidad del peor de los casos es casi óptima para la eliminación de cuantificadores al producir una familia Φ _n de fórmulas de longitud O ( n ) , con n cuantificadores y que involucran polinomios de grado constante, de modo que cualquier cuantificador- La fórmula libre equivalente a Φ _n debe involucrar polinomios de grado y longitud donde la notación Omega es grande . Esto muestra que tanto la complejidad temporal como la complejidad espacial de la eliminación del cuantificador son intrínsecamente doble exponencial . ${\displaystyle 2^{2^{\Omega (n)}}}$ ${\displaystyle 2^{2^{\Omega (n)}},}$ ${\displaystyle \Omega (n)}$

Para el problema de decisión, Ben-Or, Kozen y Reif (1986) afirmaron haber demostrado que la teoría de campos cerrados reales es decidible en el espacio exponencial y, por tanto, en el tiempo doble exponencial, pero su argumento (en el caso de más de una variable) generalmente se considera defectuosa; véase Renegar (1992) para una discusión.

Para fórmulas puramente existenciales, es decir, para fórmulas de la forma

∃ x ₁ , ..., ∃ x _k P ₁ ( x ₁ , ..., x _k ) ⋈ 0 ∧ ... ∧ P _s ( x ₁ , ..., x _k ) ⋈ 0,

donde ⋈ representa <, > o  = , la complejidad es menor. Basu y Roy (1996) proporcionaron un algoritmo de buen comportamiento para decidir la verdad de dicha fórmula existencial con una complejidad de s ^{k +1} d ^{O ( k )} operaciones aritméticas y espacio polinomial .

Propiedades del pedido

Una propiedad de crucial importancia de los números reales es que son un campo de Arquímedes , lo que significa que tienen la propiedad de Arquímedes de que para cualquier número real, hay un número entero mayor que él en valor absoluto . Tenga en cuenta que esta afirmación no se puede expresar en el lenguaje de primer orden de campos ordenados, ya que no es posible cuantificar sobre números enteros en ese lenguaje.

Hay campos reales cerrados que no son de Arquímedes ; por ejemplo, cualquier campo de números hiperreales es real cerrado y no arquimediano. Estos campos contienen elementos infinitamente grandes (más grandes que cualquier número entero) e infinitesimales (positivos pero más pequeños que cualquier racional positivo).

La propiedad de Arquímedes está relacionada con el concepto de cofinalidad . Un conjunto X contenido en un conjunto ordenado F es cofinal en F si para cada y en F hay una x en X tal que y < x . En otras palabras, X es una secuencia ilimitada en F . La cofinalidad de F es la cardinalidad del conjunto cofinal más pequeño, es decir, el tamaño de la cardinalidad más pequeña que da una secuencia ilimitada. Por ejemplo, los números naturales son cofinales en los reales y, por tanto, la cofinalidad de los reales es . ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Por tanto, tenemos las siguientes invariantes que definen la naturaleza de un campo cerrado real F :

• La cardinalidad de F .
• La cofinalidad de F .

A esto podemos agregar

• El peso de F , que es el tamaño mínimo de un subconjunto denso de F .

Estos tres números cardinales nos dicen mucho sobre las propiedades de orden de cualquier campo cerrado real, aunque puede ser difícil descubrir cuáles son, especialmente si no estamos dispuestos a invocar la hipótesis del continuo generalizado . También hay propiedades particulares que pueden cumplirse o no:

• Un campo F está completo si no hay un campo ordenado K que contenga adecuadamente a F tal que F sea denso en K. Si la cofinalidad de F es κ , esto equivale a decir que las secuencias de Cauchy indexadas por κ son convergentes en F.
• Un campo ordenado F tiene la propiedad del conjunto eta η _α , para el número ordinal α , si para dos subconjuntos cualesquiera L y U de F de cardinalidad menor que tal que cada elemento de L sea menor que cada elemento de U , hay un elemento x en F con x mayor que cada elemento de L y menor que cada elemento de U . Esto está estrechamente relacionado con la propiedad teórica del modelo de ser un modelo saturado ; Dos campos reales cerrados cualesquiera son η _α si y solo si están -saturados, y además dos campos cerrados reales η _α, ambos de cardinalidad, son de orden isomorfos . ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$ ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$ ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$

