Secuencia de Beatty

Números enteros formados al redondear hacia abajo los múltiplos enteros de un número irracional positivo

En matemáticas , una sucesión de Beatty (o sucesión homogénea de Beatty ) es la sucesión de números enteros que se obtiene tomando el piso de los múltiplos positivos de un número irracional positivo . Las sucesiones de Beatty reciben su nombre de Samuel Beatty , quien escribió sobre ellas en 1926.

El teorema de Rayleigh , llamado así en honor a Lord Rayleigh , establece que el complemento de una secuencia de Beatty, que consiste en los números enteros positivos que no están en la secuencia, es en sí mismo una secuencia de Beatty generada por un número irracional diferente.

Las secuencias de Beatty también se pueden utilizar para generar palabras de Sturm .

Definición

Cualquier número irracional que sea mayor que uno genera la sucesión de Beatty Los dos números irracionales y satisfacen naturalmente la ecuación . Las dos sucesiones de Beatty y que generan forman un par de sucesiones de Beatty complementarias . Aquí, "complementario" significa que todo entero positivo pertenece exactamente a una de estas dos sucesiones. ${\displaystyle r}$ $${\displaystyle {\mathcal {B}}_{r}={\bigl \{}\lfloor r\rfloor ,\lfloor 2r\rfloor ,\lfloor 3r\rfloor ,\ldots {\bigr \}}}$$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s=r/(r-1)}$ ${\displaystyle 1/r+1/s=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{r}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{s}}$

Ejemplos

Cuando la proporción áurea es , la secuencia de Beatty complementaria se genera por . En este caso, la secuencia , conocida como la secuencia de Wythoff inferior , es ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r=(1+{\sqrt {5}})/2\approx 1.618}$ ${\displaystyle s=r+1=(3+{\sqrt {5}})/2\approx 2.618}$ ${\displaystyle (\lfloor nr\rfloor )}$

1 , 3 , 4 , 6 , 8 , 9 , 11 , 12 , 14 , 16 , 17 , 19 , 21 , 22 , 24 , 25 , 27 , 29 , ... (secuencia A000201 en la OEIS ),

y la secuencia complementaria , la secuencia Wythoff superior , es ${\displaystyle (\lfloor ns\rfloor )}$

2 , 5 , 7 , 10 , 13 , 15 , 18 , 20 , 23 , 26 , 28 , 31 , 34 , 36 , 39 , 41 , 44 , 47 , ... (secuencia A001950 en la OEIS ).

Estas secuencias definen la estrategia óptima para el juego de Wythoff y se utilizan en la definición de la matriz Wythoff .

Como otro ejemplo, para la raíz cuadrada de 2 , , . En este caso, las secuencias son ${\displaystyle r={\sqrt {2}}\approx 1.414}$ ${\displaystyle s=2+{\sqrt {2}}\approx 3.414}$

1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 19, 21, 22, 24, ... (secuencia A001951 en la OEIS ), y

3, 6, 10, 13, 17, 20, 23, 27, 30, 34, 37, 40, 44, 47, 51, 54, 58, ... (secuencia A001952 en la OEIS ).

Para y , las sucesiones son ${\displaystyle r=\pi \approx 3.142}$ ${\displaystyle s=\pi /(\pi -1)\approx 1.467}$

3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 47, 50, 53, ... (secuencia A022844 en la OEIS ), y

1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 22, 23, 24, 26, ... (secuencia A054386 en la OEIS ).

Cualquier número en la primera secuencia está ausente en la segunda, y viceversa.

Historia

Las secuencias de Beatty recibieron su nombre del problema planteado en The American Mathematical Monthly por Samuel Beatty en 1926. ^{[1] [2]} Es probablemente uno de los problemas más citados que se han planteado en la revista Monthly . Sin embargo, incluso antes, en 1894, Lord Rayleigh mencionó brevemente dichas secuencias en la segunda edición de su libro The Theory of Sound . ^[3]

Teorema de Rayleigh

El teorema de Rayleigh (también conocido como teorema de Beatty ) establece que dado un número irracional existe tal que las secuencias de Beatty y particionan el conjunto de números enteros positivos: cada número entero positivo pertenece exactamente a una de las dos secuencias. ^[3] ${\displaystyle r>1\,,}$ ${\displaystyle s>1}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{r}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{s}}$

Primera prueba

Dado sea . Debemos demostrar que todo entero positivo se encuentra en una y sólo una de las dos secuencias y . Lo haremos considerando las posiciones ordinales ocupadas por todas las fracciones y cuando se enumeran conjuntamente en orden no decreciente para los enteros positivos j y k . ${\displaystyle r>1\,,}$ ${\displaystyle s=r/(r-1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{r}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{s}}$ ${\displaystyle j/r}$ ${\displaystyle k/s}$

