cálculo de ricci

Notación de índice tensorial para cálculos basados ​​en tensor

En matemáticas , el cálculo de Ricci constituye las reglas de notación y manipulación de índices para tensores y campos tensoriales en una variedad diferenciable , con o sin tensor o conexión métrica . ^{[a] [1] [2] [3]} También es el nombre moderno de lo que solía llamarse cálculo diferencial absoluto (la base del cálculo tensorial ), desarrollado por Gregorio Ricci-Curbastro en 1887-1896 y posteriormente popularizado. en un artículo escrito con su alumno Tullio Levi-Civita en 1900. ^[4] Jan Arnoldus Schouten desarrolló la notación y el formalismo modernos para este marco matemático, e hizo contribuciones a la teoría, durante sus aplicaciones a la relatividad general y la geometría diferencial en los primeros años. siglo veinte. ^[5]

Un componente de un tensor es un número real que se utiliza como coeficiente de un elemento base para el espacio tensorial. El tensor es la suma de sus componentes multiplicada por sus correspondientes elementos base. Los tensores y los campos tensoriales se pueden expresar en términos de sus componentes, y las operaciones con tensores y campos tensoriales se pueden expresar en términos de operaciones con sus componentes. La descripción de los campos tensoriales y las operaciones sobre ellos en términos de sus componentes es el foco del cálculo de Ricci. Esta notación permite una expresión eficiente de tales campos y operaciones tensoriales. Si bien gran parte de la notación se puede aplicar con cualquier tensor, las operaciones relacionadas con una estructura diferencial sólo son aplicables a campos tensoriales. Cuando es necesario, la notación se extiende a componentes de no tensores, particularmente a matrices multidimensionales .

Un tensor se puede expresar como una suma lineal del producto tensorial de elementos base vectoriales y covectores . Los componentes tensoriales resultantes están etiquetados por índices de la base. Cada índice tiene un valor posible por dimensión del espacio vectorial subyacente . El número de índices es igual al grado (u orden) del tensor.

Para mayor compacidad y conveniencia, el cálculo de Ricci incorpora la notación de Einstein , que implica suma de índices repetidos dentro de un término y cuantificación universal de índices libres. Las expresiones en la notación del cálculo de Ricci generalmente se pueden interpretar como un conjunto de ecuaciones simultáneas que relacionan los componentes como funciones sobre una variedad, generalmente más específicamente como funciones de las coordenadas de la variedad. Esto permite la manipulación intuitiva de expresiones con familiaridad con sólo un conjunto limitado de reglas.

Notación para índices

Distinciones relacionadas con la base

Coordenadas espaciales y temporales.

Cuando se debe hacer una distinción entre los elementos básicos de tipo espacial y un elemento de tipo temporal en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones de la física clásica, esto se hace convencionalmente a través de índices de la siguiente manera: ^[6]

• El alfabeto latino en minúsculas a , b , c ,... se utiliza para indicar restricción al espacio euclidiano tridimensional , que toma valores 1, 2, 3 para los componentes espaciales; y el elemento temporal, indicado por 0, se muestra por separado.
• El alfabeto griego minúscula α , β , γ , ... se utiliza para el espacio-tiempo de 4 dimensiones , que normalmente toma valores 0 para los componentes de tiempo y 1, 2, 3 para los componentes espaciales.

Algunas fuentes utilizan 4 en lugar de 0 como valor de índice correspondiente al tiempo; en este artículo, se utiliza 0. De lo contrario, en contextos matemáticos generales, se puede utilizar cualquier símbolo para los índices, que generalmente abarca todas las dimensiones del espacio vectorial.

Notación de coordenadas e índices

Los autores normalmente dejarán claro si un subíndice pretende ser un índice o una etiqueta.

Por ejemplo, en un espacio euclidiano tridimensional y utilizando coordenadas cartesianas ; el vector de coordenadas A = ( A ₁ , A ₂ , A ₃ ) = ( A _x , A _y , Az ) muestra una correspondencia directa entre los subíndices 1, 2, 3 y las etiquetas x , y , _z . En la expresión Ai , _i se interpreta como un índice que abarca los valores 1, 2, 3, mientras que los subíndices x , y , z son solo etiquetas, no variables. En el contexto del espacio-tiempo, el valor del índice 0 corresponde convencionalmente a la etiqueta t .

Referencia a la base

Los propios índices pueden etiquetarse utilizando símbolos tipo diacrítico , como un sombrero (ˆ), una barra (¯), una tilde (˜) o un primo (′), como en:

${\displaystyle X_{\hat {\phi }}\,,Y_{\bar {\lambda }}\,,Z_{\tilde {\eta }}\,,T_{\mu '}}$

para indicar una base posiblemente diferente para ese índice. Un ejemplo son las transformaciones de Lorentz de un marco de referencia a otro, donde un marco podría no estar preparado y el otro preparado, como en:

${\displaystyle v^{\mu '}=v^{\nu }L_{\nu }{}^{\mu '}.}$

Esto no debe confundirse con la notación de van der Waerden para espinores , que utiliza sombreros y puntos excesivos en los índices para reflejar la quiralidad de un espinor.

