Tensor mixto

Tensor que tiene índices covariantes y contravariantes

En el análisis tensorial , un tensor mixto es un tensor que no es estrictamente covariante ni estrictamente contravariante ; al menos uno de los índices de un tensor mixto será un subíndice (covariante) y al menos uno de los índices será un superíndice (contravariante).

Un tensor mixto de tipo o valencia , también escrito "tipo ( M , N )", con M > 0 y N > 0, es un tensor que tiene M índices contravariantes y N índices covariantes. Un tensor de este tipo se puede definir como una función lineal que asigna una ( M + N )-tupla de M uniformas y N vectores a un escalar . ${\textstyle {\binom {M}{N}}}$

Cambiar el tipo de tensor

Consideremos el siguiente octeto de tensores relacionados: el primero es covariante, el último contravariante y los restantes mixtos. Notacionalmente, estos tensores difieren entre sí por la covarianza/contravarianza de sus índices. Un índice contravariante dado de un tensor se puede reducir utilizando el tensor métrico g _μν , y un índice covariante dado se puede aumentar utilizando el tensor métrico inverso g ^μν . Por lo tanto, g _μν podría llamarse el operador de reducción de índice y g ^μν el operador de aumento de índice . $${\displaystyle T_{\alpha \beta \gamma },\ T_{\alpha \beta }{}^{\gamma },\ T_{\alpha }{}^{\beta }{}_{\gamma },\ T_{\alpha }{}^{\beta \gamma },\ T^{\alpha }{}_{\beta \gamma },\ T^{\alpha }{}_{\beta }{}^{\gamma },\ T^{\alpha \beta }{}_{\gamma },\ T^{\alpha \beta \gamma }.}$$

Generalmente, el tensor métrico covariante, contraído con un tensor de tipo ( M , N ), produce un tensor de tipo ( M − 1, N + 1), mientras que su inverso contravariante, contraído con un tensor de tipo ( M , N ), produce un tensor de tipo ( M + 1, N − 1).

Ejemplos

A modo de ejemplo, se puede obtener un tensor mixto de tipo (1, 2) elevando un índice de un tensor covariante de tipo (0, 3), donde es el mismo tensor que , porque con Kronecker δ actúa aquí como una matriz identidad. $${\displaystyle T_{\alpha \beta }{}^{\lambda }=T_{\alpha \beta \gamma }\,g^{\gamma \lambda },}$$ ${\displaystyle T_{\alpha \beta }{}^{\lambda }}$ ${\displaystyle T_{\alpha \beta }{}^{\gamma }}$ $${\displaystyle T_{\alpha \beta }{}^{\lambda }\,\delta _{\lambda }{}^{\gamma }=T_{\alpha \beta }{}^{\gamma },}$$

Asimismo, $${\displaystyle T_{\alpha }{}^{\lambda }{}_{\gamma }=T_{\alpha \beta \gamma }\,g^{\beta \lambda },}$$ $${\displaystyle T_{\alpha }{}^{\lambda \epsilon }=T_{\alpha \beta \gamma }\,g^{\beta \lambda }\,g^{\gamma \epsilon },}$$ $${\displaystyle T^{\alpha \beta }{}_{\gamma }=g_{\gamma \lambda }\,T^{\alpha \beta \lambda },}$$ $${\displaystyle T^{\alpha }{}_{\lambda \epsilon }=g_{\lambda \beta }\,g_{\epsilon \gamma }\,T^{\alpha \beta \gamma }.}$$

Aumentar un índice del tensor métrico equivale a contraerlo con su inverso, obteniéndose el delta de Kronecker , por lo que cualquier versión mixta del tensor métrico será igual al delta de Kronecker, que también será mixto. $${\displaystyle g^{\mu \lambda }\,g_{\lambda \nu }=g^{\mu }{}_{\nu }=\delta ^{\mu }{}_{\nu },}$$

Véase también

• Covarianza y contravarianza de vectores
• Notación de Einstein
• Cálculo de Ricci
• Tensor (definición intrínseca)
• Tensor de dos puntos

Referencias

• DC Kay (1988). Cálculo tensorial . Esquemas de Schaum, McGraw Hill (EE.UU.). ISBN 0-07-033484-6.
• Wheeler, JA; Misner, C.; Thorne, KS (1973). "§3.5 Trabajo con tensores". Gravitación . WH Freeman & Co. págs. 85–86. ISBN 0-7167-0344-0.
• R. Penrose (2007). El camino hacia la realidad . Libros antiguos. ISBN 978-0-679-77631-4.

Enlaces externos

• Índice Gimnasia, Wolfram Alpha