deconvolución de Wiener

De izquierda a derecha: imagen original, imagen borrosa, imagen desenfocada mediante deconvolución de Wiener.

En matemáticas , la deconvolución de Wiener es una aplicación del filtro de Wiener a los problemas de ruido inherentes a la deconvolución . Funciona en el dominio de la frecuencia , intentando minimizar el impacto del ruido desconvolucionado en frecuencias que tienen una mala relación señal-ruido .

El método de deconvolución de Wiener tiene un uso generalizado en aplicaciones de deconvolución de imágenes , ya que el espectro de frecuencia de la mayoría de las imágenes visuales se comporta bastante bien y puede estimarse fácilmente.

La deconvolución de Wiener lleva el nombre de Norbert Wiener .

Definición

Dado un sistema:

${\displaystyle \ y(t)=(h*x)(t)+n(t)}$

donde denota convolución y: ${\displaystyle *}$

• ${\displaystyle \ x(t)}$Hay alguna señal original (desconocida) en ese momento . ${\displaystyle \ t}$
• ${\displaystyle \ h(t)}$es la respuesta al impulso conocida de un sistema lineal invariante en el tiempo
• ${\displaystyle \ n(t)}$es algún ruido aditivo desconocido, independiente de ${\displaystyle \ x(t)}$
• ${\displaystyle \ y(t)}$es nuestra señal observada

Nuestro objetivo es encontrar algunos para que podamos estimar de la siguiente manera: ${\displaystyle \ g(t)}$ ${\displaystyle \ x(t)}$

${\displaystyle \ {\hat {x}}(t)=(g*y)(t)}$

¿Dónde está una estimación de que minimiza el error cuadrático medio? ${\displaystyle \ {\hat {x}}(t)}$ ${\displaystyle \ x(t)}$

${\displaystyle \ \epsilon (t)=\mathbb {E} \left|x(t)-{\hat {x}}(t)\right|^{2}}$,

con denotando la expectativa . El filtro de deconvolución de Wiener proporciona este tipo de . El filtro se describe más fácilmente en el dominio de la frecuencia : ${\displaystyle \ \mathbb {E} }$ ${\displaystyle \ g(t)}$

${\displaystyle \ G(f)={\frac {H^{*}(f)S(f)}{|H(f)|^{2}S(f)+N(f)}}}$

dónde:

• ${\displaystyle \ G(f)}$y son las transformadas de Fourier de y , ${\displaystyle \ H(f)}$ ${\displaystyle \ g(t)}$ ${\displaystyle \ h(t)}$
• ${\displaystyle \ S(f)=\mathbb {E} |X(f)|^{2}}$es la densidad espectral de potencia media de la señal original , ${\displaystyle \ x(t)}$
• ${\displaystyle \ N(f)=\mathbb {E} |V(f)|^{2}}$es la densidad espectral de potencia media del ruido , ${\displaystyle \ n(t)}$
• ${\displaystyle X(f)}$, , y son las transformadas de Fourier de , y , y , respectivamente, ${\displaystyle Y(f)}$ ${\displaystyle V(f)}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle n(t)}$
• el superíndice denota conjugación compleja . ${\displaystyle {}^{*}}$

La operación de filtrado puede realizarse en el dominio del tiempo, como se indicó anteriormente, o en el dominio de la frecuencia:

${\displaystyle \ {\hat {X}}(f)=G(f)Y(f)}$

y luego realizar una transformada de Fourier inversa para obtener . ${\displaystyle \ {\hat {X}}(f)}$ ${\displaystyle \ {\hat {x}}(t)}$

Tenga en cuenta que en el caso de imágenes, los argumentos y arriba se vuelven bidimensionales; sin embargo el resultado es el mismo. ${\displaystyle \ t}$ ${\displaystyle \ f}$

Interpretación

El funcionamiento del filtro Wiener se vuelve evidente cuando se reescribe la ecuación del filtro anterior:

${\displaystyle {\begin{aligned}G(f)&={\frac {1}{H(f)}}\left[{\frac {1}{1+1/(|H(f)|^{2}\mathrm {SNR} (f))}}\right]\end{aligned}}}$

