grupo circulo

Grupo de mentiras de números complejos de módulo unitario; topológicamente un círculo

La multiplicación en el grupo del círculo es equivalente a la suma de ángulos.

En matemáticas , el grupo de círculos , denotado por o , es el grupo multiplicativo de todos los números complejos con valor absoluto 1, es decir, el círculo unitario en el plano complejo o simplemente los números complejos unitarios ^[1] ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$

$${\displaystyle \mathbb {T} =\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}.}$$

El grupo circular forma un subgrupo de , el grupo multiplicativo de todos los números complejos distintos de cero. Como es abeliano , se deduce que también lo es. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$

Un número complejo unitario en el grupo de círculos representa una rotación del plano complejo alrededor del origen y puede parametrizarse mediante la medida del ángulo : ${\displaystyle \theta }$

$${\displaystyle \theta \mapsto z=e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .}$$

Este es el mapa exponencial del grupo circular.

El grupo circular juega un papel central en la dualidad de Pontryagin y en la teoría de los grupos de Lie .

La notación para el grupo circular surge del hecho de que, con la topología estándar (ver más abajo), el grupo circular es un 1- toroide . De manera más general, (el producto directo de los tiempos consigo mismo ) es geométricamente un -toro. ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

El grupo circular es isomorfo al grupo ortogonal especial . ${\displaystyle \mathrm {SO} (2)}$

Introducción elemental

Una forma de pensar en el grupo de círculos es que describe cómo sumar ángulos , donde solo se permiten ángulos entre 0° y 360° o o . Por ejemplo, el diagrama ilustra cómo sumar 150° a 270°. La respuesta es 150° + 270° = 420° , pero cuando pensamos en términos del grupo del círculo, podemos "olvidar" el hecho de que hemos dado una vuelta alrededor del círculo. Por lo tanto, ajustamos nuestra respuesta en 360°, lo que da 420° ≡ 60° ( mod 360° ). ${\displaystyle \in [0,2\pi )}$ ${\displaystyle \in (-\pi ,+\pi ]}$

Otra descripción es en términos de suma ordinaria (real), donde sólo se permiten números entre 0 y 1 (con 1 correspondiente a una rotación completa: 360° o ), es decir, los números reales módulo de los enteros: . Esto se puede lograr descartando los dígitos que aparecen antes del punto decimal. Por ejemplo, cuando calculamos 0,4166... ​​+ 0,75, la respuesta es 1,1666..., pero podemos descartar el 1 inicial, por lo que la respuesta (en el grupo del círculo) es simplemente,     con cierta preferencia, 0,166... , porque . ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \mathbb {T} \cong \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 0.1{\bar {6}}\equiv 1.1{\bar {6}}\equiv -0.8{\bar {3}}\;({\text{mod}}\,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle 0.1{\bar {6}}\in [0,1)}$

Estructura topológica y analítica.

El grupo circular es más que un simple objeto algebraico abstracto. Tiene una topología natural cuando se considera un subespacio del plano complejo. Dado que la multiplicación y la inversión son funciones continuas , el grupo circular tiene la estructura de un grupo topológico . Además, dado que el círculo unitario es un subconjunto cerrado del plano complejo, el grupo de círculos es un subgrupo cerrado de (considerado a sí mismo como un grupo topológico). ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$

Se puede decir aún más. El círculo es una variedad real unidimensional , y la multiplicación y la inversión son aplicaciones analíticas reales en el círculo. Esto le da al grupo circular la estructura de un grupo de un parámetro , una instancia de un grupo de Lie . De hecho, hasta el isomorfismo, es el único grupo de Lie conectado , compacto unidimensional . Además, todo grupo de Lie abeliano, compacto, conectado y de dimensión es isomorfo a . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$

Isomorfismos

El grupo circular aparece en una variedad de formas en matemáticas. Aquí enumeramos algunas de las formas más comunes. Específicamente, demostramos que

$${\displaystyle \mathbb {T} \cong {\mbox{U}}(1)\cong \mathbb {R} /\mathbb {Z} \cong \mathrm {SO} (2).}$$

Tenga en cuenta que la barra diagonal (/) indica aquí grupo cociente .

El conjunto de todas las matrices unitarias 1×1 coincide claramente con el grupo circular; la condición unitaria es equivalente a la condición de que su elemento tenga valor absoluto 1. Por lo tanto, el grupo circular es canónicamente isomorfo al primer grupo unitario . ${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$

La función exponencial da lugar a un homomorfismo de grupo desde los números reales aditivos al grupo circular a través del mapa ${\displaystyle \exp :\mathbb {R} \to \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$

$${\displaystyle \theta \mapsto e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .}$$

La última igualdad es la fórmula de Euler o la exponencial compleja. El número real θ corresponde al ángulo (en radianes ) en el círculo unitario medido en sentido antihorario desde el  eje x positivo. Que esta aplicación es un homomorfismo se desprende del hecho de que la multiplicación de números complejos unitarios corresponde a la suma de ángulos:

$${\displaystyle e^{i\theta _{1}}e^{i\theta _{2}}=e^{i(\theta _{1}+\theta _{2})}.}$$

Este mapa exponencial es claramente una función sobreyectiva de a . Sin embargo, no es inyectivo . El núcleo de este mapa es el conjunto de todos los múltiplos enteros de . Por el primer teorema del isomorfismo tenemos que ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle 2\pi }$

$${\displaystyle \mathbb {T} \cong \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} .}$$

Después de reescalar también podemos decir que es isomorfo a . ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$

Si los números complejos se realizan como matrices reales de 2 × 2 (ver número complejo ), los números complejos unitarios corresponden a matrices ortogonales de 2 × 2 con determinante unitario . Específicamente, tenemos

$${\displaystyle e^{i\theta }\leftrightarrow {\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}=f\left(e^{i\theta }\right).}$$

