Suma indefinida

En cálculo discreto, el operador de suma indefinida (también conocido como operador antidiferencia ), denotado por o , ^{[1] [2]} es el operador lineal , inverso del operador de diferencia directa . Se relaciona con el operador de diferencia a plazo como la integral indefinida se relaciona con la derivada . De este modo ${\textstyle \sum _{x}}$ ${\displaystyle \Delta ^{-1}}$ ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \Delta \sum _{x}f(x)=f(x)\,.}$

Más explícitamente, si , entonces ${\textstyle \sum _{x}f(x)=F(x)}$

${\displaystyle F(x+1)-F(x)=f(x)\,.}$

Si F ( x ) es una solución de esta ecuación funcional para un f ( x ) dado, entonces también lo es F ( x ) + C ( x ) para cualquier función periódica C ( x ) con período 1. Por lo tanto, cada suma indefinida en realidad representa una familia de funciones. Sin embargo, debido al teorema de Carlson , la solución igual a su expansión en serie de Newton es única hasta una constante aditiva C. Esta solución única se puede representar mediante la forma formal de series de potencias del operador antidiferencia: . ${\displaystyle \Delta ^{-1}={\frac {1}{e^{D}-1}}}$

Teorema fundamental del cálculo discreto

Se pueden utilizar sumas indefinidas para calcular sumas definidas con la fórmula: ^[3]

${\displaystyle \sum _{k=a}^{b}f(k)=\Delta ^{-1}f(b+1)-\Delta ^{-1}f(a)}$

Definiciones

Fórmula de suma de Laplace

${\displaystyle \sum _{x}f(x)=\int _{0}^{x}f(t)dt-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {c_{k}\Delta ^{k-1}f(x)}{k!}}+C}$

¿Dónde están los números de Cauchy de primera especie, también conocidos como números de Bernoulli de segunda especie? ^{[4] [ cita necesaria ]} ${\displaystyle c_{k}=\int _{0}^{1}{\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-k+1)}}dx}$

la fórmula de newton

${\displaystyle \sum _{x}f(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\binom {x}{k}}\Delta ^{k-1}[f]\left(0\right)+C=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k-1}[f](0)}{k!}}(x)_{k}+C}$

¿Dónde está el factorial decreciente ? ${\displaystyle (x)_{k}={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-k+1)}}}$

La fórmula de Faulhaber.

${\displaystyle \sum _{x}f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f^{(n-1)}(0)}{n!}}B_{n}(x)+C\,,}$

La fórmula de Faulhaber establece que el lado derecho de la ecuación converge.

fórmula de mueller

Si entonces ^[5] ${\displaystyle \lim _{x\to {+\infty }}f(x)=0,}$

${\displaystyle \sum _{x}f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\left(f(n)-f(n+x)\right)+C.}$

Fórmula de Euler-Maclaurin

${\displaystyle \sum _{x}f(x)=\int _{0}^{x}f(t)dt-{\frac {1}{2}}f(x)+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(x)+C}$

Elección del término constante

A menudo, la constante C en suma indefinida se fija a partir de la siguiente condición.

Dejar

${\displaystyle F(x)=\sum _{x}f(x)+C}$

Entonces la constante C se fija a partir de la condición

${\displaystyle \int _{0}^{1}F(x)\,dx=0}$

o

${\displaystyle \int _{1}^{2}F(x)\,dx=0}$

Alternativamente, se puede utilizar la suma de Ramanujan:

${\displaystyle \sum _{x\geq 1}^{\Re }f(x)=-f(0)-F(0)}$

o a las 1

${\displaystyle \sum _{x\geq 1}^{\Re }f(x)=-F(1)}$

respectivamente ^{[6] [7]}

Suma por partes

Suma indefinida por partes:

${\displaystyle \sum _{x}f(x)\Delta g(x)=f(x)g(x)-\sum _{x}(g(x)+\Delta g(x))\Delta f(x)}$

${\displaystyle \sum _{x}f(x)\Delta g(x)+\sum _{x}g(x)\Delta f(x)=f(x)g(x)-\sum _{x}\Delta f(x)\Delta g(x)}$

Suma definitiva por partes:

${\displaystyle \sum _{i=a}^{b}f(i)\Delta g(i)=f(b+1)g(b+1)-f(a)g(a)-\sum _{i=a}^{b}g(i+1)\Delta f(i)}$

Reglas de época

Si es un periodo de función entonces ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle \sum _{x}f(Tx)=xf(Tx)+C}$

Si es un antiperíodo de función , entonces es ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x+T)=-f(x)}$

