Diferencia finita

Análogo discreto de una derivada

Una diferencia finita es una expresión matemática de la forma f  ( x + b ) − f  ( x + a ) . Si una diferencia finita se divide por b − a , se obtiene un cociente de diferencias . La aproximación de derivadas por diferencias finitas juega un papel central en los métodos de diferencias finitas para la solución numérica de ecuaciones diferenciales , especialmente problemas de valores en la frontera .

El operador de diferencia , comúnmente denominado como , es el operador que asigna una función f a la función definida por Una ecuación de diferencia es una ecuación funcional que involucra al operador de diferencia finita de la misma manera que una ecuación diferencial involucra derivadas . Existen muchas similitudes entre las ecuaciones de diferencia y las ecuaciones diferenciales, especialmente en los métodos de resolución. Ciertas relaciones de recurrencia se pueden escribir como ecuaciones de diferencia reemplazando la notación de iteración con diferencias finitas. ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta [f]}$ $${\displaystyle \Delta [f](x)=f(x+1)-f(x).}$$

En el análisis numérico , las diferencias finitas se utilizan ampliamente para aproximar derivadas, y el término "diferencia finita" se utiliza a menudo como abreviatura de "aproximación de diferencias finitas de derivadas". ^{[1] [2] [3]} Las aproximaciones de diferencias finitas son cocientes de diferencias finitas en la terminología empleada anteriormente.

Las diferencias finitas fueron introducidas por Brook Taylor en 1715 y también han sido estudiadas como objetos matemáticos abstractos y autónomos en obras de George Boole (1860), LM Milne-Thomson (1933) y Károly Jordan  [de] (1939). Las diferencias finitas tienen su origen en uno de los algoritmos de Jost Bürgi ( c.  1592 ) y en el trabajo de otros, incluido Isaac Newton . El cálculo formal de diferencias finitas puede considerarse una alternativa al cálculo de infinitesimales . ^[4]

Tipos básicos

Los tres tipos de diferencias finitas. La diferencia central respecto de x proporciona la mejor aproximación de la derivada de la función en x .

Se consideran comúnmente tres tipos básicos: diferencias finitas hacia adelante , hacia atrás y centrales . ^{[1] [2] [3]}

Adiferencia hacia adelante , denotadapor unafunciónfes una función definida como ${\displaystyle \Delta _{h}[f],}$ $${\displaystyle \Delta _{h}[f](x)=f(x+h)-f(x).}$$

Dependiendo de la aplicación, el espaciamiento h puede ser variable o constante. Cuando se omite, h se toma como 1; es decir, $${\displaystyle \Delta [f](x)=\Delta _{1}[f](x)=f(x+1)-f(x).}$$

ALa diferencia hacia atrás utiliza los valores de la función enxy x − h , en lugar de los valores en x + h y x: $${\displaystyle \nabla _{h}[f](x)=f(x)-f(x-h)=\Delta _{h}[f](x-h).}$$

Finalmente, elLa diferencia central viene dada por $${\displaystyle \delta _{h}[f](x)=f(x+{\tfrac {h}{2}})-f(x-{\tfrac {h}{2}})=\Delta _{h/2}[f](x)+\nabla _{h/2}[f](x).}$$

Relación con los derivados

La diferencia finita se utiliza a menudo como una aproximación de la derivada, normalmente en la diferenciación numérica .

La derivada de una función f en un punto x está definida por el límite $${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.}$$

Si h tiene un valor fijo (distinto de cero) en lugar de acercarse a cero, entonces el lado derecho de la ecuación anterior se escribiría $${\displaystyle {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}.}$$

Por lo tanto, la diferencia hacia delante dividida por h aproxima la derivada cuando h es pequeña. El error en esta aproximación se puede derivar del teorema de Taylor . Suponiendo que f es dos veces diferenciable, tenemos $${\displaystyle {\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=o(h)\to 0\quad {\text{as }}h\to 0.}$$

La misma fórmula se aplica a la diferencia hacia atrás: $${\displaystyle {\frac {\nabla _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=o(h)\to 0\quad {\text{as }}h\to 0.}$$

