Un mosaico aperiódico es un mosaico no periódico con la propiedad adicional de que no contiene regiones o parches periódicos arbitrariamente grandes. Un conjunto de tipos de mosaicos (o prototiles ) es aperiódico si las copias de estos mosaicos sólo pueden formar mosaicos no periódicos .
Los mosaicos de Penrose son un ejemplo bien conocido de mosaicos aperiódicos. [1] [2]
En marzo de 2023, cuatro investigadores, David Smith , Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan y Chaim Goodman-Strauss , anunciaron la prueba de que la baldosa descubierta por David Smith es un monotilo aperiódico , es decir, una solución al problema de Einstein , una problema que busca la existencia de una baldosa aperiódica de forma única. [3] En mayo de 2023, los mismos autores publicaron un monotilo aperiódico quiral con restricciones similares pero más fuertes. [4]
Los mosaicos aperiódicos sirven como modelos matemáticos para los cuasicristales , sólidos físicos que fueron descubiertos en 1982 por Dan Shechtman [5], quien posteriormente ganó el premio Nobel en 2011. [6] Sin embargo, la estructura local específica de estos materiales aún no se comprende bien.
Se conocen varios métodos para construir mosaicos aperiódicos.
Considere un mosaico periódico por cuadrados unitarios (parece un papel cuadriculado infinito ). Ahora corta un cuadrado en dos rectángulos. El mosaico obtenido de esta manera no es periódico: no hay ningún desplazamiento distinto de cero que deje este mosaico fijo. Pero está claro que este ejemplo es mucho menos interesante que el mosaico de Penrose. Para descartar ejemplos tan aburridos, se define un mosaico aperiódico como aquel que no contiene partes periódicas arbitrariamente grandes.
Un mosaico se llama aperiódico si su casco contiene solo mosaicos no periódicos. El casco de un mosaico contiene todas las traducciones T + x de T , junto con todos los mosaicos que pueden aproximarse mediante traducciones de T . Formalmente esto es el cierre del conjunto en la topología local. [7] En la topología local (resp. la métrica correspondiente), dos mosaicos están cerca si coinciden en una bola de radio alrededor del origen (posiblemente después de desplazar uno de los mosaicos en una cantidad menor que ).
Para dar un ejemplo aún más simple que el anterior, considere un mosaico unidimensional T de la línea que se parece a... aaaaaabaaaaa ... donde a representa un intervalo de longitud uno, b representa un intervalo de longitud dos. Así, el mosaico T consta de infinitas copias de a y una copia de b (con centro 0, digamos). Ahora todas las traducciones de T son los mosaicos con una b en algún lugar y una s en otro lugar. La secuencia de mosaicos donde b está centrado en converge, en la topología local, al mosaico periódico que consiste únicamente en a s. Por lo tanto, T no es un mosaico aperiódico, ya que su casco contiene el mosaico periódico... aaaaaa ....
Para mosaicos que se comportan bien (por ejemplo, mosaicos de sustitución con un número finito de patrones locales) se cumple lo siguiente: si un mosaico no es periódico y es repetitivo (es decir, cada parche se presenta de manera uniformemente densa en todo el mosaico), entonces es aperiódico. [7]
La primera aparición específica de mosaicos aperiódicos surgió en 1961, cuando el lógico Hao Wang intentó determinar si el problema del dominó es decidible, es decir, si existe un algoritmo para decidir si un conjunto finito dado de prototiles admite un mosaico del plano. Wang encontró algoritmos para enumerar los conjuntos de mosaicos que no pueden colocar mosaicos en el plano y los conjuntos de mosaicos que lo colocan periódicamente; Con esto demostró que tal algoritmo de decisión existe si cada conjunto finito de prototipos que admite un mosaico del plano también admite un mosaico periódico. En 1964, Robert Berger encontró un conjunto aperiódico de prototipos a partir del cual demostró que el problema de los mosaicos, de hecho, no es decidible. [8] [9] Este primer conjunto de este tipo, utilizado por Berger en su prueba de indecidibilidad, requirió 20.426 fichas de Wang. Más tarde, Berger redujo su conjunto a 104, y Hans Läuchli posteriormente encontró un conjunto aperiódico que requería sólo 40 fichas de Wang. [10] Raphael M. Robinson descubrió un conjunto más pequeño, de seis mosaicos aperiódicos (basado en mosaicos de Wang), en 1971. [11] Roger Penrose descubrió tres conjuntos más en 1973 y 1974, reduciendo el número de mosaicos necesarios a dos. , y Robert Ammann descubrió varios conjuntos nuevos en 1977. [12] La cantidad de mosaicos necesarios se redujo a uno en 2023 por David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan y Chaim Goodman-Strauss . [3] [4] [13]
