El lema de Nakayama

En matemáticas , más específicamente álgebra abstracta y álgebra conmutativa , el lema de Nakayama , también conocido como teorema de Krull-Azumaya ^[1] , gobierna la interacción entre el radical de Jacobson de un anillo (típicamente un anillo conmutativo ) y sus módulos finitamente generados . De manera informal, el lema inmediatamente da un sentido preciso en el que los módulos finitamente generados sobre un anillo conmutativo se comportan como espacios vectoriales sobre un campo . Es una herramienta importante en geometría algebraica , porque permite estudiar puntualmente datos locales sobre variedades algebraicas , en forma de módulos sobre anillos locales , como espacios vectoriales sobre el campo residual del anillo.

El lema lleva el nombre del matemático japonés Tadashi Nakayama y fue introducido en su forma actual en Nakayama (1951), aunque fue descubierto por primera vez en el caso especial de ideales en un anillo conmutativo por Wolfgang Krull y luego en general por Goro Azumaya (1951). . ^[2] En el caso conmutativo, el lema es una consecuencia simple de una forma generalizada del teorema de Cayley-Hamilton , una observación hecha por Michael Atiyah (1969). El caso especial de la versión no conmutativa del lema de ideales correctos aparece en Nathan Jacobson (1945), por lo que el lema no conmutativo de Nakayama a veces se conoce como teorema de Jacobson-Azumaya . ^[1] Este último tiene diversas aplicaciones en la teoría de los radicales de Jacobson . ^[3]

Declaración

Sea un anillo conmutativo con identidad 1. El siguiente es el lema de Nakayama, como lo afirma Matsumura (1989): ${\displaystyle R}$

Declaración 1 : Sea un ideal en y un módulo generado finitamente sobre . Si , entonces existe tal que . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle IM=M}$ ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle r\equiv 1\;(\operatorname {mod} I)}$ ${\displaystyle rM=0}$

Esto se demuestra a continuación. Una mnemónica útil para el lema de Nakayama es " ". Esto resume la siguiente formulación alternativa: ${\displaystyle IM=M\implies im=m}$

Declaración 2 : Sea un ideal en y un módulo generado finitamente sobre . Si , entonces existe algo así para todos . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle IM=M}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle im=m}$ ${\displaystyle m\in M}$

Prueba : Tómelo en la Declaración 1. ${\displaystyle i=1-r}$

El siguiente corolario también se conoce como lema de Nakayama y es en esta forma como aparece con mayor frecuencia. ^[4]

Declaración 3 : Si es un módulo generado finitamente , es el radical de Jacobson de , y , entonces . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle J(R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle J(R)M=M}$ ${\displaystyle M=0}$

Prueba : (con como en la Declaración 1) está en el radical de Jacobson, por lo que es invertible. ${\displaystyle 1-r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$

De manera más general, uno tiene un submódulo superfluo de cuando se genera de forma finita. ${\displaystyle J(R)M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Declaración 4 : Si es un módulo generado finitamente , es un submódulo de y = , entonces = . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N+J(R)M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$

Prueba : Aplique la Declaración 3 a . ${\displaystyle M/N}$

El siguiente resultado manifiesta el lema de Nakayama en términos de generadores. ^[5]

Declaración 5 : Si es un módulo generado finitamente y las imágenes de los elementos ₁ ,..., de se generan como un módulo, entonces ₁ ,..., también se generan como un módulo. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ _{${\displaystyle n}$} ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M/J(R)M}$ ${\displaystyle M/J(R)M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ _{${\displaystyle n}$} ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$

Prueba : Aplicar la Declaración 4 a . ${\displaystyle \textstyle {N=\sum _{i}Rm_{i}}}$

Si, en cambio, se supone que es completo y está separado con respecto a la topología -ádica para un ideal en , esta última afirmación se cumple en lugar de y sin asumir de antemano que se genera de forma finita. ^[6] Aquí la separación significa que la topología -ádica satisface el axioma de separación T 1 y es equivalente a ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J(R)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \textstyle {\bigcap _{k=1}^{\infty }I^{k}M=0.}}$

