Filtro de salchicha

Algoritmo de procesamiento de señales

En el procesamiento de señales , el filtro de Wiener es un filtro que se utiliza para producir una estimación de un proceso aleatorio deseado o objetivo mediante filtrado lineal invariante en el tiempo ( LTI ) de un proceso ruidoso observado, asumiendo espectros de señal y ruido estacionarios conocidos, y ruido aditivo. El filtro de Wiener minimiza el error cuadrático medio entre el proceso aleatorio estimado y el proceso deseado.

Descripción

El objetivo del filtro de Wiener es calcular una estimación estadística de una señal desconocida utilizando una señal relacionada como entrada y filtrando esa señal conocida para producir la estimación como salida. Por ejemplo, la señal conocida podría consistir en una señal de interés desconocida que ha sido corrompida por ruido aditivo . El filtro Wiener se puede utilizar para filtrar el ruido de la señal corrupta y proporcionar una estimación de la señal de interés subyacente. El filtro de Wiener se basa en un enfoque estadístico , y en el artículo sobre el estimador del error cuadrático medio mínimo (MMSE) se ofrece una explicación más estadística de la teoría .

Los filtros deterministas típicos están diseñados para una respuesta de frecuencia deseada . Sin embargo, el diseño del filtro Wiener adopta un enfoque diferente. Se supone que se conocen las propiedades espectrales de la señal original y del ruido, y se busca el filtro lineal invariante en el tiempo cuya salida se acerque lo más posible a la señal original. Los filtros Wiener se caracterizan por lo siguiente: ^[1]

1. Supuesto: la señal y el ruido (aditivo) son procesos estocásticos lineales estacionarios con características espectrales conocidas o autocorrelación y correlación cruzada conocidas.
2. Requisito: el filtro debe ser físicamente realizable/ causal (este requisito puede eliminarse, lo que da como resultado una solución no causal)
3. Criterio de rendimiento: error cuadrático medio mínimo (MMSE)

Este filtro se utiliza con frecuencia en el proceso de deconvolución ; para esta aplicación, consulte Deconvolución de Wiener .

Soluciones de filtrado Wiener

Sea una señal desconocida que debe estimarse a partir de una señal de medición . Donde alfa es un parámetro ajustable. se conoce como predicción, se conoce como filtrado y se conoce como suavizado (consulte el capítulo Filtrado de Wiener de ^[1] para obtener más detalles). ${\displaystyle s(t+\alpha )}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle \alpha =0}$ ${\displaystyle \alpha <0}$

El problema del filtro de Wiener tiene soluciones para tres casos posibles: uno en el que es aceptable un filtro no causal (que requiere una cantidad infinita de datos pasados ​​y futuros), el caso en el que se desea un filtro causal (utilizando una cantidad infinita de datos pasados) y el caso de respuesta de impulso finito (FIR) donde solo se utilizan datos de entrada (es decir, el resultado o la salida no se devuelve al filtro como en el caso IIR). El primer caso es sencillo de resolver pero no es adecuado para aplicaciones en tiempo real. El principal logro de Wiener fue resolver el caso en el que el requisito de causalidad está vigente; Norman Levinson dio la solución FIR en un apéndice del libro de Wiener.

Solución no causal

${\displaystyle G(s)={\frac {S_{x,s}(s)}{S_{x}(s)}}e^{\alpha s},}$

donde están las densidades espectrales . Siempre que sea óptima, entonces la ecuación del error cuadrático medio mínimo se reduce a ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle g(t)}$

${\displaystyle E(e^{2})=R_{s}(0)-\int _{-\infty }^{\infty }g(\tau )R_{x,s}(\tau +\alpha )\,d\tau ,}$

y la solución es la transformada de Laplace inversa de dos lados de . ${\displaystyle g(t)}$ ${\displaystyle G(s)}$

solución causal

${\displaystyle G(s)={\frac {H(s)}{S_{x}^{+}(s)}},}$

dónde

• ${\displaystyle H(s)}$consiste en la parte causal de (es decir, la parte de esta fracción que tiene una solución temporal positiva según la transformada inversa de Laplace) ${\displaystyle {\frac {S_{x,s}(s)}{S_{x}^{-}(s)}}e^{\alpha s}}$
• ${\displaystyle S_{x}^{+}(s)}$es el componente causal de (es decir, la transformada inversa de Laplace de es distinta de cero sólo para ) ${\displaystyle S_{x}(s)}$ ${\displaystyle S_{x}^{+}(s)}$ ${\displaystyle t\geq 0}$
• ${\displaystyle S_{x}^{-}(s)}$es el componente anticausal de (es decir, la transformada inversa de Laplace de es distinta de cero sólo para ) ${\displaystyle S_{x}(s)}$ ${\displaystyle S_{x}^{-}(s)}$ ${\displaystyle t<0}$

