Teorema de Hurwitz (álgebras de composición)

Álgebras no asociativas con forma cuadrática definida positiva

En matemáticas , el teorema de Hurwitz es un teorema de Adolf Hurwitz (1859-1919), publicado póstumamente en 1923, que resuelve el problema de Hurwitz para álgebras no asociativas reales unitales de dimensión finita dotadas de una forma cuadrática definida positiva . El teorema establece que si la forma cuadrática define un homomorfismo en los números reales positivos en la parte distinta de cero del álgebra, entonces el álgebra debe ser isomorfa a los números reales , los números complejos , los cuaterniones o los octoniones . Este tipo de álgebras, a veces llamadas álgebras de Hurwitz , son ejemplos de álgebras de composición .

Posteriormente, la teoría de las álgebras de composición se ha generalizado a formas cuadráticas arbitrarias y campos arbitrarios . ^[1] El teorema de Hurwitz implica que las fórmulas multiplicativas para sumas de cuadrados sólo pueden ocurrir en 1, 2, 4 y 8 dimensiones, un resultado probado originalmente por Hurwitz en 1898. Es un caso especial del problema de Hurwitz , resuelto también en radón ( 1922). Eckmann (1943) proporcionó pruebas posteriores de las restricciones de la dimensión utilizando la teoría de representación de grupos finitos y Lee (1948) y Chevalley (1954) utilizando las álgebras de Clifford . El teorema de Hurwitz se ha aplicado en topología algebraica a problemas sobre campos vectoriales en esferas y los grupos de homotopía de los grupos clásicos ^[2] y en mecánica cuántica a la clasificación de álgebras de Jordan simples . ^[3]

Álgebras euclidianas de Hurwitz

Definición

Un álgebra de Hurwitz o álgebra de composición es un álgebra A de dimensión finita no necesariamente asociativa con identidad dotada de una forma cuadrática no degenerada q tal que q ( a b ) = q ( a )  q ( b ) . Si el campo de coeficientes subyacente son los reales y q es definido positivo, entonces ( a ,  b ) =1/2[ q ( a + b ) − q ( a ) − q ( b )] es un producto interno , entonces A se llama álgebra euclidiana de Hurwitz o álgebra de división normada (de dimensión finita) . ^[4]

Si A es un álgebra euclidiana de Hurwitz y a está en A , defina los operadores de involución y multiplicación derecha e izquierda por

${\displaystyle a^{*}=-a+2(a,1)1,\quad L(a)b=ab,\quad R(a)b=ba.}$

Evidentemente la involución tiene un período dos y preserva el producto y la norma internos. Estos operadores tienen las siguientes propiedades:

• la involución es un antiautomorfismo , es decir ( ab )* = b * a *
• aa * = ‖ a ‖ ²  1 = a * a
• L ( a *) = L ( a )* , R ( a *) = R ( a )* , de modo que la involución en el álgebra corresponde a tomar adjuntos
• Re ( ab ) = Re ( ba ) si Re  x = ( x + x *)/2 = ( x , 1)1
• Re ( ab ) c = Re  a ( antes de Cristo )
• L ( a ² ) = L ( a ) ² , R ( a ² ) = R ( a ) ² , de modo que A es un álgebra alternativa .

Estas propiedades se demuestran a partir de la versión polarizada de la identidad ( ab ,  ab ) = ( a ,  a )( b ,  b ) :

${\displaystyle \displaystyle {2(a,b)(c,d)=(ac,bd)+(ad,bc).}}$

Establecer b = 1 o d = 1 produce L ( a *) = L ( a )* y R ( c *) = R ( c )* .

Por lo tanto Re( ab ) = ( ab , 1)1 = ( a ,  b *)1 = ( ba , 1)1 = Re( ba ) .

De manera similar Re ( ab ) c = (( ab ) c ,1)1 = ( ab ,  c *)1 = ( b ,  a *  c *)1 = ( bc , a *)1 = ( a ( bc ),1 )1 = Re a ( antes de Cristo ) .

Por lo tanto (( ab )*, c) = ( ab , c *) = ( b , a * c *) = (1, b *( a * c *)) = (1, ( b * a *) c * ) = ( b * a *, c ) , de modo que ( ab )* = b * a * .

Por la identidad polarizada ‖ a ‖ ²  ( c ,  d ) = ( ac ,  ad ) = ( a * ( ac ),  d ) entonces L ( a *)  L ( a ) = L (‖ a ‖ ² ) . Aplicado a 1 esto da a * a = ‖ a ‖ ² 1 . Reemplazar a por un * le da a la otra identidad.