Sin embargo, la diferencia central (también llamada centrada) produce una aproximación más precisa. Si f es tres veces diferenciable, $${\displaystyle {\frac {\delta _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=o\left(h^{2}\right).}$$

Sin embargo, el problema principal ^{[ cita requerida ]} con el método de diferencia central es que las funciones oscilantes pueden dar como resultado una derivada cero. Si f  ( nh ) = 1 para n impar, y f  ( nh ) = 2 para n par, entonces f  ′( nh ) = 0 si se calcula con el esquema de diferencia central . Esto es particularmente problemático si el dominio de f es discreto. Véase también Derivada simétrica .

Los autores para quienes las diferencias finitas significan aproximaciones de diferencias finitas definen las diferencias hacia adelante/hacia atrás/centrales como los cocientes dados en esta sección (en lugar de emplear las definiciones dadas en la sección anterior). ^{[1] [2] [3]}

Diferencias de orden superior

De manera análoga, se pueden obtener aproximaciones de diferencias finitas para derivadas de orden superior y operadores diferenciales. Por ejemplo, utilizando la fórmula de diferencia central anterior para f  ′( x + ⁠yo/2⁠ ) ​​y f  ′( x − ⁠yo/2⁠ ) ​​y aplicando una fórmula de diferencia central para la derivada de f  ′ en x , obtenemos la aproximación de diferencia central de la segunda derivada de f :

Central de segundo orden

${\displaystyle f''(x)\approx {\frac {\delta _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}}{h}}={\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}.}$

De manera similar podemos aplicar otras fórmulas de diferenciación de manera recursiva.

Segundo orden hacia adelante

${\displaystyle f''(x)\approx {\frac {\Delta _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x+2h)-f(x+h)}{h}}-{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}{h}}={\frac {f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h^{2}}}.}$

Segundo orden hacia atrás

${\displaystyle f''(x)\approx {\frac {\nabla _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}-{\frac {f(x-h)-f(x-2h)}{h}}}{h}}={\frac {f(x)-2f(x-h)+f(x-2h)}{h^{2}}}.}$

De manera más general, las diferencias hacia adelante, hacia atrás y centrales de orden n se dan, respectivamente,

Adelante

${\displaystyle \Delta _{h}^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{n-i}{\binom {n}{i}}f{\bigl (}x+ih{\bigr )},}$

Hacia atrás

${\displaystyle \nabla _{h}^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f(x-ih),}$

Central

${\displaystyle \delta _{h}^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f\left(x+\left({\frac {n}{2}}-i\right)h\right).}$

Estas ecuaciones utilizan coeficientes binomiales después del signo de suma que se muestra como (^yo
_​) . Cada fila deltriángulo de Pascalproporciona el coeficiente para cada valor dei.

Nótese que la diferencia central, para n impar , tendrá h multiplicada por números no enteros. Esto suele ser un problema porque equivale a cambiar el intervalo de discretización. El problema se puede solucionar sustituyendo el promedio de y ${\displaystyle \ \delta ^{n}[f](\ x-{\tfrac {\ h\ }{2}}\ )\ }$ ${\displaystyle \ \delta ^{n}[f](\ x+{\tfrac {\ h\ }{2}}\ )~.}$

Las diferencias hacia delante aplicadas a una secuencia se denominan a veces transformada binomial de la secuencia y tienen varias propiedades combinatorias interesantes. Las diferencias hacia delante se pueden evaluar utilizando la integral de Nörlund–Rice . La representación integral para este tipo de series es interesante, porque la integral a menudo se puede evaluar utilizando técnicas de expansión asintótica o de punto de silla ; por el contrario, la serie de diferencias hacia delante puede ser extremadamente difícil de evaluar numéricamente, porque los coeficientes binomiales crecen rápidamente para valores grandes de n .