Esta función muestra que el grupo circular es isomorfo al grupo ortogonal especial ya que ${\displaystyle \mathrm {SO} (2)}$

$${\displaystyle f\left(e^{i\theta _{1}}e^{i\theta _{2}}\right)={\begin{bmatrix}\cos(\theta _{1}+\theta _{2})&-\sin(\theta _{1}+\theta _{2})\\\sin(\theta _{1}+\theta _{2})&\cos(\theta _{1}+\theta _{2})\end{bmatrix}}=f\left(e^{i\theta _{1}}\right)\times f\left(e^{i\theta _{2}}\right),}$$

${\displaystyle \times }$

Este isomorfismo tiene la interpretación geométrica de que la multiplicación por un número complejo unitario es una rotación propia en el plano complejo (y real), y cada rotación de este tipo tiene esta forma.

Propiedades

Todo grupo de Lie compacto de dimensión > 0 tiene un subgrupo isomorfo al grupo circular. Esto significa que, pensando en términos de simetría , se puede esperar que un grupo de simetría compacto que actúa continuamente tenga subgrupos circulares de un parámetro actuando; las consecuencias en los sistemas físicos se ven, por ejemplo, en la invariancia rotacional y la ruptura espontánea de la simetría . ${\displaystyle \mathrm {G} }$

El grupo circular tiene muchos subgrupos , pero sus únicos subgrupos cerrados adecuados consisten en raíces de la unidad : para cada número entero , las raíces -ésimas de la unidad forman un grupo cíclico de orden  , que es único hasta el isomorfismo. ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

De la misma manera que los números reales son una compleción de los racionales b -ádicos para todo número natural , el grupo circular es la compleción del grupo de Prüfer para , dado por el límite directo . ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\tfrac {1}{b}}]}$ ${\displaystyle b>1}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\tfrac {1}{b}}]/\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \varinjlim \mathbb {Z} /b^{n}\mathbb {Z} }$

Representaciones

Las representaciones del grupo circular son fáciles de describir. Del lema de Schur se deduce que las representaciones complejas irreducibles de un grupo abeliano son todas unidimensionales. Dado que el grupo circular es compacto, cualquier representación

$${\displaystyle \rho :\mathbb {T} \to \mathrm {GL} (1,\mathbb {C} )\cong \mathbb {C} ^{\times }}$$

homomorfismos ${\displaystyle {\mbox{U}}(1)\cong \mathbb {T} }$

Para cada número entero podemos definir una representación del grupo circular por . Todas estas representaciones son desiguales. La representación es conjugada a : ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \phi _{n}}$ ${\displaystyle \phi _{n}(z)=z^{n}}$ ${\displaystyle \phi _{-n}}$ ${\displaystyle \phi _{n}}$

$${\displaystyle \phi _{-n}={\overline {\phi _{n}}}.}$$

Estas representaciones son sólo los personajes del grupo circular. El grupo de caracteres de es claramente un grupo cíclico infinito generado por : ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \phi _{1}}$

$${\displaystyle \operatorname {Hom} (\mathbb {T} ,\mathbb {T} )\cong \mathbb {Z} .}$$

Las representaciones reales irreductibles del grupo circular son la representación trivial (que es unidimensional) y las representaciones

$${\displaystyle \rho _{n}(e^{i\theta })={\begin{bmatrix}\cos n\theta &-\sin n\theta \\\sin n\theta &\cos n\theta \end{bmatrix}},\quad n\in \mathbb {Z} ^{+},}$$

${\displaystyle \mathrm {SO} (2)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \rho _{-n}}$ ${\displaystyle \rho _{n}}$

Estructura de grupo

El grupo circular es un grupo divisible . Su subgrupo de torsión está dado por el conjunto de las raíces -ésimas de la unidad para todos y es isomorfo a . El teorema de estructura para grupos divisibles y el axioma de elección juntos nos dicen que es isomorfo a la suma directa de con un número de copias de . ^[2] ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

El número de copias de debe ser (la cardinalidad del continuo ) para que la cardinalidad de la suma directa sea correcta. Pero la suma directa de copias de es isomorfa a , al igual que un espacio vectorial de dimensión sobre . De este modo ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

$${\displaystyle \mathbb {T} \cong \mathbb {R} \oplus (\mathbb {Q} /\mathbb {Z} ).}$$

El isomorfismo

$${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }\cong \mathbb {R} \oplus (\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )}$$

${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$

Ver también

• Portal de matemáticas

• Grupo de puntos racionales en el círculo unitario.
• Subgrupo de un parámetro
• n -esfera
• grupo ortogonal
• Factor de fase (aplicación en mecánica cuántica)
• Número de rotación
• Solenoide

Notas

1. James, Robert C .; James, Glenn (1992). Diccionario de Matemáticas (Quinta ed.). Chapman y Hall. pag. 436.ISBN​ 9780412990410. un número complejo unitario es un número complejo de valor absoluto unitario .
2. Fuchs, László (2015). "Ejemplo 3,5". Grupos abelianos . Monografías de Springer en Matemáticas. Springer, Cham. pag. 141. doi :10.1007/978-3-319-19422-6. ISBN 978-3-319-19421-9. SEÑOR  3467030.

Referencias

• James, Robert C.; James, Glenn (1992). Diccionario de Matemáticas (Quinta ed.). Chapman y Hall. ISBN 9780412990410.

Otras lecturas

• Hua Luogeng (1981) Comenzando con el círculo unitario , Springer Verlag , ISBN 0-387-90589-8 . 

enlaces externos

• Homeomorfismo y estructura de grupo en un círculo