Los mosaicos aperiódicos de Penrose pueden generarse no solo mediante un conjunto aperiódico de prototipos, sino también mediante una sustitución y mediante un método de corte y proyecto. Después del descubrimiento de los cuasicristales, los físicos y matemáticos estudian intensamente los mosaicos aperiódicos. El método de corte y proyección de NG de Bruijn para los mosaicos de Penrose finalmente resultó ser un ejemplo de la teoría de conjuntos de Meyer . [14] [15] Hoy en día existe una gran cantidad de literatura sobre mosaicos aperiódicos. [7]
Un einstein ( alemán : ein Stein , una piedra) es un mosaico aperiódico que utiliza una sola forma. La primera baldosa de este tipo se descubrió en 2010: la baldosa Socolar-Taylor , que sin embargo no está unida en una sola pieza. En 2023 se descubrió un mosaico conectado, con una forma denominada "sombrero". [dieciséis]
Se conocen algunas construcciones de mosaicos aperiódicos. Algunas construcciones se basan en infinitas familias de conjuntos aperiódicos de mosaicos. [17] [18] Los mosaicos que se han encontrado hasta ahora están construidos en su mayoría de varias maneras, principalmente forzando algún tipo de estructura jerárquica no periódica. A pesar de esto, la indecidibilidad del problema del dominó garantiza que debe haber infinitos principios de construcción distintos y que, de hecho, existen conjuntos aperiódicos de fichas para los cuales no puede haber prueba de su aperiodicidad.
Sin embargo, hay tres principios de construcción que se han utilizado predominantemente para conjuntos finitos de prototipos hasta 2023: [19]
Para algunos mosaicos, se sabe que sólo una de las construcciones produce ese mosaico. Otros pueden construirse mediante los tres métodos clásicos, por ejemplo, los mosaicos de Penrose . [19]
Goodman-Straus demostró que todos los mosaicos generados por reglas de sustitución y que satisfacen una condición técnica pueden generarse mediante reglas de coincidencia. La condición técnica es leve y generalmente se cumple en la práctica. Se requiere que los mosaicos admitan un conjunto de bordes hereditarios de modo que el mosaico de sustitución sea de borde a borde entre hermanos . [17]
Para un mosaico de copias congruentes de los prototiles es necesario pavimentar todo el plano euclidiano sin superposiciones (excepto en los límites) y sin dejar piezas descubiertas. Por lo tanto, los límites de las baldosas que forman un mosaico deben coincidir geométricamente. Esto es generalmente cierto para todos los mosaicos, tanto aperiódicos como periódicos. A veces, estas condiciones de coincidencia geométrica son suficientes para forzar que un conjunto de mosaicos sea aperiódico; este es, por ejemplo, el caso de los mosaicos de Robinion que se analizan a continuación.
A veces se requieren reglas de coincidencia adicionales para que se cumplan. Por lo general, se trata de colores o marcas que deben coincidir en varios mosaicos a lo largo de los límites. Los mosaicos Wang generalmente requieren reglas adicionales.
En algunos casos, ha sido posible reemplazar las reglas de coincidencia por condiciones de coincidencia geométrica modificando los prototipos en sus límites. El mosaico de Penrose (P1) consta originalmente de cuatro prototipos junto con algunas reglas de coincidencia. Una de las cuatro fichas es un pentágono. Se puede reemplazar este prototipo de pentágono por tres formas pentagonales distintas que tienen protuberancias y hendiduras adicionales en el límite, formando tres mosaicos distintos. Junto con los otros tres prototiles con límites adecuadamente adaptados, se obtiene un conjunto de seis prototiles que esencialmente crean los mismos mosaicos aperiódicos que los cuatro mosaicos originales, pero para los seis mosaicos no se necesitan reglas de coincidencia adicionales, la condición de coincidencia geométrica es suficiente.
También tenga en cuenta que los perfiles de Robinion que aparecen a continuación vienen equipados con marcas para que sea más fácil reconocer visualmente la estructura, pero estas marcas no imponen más reglas de coincidencia en los mosaicos como las que ya existen a través de los límites geométricos.