La relación de estas diferencias de orden superior con las respectivas derivadas es sencilla: $${\displaystyle {\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}(x)={\frac {\Delta _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+o(h)={\frac {\nabla _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+o(h)={\frac {\delta _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+o\left(h^{2}\right).}$$

También se pueden utilizar diferencias de orden superior para construir mejores aproximaciones. Como se mencionó anteriormente, la diferencia de primer orden aproxima la derivada de primer orden hasta un término de orden h . Sin embargo, la combinación aproxima f  ′( x ) hasta un término de orden h ² . Esto se puede demostrar desarrollando la expresión anterior en series de Taylor o utilizando el cálculo de diferencias finitas, que se explica a continuación. $${\displaystyle {\frac {\Delta _{h}[f](x)-{\frac {1}{2}}\Delta _{h}^{2}[f](x)}{h}}=-{\frac {f(x+2h)-4f(x+h)+3f(x)}{2h}}}$$

Si es necesario, la diferencia finita se puede centrar en cualquier punto mezclando diferencias hacia adelante, hacia atrás y centrales.

Polinomios

Para un polinomio dado de grado n ≥ 1 , expresado en la función P ( x ) , con números reales a ≠ 0 y b y términos de orden inferior (si los hay) marcados como lot : $${\displaystyle P(x)=ax^{n}+bx^{n-1}+l.o.t.}$$

Después de n diferencias por pares, se puede obtener el siguiente resultado, donde h ≠ 0 es un número real que marca la diferencia aritmética: ^[5] $${\displaystyle \Delta _{h}^{n}[P](x)=ah^{n}n!}$$

Solo queda el coeficiente del término de orden más alto. Como este resultado es constante con respecto a x , cualquier diferencia por pares adicional tendrá el valor 0 .

Prueba inductiva

Caso base

Sea Q ( x ) un polinomio de grado 1 : $${\displaystyle \Delta _{h}[Q](x)=Q(x+h)-Q(x)=[a(x+h)+b]-[ax+b]=ah=ah^{1}1!}$$

Esto lo demuestra para el caso base.

Paso inductivo

Sea R ( x ) un polinomio de grado m  − 1 donde m ≥ 2 y el coeficiente del término de mayor orden sea a ≠ 0 . Suponiendo que lo siguiente es cierto para todos los polinomios de grado m  − 1 : $${\displaystyle \Delta _{h}^{m-1}[R](x)=ah^{m-1}(m-1)!}$$

Sea S ( x ) un polinomio de grado m . Con una diferencia por pares: $${\displaystyle \Delta _{h}[S](x)=[a(x+h)^{m}+b(x+h)^{m-1}+{\text{l.o.t.}}]-[ax^{m}+bx^{m-1}+{\text{l.o.t.}}]=ahmx^{m-1}+{\text{l.o.t.}}=T(x)}$$

Como ahm ≠ 0 , esto da como resultado un polinomio T ( x ) de grado m − 1 , con ahm como el coeficiente del término de orden más alto. Dado el supuesto anterior y m − 1 diferencias por pares (lo que da como resultado un total de m diferencias por pares para S ( x ) ), se puede encontrar que: $${\displaystyle \Delta _{h}^{m-1}[T](x)=ahm\cdot h^{m-1}(m-1)!=ah^{m}m!}$$

Con esto finaliza la prueba.

Solicitud

Esta identidad se puede utilizar para encontrar el polinomio de grado más bajo que intercepta una cantidad de puntos ( x , y ) donde la diferencia en el eje x de un punto al siguiente es una constante h ≠ 0 . Por ejemplo, dados los siguientes puntos:

Podemos utilizar una tabla de diferencias, donde para todas las celdas a la derecha de la primera y , existe la siguiente relación con las celdas en la columna inmediatamente a la izquierda para una celda ( a + 1, b + 1) , con la celda superior izquierda en la coordenada (0, 0) : $${\displaystyle (a+1,b+1)=(a,b+1)-(a,b)}$$

Para encontrar el primer término se puede utilizar la siguiente tabla:

Esto da como resultado una constante de 648. La diferencia aritmética es h = 3 , como se estableció anteriormente. Dado el número de diferencias por pares necesarias para alcanzar la constante, se puede suponer que se trata de un polinomio de grado 3. Por lo tanto, utilizando la identidad anterior: $${\displaystyle 648=a\cdot 3^{3}\cdot 3!=a\cdot 27\cdot 6=a\cdot 162}$$

Resolviendo para a , se puede encontrar que tiene el valor 4 . Por lo tanto, el primer término del polinomio es 4 x ³ .