La hipótesis del continuo generalizado

Las características de los campos cerrados reales se vuelven mucho más simples si estamos dispuestos a asumir la hipótesis del continuo generalizado . Si se cumple la hipótesis del continuo, todos los campos reales cerrados con cardinalidad del continuo y que tienen la propiedad η ₁ son isomórficos de orden. Este campo único Ϝ se puede definir mediante una ultrapotencia , como , donde M es un ideal máximo que no conduce a un orden de campo isomorfo a . Este es el campo numérico hiperreal más utilizado en análisis no estándar y su unicidad es equivalente a la hipótesis del continuo. (Incluso sin la hipótesis del continuo tenemos que si la cardinalidad del continuo es entonces tenemos un campo de tamaño η β único ). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }/\mathbf {M} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \aleph _{\beta }}$ ${\displaystyle \aleph _{\beta }}$

Además, no necesitamos ultrapotencias para construir Ϝ , podemos hacerlo de manera mucho más constructiva como el subcampo de una serie con un número contable de términos distintos de cero del campo de una serie de potencias formal en un grupo abeliano divisible G totalmente ordenado que es un η 1 grupo de cardinalidad (Alling 1962). ${\displaystyle \mathbb {R} [[G]]}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$

Ϝ sin embargo no es un campo completo; si lo completamos, terminamos con un campo Κ de cardinalidad mayor. Ϝ tiene la cardinalidad del continuo, que por hipótesis es , Κ tiene cardinalidad y contiene Ϝ como un subcampo denso. No es un ultrapoder pero es un campo hiperreal y, por tanto, un campo adecuado para usos de análisis no estándar. Puede verse como el análogo de dimensiones superiores de los números reales; con cardinalidad en lugar de , cofinalidad en lugar de , y peso en lugar de , y con la propiedad η ₁ en lugar de la propiedad η ₀ (que simplemente significa que entre dos números reales cualesquiera podemos encontrar otro). ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle \aleph _{2}}$ ${\displaystyle \aleph _{2}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Geometría euclidiana elemental

Los axiomas de Tarski son un sistema de axiomas para la porción de primer orden ("elemental") de la geometría euclidiana . Utilizando esos axiomas, se puede demostrar que los puntos de una recta forman un campo cerrado real R, y se pueden introducir coordenadas de modo que el plano euclidiano se identifique con R ² . Empleando la decidibilidad de la teoría de campos cerrados reales, Tarski demostró que la teoría elemental de la geometría euclidiana es completa y decidible. ^[4]

Notas

1. D. Macpherson y col. (1998)
2. Rajwade (1993) págs. 222-223
3. Efrat (2006) pág. 177
4. McNaughton, Robert (1953). "Revisión: un método de decisión para álgebra y geometría elementales de A. Tarski" (PDF) . Toro. América. Matemáticas. Soc . 59 (1): 91–93. doi : 10.1090/s0002-9904-1953-09664-1 .

Referencias

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• Basu, Saugata, Richard Pollack y Marie-Françoise Roy (2003) "Algoritmos en geometría algebraica real" en Algoritmos y computación en matemáticas . Saltador. ISBN 3-540-33098-4 (versión en línea) 
• Michael Ben-Or, Dexter Kozen y John Reif, La complejidad del álgebra y la geometría elementales , Journal of Computer and Systems Sciences 32 (1986), no. 2, págs. 251–264.
• Caviness, BF y Jeremy R. Johnson, eds. (1998) Eliminación de cuantificadores y descomposición algebraica cilíndrica . Saltador. ISBN 3-211-82794-3 
• Chen Chung Chang y Howard Jerome Keisler (1989) Teoría de modelos . Holanda del Norte.
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• Efrat, Ido (2006). Valoraciones, ordenamientos y teoría de Milnor K. Encuestas y monografías matemáticas. vol. 124. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 0-8218-4041-X. Zbl  1103.12002.
• Macpherson, D., Marker, D. y Steinhorn, C., Estructuras débilmente mínimas y campos reales cerrados , Trans. de las matemáticas americanas. Social, vol. 352, núm. 12, 1998.
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• Rajwade, AR (1993). Cuadrados . Serie de notas de conferencias de la Sociedad Matemática de Londres. vol. 171. Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-42668-5. Zbl  0785.11022.
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• Alfred Tarski (1951) Un método de decisión para álgebra y geometría elementales . Univ. de Prensa de California.
• Erdös, P.; Gillman, L.; Henriksen, M. (1955), "Un teorema de isomorfismo para campos reales cerrados", Ann. de Matemáticas. , 2, 61 (3): 542–554, doi :10.2307/1969812, JSTOR  1969812, SEÑOR  0069161

enlaces externos

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