Hasta la fecha, no existe una definición formal que describa cuándo un mosaico tiene una estructura jerárquica; sin embargo, está claro que los mosaicos de sustitución los tienen, al igual que los mosaicos de Berger, Knuth , Läuchli, Robinson y Ammann . Al igual que con el término "mosaico aperiódico" en sí, el término " mosaico jerárquico aperiódico " es una abreviatura conveniente, que significa algo parecido a "un conjunto de mosaicos que admiten sólo mosaicos no periódicos con una estructura jerárquica".
Para los mosaicos aperiódicos, ya sea que estén involucradas reglas de coincidencia adicionales o no, las condiciones de coincidencia imponen cierta estructura jerárquica en los mosaicos que a su vez hacen imposibles las estructuras de período.
Cada uno de estos conjuntos de mosaicos, en cualquier mosaico que admitan, impone una estructura jerárquica particular. (En muchos ejemplos posteriores, esta estructura se puede describir como un sistema de mosaico de sustitución; esto se describe a continuación). Ningún mosaico admitido por tal conjunto de mosaicos puede ser periódico, simplemente porque ninguna traducción individual puede dejar invariante toda la estructura jerárquica. Considere los mosaicos de Robinson de 1971:
Cualquier mosaico de estos mosaicos sólo puede exhibir una jerarquía de celosías cuadradas: el centro de cualquier cuadrado naranja es también una esquina de un cuadrado naranja más grande, ad infinitum. Cualquier traducción debe ser más pequeña que un tamaño de cuadrado y, por lo tanto, no puede dejar invariante dicho mosaico.
Robinson demuestra que estas fichas deben formar esta estructura de forma inductiva; en efecto, las fichas deben formar bloques que a su vez encajen como versiones más grandes de las fichas originales, y así sucesivamente. Esta idea (de encontrar conjuntos de mosaicos que sólo puedan admitir estructuras jerárquicas) se ha utilizado en la construcción de la mayoría de los conjuntos de mosaicos aperiódicos conocidos hasta la fecha.
Sin embargo, el mosaico producido de esta manera no es único, ni siquiera en las isometrías del grupo euclidiano , por ejemplo, traslaciones y rotaciones . Un mosaico completo del avión construido a partir de los mosaicos de Robinion puede tener o no fallas (también llamadas corredores ) que se extienden hasta el infinito en hasta cuatro brazos y hay opciones adicionales que permiten la codificación de infinitas palabras desde Σ ω para un alfabeto Σ de hasta cuatro letras. [12] En resumen, hay incontables mosaicos diferentes no relacionados por isometrías euclidianas, todos ellos necesariamente no periódicos, que pueden surgir de los mosaicos de Robinion.
Los sistemas de mosaicos de sustitución proporcionan una rica fuente de mosaicos aperiódicos. Se dice que un conjunto de mosaicos que fuerza el surgimiento de una estructura de sustitución impone la estructura de sustitución. Por ejemplo, los mosaicos de sillas que se muestran a continuación admiten una sustitución, y una parte de un mosaico de sustitución se muestra a la derecha debajo. Estos mosaicos de sustitución son necesariamente no periódicos, exactamente de la misma manera que se describió anteriormente, pero el mosaico de la silla en sí no es aperiódico; es fácil encontrar mosaicos periódicos en mosaicos de silla sin marcar que satisfacen las condiciones de coincidencia geométrica.