Consecuencias

Anillos locales

En el caso especial de un módulo generado finitamente sobre un anillo local con ideal máximo , el cociente es un espacio vectorial sobre el campo . La afirmación 5 implica entonces que una base de eleva a un conjunto mínimo de generadores de . Por el contrario, cada conjunto mínimo de generadores de se obtiene de esta manera, y dos conjuntos cualesquiera de generadores están relacionados mediante una matriz invertible con entradas en el anillo. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle M/{\mathfrak {m}}M}$ ${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle M/{\mathfrak {m}}M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Interpretación geométrica

De esta forma, el lema de Nakayama adquiere un significado geométrico concreto. Los anillos locales surgen en geometría como gérmenes de funciones en un punto. Los módulos generados de forma finita sobre anillos locales surgen con bastante frecuencia como gérmenes de secciones de haces de vectores . Trabajando a nivel de gérmenes en lugar de puntos, la noción de haz de vectores de dimensión finita da paso a la de haz coherente . Informalmente, el lema de Nakayama dice que todavía se puede considerar que un haz coherente proviene de un conjunto de vectores en algún sentido. Más precisamente, sea un haz coherente de módulos sobre un esquema arbitrario . El tallo de en un punto , denotado por , es un módulo sobre el anillo local y la fibra de en es el espacio vectorial . El lema de Nakayama implica que una base de la fibra se eleva a un conjunto mínimo de generadores de . Eso es: ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle p\in X}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{p}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {O}}_{X,p},{\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(p)={\mathcal {M}}_{p}/{\mathfrak {m}}_{p}{\mathcal {M}}_{p}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(p)}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{p}}$

• Cualquier base de la fibra de un haz coherente en un punto proviene de una base mínima de secciones locales. ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

Reformulando esto geométricamente, si hay un módulo localmente libre que representa un paquete de vectores , y si tomamos una base del paquete de vectores en un punto del esquema , esta base se puede elevar a una base de secciones del paquete de vectores en alguna vecindad. del punto. Podemos organizar estos datos de forma esquemática. ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle E\to X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\begin{matrix}E|_{p}&\to &E|_{U}&\to &E\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\p&\to &U&\to &X\end{matrix}}}$

donde es un espacio vectorial de n dimensiones, es decir, una base en (que es una base de secciones del paquete ) se puede elevar a una base de secciones para alguna vecindad de . ${\displaystyle E|_{p}}$ ${\displaystyle E|_{p}}$ ${\displaystyle E_{p}\to p}$ ${\displaystyle E|_{U}\to U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p}$

Subiendo y bajando

El teorema de la subida es esencialmente un corolario del lema de Nakayama. ^[7] Afirma:

• Sea una extensión integral de anillos conmutativos y un ideal primo de . Entonces hay un ideal primo tal que . Además, se puede elegir que contenga cualquier número primo tal que . ${\displaystyle R\hookrightarrow S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}\cap R={\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{1}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{1}\cap R\subset {\mathfrak {p}}}$

Epimorfismos del módulo

El lema de Nakayama tiene un sentido preciso en el que los módulos finitamente generados sobre un anillo conmutativo son como espacios vectoriales sobre un campo. La siguiente consecuencia del lema de Nakayama ofrece otra forma en la que esto es cierto:

• Si es un módulo -generado finitamente y es un endomorfismo sobreyectivo, entonces es un isomorfismo. ^[8] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f:M\to M}$ ${\displaystyle f}$

Sobre un anillo local, se puede decir más sobre los epimorfismos de módulos: ^[9]

• Supongamos que es un anillo local con ideal máximo y que los módulos se generan de forma finita . Si es una aplicación lineal tal que el cociente es sobreyectivo, entonces es sobreyectivo. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle M,N}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \phi :M\to N}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \phi _{\mathfrak {m}}:M/{\mathfrak {m}}M\to N/{\mathfrak {m}}N}$ ${\displaystyle \phi }$

Versiones homológicas

El lema de Nakayama también tiene varias versiones en álgebra homológica . La afirmación anterior sobre los epimorfismos se puede utilizar para mostrar: ^[9]

• Sea un módulo generado finitamente sobre un anillo local. Entonces es proyectivo si y sólo si es libre . Esto se puede utilizar para calcular el grupo de Grothendieck de cualquier anillo local como . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle K(R)=\mathbb {Z} }$

Una contraparte geométrica y global de esto es el teorema de Serre-Swan , que relaciona módulos proyectivos y haces coherentes.

