Amplitud de probabilidad

Número complejo cuyo valor absoluto al cuadrado es una probabilidad

Función de onda para un electrón en el orbital atómico 5d de un átomo de hidrógeno . El cuerpo sólido muestra los lugares donde la densidad de probabilidad del electrón es superior a un valor determinado (aquí 0,02 nm ⁻³ ): esto se calcula a partir de la amplitud de probabilidad. El tono en la superficie coloreada muestra la fase compleja de la función de onda.

En mecánica cuántica , una amplitud de probabilidad es un número complejo que se utiliza para describir el comportamiento de los sistemas. El cuadrado del módulo de esta cantidad representa una densidad de probabilidad .

Las amplitudes de probabilidad proporcionan una relación entre el vector de estado cuántico de un sistema y los resultados de las observaciones de ese sistema; Max Born propuso por primera vez un vínculo en 1926. La interpretación de los valores de una función de onda como amplitud de probabilidad es un pilar de la interpretación de Copenhague de la mecánica cuántica. De hecho, las propiedades del espacio de las funciones de onda se utilizaban para hacer predicciones físicas (como que las emisiones de los átomos estuvieran a ciertas energías discretas) antes de que se ofreciera cualquier interpretación física de una función en particular. Born recibió la mitad del Premio Nobel de Física de 1954 por esta comprensión, y la probabilidad así calculada a veces se denomina "probabilidad de Born". Estos conceptos probabilísticos, a saber, la densidad de probabilidad y las mediciones cuánticas , fueron vigorosamente cuestionados en su momento por los físicos originales que trabajaban en la teoría, como Schrödinger y Einstein . Es la fuente de las misteriosas consecuencias y dificultades filosóficas en las interpretaciones de la mecánica cuántica , temas que siguen debatiéndose incluso hoy.

Descripción física

Dejando de lado algunas complejidades técnicas, el problema de la medición cuántica es el comportamiento de un estado cuántico, para el cual el valor del observable Q que se va a medir es incierto . Se piensa que dicho estado es una superposición coherente de los estados propios del observable , estados en los que el valor del observable está definido de manera única, para diferentes valores posibles del observable.

Cuando se realiza una medición de Q , el sistema (según la interpretación de Copenhague ) salta a uno de los estados propios , devolviendo el valor propio que pertenece a ese estado propio. El sistema siempre puede describirse mediante una combinación o superposición lineal de estos estados propios con "pesos" desiguales. Intuitivamente, está claro que es más "probable" que se produzcan estados propios con "pesos" mayores. De hecho, a cuál de los estados propios anteriores salta el sistema está determinado por una ley probabilística: la probabilidad de que el sistema salte al estado es proporcional al valor absoluto del peso numérico correspondiente al cuadrado. Estos pesos numéricos se denominan amplitudes de probabilidad, y esta relación utilizada para calcular probabilidades a partir de estados cuánticos puros dados (como las funciones de onda) se denomina regla de Born .

Claramente, la suma de las probabilidades, que es igual a la suma de los cuadrados absolutos de las amplitudes de probabilidad, debe ser igual a 1. Este es el requisito de normalización.

Si se sabe que el sistema está en algún estado propio de Q (por ejemplo, después de una observación del valor propio correspondiente de Q ), la probabilidad de observar ese valor propio se vuelve igual a 1 (cierta) para todas las mediciones posteriores de Q (siempre que no actúen otras fuerzas importantes entre las mediciones). En otras palabras, las amplitudes de probabilidad son cero para todos los demás estados propios y permanecen cero para las mediciones futuras. Si el conjunto de estados propios al que el sistema puede saltar al medir Q es el mismo que el conjunto de estados propios para la medición de R , entonces las mediciones posteriores de Q o R siempre producen los mismos valores con probabilidad de 1, sin importar el orden en que se apliquen. Las amplitudes de probabilidad no se ven afectadas por ninguna de las mediciones, y se dice que los observables conmutan .