Índices superior e inferior

El cálculo de Ricci, y la notación de índices en general, distingue entre índices inferiores (subíndices) e índices superiores (superíndices); estos últimos no son exponentes, aunque puedan parecerlo así para el lector que sólo esté familiarizado con otras partes de las matemáticas.

En el caso especial de que el tensor métrico sea igual en todas partes a la matriz identidad, es posible eliminar la distinción entre índices superior e inferior, y luego todos los índices podrían escribirse en la posición inferior. Las fórmulas de coordenadas en álgebra lineal, como las del producto de matrices, pueden ser ejemplos de esto. Pero, en general, debería mantenerse la distinción entre índices superiores e inferiores. ${\displaystyle a_{ij}b_{jk}}$

Componentes del tensor covariante

Un índice más bajo (subíndice) indica covarianza de los componentes con respecto a ese índice:

${\displaystyle A_{\alpha \beta \gamma \cdots }}$

Componentes tensoriales contravariantes

Un índice superior (superíndice) indica la contravarianza de los componentes con respecto a ese índice:

${\displaystyle A^{\alpha \beta \gamma \cdots }}$

Componentes del tensor de varianza mixta

Un tensor puede tener índices tanto superior como inferior:

${\displaystyle A_{\alpha }{}^{\beta }{}_{\gamma }{}^{\delta \cdots }.}$

El orden de los índices es significativo, incluso cuando tienen diferentes varianzas. Sin embargo, cuando se entiende que no se aumentará ni disminuirá ningún índice manteniendo el símbolo base, los índices covariantes a veces se colocan debajo de los índices contravariantes por conveniencia de notación (por ejemplo, con el delta de Kronecker generalizado ).

Tipo y grado de tensor

El número de cada índice superior e inferior de un tensor da su tipo : un tensor con p índices superiores y q inferiores se dice que es de tipo ( p , q ) , o es un tensor de tipo ( p , q ) .

El número de índices de un tensor, independientemente de su varianza, se denomina grado del tensor (alternativamente, su valencia , orden o rango , aunque el rango es ambiguo). Por tanto, un tensor de tipo ( p , q ) tiene grado p + q .

Convención de suma

El mismo símbolo que aparece dos veces (uno superior y otro inferior) dentro de un término indica un par de índices que se suman:

${\displaystyle A_{\alpha }B^{\alpha }\equiv \sum _{\alpha }A_{\alpha }B^{\alpha }\quad {\text{or}}\quad A^{\alpha }B_{\alpha }\equiv \sum _{\alpha }A^{\alpha }B_{\alpha }\,.}$

La operación implicada en tal suma se llama contracción tensorial :

${\displaystyle A_{\alpha }B^{\beta }\rightarrow A_{\alpha }B^{\alpha }\equiv \sum _{\alpha }A_{\alpha }B^{\alpha }\,.}$

Esta suma puede ocurrir más de una vez dentro de un término con un símbolo distinto por par de índices, por ejemplo:

${\displaystyle A_{\alpha }{}^{\gamma }B^{\alpha }C_{\gamma }{}^{\beta }\equiv \sum _{\alpha }\sum _{\gamma }A_{\alpha }{}^{\gamma }B^{\alpha }C_{\gamma }{}^{\beta }\,.}$

Otras combinaciones de índices repetidos dentro de un término se consideran mal formadas, como

La razón para excluir tales fórmulas es que, aunque estas cantidades podrían calcularse como matrices de números, en general no se transformarían en tensores ante un cambio de base.

Notación multiíndice

Si un tensor tiene una lista de todos los índices superiores o inferiores, una forma abreviada es utilizar una letra mayúscula para la lista: ^[7]

${\displaystyle A_{i_{1}\cdots i_{n}}B^{i_{1}\cdots i_{n}j_{1}\cdots j_{m}}C_{j_{1}\cdots j_{m}}\equiv A_{I}B^{IJ}C_{J},}$

donde I = i ₁ i ₂ ⋅⋅⋅ i _n y J = j ₁ j ₂ ⋅⋅⋅ j _m .

Suma secuencial

Un par de barras verticales | ⋅ | alrededor de un conjunto de índices totalmente superiores o índices totalmente inferiores (pero no ambos), asociado con la contracción con otro conjunto de índices cuando la expresión es completamente antisimétrica en cada uno de los dos conjuntos de índices: ^[8]