Para ver que no pueden ocupar la misma posición dos números (como un solo número), supongamos por el contrario que para algunos j y k . Entonces = , un número racional , pero también, no un número racional. Por lo tanto, no pueden ocupar la misma posición dos números. ${\displaystyle j/r=k/s}$ ${\displaystyle r/s}$ ${\displaystyle j/k}$ ${\displaystyle r/s=r(1-1/r)=r-1,}$

Para cualquier , existen números enteros positivos tales que y números enteros positivos tales que , de modo que la posición de en la lista es . La ecuación implica ${\displaystyle j/r}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i/r\leq j/r}$ ${\displaystyle \lfloor js/r\rfloor }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k/s\leq j/r}$ ${\displaystyle j/r}$ ${\displaystyle j+\lfloor js/r\rfloor }$ ${\displaystyle 1/r+1/s=1}$ $${\displaystyle j+\lfloor js/r\rfloor =j+\lfloor j(s-1)\rfloor =\lfloor js\rfloor .}$$

Del mismo modo, la posición de en la lista es . ${\displaystyle k/s}$ ${\displaystyle \lfloor kr\rfloor }$

Conclusión: todo entero positivo (es decir, toda posición en la lista) tiene la forma  o la forma , pero no ambas. La proposición inversa también es cierta: si p y q son dos números reales tales que todo entero positivo aparece precisamente una vez en la lista anterior, entonces p y q son irracionales y la suma de sus recíprocos es 1. ${\displaystyle \lfloor nr\rfloor }$ ${\displaystyle \lfloor ns\rfloor }$

Segunda prueba

Colisiones : Supóngase que, contrariamente al teorema, existen números enteros j  > 0 y k y m tales que Esto es equivalente a las desigualdades $${\displaystyle j=\left\lfloor {k\cdot r}\right\rfloor =\left\lfloor {m\cdot s}\right\rfloor \,.}$$ $${\displaystyle j\leq k\cdot r<j+1{\text{ and }}j\leq m\cdot s<j+1.}$$

Para j no nulo , la irracionalidad de r y s es incompatible con la igualdad, por lo que conduce a $${\displaystyle j<k\cdot r<j+1{\text{ and }}j<m\cdot s<j+1,}$$ $${\displaystyle {j \over r}<k<{j+1 \over r}{\text{ and }}{j \over s}<m<{j+1 \over s}.}$$

Sumando todo esto y utilizando la hipótesis, obtenemos que es imposible (no puede haber un entero entre dos enteros adyacentes). Por lo tanto, la suposición debe ser falsa. $${\displaystyle j<k+m<j+1}$$

Anticolisiones : Supóngase que, contrariamente al teorema, existen números enteros j  > 0 y k y m tales que $${\displaystyle k\cdot r<j{\text{ and }}j+1\leq (k+1)\cdot r{\text{ and }}m\cdot s<j{\text{ and }}j+1\leq (m+1)\cdot s\,.}$$

Dado que j  + 1 no es cero y r y s son irracionales, podemos excluir la igualdad, por lo que $${\displaystyle k\cdot r<j{\text{ and }}j+1<(k+1)\cdot r{\text{ and }}m\cdot s<j{\text{ and }}j+1<(m+1)\cdot s.}$$

Entonces obtenemos $${\displaystyle k<{j \over r}{\text{ and }}{j+1 \over r}<k+1{\text{ and }}m<{j \over s}{\text{ and }}{j+1 \over s}<m+1}$$

Sumando las desigualdades correspondientes, obtenemos $${\displaystyle k+m<j{\text{ and }}j+1<k+m+2}$$ $${\displaystyle k+m<j<k+m+1}$$

Lo cual también es imposible. Por lo tanto, la suposición es falsa.