${\displaystyle \sum _{x}f(Tx)=-{\frac {1}{2}}f(Tx)+C}$

Uso alternativo

Algunos autores utilizan la frase "suma indefinida" para describir una suma en la que no se da el valor numérico del límite superior:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(k).}$

En este caso, una expresión en forma cerrada F ( k ) para la suma es una solución de

${\displaystyle F(x+1)-F(x)=f(x+1)}$

que se llama ecuación telescópica. ^[8] Es el inverso del operador de diferencia hacia atrás . Está relacionado con el operador de antidiferencia directa utilizando el teorema fundamental del cálculo discreto descrito anteriormente. ${\displaystyle \nabla }$

Lista de sumas indefinidas

Esta es una lista de sumas indefinidas de varias funciones. No todas las funciones tienen una suma indefinida que pueda expresarse en términos de funciones elementales.

Antidiferencias de funciones racionales

${\displaystyle \sum _{x}a=ax+C}$

${\displaystyle \sum _{x}x={\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x}{2}}+C}$

${\displaystyle \sum _{x}x^{a}={\frac {B_{a+1}(x)}{a+1}}+C,\,a\notin \mathbb {Z} ^{-}}$

donde , los polinomios de Bernoulli generalizados a orden real . ${\displaystyle B_{a}(x)=-a\zeta (-a+1,x)}$

${\displaystyle \sum _{x}x^{a}={\frac {(-1)^{a-1}\psi ^{(-a-1)}(x)}{\Gamma (-a)}}+C,\,a\in \mathbb {Z} ^{-}}$

¿Dónde está la función poligamma ? ${\displaystyle \psi ^{(n)}(x)}$

${\displaystyle \sum _{x}{\frac {1}{x}}=\psi (x)+C}$

¿Dónde está la función digamma ? ${\displaystyle \psi (x)}$

${\displaystyle \sum _{x}B_{a}(x)=(x-1)B_{a}(x)-{\frac {a}{a+1}}B_{a+1}(x)+C}$

Antidiferencias de funciones exponenciales

${\displaystyle \sum _{x}a^{x}={\frac {a^{x}}{a-1}}+C}$

Particularmente,

${\displaystyle \sum _{x}2^{x}=2^{x}+C}$

Antidiferencias de funciones logarítmicas

${\displaystyle \sum _{x}\log _{b}x=\log _{b}\Gamma (x)+C}$

${\displaystyle \sum _{x}\log _{b}ax=\log _{b}(a^{x-1}\Gamma (x))+C}$

Antidiferencias de funciones hiperbólicas.

${\displaystyle \sum _{x}\sinh ax={\frac {1}{2}}\operatorname {csch} \left({\frac {a}{2}}\right)\cosh \left({\frac {a}{2}}-ax\right)+C}$

${\displaystyle \sum _{x}\cosh ax={\frac {1}{2}}\operatorname {csch} \left({\frac {a}{2}}\right)\sinh \left(ax-{\frac {a}{2}}\right)+C}$

${\displaystyle \sum _{x}\tanh ax={\frac {1}{a}}\psi _{e^{a}}\left(x-{\frac {i\pi }{2a}}\right)+{\frac {1}{a}}\psi _{e^{a}}\left(x+{\frac {i\pi }{2a}}\right)-x+C}$

¿Dónde está la función q-digamma ? ${\displaystyle \psi _{q}(x)}$

Antidiferencias de funciones trigonométricas.

${\displaystyle \sum _{x}\sin ax=-{\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {a}{2}}\right)\cos \left({\frac {a}{2}}-ax\right)+C\,,\,\,a\neq 2n\pi }$

${\displaystyle \sum _{x}\cos ax={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {a}{2}}\right)\sin \left(ax-{\frac {a}{2}}\right)+C\,,\,\,a\neq 2n\pi }$

${\displaystyle \sum _{x}\sin ^{2}ax={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{4}}\csc(a)\sin(a-2ax)+C\,\,,\,\,a\neq n\pi }$

${\displaystyle \sum _{x}\cos ^{2}ax={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{4}}\csc(a)\sin(a-2ax)+C\,\,,\,\,a\neq n\pi }$

${\displaystyle \sum _{x}\tan ax=ix-{\frac {1}{a}}\psi _{e^{2ia}}\left(x-{\frac {\pi }{2a}}\right)+C\,,\,\,a\neq {\frac {n\pi }{2}}}$

¿Dónde está la función q-digamma ? ${\displaystyle \psi _{q}(x)}$

${\displaystyle \sum _{x}\tan x=ix-\psi _{e^{2i}}\left(x+{\frac {\pi }{2}}\right)+C=-\sum _{k=1}^{\infty }\left(\psi \left(k\pi -{\frac {\pi }{2}}+1-x\right)+\psi \left(k\pi -{\frac {\pi }{2}}+x\right)-\psi \left(k\pi -{\frac {\pi }{2}}+1\right)-\psi \left(k\pi -{\frac {\pi }{2}}\right)\right)+C}$