${\displaystyle A_{|\alpha \beta \gamma |\cdots }B^{\alpha \beta \gamma \cdots }=A_{\alpha \beta \gamma \cdots }B^{|\alpha \beta \gamma |\cdots }=\sum _{\alpha <\beta <\gamma }A_{\alpha \beta \gamma \cdots }B^{\alpha \beta \gamma \cdots }}$

significa una suma restringida sobre los valores del índice, donde cada índice está restringido a ser estrictamente menor que el siguiente. Se puede resumir más de un grupo de esta forma, por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{aligned}&A_{|\alpha \beta \gamma |}{}^{|\delta \epsilon \cdots \lambda |}B^{\alpha \beta \gamma }{}_{\delta \epsilon \cdots \lambda |\mu \nu \cdots \zeta |}C^{\mu \nu \cdots \zeta }\\[3pt]={}&\sum _{\alpha <\beta <\gamma }~\sum _{\delta <\epsilon <\cdots <\lambda }~\sum _{\mu <\nu <\cdots <\zeta }A_{\alpha \beta \gamma }{}^{\delta \epsilon \cdots \lambda }B^{\alpha \beta \gamma }{}_{\delta \epsilon \cdots \lambda \mu \nu \cdots \zeta }C^{\mu \nu \cdots \zeta }\end{aligned}}}$

Cuando se utiliza notación de índices múltiples, se coloca una flecha debajo del bloque de índices: ^[9]

${\displaystyle A_{\underset {\rightharpoondown }{P}}{}^{\underset {\rightharpoondown }{Q}}B^{P}{}_{Q{\underset {\rightharpoondown }{R}}}C^{R}=\sum _{\underset {\rightharpoondown }{P}}\sum _{\underset {\rightharpoondown }{Q}}\sum _{\underset {\rightharpoondown }{R}}A_{P}{}^{Q}B^{P}{}_{QR}C^{R}}$

dónde

${\displaystyle {\underset {\rightharpoondown }{P}}=|\alpha \beta \gamma |\,,\quad {\underset {\rightharpoondown }{Q}}=|\delta \epsilon \cdots \lambda |\,,\quad {\underset {\rightharpoondown }{R}}=|\mu \nu \cdots \zeta |}$

Subir y bajar índices

Al contraer un índice con un tensor métrico no singular , se puede cambiar el tipo de tensor, convirtiendo un índice inferior en un índice superior o viceversa:

${\displaystyle B^{\gamma }{}_{\beta \cdots }=g^{\gamma \alpha }A_{\alpha \beta \cdots }\quad {\text{and}}\quad A_{\alpha \beta \cdots }=g_{\alpha \gamma }B^{\gamma }{}_{\beta \cdots }}$

En muchos casos se conserva el símbolo base (por ejemplo, usar A donde aquí aparece B ), y cuando no hay ambigüedad, se puede considerar que reposicionar un índice implica esta operación.

Correlaciones entre posiciones de índice e invariancia

Esta tabla resume cómo la manipulación de índices covariantes y contravariantes encaja con la invariancia bajo una transformación pasiva entre bases, con los componentes de cada base establecidos en términos de la otra reflejados en la primera columna. Los índices barrados se refieren al sistema de coordenadas final después de la transformación. ^[10]

Se utiliza el delta de Kronecker , ver también más abajo.

Esquemas generales para operaciones y notación de índices

Los tensores son iguales si y sólo si todos los componentes correspondientes son iguales; por ejemplo, el tensor A es igual al tensor B si y sólo si

${\displaystyle A^{\alpha }{}_{\beta \gamma }=B^{\alpha }{}_{\beta \gamma }}$

para todos α , β , γ . En consecuencia, hay facetas de la notación que son útiles para comprobar que una ecuación tiene sentido (un procedimiento análogo al análisis dimensional ).

Índices libres y ficticios

Los índices que no participan en contracciones se denominan índices libres . Los índices utilizados en las contracciones se denominan índices ficticios o índices sumatorios .

Una ecuación tensorial representa muchas ecuaciones ordinarias (de valor real)

Los componentes de los tensores (como A ^α , B _β ^γ , etc.) son solo números reales. Dado que los índices toman varios valores enteros para seleccionar componentes específicos de los tensores, una única ecuación tensorial representa muchas ecuaciones ordinarias. Si una igualdad tensorial tiene n índices libres, y si la dimensionalidad del espacio vectorial subyacente es m , la igualdad representa m ⁿ ecuaciones: cada índice toma cada valor de un conjunto específico de valores.

Por ejemplo, si

${\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }=T^{\alpha }{}_{\beta }{}_{\delta }}$

está en cuatro dimensiones (es decir, cada índice va de 0 a 3 o de 1 a 4), entonces debido a que hay tres índices libres ( α , β , δ ), hay 4 ³ = 64 ecuaciones. Tres de estos son:

${\displaystyle {\begin{aligned}A^{0}B_{1}{}^{0}C_{00}+A^{0}B_{1}{}^{1}C_{10}+A^{0}B_{1}{}^{2}C_{20}+A^{0}B_{1}{}^{3}C_{30}+D^{0}{}_{1}{}E_{0}&=T^{0}{}_{1}{}_{0}\\A^{1}B_{0}{}^{0}C_{00}+A^{1}B_{0}{}^{1}C_{10}+A^{1}B_{0}{}^{2}C_{20}+A^{1}B_{0}{}^{3}C_{30}+D^{1}{}_{0}{}E_{0}&=T^{1}{}_{0}{}_{0}\\A^{1}B_{2}{}^{0}C_{02}+A^{1}B_{2}{}^{1}C_{12}+A^{1}B_{2}{}^{2}C_{22}+A^{1}B_{2}{}^{3}C_{32}+D^{1}{}_{2}{}E_{2}&=T^{1}{}_{2}{}_{2}.\end{aligned}}}$

Esto ilustra la compacidad y eficiencia del uso de la notación de índice: muchas ecuaciones que comparten una estructura similar se pueden recopilar en una ecuación tensorial simple.