Luego, restando el primer término, que baja el grado del polinomio, y encontrando nuevamente la diferencia finita:

Aquí, la constante se alcanza después de solo dos diferencias por pares, por lo que se obtiene el siguiente resultado: $${\displaystyle -306=a\cdot 3^{2}\cdot 2!=a\cdot 18}$$

Resolviendo para a , que es −17 , el segundo término del polinomio es −17 x ² .

Pasando al siguiente término, restando el segundo término:

Por lo tanto, la constante se alcanza después de una sola diferencia por pares: $${\displaystyle 108=a\cdot 3^{1}\cdot 1!=a\cdot 3}$$

Se puede encontrar que a = 36 y por lo tanto el tercer término del polinomio es 36 x . Restando el tercer término:

Sin diferencias por pares, se encuentra que el cuarto y último término del polinomio es la constante −19 . Por lo tanto, se encuentra el polinomio de menor grado que intercepta todos los puntos de la primera tabla: $${\displaystyle 4x^{3}-17x^{2}+36x-19}$$

Granos de tamaño arbitrario

Utilizando el álgebra lineal se pueden construir aproximaciones de diferencias finitas que utilizan un número arbitrario de puntos a la izquierda y un número (posiblemente diferente) de puntos a la derecha del punto de evaluación, para cualquier orden de derivada. Esto implica resolver un sistema lineal de modo que la expansión de Taylor de la suma de esos puntos alrededor del punto de evaluación se aproxime mejor a la expansión de Taylor de la derivada deseada. Tales fórmulas se pueden representar gráficamente en una cuadrícula hexagonal o en forma de diamante. ^[6] Esto es útil para diferenciar una función en una cuadrícula, donde, a medida que uno se acerca al borde de la cuadrícula, uno debe muestrear cada vez menos puntos en un lado. ^[7] Se pueden construir aproximaciones de diferencias finitas para plantillas no estándar (e incluso no enteras) dada una plantilla arbitraria y un orden de derivada deseado. ^[8]

Propiedades

• Para todos los k y n positivos $${\displaystyle \Delta _{kh}^{n}(f,x)=\sum \limits _{i_{1}=0}^{k-1}\sum \limits _{i_{2}=0}^{k-1}\cdots \sum \limits _{i_{n}=0}^{k-1}\Delta _{h}^{n}\left(f,x+i_{1}h+i_{2}h+\cdots +i_{n}h\right).}$$
• Regla de Leibniz : $${\displaystyle \Delta _{h}^{n}(fg,x)=\sum \limits _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\Delta _{h}^{k}(f,x)\Delta _{h}^{n-k}(g,x+kh).}$$

En ecuaciones diferenciales

Una aplicación importante de las diferencias finitas es en el análisis numérico , especialmente en las ecuaciones diferenciales numéricas , que tienen como objetivo la solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales . La idea es reemplazar las derivadas que aparecen en la ecuación diferencial por diferencias finitas que las aproximen. Los métodos resultantes se denominan métodos de diferencias finitas .

Las aplicaciones comunes del método de diferencias finitas se encuentran en las ciencias computacionales y disciplinas de ingeniería, como la ingeniería térmica , la mecánica de fluidos , etc.