Esta fórmula general es complicada y merece una explicación más detallada. Para anotar la solución en un caso específico se deben seguir estos pasos: ^[2] ${\displaystyle G(s)}$

1. Comience con el espectro en forma racional y factorícelo en componentes causales y anticausales: donde contiene todos los ceros y polos en el semiplano izquierdo (LHP) y contiene los ceros y polos en el semiplano derecho (RHP). Esto se llama factorización de Wiener-Hopf . ${\displaystyle S_{x}(s)}$ ${\displaystyle S_{x}(s)=S_{x}^{+}(s)S_{x}^{-}(s)}$ ${\displaystyle S^{+}}$ ${\displaystyle S^{-}}$
2. Divide por y escribe el resultado como una expansión de fracción parcial . ${\displaystyle S_{x,s}(s)e^{\alpha s}}$ ${\displaystyle S_{x}^{-}(s)}$
3. Seleccione solo aquellos términos de esta expansión que tengan polos en el LHP. Llame a estos términos . ${\displaystyle H(s)}$
4. Dividido por . El resultado es la función de transferencia de filtro deseada . ${\displaystyle H(s)}$ ${\displaystyle S_{x}^{+}(s)}$ ${\displaystyle G(s)}$

Filtro Wiener de respuesta de impulso finito para series discretas

Vista del diagrama de bloques del filtro FIR Wiener para series discretas. Una señal de entrada w [ n ] se convoluciona con el filtro de Wiener g [ n ] y el resultado se compara con una señal de referencia s [ n ] para obtener el error de filtrado e [ n ].

El filtro Wiener causal de respuesta de impulso finito (FIR), en lugar de utilizar una matriz de datos X y un vector de salida Y determinados, encuentra pesos de derivación óptimos utilizando las estadísticas de las señales de entrada y salida. Llena la matriz de entrada X con estimaciones de la autocorrelación de la señal de entrada (T) y llena el vector de salida Y con estimaciones de la correlación cruzada entre las señales de salida y de entrada (V).

Para derivar los coeficientes del filtro Wiener, considere la señal w [ n ] que se envía a un filtro Wiener de orden (número de toques pasados) N y con coeficientes . La salida del filtro se denota x [ n ] que viene dada por la expresión ${\displaystyle \{a_{0},\cdots ,a_{N}\}}$

${\displaystyle x[n]=\sum _{i=0}^{N}a_{i}w[n-i].}$

El error residual se denota e [ n ] y se define como e [ n ] = x [ n ] −  s [ n ] (ver el diagrama de bloques correspondiente). El filtro Wiener está diseñado para minimizar el error cuadrático medio ( criterio MMSE ), que se puede expresar de manera concisa de la siguiente manera:

${\displaystyle a_{i}=\arg \min E\left[e^{2}[n]\right],}$

donde denota el operador de expectativa. En el caso general, los coeficientes pueden ser complejos y pueden derivarse para el caso en que w [ n ] y s [ n ] también sean complejos. Con una señal compleja, la matriz a resolver es una matriz hermitiana de Toeplitz , en lugar de una matriz de Toeplitz simétrica . Para simplificar, a continuación se considera sólo el caso en el que todas estas cantidades son reales. El error cuadrático medio (MSE) se puede reescribir como: ${\displaystyle E[\cdot ]}$ ${\displaystyle a_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E\left[e^{2}[n]\right]&=E\left[(x[n]-s[n])^{2}\right]\\&=E\left[x^{2}[n]\right]+E\left[s^{2}[n]\right]-2E[x[n]s[n]]\\&=E\left[\left(\sum _{i=0}^{N}a_{i}w[n-i]\right)^{2}\right]+E\left[s^{2}[n]\right]-2E\left[\sum _{i=0}^{N}a_{i}w[n-i]s[n]\right]\end{aligned}}}$

Para encontrar el vector que minimiza la expresión anterior, calcula su derivada con respecto a cada ${\displaystyle [a_{0},\,\ldots ,\,a_{N}]}$ ${\displaystyle a_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial a_{i}}}E\left[e^{2}[n]\right]&={\frac {\partial }{\partial a_{i}}}\left\{E\left[\left(\sum _{j=0}^{N}a_{j}w[n-j]\right)^{2}\right]+E\left[s^{2}[n]\right]-2E\left[\sum _{j=0}^{N}a_{j}w[n-j]s[n]\right]\right\}\\&=2E\left[\left(\sum _{j=0}^{N}a_{j}w[n-j]\right)w[n-i]\right]-2E[w[n-i]s[n]]\\&=2\left(\sum _{j=0}^{N}E[w[n-j]w[n-i]]a_{j}\right)-2E[w[n-i]s[n]]\end{aligned}}}$