Los índices son etiquetas reemplazables.

Reemplazar cualquier símbolo de índice por otro deja la ecuación del tensor sin cambios (siempre que no haya conflicto con otros símbolos ya utilizados). Esto puede resultar útil al manipular índices, como el uso de notación de índice para verificar identidades de cálculo vectorial o identidades del delta de Kronecker y el símbolo de Levi-Civita (ver también más abajo). Un ejemplo de un cambio correcto es:

${\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }\rightarrow A^{\lambda }B_{\beta }{}^{\mu }C_{\mu \delta }+D^{\lambda }{}_{\beta }{}E_{\delta }\,,}$

mientras que un cambio erróneo es:

${\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }\nrightarrow A^{\lambda }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\mu \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }\,.}$

En el primer reemplazo, λ reemplazó a α y μ reemplazó a γ en todas partes , por lo que la expresión todavía tiene el mismo significado. En el segundo, λ no reemplazó completamente a α , y μ no reemplazó completamente a γ (por cierto, la contracción en el índice γ se convirtió en un producto tensorial), lo cual es completamente inconsistente por las razones que se muestran a continuación.

Los índices son los mismos en todos los términos.

Los índices libres en una expresión tensorial siempre aparecen en la misma posición (superior o inferior) en cada término, y en una ecuación tensorial los índices libres son los mismos en cada lado. Los índices ficticios (lo que implica una suma sobre ese índice) no tienen por qué ser iguales, por ejemplo:

${\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\delta }E_{\beta }=T^{\alpha }{}_{\beta }{}_{\delta }}$

en cuanto a una expresión errónea:

${\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D_{\alpha }{}_{\beta }{}^{\gamma }E^{\delta }.}$

En otras palabras, los índices no repetidos deben ser del mismo tipo en todos los términos de la ecuación. En la identidad anterior, α , β , δ se alinean en todas partes y γ ocurre dos veces en un término debido a una contracción (una vez como índice superior y otra como índice inferior), por lo que es una expresión válida. En la expresión no válida, mientras β se alinea, α y δ no, y γ aparece dos veces en un término (contracción) y una vez en otro término, lo cual es inconsistente.

Los corchetes y la puntuación se utilizan una vez cuando están implícitos.

Cuando se aplica una regla a varios índices (diferenciación, simetrización, etc., como se muestra a continuación), los símbolos de puntuación o corchetes que denotan las reglas solo se muestran en un grupo de índices al que se aplican.

Si los corchetes incluyen índices covariantes , la regla se aplica solo a todos los índices covariantes encerrados entre corchetes , no a ningún índice contravariante que se encuentre ubicado intermediamente entre los corchetes.

De manera similar, si los corchetes incluyen índices contravariantes , la regla se aplica solo a todos los índices contravariantes incluidos , no a los índices covariantes ubicados en lugares intermedios.

Partes simétricas y antisimétricas.

Simétricoparte del tensor

Los paréntesis, ( ) , alrededor de múltiples índices, denotan la parte simetrizada del tensor. Al simetrizar p índices usando σ para abarcar permutaciones de los números 1 a p , se toma una suma sobre las permutaciones de esos índices α _{σ ( i )} para i = 1, 2, 3, ..., p , y luego se divide por el número de permutaciones:

${\displaystyle A_{(\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{p})\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}={\dfrac {1}{p!}}\sum _{\sigma }A_{\alpha _{\sigma (1)}\cdots \alpha _{\sigma (p)}\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\,.}$

Por ejemplo, dos índices simétricos significan que hay dos índices para permutar y sumar:

${\displaystyle A_{(\alpha \beta )\gamma \cdots }={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \cdots }+A_{\beta \alpha \gamma \cdots }\right)}$

mientras que para tres índices simétricos, hay tres índices para sumar y permutar:

${\displaystyle A_{(\alpha \beta \gamma )\delta \cdots }={\dfrac {1}{3!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \delta \cdots }+A_{\gamma \alpha \beta \delta \cdots }+A_{\beta \gamma \alpha \delta \cdots }+A_{\alpha \gamma \beta \delta \cdots }+A_{\gamma \beta \alpha \delta \cdots }+A_{\beta \alpha \gamma \delta \cdots }\right)}$

La simetrización es distributiva sobre la suma;

${\displaystyle A_{(\alpha }\left(B_{\beta )\gamma \cdots }+C_{\beta )\gamma \cdots }\right)=A_{(\alpha }B_{\beta )\gamma \cdots }+A_{(\alpha }C_{\beta )\gamma \cdots }}$

Los índices no forman parte de la simetrización cuando son:

• no al mismo nivel, por ejemplo;

  ${\displaystyle A_{(\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma )}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma }+A_{\gamma }B^{\beta }{}_{\alpha }\right)}$

