Grupo absoluto de Galois

El grupo de Galois absoluto de los números reales es un grupo cíclico de orden 2 generado por conjugación compleja, ya que C es la clausura separable de R y [ C : R ] = 2.

En matemáticas , el grupo de Galois absoluto G _K de un campo K es el grupo de Galois de K ^sep sobre K , donde K ^sep es una clausura separable de K. Alternativamente , es el grupo de todos los automorfismos de la clausura algebraica de K el que fija K. El grupo absoluto de Galois está bien definido hasta el automorfismo interno . Es un grupo lucrativo .

(Cuando K es un campo perfecto , K ^sep es lo mismo que un cierre algebraico K ^alg de K. Esto es válido, por ejemplo, para K de característica cero o K para un campo finito ).

Ejemplos

• El grupo absoluto de Galois de un campo algebraicamente cerrado es trivial.
• El grupo de Galois absoluto de los números reales es un grupo cíclico de dos elementos (conjugación compleja y mapa de identidad), ya que C es la clausura separable de R y [ C : R ] = 2.
• El grupo absoluto de Galois de un campo finito K es isomorfo al grupo

${\displaystyle {\hat {\mathbf {Z} }}=\varprojlim \mathbf {Z} /n\mathbf {Z} .}$^[1]

(Para conocer la notación, consulte Límite inverso ).

El automorfismo de Frobenius Fr es un generador canónico (topológico) de G _K . (Recuerde que Fr( x ) = x ^q para todo x en K ^alg , donde q es el número de elementos en K .)

• El grupo absoluto de Galois del campo de funciones racionales con coeficientes complejos es libre (como grupo profinito). Este resultado se debe a Adrien Douady y tiene su origen en el teorema de existencia de Riemann . ^[2]
• De manera más general, sea C un campo algebraicamente cerrado yx una variable. Entonces el grupo absoluto de Galois de K  =  C ( x ) es libre de rango igual a la cardinalidad de C . Este resultado se debe a David Harbater y Florian Pop , y también fue demostrado más tarde por Dan Haran y Moshe Jarden utilizando métodos algebraicos. ^{[3] [4] [5]}
• Sea K una extensión finita de los números p-ádicos Q _p . Para p  ≠ 2, su grupo absoluto de Galois es generado por [ K : Q _p ] + 3 elementos y tiene una descripción explícita por generadores y relaciones. Este es el resultado de Uwe Jannsen y Kay Wingberg. ^{[6] [7]} Se conocen algunos resultados en el caso p = 2, pero se desconoce la estructura para Q _{2 .} ^[8]
• Otro caso en el que se ha determinado el grupo absoluto de Galois es para el subcampo totalmente real más grande del cuerpo de números algebraicos. ^[9]

Problemas

• No se conoce ninguna descripción directa del grupo absoluto de Galois de los números racionales . En este caso, del teorema de Belyi se desprende que el grupo absoluto de Galois tiene una acción fiel sobre los dessins d'enfants de Grothendieck (mapas en superficies), lo que nos permite "ver" la teoría de Galois de los campos numéricos algebraicos.
• Sea K la extensión abeliana máxima de los números racionales. Entonces la conjetura de Shafarevich afirma que el grupo absoluto de Galois de K es un grupo libre profinito. ^[10]
• Un problema interesante es resolver la conjetura de Ján Mináč y Nguyên Duy Tân sobre la desaparición de los productos Massey durante . ^{[11] [12]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\geq 3}$

Algunos resultados generales

• Cada grupo profinito ocurre como un grupo de Galois de alguna extensión de Galois, ^[13] sin embargo, no todos los grupos profinitos ocurren como un grupo de Galois absoluto. Por ejemplo, el teorema de Artin-Schreier afirma que los únicos grupos finitos absolutos de Galois son triviales o de orden 2, es decir, sólo dos clases de isomorfismo.
• Cada grupo proyectivo profinito puede realizarse como un grupo absoluto de Galois de un campo pseudoalgebraicamente cerrado . Este resultado se debe a Alexander Lubotzky y Lou van den Dries . ^[14]

Referencias

1. Szamuely 2009, pág. 14.
2. Douady 1964
3. Harbater 1995
4. Popular 1995
5. Harán y Jarden 2000
6. Jannsen y Wingberg 1982
7. Neukirch, Schmidt y Wingberg 2000, teorema 7.5.10
8. Neukirch, Schmidt y Wingberg 2000, §VII.5
9. "cuarto" (PDF) . Consultado el 4 de septiembre de 2019 .
10. Neukirch, Schmidt y Wingberg 2000, pág. 449.
11. Mináč y Tân (2016) págs.255,284
12. Harpaz y Wittenberg (2023) págs.1,41
13. Fried y Jardín (2008) p.12
14. Fried y Jarden (2008) págs.208.545

Fuentes

• Douady, Adrien (1964), "Détermination d'un groupe de Galois", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris , 258 : 5305–5308, SEÑOR  0162796
• Frito, Michael D.; Jarden, Moshe (2008), Aritmética de campo , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge, vol. 11 (3.ª ed.), Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-77269-9, Zbl  1145.12001
• Harán, Dan; Jarden, Moshe (2000), "El grupo absoluto de Galois de C ( x )", Pacific Journal of Mathematics , 196 (2): 445–459, doi : 10.2140/pjm.2000.196.445 , MR  1800587
• Harbater, David (1995), "Grupos fundamentales y problemas de incrustación en la característica p ", Desarrollos recientes en el problema inverso de Galois (Seattle, WA, 1993) , Matemáticas contemporáneas, vol. 186, Providence, Rhode Island : Sociedad Matemática Estadounidense , págs. 353–369, SEÑOR  1352282
• Jannsen, Uwe; Wingberg, Kay (1982), "Die Struktur der absolun Galoisgruppe p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} -adischer Zahlkörper" (PDF) , Inventiones Mathematicae , 70 : 71–78, Bibcode : 1982InMat..70.. .71J, doi :10.1007/bf01393199, S2CID  119378923
• Neukirch, Jürgen ; Schmidt, Alejandro; Wingberg, Kay (2000), Cohomología de campos numéricos , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , vol. 323, Berlín: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, SEÑOR  1737196, Zbl  0948.11001
• Pop, Florian (1995), "Étale Galois cubre de curvas suaves afines. El caso geométrico de una conjetura de Shafarevich. Sobre la conjetura de Abhyankar", Inventiones Mathematicae , 120 (3): 555–578, Bibcode :1995InMat.120..555P , doi :10.1007/bf01241142, SEÑOR  1334484, S2CID  128157587
• Mináč, Ján; Tân, Nguyên Duy (2016), "Productos triples de Massey y teoría de Galois", Revista de la Sociedad Matemática Europea , 19 (1): 255–284
• Harpaz, Yonatan; Wittenberg, Olivier (2023), "La conjetura de desaparición de Massey para campos numéricos", Duke Mathematical Journal , 172 (1): 1–41
• Szamuely, Tamás (2009), Grupos Galois y Grupos Fundamentales , Estudios de Cambridge en matemáticas avanzadas, vol. 117, Cambridge : Prensa de la Universidad de Cambridge