Aquí, es la inversa del sistema original, es la relación señal-ruido y es la relación entre la señal filtrada pura y la densidad espectral del ruido. Cuando hay ruido cero (es decir, relación señal-ruido infinita), el término entre corchetes es igual a 1, lo que significa que el filtro de Wiener es simplemente el inverso del sistema, como podríamos esperar. Sin embargo, a medida que aumenta el ruido en ciertas frecuencias, la relación señal-ruido disminuye, por lo que el término entre corchetes también disminuye. Esto significa que el filtro Wiener atenúa las frecuencias según su relación señal-ruido filtrada. ${\displaystyle \ 1/H(f)}$ ${\displaystyle \ \mathrm {SNR} (f)=S(f)/N(f)}$ ${\displaystyle \ |H(f)|^{2}\mathrm {SNR} (f)}$

La ecuación del filtro de Wiener anterior requiere que conozcamos el contenido espectral de una imagen típica, y también el del ruido. A menudo no tenemos acceso a estas cantidades exactas, pero podemos estar en una situación en la que se pueden hacer buenas estimaciones. Por ejemplo, en el caso de imágenes fotográficas, la señal (la imagen original) normalmente tiene frecuencias bajas fuertes y frecuencias altas débiles, mientras que en muchos casos el contenido de ruido será relativamente plano con la frecuencia.

Derivación

Como se mencionó anteriormente, queremos producir una estimación de la señal original que minimice el error cuadrático medio, que puede expresarse:

${\displaystyle \ \epsilon (f)=\mathbb {E} \left|X(f)-{\hat {X}}(f)\right|^{2}}$.

La equivalencia a la definición anterior de , se puede derivar utilizando el teorema de Plancherel o el teorema de Parseval para la transformada de Fourier . ${\displaystyle \epsilon }$

Si sustituimos en la expresión por , lo anterior se puede reorganizar para ${\displaystyle \ {\hat {X}}(f)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon (f)&=\mathbb {E} \left|X(f)-G(f)Y(f)\right|^{2}\\&=\mathbb {E} \left|X(f)-G(f)\left[H(f)X(f)+V(f)\right]\right|^{2}\\&=\mathbb {E} {\big |}\left[1-G(f)H(f)\right]X(f)-G(f)V(f){\big |}^{2}\end{aligned}}}$

Si ampliamos la cuadrática, obtenemos lo siguiente:

${\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon (f)&={\Big [}1-G(f)H(f){\Big ]}{\Big [}1-G(f)H(f){\Big ]}^{*}\,\mathbb {E} |X(f)|^{2}\\&{}-{\Big [}1-G(f)H(f){\Big ]}G^{*}(f)\,\mathbb {E} {\Big \{}X(f)V^{*}(f){\Big \}}\\&{}-G(f){\Big [}1-G(f)H(f){\Big ]}^{*}\,\mathbb {E} {\Big \{}V(f)X^{*}(f){\Big \}}\\&{}+G(f)G^{*}(f)\,\mathbb {E} |V(f)|^{2}\end{aligned}}}$

Sin embargo, asumimos que el ruido es independiente de la señal, por lo tanto:

${\displaystyle \ \mathbb {E} {\Big \{}X(f)V^{*}(f){\Big \}}=\mathbb {E} {\Big \{}V(f)X^{*}(f){\Big \}}=0}$

Sustituyendo las densidades espectrales de potencia y , tenemos: ${\displaystyle \ S(f)}$ ${\displaystyle \ N(f)}$

${\displaystyle \epsilon (f)={\Big [}1-G(f)H(f){\Big ]}{\Big [}1-G(f)H(f){\Big ]}^{*}S(f)+G(f)G^{*}(f)N(f)}$

Para encontrar el valor de error mínimo, calculamos la derivada de Wirtinger con respecto a y la igualamos a cero. ${\displaystyle \ G(f)}$

${\displaystyle \ {\frac {d\epsilon (f)}{dG(f)}}=0\Rightarrow G^{*}(f)N(f)-H(f){\Big [}1-G(f)H(f){\Big ]}^{*}S(f)=0}$

Esta igualdad final se puede reorganizar para dar el filtro Wiener.

Ver también

• Teoría del campo de información
• Deconvolución
• Filtro de salchicha
• Función de dispersión de puntos
• Deconvolución ciega
• Transformada de Fourier

Referencias

• Rafael González, Richard Woods y Steven Eddins. Procesamiento de imágenes digitales con Matlab . Prentice Hall, 2003.

enlaces externos

• Comparación de diferentes métodos de deconvolución.