Por el contrario, si los estados propios de Q y R son diferentes, entonces la medición de R produce un salto a un estado que no es un estado propio de Q. Por lo tanto, si se sabe que el sistema está en algún estado propio de Q (todas las amplitudes de probabilidad son cero, excepto un estado propio), entonces cuando se observa R , las amplitudes de probabilidad cambian. Una segunda observación posterior de Q ya no produce con certeza el valor propio correspondiente al estado inicial. En otras palabras, las amplitudes de probabilidad para la segunda medición de Q dependen de si se produce antes o después de una medición de R , y los dos observables no conmutan .

Formulación matemática

En una configuración formal, el estado de un sistema físico aislado en mecánica cuántica se representa, en un tiempo fijo , mediante un vector de estado |Ψ⟩ perteneciente a un espacio de Hilbert complejo separable . Utilizando la notación bra-ket, la relación entre el vector de estado y la " base de posición " del espacio de Hilbert se puede escribir como ^[1] ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \{|x\rangle \}}$

${\displaystyle \psi (x)=\langle x|\Psi \rangle }$.

Su relación con un observable se puede dilucidar generalizando el estado cuántico a una función medible y su dominio de definición a un espacio de medida σ -finito dado . Esto permite un refinamiento del teorema de descomposición de Lebesgue , descomponiendo μ en tres partes mutuamente singulares . ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$

${\displaystyle \mu =\mu _{\mathrm {ac} }+\mu _{\mathrm {sc} }+\mu _{\mathrm {pp} }}$

donde μ _ac es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue, μ _sc es singular con respecto a la medida de Lebesgue y sin átomos, y μ _pp es una medida puntual pura. ^{[2] [3]}

Amplitudes continuas

Una presentación habitual de la amplitud de probabilidad es la de una función de onda que pertenece al espacio L ² de ( clases de equivalencia de) funciones integrables al cuadrado , es decir, pertenece a L ² ( X ) si y sólo si ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \|\psi \|^{2}=\int _{X}|\psi (x)|^{2}\,dx<\infty }$.

Si la norma es igual a 1 y tal que ${\displaystyle |\psi (x)|^{2}\in \mathbb {R} _{\geq 0}}$

${\displaystyle \int _{X}|\psi (x)|^{2}\,dx\equiv \int _{X}\,d\mu _{ac}(x)=1}$,

entonces es la función de densidad de probabilidad para una medida de la posición de la partícula en un momento dado, definida como la derivada de Radon–Nikodym con respecto a la medida de Lebesgue (por ejemplo, en el conjunto R de todos los números reales ). Como la probabilidad es una cantidad adimensional, | ψ ( x ) | ² debe tener la dimensión inversa de la variable de integración x . Por ejemplo, la amplitud anterior tiene dimensión [L ^−1/2 ], donde L representa la longitud . ${\displaystyle |\psi (x)|^{2}}$

Mientras que un espacio de Hilbert es separable si y solo si admite una base ortonormal contable , el rango de una variable aleatoria continua es un conjunto incontable (es decir, la probabilidad de que el sistema esté "en la posición " siempre será cero ). Como tal, los estados propios de un observable no necesariamente deben ser funciones mensurables que pertenezcan a L ² ( X ) (ver condición de normalización a continuación). Un ejemplo típico es el operador de posición definido como ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\hat {\mathrm {x} }}}$

${\displaystyle \langle x|{\hat {\mathrm {x} }}|\Psi \rangle ={\hat {\mathrm {x} }}\langle x|\Psi \rangle =x_{0}\psi (x),\quad x\in \mathbb {R} ,}$

cuyas funciones propias son funciones delta de Dirac

${\displaystyle \psi (x)=\delta (x-x_{0})}$

que claramente no pertenecen a L ² ( X ) . Sin embargo, al reemplazar el espacio de estados por un espacio de Hilbert manipulado adecuado , se conserva la noción rigurosa de estados propios del teorema espectral, así como la descomposición espectral . ^[4]