• dentro de paréntesis y entre barras verticales (es decir |⋅⋅⋅|), modificando el ejemplo anterior;

  ${\displaystyle A_{(\alpha }B_{|\beta |}{}_{\gamma )}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B_{\beta \gamma }+A_{\gamma }B_{\beta \alpha }\right)}$

Aquí los índices α y γ están simetrizados, β no.

antisimétricoo parte alterna del tensor

Los corchetes, [] , alrededor de múltiples índices denotan la parte antisimetrizada del tensor. Para p índices antisimetrizantes, se toma la suma de las permutaciones de esos índices α _{σ ( i )} multiplicada por la firma de la permutación sgn ( σ ) , luego se divide por el número de permutaciones:

${\displaystyle {\begin{aligned}&A_{[\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}]\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\\[3pt]={}&{\dfrac {1}{p!}}\sum _{\sigma }\operatorname {sgn}(\sigma )A_{\alpha _{\sigma (1)}\cdots \alpha _{\sigma (p)}\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\\={}&\delta _{\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}}^{\beta _{1}\dots \beta _{p}}A_{\beta _{1}\cdots \beta _{p}\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\\\end{aligned}}}$

donde δβ 1 ⋅⋅⋅ β p
α 1 ⋅⋅⋅ α pes el delta de Kronecker generalizado de grado 2 p , con escala como se define a continuación.

Por ejemplo, dos índices antisimetrizantes implican:

${\displaystyle A_{[\alpha \beta ]\gamma \cdots }={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \cdots }-A_{\beta \alpha \gamma \cdots }\right)}$

mientras que tres índices antisimetrizantes implican:

${\displaystyle A_{[\alpha \beta \gamma ]\delta \cdots }={\dfrac {1}{3!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \delta \cdots }+A_{\gamma \alpha \beta \delta \cdots }+A_{\beta \gamma \alpha \delta \cdots }-A_{\alpha \gamma \beta \delta \cdots }-A_{\gamma \beta \alpha \delta \cdots }-A_{\beta \alpha \gamma \delta \cdots }\right)}$

En cuanto a un ejemplo más específico, si F representa el tensor electromagnético , entonces la ecuación

${\displaystyle 0=F_{[\alpha \beta ,\gamma ]}={\dfrac {1}{3!}}\left(F_{\alpha \beta ,\gamma }+F_{\gamma \alpha ,\beta }+F_{\beta \gamma ,\alpha }-F_{\beta \alpha ,\gamma }-F_{\alpha \gamma ,\beta }-F_{\gamma \beta ,\alpha }\right)\,}$

Representa la ley de Gauss para el magnetismo y la ley de inducción de Faraday .

Como antes, la antisimetrización es distributiva sobre la suma;

${\displaystyle A_{[\alpha }\left(B_{\beta ]\gamma \cdots }+C_{\beta ]\gamma \cdots }\right)=A_{[\alpha }B_{\beta ]\gamma \cdots }+A_{[\alpha }C_{\beta ]\gamma \cdots }}$

Al igual que con la simetrización, los índices no están antisimetrizados cuando:

• no al mismo nivel, por ejemplo;

  ${\displaystyle A_{[\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma ]}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma }-A_{\gamma }B^{\beta }{}_{\alpha }\right)}$

• dentro de los corchetes y entre las barras verticales (es decir, |⋅⋅⋅|), modificando el ejemplo anterior;

  ${\displaystyle A_{[\alpha }B_{|\beta |}{}_{\gamma ]}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B_{\beta \gamma }-A_{\gamma }B_{\beta \alpha }\right)}$

Aquí los índices α y γ están antisimetrizados, β no.

Suma de partes simétricas y antisimétricas.

Cualquier tensor se puede escribir como la suma de sus partes simétricas y antisimétricas en dos índices:

${\displaystyle A_{\alpha \beta \gamma \cdots }=A_{(\alpha \beta )\gamma \cdots }+A_{[\alpha \beta ]\gamma \cdots }}$

como se puede ver sumando las expresiones anteriores para A _{( αβ ) γ ⋅⋅⋅} y A _{[ αβ ] γ ⋅⋅⋅} . Esto no es válido más que para dos índices.

Diferenciación

Para que sea más compacto, las derivadas pueden indicarse añadiendo índices después de una coma o punto y coma. ^{[11] [12]}

Derivada parcial

Si bien la mayoría de las expresiones del cálculo de Ricci son válidas para bases arbitrarias, las expresiones que involucran derivadas parciales de componentes tensoriales con respecto a coordenadas se aplican solo con una base de coordenadas : una base que se define mediante la diferenciación con respecto a las coordenadas. Las coordenadas normalmente se denotan por x ^μ , pero en general no forman los componentes de un vector. En el espacio-tiempo plano con coordinatización lineal, una tupla de diferencias en coordenadas, Δ x ^μ , puede tratarse como un vector contravariante. Con las mismas restricciones en el espacio y en la elección del sistema de coordenadas, las derivadas parciales con respecto a las coordenadas producen un resultado que es efectivamente covariante. Aparte de su uso en este caso especial, las derivadas parciales de los componentes de los tensores en general no se transforman de forma covariante, pero son útiles para construir expresiones que son covariantes, aunque todavía con una base de coordenadas si las derivadas parciales se usan explícitamente, como ocurre con la covariante. , exterior y derivados de Lie a continuación.