Serie de Newton

La serie de Newton consiste en los términos de la ecuación diferencial directa de Newton , llamada así por Isaac Newton ; en esencia, es la fórmula de interpolación de Gregory-Newton ^[9] (llamada así por Isaac Newton y James Gregory ), publicada por primera vez en sus Principia Mathematica en 1687, ^{[10] [11]} es decir, el análogo discreto de la expansión continua de Taylor,

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k}[f](a)}{k!}}\,(x-a)_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {x-a}{k}}\,\Delta ^{k}[f](a),}$

lo cual es válido para cualquier función polinómica f y para muchas (pero no todas) funciones analíticas . (No es válido cuando f es de tipo exponencial . Esto se ve fácilmente, ya que la función seno se desvanece en múltiplos enteros de ; la serie de Newton correspondiente es idénticamente cero, ya que todas las diferencias finitas son cero en este caso. Sin embargo, claramente, la función seno no es cero.) Aquí, la expresión es el coeficiente binomial , y es el " factorial descendente " o "factorial inferior", mientras que el producto vacío ( x ) ₀ se define como 1. En este caso particular, hay una suposición de pasos unitarios para los cambios en los valores de x , h = 1 de la generalización siguiente. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ $${\displaystyle {\binom {x}{k}}={\frac {(x)_{k}}{k!}}}$$ $${\displaystyle (x)_{k}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)}$$

Obsérvese la correspondencia formal de este resultado con el teorema de Taylor . Históricamente, este , así como la identidad de Chu-Vandermonde (que se deriva de él y corresponde al teorema del binomio ), se incluyen en las observaciones que maduraron hasta convertirse en el sistema de cálculo umbral . $${\displaystyle (x+y)_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(x)_{n-k}\,(y)_{k},}$$

Las expansiones de la serie de Newton pueden ser superiores a las expansiones de la serie de Taylor cuando se aplican a cantidades discretas como espines cuánticos (ver transformación de Holstein-Primakoff ), funciones de operador bosónico o estadísticas de conteo discretas. ^[12]

Para ilustrar cómo se puede utilizar la fórmula de Newton en la práctica real, considere los primeros términos de la duplicación de la secuencia de Fibonacci f = 2, 2, 4, ... Se puede encontrar un polinomio que reproduzca estos valores, calculando primero una tabla de diferencias y luego sustituyendo las diferencias que corresponden a x ₀ (subrayado) en la fórmula de la siguiente manera: $${\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{array}{|c||c|c|c|}\hline x&f=\Delta ^{0}&\Delta ^{1}&\Delta ^{2}\\\hline 1&{\underline {2}}&&\\&&{\underline {0}}&\\2&2&&{\underline {2}}\\&&2&\\3&4&&\\\hline \end{array}}&\quad {\begin{aligned}f(x)&=\Delta ^{0}\cdot 1+\Delta ^{1}\cdot {\dfrac {(x-x_{0})_{1}}{1!}}+\Delta ^{2}\cdot {\dfrac {(x-x_{0})_{2}}{2!}}\quad (x_{0}=1)\\\\&=2\cdot 1+0\cdot {\dfrac {x-1}{1}}+2\cdot {\dfrac {(x-1)(x-2)}{2}}\\\\&=2+(x-1)(x-2)\\\end{aligned}}\end{matrix}}}$$

Para el caso de pasos no uniformes en los valores de x , Newton calcula las diferencias divididas , la serie de productos, y el polinomio resultante es el producto escalar , ^[13] $${\displaystyle \Delta _{j,0}=y_{j},\qquad \Delta _{j,k}={\frac {\Delta _{j+1,k-1}-\Delta _{j,k-1}}{x_{j+k}-x_{j}}}\quad \ni \quad \left\{k>0,\;j\leq \max \left(j\right)-k\right\},\qquad \Delta 0_{k}=\Delta _{0,k}}$$ $${\displaystyle {P_{0}}=1,\quad \quad P_{k+1}=P_{k}\cdot \left(\xi -x_{k}\right),}$$ $${\displaystyle f(\xi )=\Delta 0\cdot P\left(\xi \right).}$$

En el análisis con números p -ádicos , el teorema de Mahler establece que la suposición de que f es una función polinómica puede debilitarse hasta llegar a la suposición de que f es simplemente continua.

El teorema de Carlson establece las condiciones necesarias y suficientes para que una serie de Newton sea única, si es que existe. Sin embargo, en general, una serie de Newton no existe.

La serie de Newton, junto con la serie de Stirling y la serie de Selberg , es un caso especial de la serie de diferencias generales , todas las cuales se definen en términos de diferencias progresivas adecuadamente escaladas.