Sin embargo, los mosaicos que se muestran a continuación fuerzan a que surja la estructura de sustitución de sillas y, por lo tanto, son en sí mismos aperiódicos. [20]
Los mosaicos de Penrose, y poco después los diferentes conjuntos de mosaicos de Amman , [21] fueron el primer ejemplo basado en forzar explícitamente la aparición de una estructura de mosaico de sustitución. Joshua Socolar, [22] [23] Roger Penrose , [24] Ludwig Danzer , [25] y Chaim Goodman-Strauss [20] han encontrado varios conjuntos posteriores. Shahar Mozes dio la primera construcción general, mostrando que todo producto de sistemas de sustitución unidimensionales puede imponerse mediante reglas de coincidencia. [18] Charles Radin encontró reglas que hacían cumplir el sistema de mosaico de sustitución de molinete de Conway . [26] En 1998, Goodman-Strauss demostró que se pueden encontrar reglas de coincidencia locales para forzar cualquier estructura de mosaico de sustitución, sujeta a algunas condiciones leves. [17]
Los mosaicos no periódicos también se pueden obtener mediante la proyección de estructuras de dimensiones superiores en espacios con dimensionalidad más baja y, en algunas circunstancias, puede haber mosaicos que imponen esta estructura no periódica y, por lo tanto, son aperiódicos. Los azulejos de Penrose son el primer y más famoso ejemplo de esto, como se observó por primera vez en el trabajo pionero de De Bruijn . [27] Todavía no existe una caracterización (algebraica) completa de los mosaicos de corte y proyecto que puedan imponerse mediante reglas de coincidencia, aunque se conocen numerosas condiciones necesarias o suficientes. [28]
Sólo se han encontrado algunos tipos diferentes de construcciones. En particular, Jarkko Kari dio un conjunto aperiódico de mosaicos de Wang basado en multiplicaciones por 2 o 2/3 de números reales codificados por líneas de mosaicos (la codificación está relacionada con secuencias de Sturmian hechas como las diferencias de elementos consecutivos de secuencias de Beatty ), con el La aperiodicidad se basa principalmente en el hecho de que 2 n /3 m nunca es igual a 1 para ningún número entero positivo n y m . [29] Este método fue posteriormente adaptado por Goodman-Strauss para dar un conjunto de mosaicos fuertemente aperiódico en el plano hiperbólico. [30] Shahar Mozes ha encontrado muchas construcciones alternativas de conjuntos aperiódicos de mosaicos, algunas en entornos más exóticos; por ejemplo en grupos de Lie semisimples . [31] Block y Weinberger utilizaron métodos homológicos para construir conjuntos aperiódicos de mosaicos para todas las variedades no adaptables . [32] Joshua Socolar también dio otra forma de imponer la aperiodicidad, en términos de condición alterna . [33] Esto generalmente conduce a conjuntos de fichas mucho más pequeños que el derivado de sustituciones.
Los mosaicos aperiódicos se consideraron artefactos matemáticos hasta 1984, cuando el físico Dan Shechtman anunció el descubrimiento de una fase de una aleación de aluminio y manganeso que producía un difractograma nítido con una inequívoca simetría quíntuple [5] ; por lo tanto, tenía que ser una sustancia cristalina con propiedades icosaédricas. simetría. En 1975, Robert Ammann ya había ampliado la construcción de Penrose a un equivalente icosaédrico tridimensional. En tales casos, se entiende que el término "embaldosado" significa "llenar el espacio". Los dispositivos fotónicos actualmente se construyen como secuencias aperiódicas de diferentes capas, siendo así aperiódicas en una dirección y periódicas en las otras dos. Las estructuras cuasicristalinas de Cd-Te parecen consistir en capas atómicas en las que los átomos están dispuestos en un patrón aperiódico plano. A veces se produce un mínimo energético o un máximo de entropía para tales estructuras aperiódicas. Steinhardt ha demostrado que los decágonos superpuestos de Gummelt permiten la aplicación de un principio extremo y así proporcionan el vínculo entre las matemáticas del mosaico aperiódico y la estructura de los cuasicristales. [34] Se ha observado que las ondas de Faraday forman grandes parches de patrones aperiódicos. [35] La física de este descubrimiento ha reavivado el interés en estructuras y frecuencias inconmensurables, lo que sugiere vincular los mosaicos aperiódicos con fenómenos de interferencia . [36]
El término aperiódico se ha utilizado de diversas formas en la literatura matemática sobre teselaciones (y también en otros campos matemáticos, como los sistemas dinámicos o la teoría de grafos, con significados completamente diferentes). Con respecto a los mosaicos, el término aperiódico se usaba a veces como sinónimo del término no periódico. Un mosaico no periódico es simplemente aquel que no está fijado por ninguna traducción no trivial. A veces, el término describía, implícita o explícitamente, un mosaico generado por un conjunto aperiódico de prototipos. Con frecuencia, el término aperiódico se usaba vagamente para describir las estructuras bajo consideración, refiriéndose a sólidos físicos aperiódicos, es decir, cuasicristales, o a algo no periódico con algún tipo de orden global. [37]
El uso de la palabra "mosaico" también es problemático, a pesar de su definición sencilla. No existe un único mosaico de Penrose , por ejemplo: los rombos de Penrose admiten infinitos mosaicos (que no se pueden distinguir localmente). Una solución común es tratar de utilizar los términos con cuidado en la redacción técnica, pero reconociendo el uso generalizado de términos informales.