Para indicar la diferenciación parcial de los componentes de un campo tensorial con respecto a una variable de coordenadas x ^γ , se coloca una coma antes de un índice inferior adjunto de la variable de coordenadas.

${\displaystyle A_{\alpha \beta \cdots ,\gamma }={\dfrac {\partial }{\partial x^{\gamma }}}A_{\alpha \beta \cdots }}$

Esto puede repetirse (sin añadir más comas):

${\displaystyle A_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{p}\,,\,\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}={\dfrac {\partial }{\partial x^{\alpha _{q}}}}\cdots {\dfrac {\partial }{\partial x^{\alpha _{p+2}}}}{\dfrac {\partial }{\partial x^{\alpha _{p+1}}}}A_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{p}}.}$

Estos componentes no se transforman covariantemente, a menos que la expresión que se diferencia sea un escalar. Esta derivada se caracteriza por la regla del producto y las derivadas de las coordenadas.

${\displaystyle x^{\alpha }{}_{,\gamma }=\delta _{\gamma }^{\alpha },}$

donde δ es el delta de Kronecker .

Derivada covariante

La derivada covariante sólo se define si se define una conexión . Para cualquier campo tensor, un punto y coma (  ; ) colocado antes de un índice inferior (covariante) adjunto indica diferenciación covariante. Las alternativas menos comunes al punto y coma incluyen una barra diagonal ( / ) ^[13] o, en un espacio curvo tridimensional, una única barra vertical (  |  ). ^[14]

La derivada covariante de una función escalar, un vector contravariante y un vector covariante son:

${\displaystyle f_{;\beta }=f_{,\beta }}$

${\displaystyle A^{\alpha }{}_{;\beta }=A^{\alpha }{}_{,\beta }+\Gamma ^{\alpha }{}_{\gamma \beta }A^{\gamma }}$

${\displaystyle A_{\alpha ;\beta }=A_{\alpha ,\beta }-\Gamma ^{\gamma }{}_{\alpha \beta }A_{\gamma }\,,}$

donde Γ ^α _γβ son los coeficientes de conexión.

Para un tensor arbitrario: ^[15]

${\displaystyle {\begin{aligned}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s};\gamma }&\\=T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s},\gamma }&+\,\Gamma ^{\alpha _{1}}{}_{\delta \gamma }T^{\delta \alpha _{2}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}+\cdots +\Gamma ^{\alpha _{r}}{}_{\delta \gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r-1}\delta }{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}\\&-\,\Gamma ^{\delta }{}_{\beta _{1}\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\delta \beta _{2}\cdots \beta _{s}}-\cdots -\Gamma ^{\delta }{}_{\beta _{s}\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s-1}\delta }\,.\end{aligned}}}$

Una notación alternativa para la derivada covariante de cualquier tensor es el símbolo nabla subíndice ∇ _β . Para el caso de un campo vectorial A ^α : ^[16]

${\displaystyle \nabla _{\beta }A^{\alpha }=A^{\alpha }{}_{;\beta }\,.}$

La formulación covariante de la derivada direccional de cualquier campo tensorial a lo largo de un vector v ^γ puede expresarse como su contracción con la derivada covariante, por ejemplo:

${\displaystyle v^{\gamma }A_{\alpha ;\gamma }\,.}$

Los componentes de esta derivada de un campo tensorial se transforman covariantemente y, por tanto, forman otro campo tensorial, a pesar de que las subexpresiones (la derivada parcial y los coeficientes de conexión) no se transforman covariantemente por separado.

Esta derivada se caracteriza por la regla del producto:

${\displaystyle (A^{\alpha }{}_{\beta \cdots }B^{\gamma }{}_{\delta \cdots })_{;\epsilon }=A^{\alpha }{}_{\beta \cdots ;\epsilon }B^{\gamma }{}_{\delta \cdots }+A^{\alpha }{}_{\beta \cdots }B^{\gamma }{}_{\delta \cdots ;\epsilon }\,.}$

Tipos de conexión

Una conexión de Koszul en el haz tangente de una variedad diferenciable se llama conexión afín .

Una conexión es una conexión métrica cuando la derivada covariante del tensor métrico desaparece:

${\displaystyle g_{\mu \nu ;\xi }=0\,.}$

Una conexión afín que también es una conexión métrica se llama conexión de Riemann . Una conexión de Riemann que no tiene torsión (es decir, para la cual el tensor de torsión desaparece: T ^α _βγ = 0 ) es una conexión de Levi-Civita .

Los Γ ^α _βγ para una conexión Levi-Civita en una base de coordenadas se denominan símbolos de Christoffel del segundo tipo.