Amplitudes discretas

Sea atómico (es decir , el conjunto en es un átomo ); especificando la medida de cualquier variable discreta x ∈ A igual a 1. Las amplitudes están compuestas por el vector de estado |Ψ⟩ indexado por A ; sus componentes se denotan por ψ ( x ) para uniformidad con el caso anterior. Si la ℓ 2 -norma de |Ψ⟩ es igual a 1, entonces | ψ ( x ) | ² es una función de masa de probabilidad . ${\displaystyle \mu _{pp}}$ ${\displaystyle A\subset X}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Un espacio de configuración conveniente X es tal que cada punto x produce algún valor único del observable Q . Para X discreto significa que todos los elementos de la base estándar son vectores propios de Q . Entonces es la amplitud de probabilidad para el estado propio | x ⟩ . Si corresponde a un valor propio no degenerado de Q , entonces da la probabilidad del valor correspondiente de Q para el estado inicial |Ψ⟩ . ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle |\psi (x)|^{2}}$

| ψ ( x ) | = 1 si y solo si | x ⟩ es el mismo estado cuántico que |Ψ⟩ . ψ ( x ) = 0 si y solo si | x ⟩ y |Ψ⟩ son ortogonales . De lo contrario, el módulo de ψ ( x ) está entre 0 y 1.

Una amplitud de probabilidad discreta puede considerarse como una frecuencia fundamental en el dominio de frecuencia de probabilidad ( armónicos esféricos ) con el fin de simplificar los cálculos de transformación de la teoría M. ^{[ cita requerida ]} Las variables dinámicas discretas se utilizan en problemas como una partícula en una caja reflectante idealizada y un oscilador armónico cuántico . ^{[ aclaración necesaria ]}

Ejemplos

Un ejemplo del caso discreto es un sistema cuántico que puede estar en dos estados posibles , por ejemplo, la polarización de un fotón . Cuando se mide la polarización, podría ser el estado horizontal o el estado vertical . Hasta que se mida su polarización, el fotón puede estar en una superposición de ambos estados, por lo que su estado podría escribirse como ${\displaystyle |H\rangle }$ ${\displaystyle |V\rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha |H\rangle +\beta |V\rangle }$,

con y las amplitudes de probabilidad para los estados y respectivamente. Cuando se mide la polarización del fotón, el estado resultante es horizontal o vertical. Pero en un experimento aleatorio, la probabilidad de estar polarizado horizontalmente es y la probabilidad de estar polarizado verticalmente es . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle |H\rangle }$ ${\displaystyle |V\rangle }$ ${\displaystyle |\alpha |^{2}}$ ${\displaystyle |\beta |^{2}}$

Por lo tanto, un fotón en un estado tendría una probabilidad de salir polarizado horizontalmente y una probabilidad de salir polarizado verticalmente cuando se realiza un conjunto de mediciones. Sin embargo, el orden de tales resultados es completamente aleatorio. ${\textstyle |\psi \rangle ={\sqrt {\frac {1}{3}}}|H\rangle -i{\sqrt {\frac {2}{3}}}|V\rangle }$ ${\textstyle {\frac {1}{3}}}$ ${\textstyle {\frac {2}{3}}}$

Otro ejemplo es el espín cuántico. Si un aparato de medición de espín apunta a lo largo del eje z y, por lo tanto, puede medir el componente z del espín ( ), debe cumplirse lo siguiente para la medición del espín "arriba" y "abajo": ${\textstyle \sigma _{z}}$

${\displaystyle \sigma _{z}|u\rangle =(+1)|u\rangle }$

${\displaystyle \sigma _{z}|d\rangle =(-1)|d\rangle }$

Si se supone que el sistema está preparado, de modo que se registra +1 y luego se gira el aparato para medir , se cumple lo siguiente: ${\textstyle \sigma _{x}}$ ${\textstyle \sigma _{z}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle r|u\rangle &=\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\langle u|+{\frac {1}{\sqrt {2}}}\langle d|\right)\cdot |u\rangle \\&=\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right)\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{aligned}}}$

La amplitud de probabilidad de medir el espín ascendente está dada por , ya que el sistema tenía el estado inicial . La probabilidad de medir está dada por ${\textstyle \langle r|u\rangle }$ ${\textstyle |r\rangle }$ ${\textstyle |u\rangle }$

${\displaystyle P(|u\rangle )=\langle r|u\rangle \langle u|r\rangle =\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}}$

Lo cual concuerda con el experimento.