${\displaystyle \sum _{x}\cot ax=-ix-{\frac {i\psi _{e^{2ia}}(x)}{a}}+C\,,\,\,a\neq {\frac {n\pi }{2}}}$

${\displaystyle \sum _{x}\operatorname {sinc} x=\operatorname {sinc} (x-1)\left({\frac {1}{2}}+(x-1)\left(\ln(2)+{\frac {\psi ({\frac {x-1}{2}})+\psi ({\frac {1-x}{2}})}{2}}-{\frac {\psi (x-1)+\psi (1-x)}{2}}\right)\right)+C}$

¿Dónde está la función sinc normalizada ? ${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)}$

Antidiferencias de funciones hiperbólicas inversas.

${\displaystyle \sum _{x}\operatorname {artanh} \,ax={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {\Gamma \left(x+{\frac {1}{a}}\right)}{\Gamma \left(x-{\frac {1}{a}}\right)}}\right)+C}$

Antidiferencias de funciones trigonométricas inversas

${\displaystyle \sum _{x}\arctan ax={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {\Gamma (x+{\frac {i}{a}})}{\Gamma (x-{\frac {i}{a}})}}\right)+C}$

Antidiferencias de funciones especiales.

${\displaystyle \sum _{x}\psi (x)=(x-1)\psi (x)-x+C}$

${\displaystyle \sum _{x}\Gamma (x)=(-1)^{x+1}\Gamma (x){\frac {\Gamma (1-x,-1)}{e}}+C}$

¿Dónde está la función gamma incompleta ? ${\displaystyle \Gamma (s,x)}$

${\displaystyle \sum _{x}(x)_{a}={\frac {(x)_{a+1}}{a+1}}+C}$

¿Dónde está el factorial decreciente ? ${\displaystyle (x)_{a}}$

${\displaystyle \sum _{x}\operatorname {sexp} _{a}(x)=\ln _{a}{\frac {(\operatorname {sexp} _{a}(x))'}{(\ln a)^{x}}}+C}$

(ver función superexponencial )

Ver también

• producto indefinido
• Cálculo de escala de tiempo
• Lista de derivadas e integrales en cálculos alternativos.

Referencias

1. Sobre la computación de formularios cerrados para sumatorias indefinidas. Hombre Yiu-Kwong. J. Computación simbólica (1993), 16, 355-376 ^{[ enlace muerto permanente ]}
2. "Si Y es una función cuya primera diferencia es la función y , entonces Y se llama suma indefinida de y y se denota Δ ⁻¹ y " Introducción a las ecuaciones en diferencias, Samuel Goldberg
3. "Manual de matemáticas discretas y combinatorias", Kenneth H. Rosen, John G. Michaels, CRC Press, 1999, ISBN  0-8493-0149-1
4. Números de Bernoulli del segundo tipo en Mathworld
5. Markus Müller. Cómo sumar un número no entero de términos y cómo producir sumas infinitas inusuales Archivado el 17 de junio de 2011 en Wayback Machine (tenga en cuenta que utiliza una definición ligeramente alternativa de suma fraccionaria en su trabajo, es decir, diferencia inversa a inversa, por lo tanto 1 como el límite inferior en su fórmula)
6. Bruce C. Berndt, Cuadernos de Ramanujan Archivado el 12 de octubre de 2006 en Wayback Machine , Teoría de series divergentes de Ramanujan , Capítulo 6, Springer-Verlag (ed.), (1939), págs.
7. Éric Delabaere, Resumen de Ramanujan, Seminario de algoritmos 2001-2002 , F. Chyzak (ed.), INRIA, (2003), págs.
8. Algoritmos para ecuaciones en diferencias de orden superior no lineales, Manuel Kauers

Otras lecturas

• "Ecuaciones en diferencias: una introducción con aplicaciones", Walter G. Kelley, Allan C. Peterson, Academic Press, 2001, ISBN 0-12-403330-X 
• Markus Müller. Cómo sumar un número no entero de términos y cómo producir sumas infinitas inusuales
• Markus Müller, Dierk Schleicher. Sumas fraccionarias e identidades tipo Euler
• SP Poliakov. Suma indefinida de funciones racionales con minimización adicional de la parte sumable. Programmirovanie, 2008, vol. 34, núm. 2.
• "Simulaciones y ecuaciones en diferencias finitas", Francis B. Hildebrand, Prenctice-Hall, 1968