De manera más general, se tiene ^[10]

• Sea un anillo local y un módulo generado finitamente . Entonces la dimensión proyectiva de over es igual a la longitud de cada resolución libre mínima de . Además, la dimensión proyectiva es igual a la dimensión global de , que es por definición el entero más pequeño tal que ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle i\geq 0}$

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i+1}^{R}(k,M)=0.}$

Aquí está el campo residuo de y es el funtor tor . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\text{Tor}}}$

Teorema de la función inversa

El lema de Nakayama se utiliza para demostrar una versión del teorema de la función inversa en geometría algebraica:

• Sea un morfismo proyectivo entre variedades cuasiproyectivas . Entonces es un isomorfismo si y sólo si es una biyección y el diferencial es inyectivo para todos . ^[11] ${\textstyle f:X\to Y}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle df_{p}}$ ${\displaystyle p\in X}$

Prueba

Una prueba estándar del lema de Nakayama utiliza la siguiente técnica debida a Atiyah y Macdonald (1969). ^[12]

• Sea M un módulo R generado por n elementos y φ:  M  →  M un mapa lineal R. Si existe un ideal I de R tal que φ( M ) ⊂  IM , entonces existe un polinomio mónico

${\displaystyle p(x)=x^{n}+p_{1}x^{n-1}+\cdots +p_{n}}$

con p _k  ∈  I ^k , tal que

${\displaystyle p(\varphi )=0}$

como un endomorfismo de M .

Esta afirmación es precisamente una versión generalizada del teorema de Cayley-Hamilton , y la demostración procede en la misma línea. Sobre los generadores x _i de M , se tiene una relación de la forma

${\displaystyle \varphi (x_{i})=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}}$

donde a _ij  ∈  I . De este modo

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\left(\varphi \delta _{ij}-a_{ij}\right)x_{j}=0.}$

El resultado requerido se obtiene multiplicando por el conjugado de la matriz (φδ _ij  −  a _ij ) e invocando la regla de Cramer . Entonces se encuentra det(φδ _ij  −  a _ij ) = 0, por lo que el polinomio requerido es

${\displaystyle p(t)=\det(t\delta _{ij}-a_{ij}).}$

Para probar el lema de Nakayama del teorema de Cayley-Hamilton, supongamos que IM =  M  y tomemos φ como la identidad de M. Luego defina un polinomio p ( x ) como se indicó anteriormente. Entonces

${\displaystyle r=p(1)=1+p_{1}+p_{2}+\cdots +p_{n}}$

tiene la propiedad requerida.

Caso no conmutativo

Una versión del lema es válida para módulos derechos sobre anillos unitarios no conmutativos R. El teorema resultante a veces se conoce como teorema de Jacobson-Azumaya . ^[13]

Sea J( R ) el radical de Jacobson de R. Si U es un módulo recto sobre un anillo, R , e I es un ideal recto en R , entonces defina U · I como el conjunto de todas las sumas (finitas) de elementos de la forma u · i , donde · es simplemente el acción de R sobre U. Necesariamente, U · I es un submódulo de U .