Suponiendo que w [ n ] y s [ n ] son ​​estacionarios y conjuntamente estacionarios, las secuencias y conocidas respectivamente como autocorrelación de w [ n ] y correlación cruzada entre w [ n ] y s [ n ] pueden definirse como sigue: ${\displaystyle R_{w}[m]}$ ${\displaystyle R_{ws}[m]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{w}[m]&=E\{w[n]w[n+m]\}\\R_{ws}[m]&=E\{w[n]s[n+m]\}\end{aligned}}}$

Por tanto, la derivada del MSE puede reescribirse como:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial a_{i}}}E\left[e^{2}[n]\right]=2\left(\sum _{j=0}^{N}R_{w}[j-i]a_{j}\right)-2R_{ws}[i]\qquad i=0,\cdots ,N.}$

Tenga en cuenta que, de verdad , la autocorrelación es simétrica: ${\displaystyle w[n]}$

$${\displaystyle R_{w}[j-i]=R_{w}[i-j]}$$

${\displaystyle \sum _{j=0}^{N}R_{w}[j-i]a_{j}=R_{ws}[i]\qquad i=0,\cdots ,N.}$

que se puede reescribir (usando la propiedad simétrica anterior) en forma matricial

${\displaystyle \underbrace {\begin{bmatrix}R_{w}[0]&R_{w}[1]&\cdots &R_{w}[N]\\R_{w}[1]&R_{w}[0]&\cdots &R_{w}[N-1]\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\R_{w}[N]&R_{w}[N-1]&\cdots &R_{w}[0]\end{bmatrix}} _{\mathbf {T} }\underbrace {\begin{bmatrix}a_{0}\\a_{1}\\\vdots \\a_{N}\end{bmatrix}} _{\mathbf {a} }=\underbrace {\begin{bmatrix}R_{ws}[0]\\R_{ws}[1]\\\vdots \\R_{ws}[N]\end{bmatrix}} _{\mathbf {v} }}$

Estas ecuaciones se conocen como ecuaciones de Wiener-Hopf . La matriz T que aparece en la ecuación es una matriz de Toeplitz simétrica . En condiciones adecuadas , se sabe que estas matrices son definidas positivas y, por lo tanto, no singulares, lo que produce una solución única para la determinación del vector de coeficientes del filtro de Wiener . Además, existe un algoritmo eficiente para resolver tales ecuaciones de Wiener-Hopf conocido como algoritmo de Levinson-Durbin , por lo que no se requiere una inversión explícita de T. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {T} ^{-1}\mathbf {v} }$

En algunos artículos, la función de correlación cruzada se define de forma opuesta:

$${\displaystyle R_{sw}[m]=E\{w[n]s[n+m]\}}$$

${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle R_{sw}[0]\ldots R_{sw}[N]}$

Cualquiera que sea la notación utilizada, tenga en cuenta que de verdad : ${\displaystyle w[n],s[n]}$

$${\displaystyle R_{sw}[k]=R_{ws}[-k]}$$

Relación con el filtro de mínimos cuadrados

La realización del filtro de Wiener causal se parece mucho a la solución de la estimación de mínimos cuadrados , excepto en el dominio del procesamiento de señales. La solución de mínimos cuadrados, para matriz de entrada y vector de salida es ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {y} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\beta }}}=(\mathbf {X} ^{\mathbf {T} }\mathbf {X} )^{-1}\mathbf {X} ^{\mathbf {T} }{\boldsymbol {y}}.}$

El filtro FIR Wiener está relacionado con el filtro de mínimos cuadrados medios , pero minimizar el criterio de error de este último no se basa en correlaciones cruzadas o autocorrelaciones. Su solución converge a la solución del filtro de Wiener.

Señales complejas

Para señales complejas, la derivación del filtro de Wiener complejo se realiza minimizando = . Esto implica calcular derivadas parciales con respecto a las partes real e imaginaria de y exigir que ambas sean cero. ${\displaystyle E\left[|e[n]|^{2}\right]}$ ${\displaystyle E\left[e[n]e^{*}[n]\right]}$ ${\displaystyle a_{i}}$

Las ecuaciones de Wiener-Hopf resultantes son:

${\displaystyle \sum _{j=0}^{N}R_{w}[j-i]a_{j}^{*}=R_{ws}[i]\qquad i=0,\cdots ,N.}$

que se puede reescribir en forma matricial:

${\displaystyle \underbrace {\begin{bmatrix}R_{w}[0]&R_{w}^{*}[1]&\cdots &R_{w}^{*}[N-1]&R_{w}^{*}[N]\\R_{w}[1]&R_{w}[0]&\cdots &R_{w}^{*}[N-2]&R_{w}^{*}[N-1]\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\R_{w}[N-1]&R_{w}[N-2]&\cdots &R_{w}[0]&R_{w}^{*}[1]\\R_{w}[N]&R_{w}[N-1]&\cdots &R_{w}[1]&R_{w}[0]\end{bmatrix}} _{\mathbf {T} }\underbrace {\begin{bmatrix}a_{0}^{*}\\a_{1}^{*}\\\vdots \\a_{N-1}^{*}\\a_{N}^{*}\end{bmatrix}} _{\mathbf {a^{*}} }=\underbrace {\begin{bmatrix}R_{ws}[0]\\R_{ws}[1]\\\vdots \\R_{ws}[N-1]\\R_{ws}[N]\end{bmatrix}} _{\mathbf {v} }}$

Tenga en cuenta aquí que:

$${\displaystyle {\begin{aligned}R_{w}[-k]&=R_{w}^{*}[k]\\R_{sw}[k]&=R_{ws}^{*}[-k]\end{aligned}}}$$

Luego, el vector del coeficiente de Wiener se calcula como:

$${\displaystyle \mathbf {a} ={(\mathbf {T} ^{-1}\mathbf {v} )}^{*}}$$

Aplicaciones

El filtro Wiener tiene una variedad de aplicaciones en procesamiento de señales, procesamiento de imágenes, ^[3] sistemas de control y comunicaciones digitales. Estas aplicaciones generalmente se clasifican en una de cuatro categorías principales:

• Identificación del sistema
• Deconvolución
• Reducción de ruido
• Detección de señal

Por ejemplo, el filtro Wiener se puede utilizar en el procesamiento de imágenes para eliminar el ruido de una imagen. Por ejemplo, usando la función de Mathematica: WienerFilter[image,2]en la primera imagen de la derecha, produce la imagen filtrada debajo de ella.

Se utiliza habitualmente para eliminar el ruido de las señales de audio, especialmente del habla, como preprocesador antes del reconocimiento de voz .

Historia

El filtro fue propuesto por Norbert Wiener durante la década de 1940 y publicado en 1949. ^{[4] [5]} El equivalente en tiempo discreto del trabajo de Wiener fue obtenido de forma independiente por Andrey Kolmogorov y publicado en 1941. ^[6] De ahí que la teoría a menudo se llame Teoría del filtrado de Wiener-Kolmogorov ( cf. Kriging ). El filtro de Wiener fue el primer filtro diseñado estadísticamente y posteriormente dio origen a muchos otros, incluido el filtro de Kalman .

Ver también

• deconvolución de Wiener
• filtro de mínimos cuadrados medios
• Similitudes entre Wiener y LMS
• predicción lineal
• estimador MMSE
• filtro de kalman
• filtro de Wiener generalizado
• filtro coincidente
• teoría del campo de información

Referencias

1. Brown, Robert Grover; Hwang, Patrick YC (1996). Introducción a las señales aleatorias y el filtrado de Kalman aplicado (3 ed.). Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-12839-7.
2. Welch, Lloyd R. "Teoría de Wiener-Hopf" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 20 de septiembre de 2006 . Consultado el 25 de noviembre de 2006 .
3. Boulfelfel, D.; Rangayyan, RM; Hahn, LJ; Kloiber, R. (1994). "Restauración tridimensional de imágenes de tomografía computarizada por emisión de fotón único". Transacciones IEEE sobre ciencia nuclear . 41 (5): 1746-1754. Código bibliográfico : 1994ITNS...41.1746B. doi : 10.1109/23.317385. S2CID  33708058.
4. Wiener N: La interpolación, extrapolación y suavizado de series temporales estacionarias ', Informe de los servicios 19, Proyecto de investigación DIC-6037 MIT, febrero de 1942
5. Viena, Norberto (1949). Extrapolación, interpolación y suavizado de series temporales estacionarias . Nueva York: Wiley. ISBN 978-0-262-73005-1.
6. Kolmogorov AN: 'Secuencias estacionarias en el espacio de Hilbert', (en ruso) Bull. Universidad de Moscú. 1941 vol.2 no.6 1-40. Traducción al inglés en Kailath T. (ed.) Estimación de mínimos cuadrados lineales Dowden, Hutchinson & Ross 1977 ISBN 0-87933-098-8 

Otras lecturas

• Thomas Kailath , Ali H. Sayed y Babak Hassibi , Estimación lineal, Prentice-Hall, Nueva Jersey, 2000, ISBN 978-0-13-022464-4 . 

enlaces externos

• Función Mathematica WienerFilter