En una forma comprimida y ligeramente más general y con nodos equidistantes la fórmula se lee $${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}{\binom {\frac {x-a}{h}}{k}}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{\binom {k}{j}}f(a+jh).}$$

Cálculo de diferencias finitas

La diferencia hacia adelante puede considerarse como un operador , llamado operador de diferencia , que asigna la función f a Δ _h [  f  ] . ^{[14] [15]} Este operador equivale a donde  T _h es el operador de desplazamiento con paso h , definido por T _h [  f  ]( x ) = f  ( x + h )  , e  I  es el operador identidad . $${\displaystyle \Delta _{h}=\operatorname {T} _{h}-\operatorname {I} \ ,}$$  

La diferencia finita de órdenes superiores se puede definir de manera recursiva como Δ ^en
_​≡ Δ _h (Δ^{n - 1}
_hora)  . Otra definición equivalente es Δ ^en
_​≡ [ T _h − I ] ⁿ  .

El operador de diferencia Δ _h es un operador lineal , como tal satisface Δ _h [  α f + β g  ]( x ) = α Δ _h [  f  ]( x ) + β Δ _h [ g ]( x )  . 

También satisface una regla especial de Leibniz :

${\displaystyle \ \operatorname {\Delta } _{h}{\bigl (}\ f(x)\ g(x)\ {\bigr )}\ =\ {\bigl (}\ \operatorname {\Delta } _{h}f(x)\ {\bigr )}\ g(x+h)\ +\ f(x)\ {\bigl (}\ \operatorname {\Delta } _{h}g(x)\ {\bigr )}~.}$

Se aplican reglas de Leibniz similares para las diferencias centrales y retrógradas.

Aplicando formalmente la serie de Taylor con respecto a h , se obtiene la ecuación del operador donde D denota el operador de derivada continua convencional, que asigna f a su derivada f  ′  . La expansión es válida cuando ambos lados actúan sobre funciones analíticas , para h suficientemente pequeño ; en el caso especial de que la serie de derivadas termine (cuando la función sobre la que se opera es un polinomio finito ) la expresión es exacta, para todos los tamaños de paso finitos, h . Por lo tanto, T _h = e ^{h D}  , e invirtiendo formalmente el exponencial se obtiene Esta fórmula se cumple en el sentido de que ambos operadores dan el mismo resultado cuando se aplican a un polinomio. $${\displaystyle \operatorname {\Delta } _{h}=h\operatorname {D} +{\frac {1}{2!}}h^{2}\operatorname {D} ^{2}+{\frac {1}{3!}}h^{3}\operatorname {D} ^{3}+\cdots =e^{h\operatorname {D} }-\operatorname {I} \ ,}$$    $${\displaystyle h\operatorname {D} =\ln(1+\Delta _{h})=\Delta _{h}-{\tfrac {1}{2}}\,\Delta _{h}^{2}+{\tfrac {1}{3}}\,\Delta _{h}^{3}-\cdots ~.}$$

Incluso en el caso de funciones analíticas, no se garantiza que la serie de la derecha converja; puede ser una serie asintótica . Sin embargo, se puede utilizar para obtener aproximaciones más precisas para la derivada. Por ejemplo, si se conservan los dos primeros términos de la serie se obtiene la aproximación de segundo orden a f  ′( x ) mencionada al final de la sección § Diferencias de orden superior .

Las fórmulas análogas para los operadores de diferencia central y hacia atrás son $${\displaystyle h\operatorname {D} =-\ln(1-\nabla _{h})\quad {\text{ and }}\quad h\operatorname {D} =2\operatorname {arsinh} \left({\tfrac {1}{2}}\,\delta _{h}\right)~.}$$

El cálculo de diferencias finitas está relacionado con el cálculo umbral de la combinatoria. Esta correspondencia notablemente sistemática se debe a la identidad de los conmutadores de las cantidades umbrales con sus análogos continuos ( límites h → 0 ).