Si V es un submódulo máximo de U , entonces U / V es simple . Entonces U · J( R ) es necesariamente un subconjunto de V , por la definición de J( R ) y el hecho de que U / V es simple. ^[14] Por lo tanto, si U contiene al menos un submódulo máximo (propio), U · J( R ) es un submódulo propio de U. Sin embargo, esto no tiene por qué ser válido para módulos arbitrarios U sobre R , ya que U no necesita contener ningún submódulo máximo. ^[15] Naturalmente, si U es un módulo noetheriano , esto se cumple. Si R es noetheriano y U se genera de forma finita , entonces U es un módulo noetheriano sobre R y la conclusión se cumple. ^[16] Algo notable es que el supuesto más débil, a saber, que U se genera de forma finita como un módulo R (y ningún supuesto de finitud en R ), es suficiente para garantizar la conclusión. Éste es esencialmente el enunciado del lema de Nakayama. ^[17]

Precisamente se tiene:

Lema de Nakayama : Sea U un módulo derecho finitamente generado sobre un anillo (unital) R. Si U es un módulo distinto de cero, entonces U · J( R ) es un submódulo propio de U. ^[17]

Prueba

Sea un subconjunto finito de , mínimo respecto de la propiedad que genera . Como no es cero, este conjunto no está vacío. Denota cada elemento de por para . Ya que genera , . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}R=U}$

Supongamos que para obtener una contradicción. Entonces cada elemento puede expresarse como una combinación finita para algunos . ${\displaystyle U\cdot \operatorname {J} (R)=U}$ ${\displaystyle u\in U}$ ${\displaystyle u=\sum \limits _{s=1}^{m}u_{s}j_{s}}$ ${\displaystyle m\in \mathbb {N} ,\,u_{s}\in U,\,j_{s}\in \operatorname {J} (R),\,s=1,\dots ,m}$

Cada uno puede descomponerse aún más como para algunos . Por lo tanto, tenemos ${\displaystyle u_{s}}$ ${\displaystyle u_{s}=\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}r_{i,s}}$ ${\displaystyle r_{i,s}\in R}$

${\displaystyle u=\sum _{s=1}^{m}\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}r_{i,s}\right)j_{s}=\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}\left(\sum _{s=1}^{m}r_{i,s}j_{s}\right)}$.

Dado que es un ideal (bilateral) en , tenemos para cada , y por lo tanto esto se convierte en ${\displaystyle \operatorname {J} (R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \sum _{s=1}^{m}r_{i,s}j_{s}\in \operatorname {J} (R)}$ ${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}$

${\displaystyle u=\sum _{i=1}^{n}x_{i}k_{i}}$para algunos , . ${\displaystyle k_{i}\in \operatorname {J} (R)}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$

Poniendo y aplicando la distributividad, obtenemos ${\displaystyle u=\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}(1-k_{i})=0}$.

Elige algunos . Si el ideal correcto fuera adecuado, entonces estaría contenido en un ideal correcto máximo y ambos y pertenecerían a , lo que llevaría a una contradicción (nótese que según la definición del radical de Jacobson). Por tanto, y tiene inversa derecha en . Tenemos ${\displaystyle j\in \{1,\dots ,n\}}$ ${\displaystyle (1-k_{j})R}$ ${\displaystyle M\neq R}$ ${\displaystyle 1-k_{j}}$ ${\displaystyle k_{j}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \operatorname {J} (R)\subseteq M}$ ${\displaystyle (1-k_{j})R=R}$ ${\displaystyle 1-k_{j}}$ ${\displaystyle (1-k_{j})^{-1}}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}(1-k_{i})(1-k_{j})^{-1}=0}$.

Por lo tanto,

${\displaystyle \sum _{i\neq j}x_{i}(1-k_{i})(1-k_{j})^{-1}=-x_{j}}$.