Sustituyendo la fórmula para a * en L ( a *)  L ( a ) = L ( a * a ) se obtiene L ( a ) ² = L ( a ² ) . La fórmula R ( a ² ) = R ( a ) ² se demuestra de manera análoga.

Clasificación

Es rutinario comprobar que los números reales R , los números complejos C y los cuaterniones H son ejemplos de álgebras euclidianas asociativas de Hurwitz con sus normas estándar e involuciones. Además, existen inclusiones naturales R ⊂ C ⊂ H .

El análisis de tal inclusión conduce a la construcción Cayley-Dickson , formalizada por AA Albert . Sea A un álgebra euclidiana de Hurwitz y B una subálgebra unital propia, por lo que es un álgebra euclidiana de Hurwitz por derecho propio. Elija un vector unitario j en A ortogonal a B . Dado que ( j , 1) = 0 , se deduce que j * = − j y por tanto j ² = −1 . Sea C una subálgebra generada por B y j . Es unital y nuevamente es un álgebra euclidiana de Hurwitz. Satisface las siguientes leyes de multiplicación de Cayley-Dickson :

${\displaystyle \displaystyle {C=B\oplus Bj,\,\,\,(a+bj)^{*}=a^{*}-bj,\,\,\,(a+bj)(c+dj)=(ac-d^{*}b)+(bc^{*}+da)j.}}$

B y Bj son ortogonales, ya que j es ortogonal a B. Si a está en B , entonces j a = a *  j , ya que por ortogonal 0 = 2( j ,  a *) = ja − a * j . La fórmula para la involución es la siguiente. Demostrar que B ⊕ B j es cerrado bajo la multiplicación Bj = jB . Dado que Bj es ortogonal a 1, ( bj )* = − bj .

• b ( cj ) = ( cb )  j ya que ( b ,  j ) = 0 de modo que, para x en A , ( b ( cj ),  x ) = ( b (  jx ),  j ( cj )) = −( b (  jx ),  c *) = −( cb , (  jx )*) = −(( cb )  j ,  x *) = (( cb )  j ,  x ) .
• (  jc ) b = j ( bc ) tomando los adjuntos anteriores.
• ( bj )( cj ) = − c * b ya que ( b ,  cj ) = 0, de modo que, para x en A , (( bj )( cj ),  x ) = −(( cj ) x *,  bj ) = ( bx *, ( cj )  j ) = −( c * b ,  x ) .

Imponer la multiplicatividad de la norma a C para a + bj y c + dj da:

${\displaystyle \displaystyle {(\|a\|^{2}+\|b\|^{2})(\|c\|^{2}+\|d\|^{2})=\|ac-d^{*}b\|^{2}+\|bc^{*}+da\|^{2},}}$

lo que lleva a

${\displaystyle \displaystyle {(ac,d^{*}b)=(bc^{*},da).}}$

Por lo tanto d ( ac ) = ( da ) c , por lo que B debe ser asociativo .

Este análisis se aplica a la inclusión de R en C y C en H. Tomando O = H ⊕ H con el producto y el producto interno anteriores se obtiene un álgebra no asociativa no conmutativa generada por J = (0, 1) . Se recupera así la definición habitual de los octoniones o números de Cayley . Si A es un álgebra euclidiana, debe contener R . Si es estrictamente mayor que R , el argumento anterior muestra que contiene C . Si es mayor que C , contiene H. Si es aún mayor, debe contener O. Pero ahí debe detenerse el proceso, porque O no es asociativo. De hecho H no es conmutativo y a ( bj ) = ( ba ) j  ≠ ( ab )  j en O. ^[5]

Teorema. Las únicas álgebras euclidianas de Hurwitz son los números reales, los números complejos, los cuaterniones y los octoniones.

Otras pruebas

Las pruebas de Lee (1948) y Chevalley (1954) utilizan álgebras de Clifford para demostrar que la dimensión N de A debe ser 1, 2, 4 u 8. De hecho, los operadores L ( a ) con ( a , 1) = 0 satisfacen L ( a ) ² = −‖ a ‖ ² y así formar un álgebra de Clifford real. Si a es un vector unitario, entonces L ( a ) es adjunto sesgado con cuadrado − I . Entonces N debe ser par o 1 (en cuyo caso A no contiene vectores unitarios ortogonales a 1). El álgebra real de Clifford y su complejización actúan sobre la complejización de A , un espacio complejo de N dimensiones. Si N es par, N − 1 es impar , entonces el álgebra de Clifford tiene exactamente dos representaciones complejas irreducibles de dimensión 2 ^{N /2 − 1} . Entonces esta potencia de 2 debe dividir a N. Es fácil ver que esto implica que N sólo puede ser 1, 2, 4 u 8.