Derivado exterior

La derivada exterior de un campo tensor de tipo totalmente antisimétrico (0, s ) con componentes A _{α 1 ⋅⋅⋅ α s} (también llamada forma diferencial ) es una derivada que es covariante bajo transformaciones de base. No depende ni de un tensor métrico ni de una conexión: sólo requiere la estructura de una variedad diferenciable. En base coordinada, puede expresarse como la antisimetrización de las derivadas parciales de los componentes tensoriales: ^{[17] : 232–233}

${\displaystyle (\mathrm {d} A)_{\gamma \alpha _{1}\cdots \alpha _{s}}={\frac {\partial }{\partial x^{[\gamma }}}A_{\alpha _{1}\cdots \alpha _{s}]}=A_{[\alpha _{1}\cdots \alpha _{s},\gamma ]}.}$

Esta derivada no está definida sobre ningún campo tensorial con índices contravariantes o que no sea totalmente antisimétrico. Se caracteriza por una regla de producto graduado.

Derivado de mentira

La derivada de Lie es otra derivada que es covariante bajo transformaciones de bases. Al igual que la derivada exterior, no depende ni de un tensor métrico ni de una conexión. La derivada de Lie de un campo tensorial de tipo ( r , s ) T a lo largo de (el flujo de) un campo vectorial contravariante X ^ρ se puede expresar utilizando una base de coordenadas como ^[18]

${\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {L}}_{X}T)^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}&\\=X^{\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s},\gamma }&-\,X^{\alpha _{1}}{}_{,\gamma }T^{\gamma \alpha _{2}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}-\cdots -X^{\alpha _{r}}{}_{,\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r-1}\gamma }{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}\\&+\,X^{\gamma }{}_{,\beta _{1}}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\gamma \beta _{2}\cdots \beta _{s}}+\cdots +X^{\gamma }{}_{,\beta _{s}}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s-1}\gamma }\,.\end{aligned}}}$

Esta derivada se caracteriza por la regla del producto y el hecho de que la derivada de Lie de un campo vectorial contravariante respecto de sí misma es cero:

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}X)^{\alpha }=X^{\gamma }X^{\alpha }{}_{,\gamma }-X^{\alpha }{}_{,\gamma }X^{\gamma }=0\,.}$

Tensores notables

delta del Kronecker

El delta de Kronecker es como la matriz identidad cuando se multiplica y se contrae:

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{\beta }^{\alpha }\,A^{\beta }&=A^{\alpha }\\\delta _{\nu }^{\mu }\,B_{\mu }&=B_{\nu }.\end{aligned}}}$

Los componentes δ^α
_βson iguales en cualquier base y forman un tensor invariante de tipo (1, 1) , es decir, la identidad del paquete tangente sobre el mapeo de identidad de la variedad base , por lo que su traza es una invariante. ^[19] Su huella es la dimensionalidad del espacio; por ejemplo, en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones ,

${\displaystyle \delta _{\rho }^{\rho }=\delta _{0}^{0}+\delta _{1}^{1}+\delta _{2}^{2}+\delta _{3}^{3}=4.}$

El delta de Kronecker pertenece a la familia de deltas de Kronecker generalizados. El delta de Kronecker generalizado de grado 2 p puede definirse en términos del delta de Kronecker mediante (una definición común incluye un multiplicador adicional de p ! a la derecha):

${\displaystyle \delta _{\beta _{1}\cdots \beta _{p}}^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}}=\delta _{\beta _{1}}^{[\alpha _{1}}\cdots \delta _{\beta _{p}}^{\alpha _{p}]},}$

y actúa como antisimetrizador en índices p :

${\displaystyle \delta _{\beta _{1}\cdots \beta _{p}}^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}}\,A^{\beta _{1}\cdots \beta _{p}}=A^{[\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}]}.}$

tensor de torsión

Una conexión afín tiene un tensor de torsión T ^α _βγ :

${\displaystyle T^{\alpha }{}_{\beta \gamma }=\Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }-\Gamma ^{\alpha }{}_{\gamma \beta }-\gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma },}$

donde γ ^α _βγ están dados por los componentes del soporte de Lie de la base local, que desaparecen cuando es una base coordinada.

Para una conexión Levi-Civita, este tensor se define como cero, lo que para una base de coordenadas da las ecuaciones

${\displaystyle \Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }=\Gamma ^{\alpha }{}_{\gamma \beta }.}$

tensor de curvatura de Riemann

Si este tensor se define como

${\displaystyle R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }=\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma ,\mu }-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma ,\nu }+\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \sigma }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \sigma }\,,}$

entonces es el conmutador de la derivada covariante consigo mismo: ^{[20] [21]}

${\displaystyle A_{\nu ;\rho \sigma }-A_{\nu ;\sigma \rho }=A_{\beta }R^{\beta }{}_{\nu \rho \sigma }\,,}$

ya que la conexión no tiene torsión, lo que significa que el tensor de torsión desaparece.