Normalización

En el ejemplo anterior, la medición debe dar |  H  ⟩ o |  V  ⟩ , por lo que la probabilidad total de medir |  H  ⟩ o |  V  ⟩ debe ser 1. Esto lleva a una restricción de que α ² + β ² = 1 ; de manera más general, la suma de los módulos al cuadrado de las amplitudes de probabilidad de todos los estados posibles es igual a uno . Si entendemos "todos los estados posibles" como una base ortonormal , que tiene sentido en el caso discreto, entonces esta condición es la misma que la condición de norma-1 explicada anteriormente.

Siempre se puede dividir cualquier elemento distinto de cero de un espacio de Hilbert por su norma y obtener un vector de estado normalizado . Sin embargo, no todas las funciones de onda pertenecen al espacio de Hilbert L ² ( X ) . Las funciones de onda que cumplen esta restricción se denominan normalizables .

La ecuación de Schrödinger , que describe los estados de las partículas cuánticas, tiene soluciones que describen un sistema y determinan con precisión cómo cambia el estado con el tiempo . Supongamos que una función de onda ψ ( x ,  t ) da una descripción de la partícula (posición x en un tiempo dado t ). Una función de onda es integrable al cuadrado si

${\displaystyle \int |\psi (\mathbf {x} ,t)|^{2}\,\mathrm {d\mathbf {x} } =a^{2}<\infty .}$

Después de la normalización, la función de onda todavía representa el mismo estado y, por lo tanto, es igual por definición a ^{[5] [6]}

${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t):={\frac {\psi (\mathbf {x} ,t)}{a}}.}$

Según la interpretación estándar de Copenhague , la función de onda normalizada proporciona amplitudes de probabilidad para la posición de la partícula. Por lo tanto, ρ ( x ) = | ψ ( x ,  t ) | ² es una función de densidad de probabilidad y la probabilidad de que la partícula se encuentre en el volumen V en un tiempo fijo t está dada por

${\displaystyle P_{\mathbf {x} \in V}(t)=\int _{V}|\psi (\mathbf {x} ,t)|^{2}\,\mathrm {d\mathbf {x} } =\int _{V}\rho (\mathbf {x} )\,\mathrm {d\mathbf {x} } .}$

La función de densidad de probabilidad no varía con el tiempo, ya que la evolución de la función de onda está dictada por la ecuación de Schrödinger y, por lo tanto, es completamente determinista. ^[7] Esto es clave para comprender la importancia de esta interpretación: para una partícula dada con masa constante , ψ ( x ,  t ₀ ) inicial y potencial , la ecuación de Schrödinger determina completamente las funciones de onda posteriores. Lo anterior proporciona entonces probabilidades de ubicaciones de la partícula en todos los tiempos posteriores.