${\displaystyle \left[{\frac {\Delta _{h}}{h}},x\,\operatorname {T} _{h}^{-1}\right]=[\operatorname {D} ,x]=I.}$

Un gran número de relaciones diferenciales formales del cálculo estándar que involucran funciones   f  ( x ) se   asignan sistemáticamente a análogos de diferencias finitas umbrales que involucran f  ( x T ^-1
_hora)  .

Por ejemplo, el análogo umbral de un monomio x ⁿ es una generalización del factorial descendente anterior ( símbolo k de Pochhammer ), de modo que de ahí la fórmula de interpolación de Newton anterior (haciendo coincidir los coeficientes en la expansión de una función arbitraria   f  ( x )   en tales símbolos), y así sucesivamente. $${\displaystyle \ (x)_{n}\equiv \left(\ x\ \operatorname {T} _{h}^{-1}\right)^{n}=x\left(x-h\right)\left(x-2h\right)\cdots {\bigl (}x-\left(n-1\right)\ h{\bigr )}\ ,}$$ $${\displaystyle \ {\frac {\Delta _{h}}{h}}(x)_{n}=n\ (x)_{n-1}\ ,}$$

Por ejemplo, el seno umbral es $${\displaystyle \ \sin \left(x\ \operatorname {T} _{h}^{-1}\right)=x-{\frac {(x)_{3}}{3!}}+{\frac {(x)_{5}}{5!}}-{\frac {(x)_{7}}{7!}}+\cdots \ }$$

Al igual que en el límite continuo , la función propia de   ⁠Δh_​/yo⁠   también resulta ser exponencial,

${\displaystyle \ {\frac {\Delta _{h}}{h}}(1+\lambda h)^{\frac {x}{h}}={\frac {\Delta _{h}}{h}}e^{\ln(1+\lambda h){\frac {x}{h}}}=\lambda e^{\ln(1+\lambda h){\frac {x}{h}}}\ ,}$

y por lo tanto, las sumas de Fourier de funciones continuas se asignan fácil y fielmente a sumas de Fourier umbrales , es decir, involucran los mismos coeficientes de Fourier que multiplican estos exponenciales de base umbrales. ^[16] Por lo tanto, este exponencial umbral equivale a la función generadora exponencial de los símbolos de Pochhammer .

Así, por ejemplo, la función delta de Dirac se asigna a su correspondiente umbral, la función seno cardinal , y así sucesivamente. ^[17] Las ecuaciones diferenciales a menudo se pueden resolver con técnicas muy similares a las utilizadas para resolver ecuaciones diferenciales . $${\displaystyle \ \delta (x)\mapsto {\frac {\sin \left[{\frac {\pi }{2}}\left(1+{\frac {x}{h}}\right)\right]}{\pi (x+h)}}\ ,}$$

El operador inverso del operador de diferencia hacia adelante, y por lo tanto la integral umbral, es el operador de suma indefinida o antidiferencia.

Reglas para el cálculo de operadores de diferencias finitas

De manera análoga a las reglas para encontrar la derivada , tenemos:

• Regla constante : si c es una constante , entonces $${\displaystyle \ \Delta c=0\ }$$
• Linealidad : Si a y b son constantes , $${\displaystyle \ \Delta (a\ f+b\ g)=a\ \Delta f+b\ \Delta g\ }$$

Todas las reglas anteriores se aplican igualmente a cualquier operador de diferencia como Δ , incluidos δ y ∇  . 

• Regla del producto : $${\displaystyle {\begin{aligned}\ \Delta (fg)&=f\,\Delta g+g\,\Delta f+\Delta f\,\Delta g\\[4pt]\nabla (fg)&=f\,\nabla g+g\,\nabla f-\nabla f\,\nabla g\ \end{aligned}}}$$
• Regla del cociente :o $${\displaystyle \ \nabla \left({\frac {f}{g}}\right)=\left.\left(\det {\begin{bmatrix}\nabla f&\nabla g\\f&g\end{bmatrix}}\right)\right/\left(g\cdot \det {\begin{bmatrix}g&\nabla g\\1&1\end{bmatrix}}\right)}$$ $${\displaystyle \nabla \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {g\,\nabla f-f\,\nabla g}{g\cdot (g-\nabla g)}}\ }$$
• Reglas de suma : $${\displaystyle {\begin{aligned}\ \sum _{n=a}^{b}\Delta f(n)&=f(b+1)-f(a)\\\sum _{n=a}^{b}\nabla f(n)&=f(b)-f(a-1)\ \end{aligned}}}$$