Por tanto, es una combinación lineal de los elementos de . Esto contradice la minimalidad y establece el resultado. ^[18] ${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle X\setminus \{x_{j}\}}$ ${\displaystyle X}$

Versión graduada

También existe una versión graduada del lema de Nakayama. Sea R un anillo graduado por el semigrupo ordenado de números enteros no negativos, y denotemos el ideal generado por elementos graduados positivamente. Entonces, si M es un módulo graduado sobre R para el cual i es suficientemente negativo (en particular, si M se genera de forma finita y R no contiene elementos de grado negativo) tal que , entonces . De particular importancia es el caso de que R es un anillo polinómico con la clasificación estándar y M es un módulo generado de forma finita. ${\displaystyle R_{+}}$ ${\displaystyle M_{i}=0}$ ${\displaystyle R_{+}M=M}$ ${\displaystyle M=0}$

La prueba es mucho más fácil que en el caso sin clasificar: tomando i como el menor entero tal que , vemos que no aparece en , por lo que tampoco , o tal i no existe, es decir, . ${\displaystyle M_{i}\neq 0}$ ${\displaystyle M_{i}}$ ${\displaystyle R_{+}M}$ ${\displaystyle M\neq R_{+}M}$ ${\displaystyle M=0}$

Ver también

• Teoría del módulo
• Teorema de Serre-Swan

Notas

1. Nagata 1975, §A.2
2. Nagata 1975, §A.2; Matsumura 1989, pág. 8
3. Isaacs 1993, Corolario 13.13, p. 184
4. Eisenbud 1995, Corolario 4.8; Atiyah y Macdonald (1969, Proposición 2.6)
5. Eisenbud 1995, Corolario 4.8 (b)
6. Eisenbud 1995, ejercicio 7.2
7. Eisenbud 1995, §4.4
8. Matsumura 1989, Teorema 2.4
9. Griffiths y Harris 1994, pág. 681
10. Eisenbud 1995, Corolario 19.5
11. McKernan, James. "El teorema de la función inversa" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 9 de septiembre de 2022.
12. Matsumura 1989, pág. 7: "Una técnica estándar aplicable a módulos A finitos es el 'truco determinante'..." Véase también la prueba contenida en Eisenbud (1995, §4.1).
13. Nagata 1975, §A2
14. Isaacs 1993, pag. 182
15. Isaacs 1993, pag. 183
16. Isaacs 1993, Teorema 12.19, p. 172
17. Isaacs 1993, Teorema 13.11, p. 183
18. Isaacs 1993, Teorema 13.11, p. 183; Isaacs 1993, Corolario 13.12, p. 183

Referencias

• Atiyah, Michael F .; Macdonald, Ian G. (1969), Introducción al álgebra conmutativa , Reading, MA: Addison-Wesley.
• Azumaya, Gorô (1951), "Sobre álgebras máximamente centrales", Nagoya Mathematical Journal , 2 : 119–150, doi : 10.1017/s0027763000010114 , ISSN  0027-7630, MR  0040287.
• Eisenbud, David (1995), Álgebra conmutativa , Textos de Posgrado en Matemáticas, vol. 150, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4612-5350-1, ISBN 978-0-387-94268-1, señor  1322960
• Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994), Principios de geometría algebraica , Wiley Classics Library, Nueva York: John Wiley & Sons , doi : 10.1002/9781118032527 , ISBN 978-0-471-05059-9, señor  1288523
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 52, editorial Springer.
• Isaacs, I. Martin (1993), Álgebra, un curso de posgrado (1ª ed.), Brooks/Cole Publishing Company, ISBN 0-534-19002-2
• Jacobson, Nathan (1945), "La radical y la semisimplicidad de los anillos arbitrarios", American Journal of Mathematics , 67 (2): 300–320, doi :10.2307/2371731, ISSN  0002-9327, JSTOR  2371731, MR  0012271.
• Matsumura, Hideyuki (1989), Teoría de anillos conmutativos , Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas, vol. 8 (2ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-36764-6, SEÑOR  1011461.
• Nagata, Masayoshi (1975), Anillos locales , Robert E. Krieger Publishing Co., Huntington, Nueva York, ISBN 978-0-88275-228-0, SEÑOR  0460307.
• Nakayama, Tadasi (1951), "Un comentario sobre módulos generados de forma finita", Nagoya Mathematical Journal , 3 : 139–140, doi : 10.1017/s0027763000012265 , ISSN  0027-7630, MR  0043770.

Enlaces

• Cómo entender el Lema de Nakayama y sus Corolarios