En el contexto del experimento de doble rendija

Las amplitudes de probabilidad tienen un significado especial porque actúan en la mecánica cuántica como el equivalente de las probabilidades convencionales, con muchas leyes análogas, como se describió anteriormente. Por ejemplo, en el experimento clásico de doble rendija , se disparan electrones aleatoriamente en dos rendijas, y se cuestiona la distribución de probabilidad de detectar electrones en todas las partes de una pantalla grande colocada detrás de las rendijas. Una respuesta intuitiva es que P (a través de cualquiera de las rendijas) = ​​P (a través de la primera rendija) + P (a través de la segunda rendija) , donde P (evento) es la probabilidad de ese evento. Esto es obvio si uno supone que un electrón pasa a través de cualquiera de las rendijas. Cuando no se instala un aparato de medición que determine a través de qué rendija viajan los electrones, la distribución de probabilidad observada en la pantalla refleja el patrón de interferencia que es común con las ondas de luz. Si uno supone que la ley anterior es verdadera, entonces este patrón no se puede explicar. No se puede decir que las partículas pasen a través de cualquiera de las rendijas y la explicación simple no funciona. La explicación correcta, sin embargo, es la asociación de amplitudes de probabilidad a cada evento. Las amplitudes complejas que representan el electrón que pasa por cada rendija ( ψ _primero y ψ _segundo ) siguen la ley de exactamente la forma esperada: ψ _total = ψ _primero + ψ _segundo . Este es el principio de superposición cuántica . La probabilidad, que es el módulo al cuadrado de la amplitud de probabilidad, sigue entonces el patrón de interferencia bajo el requisito de que las amplitudes sean complejas: Aquí, y son los argumentos de ψ _primero y ψ _segundo respectivamente. Una formulación puramente real tiene muy pocas dimensiones para describir el estado del sistema cuando se tiene en cuenta la superposición. Es decir, sin los argumentos de las amplitudes, no podemos describir la interferencia dependiente de la fase. El término crucial se llama "término de interferencia", y faltaría si hubiéramos añadido las probabilidades. $${\displaystyle P=\left|\psi _{\text{first}}+\psi _{\text{second}}\right|^{2}=\left|\psi _{\text{first}}\right|^{2}+\left|\psi _{\text{second}}\right|^{2}+2\left|\psi _{\text{first}}\right|\left|\psi _{\text{second}}\right|\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2}).}$$ ${\displaystyle \varphi _{1}}$ ${\displaystyle \varphi _{2}}$ ${\textstyle 2\left|\psi _{\text{first}}\right|\left|\psi _{\text{second}}\right|\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})}$

Sin embargo, se puede optar por idear un experimento en el que el experimentador observe por qué rendija pasa cada electrón. Entonces, debido al colapso de la función de onda , el patrón de interferencia no se observa en la pantalla.

Se puede ir más allá y diseñar un experimento en el que el experimentador elimine esta "información sobre el camino" mediante un "borrador cuántico" . Entonces, según la interpretación de Copenhague , se aplica nuevamente el caso A y se restablece el patrón de interferencia. ^[8]

Conservación de probabilidades y ecuación de continuidad

Intuitivamente, dado que una función de onda normalizada permanece normalizada mientras evoluciona según la ecuación de onda, habrá una relación entre el cambio en la densidad de probabilidad de la posición de la partícula y el cambio en la amplitud en estas posiciones.

Defina la corriente de probabilidad (o flujo) j como

${\displaystyle \mathbf {j} ={\hbar \over m}{1 \over {2i}}\left(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*}\right)={\hbar \over m}\operatorname {Im} \left(\psi ^{*}\nabla \psi \right),}$

medido en unidades de (probabilidad)/(área × tiempo).

Entonces la corriente satisface la ecuación

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} +{\partial \over \partial t}|\psi |^{2}=0.}$

La densidad de probabilidad es , esta ecuación es exactamente la ecuación de continuidad , que aparece en muchas situaciones de la física en las que necesitamos describir la conservación local de cantidades. El mejor ejemplo se encuentra en la electrodinámica clásica, donde j corresponde a la densidad de corriente correspondiente a la carga eléctrica, y la densidad es la densidad de carga. La ecuación de continuidad correspondiente describe la conservación local de cargas . ${\displaystyle \rho =|\psi |^{2}}$

Sistemas compuestos

Para dos sistemas cuánticos con espacios L ² ( X ₁ ) y L ² ( X ₂ ) y estados dados |Ψ ₁ ⟩ y |Ψ ₂ ⟩ respectivamente, su estado combinado |Ψ ₁ ⟩  ⊗  |Ψ ₂ ⟩ puede expresarse como ψ ₁ ( x ₁ )  ψ ₂ ( x ₂ ) una función en X ₁  ×  X ₂ , que da el producto de las respectivas medidas de probabilidad . En otras palabras, las amplitudes de un estado compuesto no entrelazado son productos de amplitudes originales, y los respectivos observables en los sistemas 1 y 2 se comportan en estos estados como variables aleatorias independientes . Esto fortalece la interpretación probabilística explicada anteriormente .