Esto se puede generalizar para obtener el conmutador para dos derivadas covariantes de un tensor arbitrario de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s};\gamma \delta }&-T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s};\delta \gamma }\\&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!=-R^{\alpha _{1}}{}_{\rho \gamma \delta }T^{\rho \alpha _{2}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}-\cdots -R^{\alpha _{r}}{}_{\rho \gamma \delta }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r-1}\rho }{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}\\&+R^{\sigma }{}_{\beta _{1}\gamma \delta }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\sigma \beta _{2}\cdots \beta _{s}}+\cdots +R^{\sigma }{}_{\beta _{s}\gamma \delta }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s-1}\sigma }\,\end{aligned}}}$

que a menudo se conocen como las identidades Ricci . ^[22]

tensor métrico

El tensor métrico g _αβ se utiliza para reducir índices y proporciona la longitud de cualquier curva espacial.

${\displaystyle {\text{length}}=\int _{y_{1}}^{y_{2}}{\sqrt {g_{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{d\gamma }}{\frac {dx^{\beta }}{d\gamma }}}}\,d\gamma \,,}$

donde γ es cualquier parametrización suave y estrictamente monótona de la ruta. También proporciona la duración de cualquier curva temporal.

${\displaystyle {\text{duration}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {{\frac {-1}{c^{2}}}g_{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{d\gamma }}{\frac {dx^{\beta }}{d\gamma }}}}\,d\gamma \,,}$

donde γ es cualquier parametrización suave y estrictamente monótona de la trayectoria. Véase también Elemento de línea .

La matriz inversa g ^αβ del tensor métrico es otro tensor importante, utilizado para elevar índices:

${\displaystyle g^{\alpha \beta }g_{\beta \gamma }=\delta _{\gamma }^{\alpha }\,.}$

Ver también

• Notación de índice abstracto
• Conexión
• Álgebra exterior
• forma diferencial
• Operador estrella de Hodge
• Base holonómica
• tensor métrico
• Notación gráfica de Penrose
• calculo regge
• Descomposición de Ricci
• Tensor (definición intrínseca)
• Cálculo tensorial
• campo tensorial

Notas

1. Si bien la subida y bajada de índices depende de un tensor métrico , la derivada covariante solo depende de la conexión , mientras que la derivada exterior y la derivada de Lie no dependen de ninguna de las dos.

Referencias

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5. Schouten, enero A. (1924). R. Courant (ed.). Der Ricci-Kalkül - Eine Einführung in die neueren Methoden und Probleme der mehrdimensionalen Differentialgeometrie (Ricci Calculus - Una introducción a los últimos métodos y problemas en geometría diferencial multidimensional). Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (en alemán). vol. 10. Berlín: Springer Verlag.
6. C. Møller (1952), La teoría de la relatividad , p. 234es un ejemplo de una variación: 'Los índices griegos van del 1 al 3, los índices latinos del 1 al 4'
7. T. Frankel (2012), La geometría de la física (3.ª ed.), Cambridge University Press, p. 67, ISBN 978-1107-602601
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9. T. Frankel (2012), La geometría de la física (3.ª ed.), Cambridge University Press, p. 67, ISBN 978-1107-602601
10. JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). Gravitación . WH Freeman & Co. págs. 61, 202–203, 232. ISBN 0-7167-0344-0.
11. G. Woan (2010). El manual de fórmulas físicas de Cambridge . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-57507-2.
12. Derivada covariante - Mathworld, Wolfram
13. T. Frankel (2012), La geometría de la física (3.ª ed.), Cambridge University Press, p. 298, ISBN 978-1107-602601
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18. Obispo, RL; Goldberg, SI (1968), Análisis tensorial en variedades , p. 130
19. Obispo, RL; Goldberg, SI (1968), Análisis tensorial en variedades , p. 85
20. Synge JL; Schild A. (1949). Cálculo tensorial . Primera edición de 1978 de Dover Publications. págs.83, pág. 107.
21. PAM Dirac. Teoría General de la Relatividad . págs. 20-21.
22. Lovelock, David; Hanno Rund (1989). Tensores, formas diferenciales y principios variacionales . pag. 84.

Fuentes

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• Danielson, Donald A. (2003). Vectores y tensores en ingeniería y física (2/e ed.). Westview (Perseo). ISBN 978-0-8133-4080-7.
• Dimitrienko, Yuriy (2002). Análisis tensorial y funciones tensoriales no lineales. Editores académicos de Kluwer (Springer). ISBN 1-4020-1015-X.
• Lovelock, David; Hanno Rund (1989) [1975]. Tensores, formas diferenciales y principios variacionales . Dover. ISBN 978-0-486-65840-7.
• C. Møller (1952), La teoría de la relatividad (3.ª ed.), Oxford University Press
• Singe JL; Schild A. (1949). Cálculo tensorial . Primera edición de 1978 de Dover Publications. ISBN 978-0-486-63612-2.
• JR Tyldesley (1975), Introducción al análisis tensorial: para ingenieros y científicos aplicados , Longman, ISBN 0-582-44355-5
• DC Kay (1988), Cálculo tensorial , Esquemas de Schaum, McGraw Hill (EE. UU.), ISBN 0-07-033484-6
• T. Frankel (2012), La geometría de la física (3.ª ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-1107-602601