La prueba de Eckmann (1943) utiliza la teoría de representación de grupos finitos , o la teoría de representación proyectiva de 2 grupos abelianos elementales , conocida por ser equivalente a la teoría de representación de álgebras de Clifford reales. De hecho, tomar una base ortonormal e _i del complemento ortogonal de 1 da lugar a operadores U _i = L ( e _i ) que satisfacen

${\displaystyle U_{i}^{2}=-I,\quad U_{i}U_{j}=-U_{j}U_{i}\,\,(i\neq j).}$

Esta es una representación proyectiva de un producto directo de N − 1 grupos de orden 2. ( Se supone que N es mayor que 1). Los operadores U _i por construcción son sesgados simétricos y ortogonales. De hecho, Eckmann construyó operadores de este tipo de una manera ligeramente diferente pero equivalente. De hecho, es el método seguido originalmente en Hurwitz (1923). ^[6] Supongamos que existe una ley de composición para dos formas.

${\displaystyle \displaystyle {(x_{1}^{2}+\cdots +x_{N}^{2})(y_{1}^{2}+\cdots +y_{N}^{2})=z_{1}^{2}+\cdots +z_{N}^{2},}}$

donde z _i es bilineal en x e y . De este modo

${\displaystyle \displaystyle {z_{i}=\sum _{j=1}^{N}a_{ij}(x)y_{j}}}$

donde la matriz T ( x )=( a _ij ) es lineal en x . Las relaciones anteriores son equivalentes a

${\displaystyle \displaystyle {T(x)T(x)^{t}=x_{1}^{2}+\cdots +x_{N}^{2}.}}$

Escribiendo

${\displaystyle \displaystyle {T(x)=T_{1}x_{1}+\cdots +T_{N}x_{N},}}$

las relaciones se vuelven

${\displaystyle \displaystyle {T_{i}T_{j}^{t}+T_{j}T_{i}^{t}=2\delta _{ij}I.}}$

Ahora establezca V _i = ( T _N ) ^t T _i . Por lo tanto, V _N = I y V ₁ , ... ,  V _{N − 1} son adjuntos sesgados, ortogonales y satisfacen exactamente las mismas relaciones que los U _i :

${\displaystyle \displaystyle {V_{i}^{2}=-I,\quad V_{i}V_{j}=-V_{j}V_{i}\,\,(i\neq j).}}$

Dado que V _i es una matriz ortogonal con cuadrado − I en un espacio vectorial real , N es par.

Sea G el grupo finito generado por elementos v _i tales que

${\displaystyle \displaystyle {v_{i}^{2}=\varepsilon ,\quad v_{i}v_{j}=\varepsilon v_{j}v_{i}\,\,(i\neq j),}}$

donde ε es central de orden 2. El subgrupo del conmutador [ G ,  G ] está formado simplemente por 1 y ε . Si N es impar este coincide con el centro mientras que si N es par el centro tiene orden 4 con elementos extra γ = v ₁ ... v _{N − 1} y ε γ . Si g en G no está en el centro su clase de conjugación es exactamente g y εg . Por tanto, hay 2 ^{N − 1} + 1 clases de conjugación para N impar y 2 ^{N − 1} + 2 para N par. G tiene | GRAMO / [ GRAMO ,  GRAMO ] | = 2 ^{N − 1} representaciones complejas unidimensionales. El número total de representaciones complejas irreducibles es el número de clases de conjugación. Entonces, dado que N es par, hay dos representaciones complejas irreducibles más. Dado que la suma de los cuadrados de las dimensiones es igual a | GRAMO | y las dimensiones se dividen | GRAMO | , los dos irreducibles deben tener dimensión 2 ^{( N − 2)/2} . Cuando N es par, hay dos y su dimensión debe dividir el orden del grupo, también lo es una potencia de dos, por lo que ambos deben tener dimensión 2 ^{( N − 2)/2} . El espacio sobre el que actúa el V _{i puede complejizarse.} Tendrá dimensión compleja N . Se divide en algunas representaciones complejas irreducibles de G , todas con dimensión 2 ^{( N − 2)/2} . En particular, esta dimensión es ≤ N , por lo que N es menor o igual a 8. Si N = 6 , la dimensión es 4, que no divide a 6. Entonces N solo puede ser 1, 2, 4 u 8.

