Notación de índice abstracto

Notación matemática para tensores y espinores

La notación de índice abstracto (también conocida como notación de índice de denominación de ranuras) ^[1] es una notación matemática para tensores y espinores que utiliza índices para indicar sus tipos, en lugar de sus componentes en una base particular. ^[2] Los índices son meros marcadores de posición, no relacionados con ninguna base y, en particular, no son numéricos. Por lo tanto, no debe confundirse con el cálculo de Ricci . La notación fue introducida por Roger Penrose como una forma de utilizar los aspectos formales de la convención de suma de Einstein para compensar la dificultad de describir contracciones y diferenciación covariante en la notación de tensores abstractos moderna, al tiempo que se preserva la covarianza explícita de las expresiones involucradas. ^[3]

Sea un espacio vectorial , y su espacio dual . Consideremos, por ejemplo, un tensor covariante de orden 2 . Entonces puede identificarse con una forma bilineal en . En otras palabras, es una función de dos argumentos en la que puede representarse como un par de ranuras : ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle h\in V^{*}\otimes V^{*}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle h=h(-,-).}$

La notación de índice abstracto es simplemente un etiquetado de las ranuras con letras latinas, que no tienen ningún significado aparte de su designación como etiquetas de las ranuras (es decir, no son numéricas):

${\displaystyle h=h_{ab}.}$

Una contracción tensorial (o traza) entre dos tensores se representa mediante la repetición de una etiqueta de índice, donde una etiqueta es contravariante (un índice superior correspondiente al factor ) y una etiqueta es covariante (un índice inferior correspondiente al factor ). Así, por ejemplo, ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$

${\displaystyle t_{ab}{}^{b}}$

es la traza de un tensor sobre sus dos últimas ranuras. Esta manera de representar contracciones de tensor mediante índices repetidos es formalmente similar a la convención de suma de Einstein . Sin embargo, como los índices no son numéricos, no implica suma: más bien corresponde a la operación de traza abstracta independiente de la base (o emparejamiento natural ) entre factores de tensor de tipo y aquellos de tipo . ${\displaystyle t=t_{ab}{}^{c}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$

Índices abstractos y espacios tensoriales

Un tensor homogéneo general es un elemento de un producto tensorial de copias de y , como ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$

${\displaystyle V\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V\otimes V^{*}.}$

Etiqueta cada factor de este producto tensorial con una letra latina en posición elevada para cada factor contravariante y en posición baja para cada posición covariante. De esta manera, escribe el producto como ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$

${\displaystyle V^{a}V_{b}V_{c}V^{d}V_{e}}$

o simplemente

${\displaystyle V^{a}{}_{bc}{}^{d}{}_{e}.}$

Las dos últimas expresiones denotan el mismo objeto que la primera. Los tensores de este tipo se denotan utilizando una notación similar, por ejemplo:

${\displaystyle h^{a}{}_{bc}{}^{d}{}_{e}\in V^{a}{}_{bc}{}^{d}{}_{e}=V\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V\otimes V^{*}.}$

Contracción

En general, siempre que en un producto tensorial de espacios hay un factor contravariante y uno covariante, hay una función de contracción (o traza ) asociada. Por ejemplo,

${\displaystyle \mathrm {Tr} _{12}:V\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V\otimes V^{*}\to V^{*}\otimes V\otimes V^{*}}$

es la traza en los dos primeros espacios del producto tensorial. es la traza en el primer y último espacio. $${\displaystyle \mathrm {Tr} _{15}:V\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V\otimes V^{*}\to V^{*}\otimes V^{*}\otimes V}$$

Estas operaciones de trazado se representan en los tensores mediante la repetición de un índice. Por lo tanto, el primer mapa de trazado viene dado por

${\displaystyle \mathrm {Tr} _{12}:h{}^{a}{}_{b}{}_{c}{}^{d}{}_{e}\mapsto h{}^{a}{}_{a}{}_{c}{}^{d}{}_{e}}$

y el segundo por

${\displaystyle \mathrm {Tr} _{15}:h{}^{a}{}_{b}{}_{c}{}^{d}{}_{e}\mapsto h{}^{a}{}_{b}{}_{c}{}^{d}{}_{a}.}$

Trenza

A cualquier producto tensorial en un único espacio vectorial, se le asocian mapas de trenzado . Por ejemplo, el mapa de trenzado

${\displaystyle \tau _{(12)}:V\otimes V\rightarrow V\otimes V}$

intercambia los dos factores tensoriales (de modo que su acción sobre tensores simples está dada por ). En general, las funciones de trenzado están en correspondencia biunívoca con elementos del grupo simétrico , actuando permutando los factores tensoriales. Aquí, denota la función de trenzado asociada a la permutación (representada como un producto de permutaciones cíclicas disjuntas ). ${\displaystyle \tau _{(12)}(v\otimes w)=w\otimes v}$ ${\displaystyle \tau _{\sigma }}$ ${\displaystyle \sigma }$

Los mapas de trenzado son importantes en geometría diferencial , por ejemplo, para expresar la identidad de Bianchi . Aquí, denotemos el tensor de Riemann , considerado como un tensor en . La primera identidad de Bianchi afirma entonces que ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle V^{*}\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V}$

${\displaystyle R+\tau _{(123)}R+\tau _{(132)}R=0.}$

La notación de índice abstracto maneja el trenzado de la siguiente manera. En un producto tensorial particular, se fija un orden de los índices abstractos (normalmente se trata de un orden lexicográfico ). El trenzado se representa entonces en notación permutando las etiquetas de los índices. Así, por ejemplo, con el tensor de Riemann

${\displaystyle R=R_{abc}{}^{d}\in V_{abc}{}^{d}=V^{*}\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V,}$

La identidad Bianchi se convierte en

${\displaystyle R_{abc}{}^{d}+R_{cab}{}^{d}+R_{bca}{}^{d}=0.}$

Antisimetrización y simetrización

Un tensor general puede ser antisimetrizado o simetrizado, y existe una notación correspondiente.

Demostremos la notación con un ejemplo. Antisimetrizaremos el tensor de tipo (0,3) , donde es el grupo simétrico de tres elementos. ${\displaystyle \omega _{abc}}$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{3}}$

${\displaystyle \omega _{[abc]}:={\frac {1}{3!}}\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{3}}(-1)^{{\text{sgn}}(\sigma )}\omega _{\sigma (a)\sigma (b)\sigma (c)}}$

De manera similar, podemos simetrizar:

${\displaystyle \omega _{(abc)}:={\frac {1}{3!}}\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{3}}\omega _{\sigma (a)\sigma (b)\sigma (c)}}$

Véase también

• Notación gráfica de Penrose
• Notación de Einstein
• Notación de índice
• Tensor
• Tensor antisimétrico
• Subida y bajada de índices
• Covarianza y contravarianza de vectores

Referencias

1. Kip S. Thorne y Roger D. Blandford (2017). Física clásica moderna: óptica, fluidos, plasmas, elasticidad, relatividad y física estadística . Princeton University Press. ISBN 978-0-69115902-7.
2. Roger Penrose (2007). El camino a la realidad: una guía completa sobre las leyes del universo . Vintage. ISBN 978-0-67977631-4.
3. Roger Penrose y Wolfgang Rindler (1984). Spinors and Space-Time, Volumen 1: Cálculo de dos espinores y campos relativistas . Cambridge University Press. ISBN 978-0-52133707-6.