En matemáticas , los puntos racionales en el círculo unitario son aquellos puntos ( x , y ) tales que tanto x como y son números racionales ("fracciones") y satisfacen x 2 + y 2 = 1. El conjunto de tales puntos resulta ser estar estrechamente relacionado con los triples pitagóricos primitivos . Considere un triángulo rectángulo primitivo , es decir, con longitudes de lados enteras a , b , c , con c la hipotenusa, tal que los lados no tienen ningún factor común mayor que 1. Entonces en el círculo unitario existe el punto racional ( a / c , b / c ), que, en el plano complejo , es simplemente a / c + ib / c , donde i es la unidad imaginaria . Por el contrario, si ( x , y ) es un punto racional en el círculo unitario en el primer cuadrante del sistema de coordenadas (es decir, x > 0, y > 0), entonces existe un triángulo rectángulo primitivo con lados xc , yc , c , siendo c el mínimo común múltiplo de los denominadores de x e y . Existe una correspondencia entre los puntos ( a , b ) en el plano x - y y los puntos a + ib en el plano complejo que se utiliza a continuación.
El conjunto de puntos racionales en el círculo unitario, abreviado G en este artículo, forma un grupo abeliano infinito bajo rotaciones. El elemento identidad es el punto (1, 0) = 1 + i 0 = 1. La operación de grupo, o "producto" es ( x , y ) * ( t , u ) = ( xt − uy , xu + yt ). Este producto es la suma de ángulos ya que x = cos ( A ) e y = sin ( A ), donde A es el ángulo que forma el vector ( x , y ) con el vector (1,0), medido en sentido antihorario. Entonces, con ( x , y ) y ( t , u ) formando ángulos A y B con (1, 0) respectivamente, su producto ( xt − uy , xu + yt ) es solo el punto racional en el círculo unitario que forma el ángulo A. + B con (1, 0). La operación grupal se expresa más fácilmente con números complejos: identificando los puntos ( x , y ) y ( t , u ) con x + iy y t + iu respectivamente, el producto grupal anterior es solo la multiplicación ordinaria de números complejos ( x + iy )( t + iu ) = xt − yu + i ( xu + yt ), que corresponde al punto ( xt − uy , xu + yt ) como arriba.
3/5 + 4/5 i y 5/13 + 12/13 i (que corresponden a las dos ternas pitagóricas más famosas (3,4,5) y (5,12,13)) son puntos racionales en el círculo unitario. en el plano complejo, y por tanto son elementos de G . Su producto grupal es −33/65 + 56/65 i , que corresponde al triple pitagórico (33,56,65). La suma de los cuadrados de los numeradores 33 y 56 es 1089 + 3136 = 4225, que es el cuadrado del denominador 65.
El conjunto de todas las matrices de rotación de 2 × 2 con entradas racionales coincide con G. Esto se deduce del hecho de que el grupo de círculos es isomorfo a y del hecho de que sus puntos racionales coinciden.
La estructura de G es una suma infinita de grupos cíclicos . Sea G 2 el subgrupo de G generado por el punto 0 + 1 i . G 2 es un subgrupo cíclico de orden 4. Para un primo p de la forma 4 k + 1, sea G p el subgrupo de elementos con denominador p n donde n es un entero no negativo. G p es un grupo cíclico infinito, y el punto ( a 2 − b 2 )/ p + (2 ab / p ) i es un generador de G p . Además, factorizando los denominadores de un elemento de G , se puede demostrar que G es una suma directa de G 2 y G p . Eso es:
Dado que es una suma directa en lugar de un producto directo , solo un número finito de valores en G p s son distintos de cero.
Viendo G como una suma directa infinita, considere el elemento ({ 0 }; 2, 0, 1, 0, 0, ..., 0, ...) donde la primera coordenada 0 está en C 4 y las otras coordenadas dan las potencias de ( a 2 − b 2 )/ p ( r ) + i 2 ab / p ( r ), donde p ( r ) es el r- ésimo número primo de la forma 4 k + 1. Entonces esto corresponde a, en G , el punto racional (3/5 + i 4/5) 2 ⋅ (8/17 + i 15/17) 1 = −416/425 + i87/425. El denominador 425 es el producto del denominador 5 dos veces y del denominador 17 una vez, y como en el ejemplo anterior, el cuadrado del numerador −416 más el cuadrado del numerador 87 es igual al cuadrado del denominador 425. También se debe tener en cuenta, como conexión para ayudar a mantener la comprensión, que el denominador 5 = p (1) es el primer primo de la forma 4 k + 1, y el denominador 17 = p (3) es el tercer primo de la forma 4 k. + 1.
Existe una estrecha conexión entre este grupo de la hipérbola unitaria y el grupo analizado anteriormente. Si es un punto racional en el círculo unitario, donde a / c y b / c son fracciones reducidas , entonces ( c / a , b / a ) es un punto racional en la hipérbola unitaria, ya que satisface la ecuación para la hipérbola unitaria. La operación de grupo aquí es y la identidad del grupo es el mismo punto (1, 0) que el anterior. En este grupo hay una estrecha conexión con el coseno hiperbólico y el seno hiperbólico , que es paralela a la conexión con el coseno y el seno en el grupo del círculo unitario anterior.
Hay copias isomórficas de ambos grupos, como subgrupos (y como objetos geométricos) del grupo de los puntos racionales en la variedad abeliana en el espacio de cuatro dimensiones dada por la ecuación. Tenga en cuenta que esta variedad es el conjunto de puntos con métrica de Minkowski relativa a el origen es igual a 0. La identidad en este grupo más grande es (1, 0, 1, 0), y la operación del grupo es
Para el grupo en el círculo unitario, el subgrupo apropiado es el subgrupo de puntos de la forma ( w , x , 1, 0), con y su elemento identidad es (1, 0, 1, 0). El grupo de hipérbola unitaria corresponde a puntos de la forma (1, 0, y , z ), con y la identidad es nuevamente (1, 0, 1, 0). (Por supuesto, dado que son subgrupos del grupo más grande, ambos deben tener el mismo elemento de identidad).