Aplicaciones a las álgebras de Jordan

Sea A un álgebra euclidiana de Hurwitz y sea M _n ( A ) el álgebra de n -por- n matrices sobre A . Es un álgebra unital no asociativa con una involución dada por

${\displaystyle \displaystyle {(x_{ij})^{*}=(x_{ji}^{*}).}}$

La traza Tr( X  ) se define como la suma de los elementos diagonales de X y la traza de valor real por Tr _R ( X  ) = Re Tr( X  ) . La traza de valor real satisface:

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }XY=\operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }YX,\qquad \operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }(XY)Z=\operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }X(YZ).}$

Estas son consecuencias inmediatas de las identidades conocidas para n = 1 .

En A defina el asociador por

${\displaystyle \displaystyle {[a,b,c]=a(bc)-(ab)c.}}$

Es trilineal y desaparece idénticamente si A es asociativo. Dado que A es un álgebra alternativa [ a ,  a ,  b ] = 0 y [ b ,  a ,  a ] = 0 . Polarizando se deduce que el asociador es antisimétrico en sus tres entradas. Además, si a , b o c se encuentran en R , entonces [ a ,  b ,  c ] = 0 . Estos hechos implican que M ₃ ( A ) tiene ciertas propiedades de conmutación. De hecho, si X es una matriz en M ₃ ( A ) con entradas reales en la diagonal, entonces

${\displaystyle \displaystyle {[X,X^{2}]=aI,}}$

con a en A . De hecho, si Y = [ X ,   X ² ] , entonces

${\displaystyle \displaystyle {y_{ij}=\sum _{k,\ell }[x_{ik},x_{k\ell },x_{\ell j}].}}$

Dado que las entradas diagonales de X son reales, las entradas fuera de la diagonal de Y desaparecen. Cada entrada diagonal de Y es una suma de dos asociadores que involucran solo términos fuera de la diagonal de X. Dado que los asociadores son invariantes en permutaciones cíclicas , las entradas diagonales de Y son todas iguales.

Sea H _n ( A ) el espacio de elementos autoadjuntos en M _n ( A ) con producto X  ∘ Y =1/2( X Y + Y X ) y producto interno ( X ,  Y  ) = Tr _R ( X Y  ) .

Teorema. H _n ( A ) es un álgebra euclidiana de Jordan si A es asociativo (los números reales, números complejos o cuaterniones) y n ≥ 3 o si A es no asociativo (los octoniones) y n = 3 .

El excepcional álgebra de Jordan H ₃ ( O ) se llama álgebra de Albert en honor a AA Albert .

Para comprobar que H _n ( A ) satisface los axiomas de un álgebra euclidiana de Jordan, la traza real define una forma bilineal simétrica con ( X ,  X ) = Σ ‖ x _ij ‖ ² . Entonces es un producto interno. Satisface la propiedad de asociatividad ( Z ∘ X ,  Y  ) = ( X ,  Z ∘ Y  ) debido a las propiedades de la traza real. El principal axioma a comprobar es la condición de Jordan para los operadores L ( X ) definidos por L ( X ) Y = X  ∘ Y :

${\displaystyle \displaystyle {[L(X),L(X^{2})]=0.}}$

Esto es fácil de comprobar cuando A es asociativo, ya que M _n ( A ) es un álgebra asociativa, por lo que un álgebra de Jordan con X  ∘ Y =1/2( X Y + Y X ) . Cuando A = O y n = 3 se requiere un argumento especial, uno de los más breves se debe a Freudenthal (1951). ^[7]

De hecho, si T está en H ₃ ( O ) con Tr  T = 0 , entonces

${\displaystyle \displaystyle {D(X)=TX-XT}}$

define una derivación adjunta sesgada de H ₃ ( O ) . En efecto,

${\displaystyle \operatorname {Tr} (T(X(X^{2}))-T(X^{2}(X)))=\operatorname {Tr} T(aI)=\operatorname {Tr} (T)a=0,}$

de modo que

${\displaystyle (D(X),X^{2})=0.}$

Rendimientos polarizantes:

${\displaystyle (D(X),Y\circ Z)+(D(Y),Z\circ X)+(D(Z),X\circ Y)=0.}$

Establecer Z = 1 muestra que D es adjunto sesgado. La propiedad de derivación D ( X  ∘ Y ) = D ( X )∘ Y + X ∘ D ( Y ) sigue a esto y a la propiedad de asociatividad del producto interno en la identidad anterior.