Amplitudes en operadores

El concepto de amplitudes también se utiliza en el contexto de la teoría de la dispersión , en particular en forma de matrices S. Mientras que los módulos de los componentes vectoriales elevados al cuadrado, para un vector dado, dan una distribución de probabilidad fija, los módulos de los elementos de la matriz elevados al cuadrado se interpretan como probabilidades de transición , al igual que en un proceso aleatorio. Al igual que un vector unitario de dimensión finita especifica una distribución de probabilidad finita, una matriz unitaria de dimensión finita especifica probabilidades de transición entre un número finito de estados.

La interpretación "transicional" también puede aplicarse a L ^{2 s en espacios no discretos. [ aclaración necesaria ]}

Véase también

• Valor esperado (mecánica cuántica)
• Partícula libre
• Barrera de potencial finito
• Onda de materia
• Formulación del espacio de fases
• Principio de incertidumbre
• Amplitud de probabilidad de Ward
• Paquete de ondas

Notas

1. El conjunto generador de un espacio de Hilbert no es suficiente para definir coordenadas, ya que las funciones de onda forman rayos en un espacio de Hilbert proyectivo (en lugar de un espacio de Hilbert ordinario). Véase: Marco proyectivo
2. Simon 2005, pág. 43.
3. Teschl 2014, págs. 114-119.
4. de la Madrid Modino 2001, pag. 97.
5. Bäuerle y de Kerf 1990, pág. 330.
6. Véase también el teorema de Wigner
7. Zwiebach 2022, pág. 78.
8. Un reciente experimento de 2013 nos da una idea de la interpretación física correcta de tales fenómenos. La información puede ser obtenida, pero entonces el electrón aparentemente pasó por todos los caminos posibles simultáneamente. (Ciertas interpretaciones realistas de la función de onda, que se asemejan a un conjunto, pueden presuponer dicha coexistencia en todos los puntos de un orbital). Cf. Schmidt, L. Ph. H.; et al. (2013). "Momentum Transfer to a Free Floating Double Slit: Realization of a Thought Experiment from the Einstein-Bohr Debates" (PDF) . Physical Review Letters . 111 (10): 103201. Bibcode :2013PhRvL.111j3201S. doi :10.1103/PhysRevLett.111.103201. PMID  25166663. S2CID  2725093. Archivado desde el original (PDF) el 7 de marzo de 2019.

Referencias

• Bäuerle, Gerard GA; de Kerf, Eddy A. (1990). Álgebras de Lie, Parte 1: Álgebras de Lie de dimensión finita e infinita y aplicaciones en física . Estudios de física matemática. Ámsterdam: Holanda Septentrional. ISBN 0-444-88776-8.
• de la Madrid Modino, R. (2001). Mecánica cuántica en lenguaje espacial de Hilbert amañado (tesis doctoral). Universidad de Valladolid.
• Feynman, RP; Leighton, RB; Sands, M. (1989). "Amplitudes de probabilidad". Las conferencias Feynman sobre física . Vol. 3. Redwood City: Addison-Wesley. ISBN 0-201-51005-7.
• Gudder, Stanley P. (1988). Probabilidad cuántica . San Diego: Prensa académica. ISBN 0-12-305340-4.
• Simon, Barry (2005). Polinomios ortogonales en el círculo unitario. Parte 1. Teoría clásica . Publicaciones del Colloquium de la American Mathematical Society. Vol. 54. Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-3446-6.Señor 2105088  .
• Teschl, G. (2014). Métodos matemáticos en mecánica cuántica . Providence (RI): American Mathematical Soc. ISBN 978-1-4704-1704-8.
• Zwiebach, Barton (2022). Dominar la mecánica cuántica . Cambridge, Masa: MIT Press. ISBN 978-0-262-04613-8.