Ver referencias. ^{[18] [19] [20] [21]}

Generalizaciones

• Una diferencia finita generalizada se define generalmente como donde μ = ( μ ₀ , …, μ _N ) es su vector de coeficientes. Una diferencia infinita es una generalización adicional, donde la suma finita anterior se reemplaza por una serie infinita . Otra forma de generalización es hacer que los coeficientes μ _k dependan del punto x : μ _k = μ _k ( x ) , considerando así la diferencia finita ponderada . También se puede hacer que el paso h dependa del punto x : h = h ( x ) . Tales generalizaciones son útiles para construir diferentes módulos de continuidad . $${\displaystyle \Delta _{h}^{\mu }[f](x)=\sum _{k=0}^{N}\mu _{k}f(x+kh),}$$
• La diferencia generalizada se puede ver como los anillos polinómicos R [ T _h ] . Esto conduce a álgebras diferenciales.
• El operador de diferencia se generaliza a la inversión de Möbius sobre un conjunto parcialmente ordenado .
• Como operador de convolución: a través del formalismo de las álgebras de incidencia , los operadores de diferencia y otras inversiones de Möbius se pueden representar mediante convolución con una función en el conjunto posexpuesto, llamada función de Möbius μ ; para el operador de diferencia, μ es la secuencia (1, −1, 0, 0, 0, …) .

Diferencias finitas multivariadas

Las diferencias finitas pueden considerarse en más de una variable. Son análogas a las derivadas parciales en varias variables.

Algunas aproximaciones de derivadas parciales son: $${\displaystyle {\begin{aligned}f_{x}(x,y)&\approx {\frac {f(x+h,y)-f(x-h,y)}{2h}}\\f_{y}(x,y)&\approx {\frac {f(x,y+k)-f(x,y-k)}{2k}}\\f_{xx}(x,y)&\approx {\frac {f(x+h,y)-2f(x,y)+f(x-h,y)}{h^{2}}}\\f_{yy}(x,y)&\approx {\frac {f(x,y+k)-2f(x,y)+f(x,y-k)}{k^{2}}}\\f_{xy}(x,y)&\approx {\frac {f(x+h,y+k)-f(x+h,y-k)-f(x-h,y+k)+f(x-h,y-k)}{4hk}}.\end{aligned}}}$$

Como alternativa, para aplicaciones en las que el cálculo de f es el paso más costoso y deben calcularse tanto la primera como la segunda derivada, una fórmula más eficiente para el último caso es ya que los únicos valores a calcular que no son ya necesarios para las cuatro ecuaciones anteriores son f  ( x + h , y + k ) y f  ( x − h , y − k ) . $${\displaystyle f_{xy}(x,y)\approx {\frac {f(x+h,y+k)-f(x+h,y)-f(x,y+k)+2f(x,y)-f(x-h,y)-f(x,y-k)+f(x-h,y-k)}{2hk}},}$$

Véase también

• Cálculo discreto
• Diferencias divididas
• Método de diferencias finitas en el dominio del tiempo (FDTD)
• Método de volumen finito
• Esquema FTCS
• La conjetura de Gilbreath
• Secuencia de Sheffer
• Suma por partes
• Cálculo de escala de tiempo
• Esquema de diferenciación en contra del viento para convección

Referencias

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• Mickens, RE (1991): Ecuaciones diferenciales: teoría y aplicaciones (Chapman y Hall/CRC) ISBN 978-0442001360 

Enlaces externos

• "Cálculo de diferencias finitas", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Tabla de fórmulas útiles de diferencias finitas generadas con Mathematica
• D. Gleich (2005), Cálculo finito: un tutorial para resolver sumas complicadas
• Derivada discreta de segunda variable a partir de puntos espaciados de manera desigual