Con A y n como en el enunciado del teorema, sea K el grupo de automorfismos de E = H _n ( A ) dejando invariante el producto interno. Es un subgrupo cerrado de O ( E ) , por lo que es un grupo de Lie compacto . Su álgebra de Lie consta de derivaciones adjuntas sesgadas. Freudenthal (1951) demostró que dado X en E existe un automorfismo k en K tal que k ( X ) es una matriz diagonal . (Por autoadjunción, las entradas diagonales serán reales.) El teorema de diagonalización de Freudenthal implica inmediatamente la condición de Jordan, ya que los productos de Jordan por matrices diagonales reales conmutan en M n ₍ A ) para cualquier álgebra no asociativa A.

Para demostrar el teorema de diagonalización, tome X en E. Por compacidad k se puede elegir en K minimizando las sumas de los cuadrados de las normas de los términos fuera de la diagonal de k ( X  ) . Dado que K preserva las sumas de todos los cuadrados, esto equivale a maximizar las sumas de los cuadrados de las normas de los términos diagonales de k ( X  ) . Reemplazando X por k X , se puede suponer que el máximo se alcanza en X . Dado que el grupo simétrico S _n , que actúa permutando las coordenadas, se encuentra en K , si X no es diagonal, se puede suponer que x ₁₂ y su adjunto x ₂₁ son distintos de cero. Sea T la matriz adjunta sesgada con (2, 1) entrada a , ( 1, 2) entrada − a * y 0 en otros lugares y sea D la derivación y T de E. Sea k _t = exp  tD en K . Entonces sólo las dos primeras entradas diagonales en X ( t ) = k _t X difieren de las de X . Las entradas diagonales son reales. La derivada de x ₁₁ ( t ) en t = 0 es la coordenada (1, 1) de [ T ,  X ] , es decir, a *  x ₂₁ + x ₁₂  a = 2( x ₂₁ ,  a ) . Esta derivada es distinta de cero si a = x ₂₁ . Por otro lado, el grupo k _t conserva la traza del valor real. Como sólo puede cambiar x ₁₁ y x ₂₂ , conserva su suma. Sin embargo, en la recta x + y = constante, x ² + y ² no tiene un máximo local (sólo un mínimo global), una contradicción. Por tanto, X debe ser diagonal.

Ver también

• Forma cuadrática multiplicativa
• Número de radón-Hurwitz
• Teorema de Frobenius

Notas

1. Ver:
   • Lam 2005
   • Rajwade 1993
   • shapiro 2000
2. Ver:
   • Eckman 1989
   • Eckmann 1999
3. Jordania, von Neumann y Wigner 1934
4. Faraut y Koranyi 1994, pág. 82
5. Faraut y Koranyi 1994, págs. 81–86
6. Ver:
   • Hurwitz 1923, pág. 11
   • Herstein 1968, págs. 141-144
7. Ver:
   • Faraut y Koranyi 1994, págs. 88–91
   • Póstnikov 1986

Referencias

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• Eckmann, Beno (1943), "Gruppentheoretischer Beweis des Satzes von Hurwitz – Radon über die Komposition quadratischer Formen", Comentario. Matemáticas. Helv. , 15 : 358–366, doi : 10.1007/bf02565652, S2CID  123322808
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• Eckmann, Beno (1999), "Topología, álgebra, análisis: relaciones y eslabones perdidos", Notices Amer. Matemáticas. Soc. , 46 : 520–527
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• Herstein, IN (1968), Anillos no conmutativos , Carus Mathematical Monographs, vol. 15, Asociación Matemática de América, ISBN 978-0883850152
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Otras lecturas

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• Conway, John H.; Smith, Derek A. (2003), Sobre cuaterniones y octoniones: su geometría, aritmética y simetría , AK Peters, ISBN 978-1568811345
• Kantor, IL; Solodovnikov, AS (1989), "Álgebras normadas con identidad. Teorema de Hurwitz", Números hipercomplejos. Una introducción elemental a las álgebras , Trans. A. Shenitzer (2ª ed.), Springer-Verlag , pág. 121, ISBN 978-0-387-96980-0, Zbl  0669.17001
• Max Koecher y Reinhold Remmert (1990) "Álgebras de composición. Teorema de Hurwitz - Álgebras de productos vectoriales", capítulo 10 de Números de Heinz-Dieter Ebbinghaus et al., Springer, ISBN 0-387-97202-1 
• Springer, TA ; FD Veldkamp (2000), Octonions, álgebras de Jordan y grupos excepcionales , Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-66337-9