Propiedades

Un número pertenece a la secuencia de Beatty si y solo si donde denota la parte fraccionaria de , es decir, . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{r}}$ $${\displaystyle 1-{\frac {1}{r}}<\left[{\frac {m}{r}}\right]_{1}}$$ ${\displaystyle [x]_{1}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [x]_{1}=x-\lfloor x\rfloor }$

Prueba: ${\displaystyle m\in B_{r}}$ ${\displaystyle \Leftrightarrow \exists n,m=\lfloor nr\rfloor }$ ${\displaystyle \Leftrightarrow m<nr<m+1}$ ${\displaystyle \Leftrightarrow {\frac {m}{r}}<n<{\frac {m}{r}}+{\frac {1}{r}}}$ ${\displaystyle \Leftrightarrow n-{\frac {1}{r}}<{\frac {m}{r}}<n}$ ${\displaystyle \Leftrightarrow 1-{\frac {1}{r}}<\left[{\frac {m}{r}}\right]_{1}}$

Además, . ${\displaystyle m=\left\lfloor \left(\left\lfloor {\frac {m}{r}}\right\rfloor +1\right)r\right\rfloor }$

Prueba: ${\displaystyle m=\left\lfloor \left(\left\lfloor {\frac {m}{r}}\right\rfloor +1\right)r\right\rfloor }$ ${\displaystyle \Leftrightarrow m<\left(\left\lfloor {\frac {m}{r}}\right\rfloor +1\right)r<m+1}$ ${\displaystyle \Leftrightarrow {\frac {m}{r}}<\left\lfloor {\frac {m}{r}}\right\rfloor +1<{\frac {m+1}{r}}}$ ${\displaystyle \Leftrightarrow \left\lfloor {\frac {m}{r}}\right\rfloor +1-{\frac {1}{r}}<{\frac {m}{r}}<\left\lfloor {\frac {m}{r}}\right\rfloor +1}$ ${\displaystyle \Leftrightarrow 1-{\frac {1}{r}}<{\frac {m}{r}}-\left\lfloor {\frac {m}{r}}\right\rfloor =\left[{\frac {m}{r}}\right]_{1}}$

Relación con las secuencias de Sturm

La primera diferencia de la secuencia de Beatty asociada al número irracional es una palabra sturmiana característica sobre el alfabeto . $${\displaystyle \lfloor (n+1)r\rfloor -\lfloor nr\rfloor }$$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \{\lfloor r\rfloor ,\lfloor r\rfloor +1\}}$

Generalizaciones

Si se modifica ligeramente, el teorema de Rayleigh se puede generalizar a números reales positivos (no necesariamente irracionales) y también a números enteros negativos: si los números reales positivos y satisfacen , las sucesiones y forman una partición de números enteros. Por ejemplo, las teclas blancas y negras de un teclado de piano se distribuyen como tales sucesiones para y . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle 1/r+1/s=1}$ ${\displaystyle (\lfloor mr\rfloor )_{m\in \mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle (\lceil ns\rceil -1)_{n\in \mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle r=12/7}$ ${\displaystyle s=12/5}$

El teorema de Lambek-Moser generaliza el teorema de Rayleigh y muestra que pares más generales de secuencias definidas a partir de una función entera y su inversa tienen la misma propiedad de particionar los números enteros.

El teorema de Uspensky establece que, si son números reales positivos tales que contienen todos los enteros positivos exactamente una vez, entonces Es decir, no hay equivalente del teorema de Rayleigh para tres o más secuencias de Beatty. ^{[4] [5]} ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$ ${\displaystyle (\lfloor k\alpha _{i}\rfloor )_{k,i\geq 1}}$ ${\displaystyle n\leq 2.}$

Referencias

1. Beatty, Samuel (1926). "Problema 3173". American Mathematical Monthly . 33 (3): 159. doi :10.2307/2300153. JSTOR  2300153.
2. S. Beatty; A. Ostrowski; J. Hyslop; AC Aitken (1927). "Soluciones al problema 3173". American Mathematical Monthly . 34 (3): 159–160. doi :10.2307/2298716. JSTOR  2298716.
3. John William Strutt, tercer barón Rayleigh (1894). La teoría del sonido. Vol. 1 (segunda edición). Macmillan. pág. 123.{{cite book}}: CS1 maint: numeric names: authors list (link)
4. JV Uspensky, Sobre un problema que surge de la teoría de un cierto juego, Amer. Math. Monthly 34 (1927), págs. 516-521.
5. RL Graham, Sobre un teorema de Uspensky, Amer. Math. Monthly 70 (1963), págs. 407–409.

Lectura adicional

• Holshouser, Arthur; Reiter, Harold (2001). "Una generalización del teorema de Beatty". Southwest Journal of Pure and Applied Mathematics . 2 : 24–29. Archivado desde el original el 19 de abril de 2014.
• Stolarsky, Kenneth (1976). "Secuencias de Beatty, fracciones continuas y ciertos operadores de desplazamiento". Canadian Mathematical Bulletin . 19 (4): 473–482. doi : 10.4153/CMB-1976-071-6 . MR  0444558.Incluye muchas referencias.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Secuencia de Beatty". MathWorld .
• Alexander Bogomolny , secuencias de Beatty, cortar el nudo