Filtro Wiener generalizado

El filtro Wiener propuesto originalmente por Norbert Wiener es un filtro de procesamiento de señales que utiliza el conocimiento de las propiedades estadísticas tanto de la señal como del ruido para reconstruir una estimación óptima de la señal a partir de un flujo de datos unidimensional ruidoso ordenado en el tiempo. El filtro de Wiener generalizado generaliza la misma idea más allá del dominio del procesamiento de señales unidimensionales ordenados en el tiempo, siendo el procesamiento de imágenes bidimensionales la aplicación más común. ^[1]

Descripción

Considere un vector de datos que es la suma de vectores de señal y ruido independientes con media cero y covarianzas y . El filtro de Wiener generalizado es el operador lineal que minimiza el residuo esperado entre la señal estimada y la señal verdadera . El que minimiza esto es , dando como resultado el estimador de Wiener . En el caso de señal y ruido distribuidos gaussianos , este estimador es también el estimador máximo a posteriori . ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d=s+n}$ ${\displaystyle \langle ss^{T}\rangle =S}$ ${\displaystyle \langle nn^{T}\rangle =N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle e=\langle (Gd-s)^{T}(Gd-s)\rangle }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=S(S+N)^{-1}}$ ${\displaystyle {\hat {s}}=S(S+N)^{-1}d}$

El filtro de Wiener generalizado se acerca a 1 para partes de los datos dominadas por la señal y a S/N para partes dominadas por el ruido.

Una variante que se ve con frecuencia expresa el filtro en términos de covarianzas inversas. Esto es matemáticamente equivalente, pero evita una pérdida excesiva de precisión numérica en presencia de modos de alta varianza. En esta formulación, el filtro de Wiener generalizado pasa a ser el uso de la identidad . ${\displaystyle G=(S^{-1}+N^{-1})^{-1}N^{-1}}$ ${\displaystyle A^{-1}+B^{-1}=A^{-1}(A+B)B^{-1}}$

Un ejemplo

El fondo cósmico de microondas (CMB) es un campo aleatorio homogéneo e isotrópico y, por tanto, su covarianza es diagonal en una base de armónicos esféricos . Cualquier observación dada del CMB será ruidosa, y el ruido normalmente tendrá propiedades estadísticas diferentes a las del CMB. Por ejemplo, podría no estar correlacionado en el espacio de píxeles. El filtro de Wiener generalizado aprovecha esta diferencia de comportamiento para aislar la señal del ruido tanto como sea posible.

El resultado de aplicar un filtro de Wiener generalizado a una observación ruidosa del fondo cósmico de microondas. El filtro da como resultado una imagen dominada por la señal en todas las escalas, a costa de introducir un sesgo (que se ve como borroso en este ejemplo).

La estimación de la señal filtrada por Wiener (el CMB en este caso) requiere la inversión de la matriz generalmente enorme . Si S y N fueran diagonales en la misma base, esto sería trivial, pero a menudo, como aquí, ese no es el caso. En estos casos, la solución debe encontrarse resolviendo la ecuación equivalente , por ejemplo mediante la iteración de gradientes conjugados . En este caso todas las multiplicaciones se pueden realizar en la base adecuada para cada matriz, evitando la necesidad de almacenar o invertir más de su diagonal. El resultado se puede ver en la figura. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle {\hat {s}}=S(S+N)^{-1}d}$ ${\displaystyle S+N}$ ${\displaystyle (S+N)S^{-1}{\hat {s}}=d}$

Ver también

• Filtro de salchicha
• Norberto Wiener
• deconvolución de Wiener
• Estimación máxima a posteriori

Referencias

1. Pratt, William K. (julio de 1972). "Técnicas de computación de filtrado de Wiener generalizadas" (PDF) . Transacciones IEEE en computadoras . c-21 (7). doi : 10.1109/tc.1972.223567 . Consultado el 4 de octubre de 2014 .