En álgebra, un cuerpo pitagórico es un cuerpo en el que cada suma de dos cuadrados es un cuadrado: equivalentemente, tiene número de Pitágoras igual a 1. Una extensión pitagórica de un cuerpo es una extensión obtenida al adjuntar un elemento para algún en . Por lo tanto, un cuerpo pitagórico es uno cerrado bajo extensiones pitagóricas. Para cualquier cuerpo existe un cuerpo pitagórico mínimo que lo contiene, único hasta el isomorfismo , llamado su clausura pitagórica . [1] El cuerpo de Hilbert es el cuerpo pitagórico mínimo ordenado. [2]
Todo cuerpo euclidiano (un cuerpo ordenado en el que todos los elementos no negativos son cuadrados) es un cuerpo pitagórico ordenado, pero no se cumple lo contrario. [3] Un cuerpo cuadráticamente cerrado es un cuerpo pitagórico pero no a la inversa ( es pitagórico); sin embargo, un cuerpo pitagórico no formalmente real es cuadráticamente cerrado. [4]
El anillo de Witt de un cuerpo pitagórico es de orden 2 si el cuerpo no es formalmente real , y libre de torsión en caso contrario. [1] Para un cuerpo existe una secuencia exacta que involucra los anillos de Witt
donde es el ideal fundamental del anillo de Witt de [5] y denota su subgrupo de torsión (que es simplemente el nilradical de ). [6]
Las siguientes condiciones en un campo F son equivalentes a que F sea pitagórico:
Los campos pitagóricos pueden utilizarse para construir modelos para algunos de los axiomas de Hilbert para geometría (Iyanaga y Kawada 1980, 163 C). La geometría de coordenadas dada por para un campo pitagórico satisface muchos de los axiomas de Hilbert, como los axiomas de incidencia, los axiomas de congruencia y los axiomas de paralelas. Sin embargo, en general, esta geometría no necesita satisfacer todos los axiomas de Hilbert a menos que el campo F tenga propiedades adicionales: por ejemplo, si el campo también está ordenado, entonces la geometría satisfará los axiomas de ordenación de Hilbert, y si el campo también está completo, la geometría satisfará el axioma de completitud de Hilbert.
El cierre pitagórico de un cuerpo ordenado no arquimediano , como el cierre pitagórico del cuerpo de funciones racionales en una variable sobre los números racionales, se puede utilizar para construir geometrías no arquimedianas que satisfacen muchos de los axiomas de Hilbert pero no su axioma de completitud. [10] Dehn utilizó dicho cuerpo para construir dos planos de Dehn , ejemplos de geometría no legendaria y geometría semieuclidiana respectivamente, en los que hay muchas líneas a través de un punto que no interseca una línea dada pero donde la suma de los ángulos de un triángulo es al menos π. [11]
Este teorema establece que si E / F es una extensión de campo finito , y E es pitagórico, entonces también lo es F. [12] En consecuencia, ningún campo numérico algebraico es pitagórico, ya que todos esos campos son finitos sobre Q , que no es pitagórico. [13]
Un cuerpo superpitagórico F es un cuerpo formalmente real con la propiedad de que si S es un subgrupo de índice 2 en F ∗ y no contiene −1, entonces S define un ordenamiento en F . Una definición equivalente es que F es un cuerpo formalmente real en el que el conjunto de cuadrados forma un abanico . Un cuerpo superpitagórico es necesariamente pitagórico. [12]
El análogo del teorema de Diller-Dress es válido: si E / F es una extensión finita y E es superpitagórico, entonces también lo es F. [14] En la dirección opuesta, si F es superpitagórico y E es un cuerpo formalmente real que contiene a F y está contenido en el cierre cuadrático de F, entonces E es superpitagórico. [15]
