Campo euclidiano

Campo ordenado donde cada elemento no negativo es un cuadrado

En matemáticas , un campo euclidiano es un campo ordenado K para el cual cada elemento no negativo es un cuadrado: es decir, x ≥ 0 en K implica que x = y ² para algún y en K.

Los números construibles forman un cuerpo euclidiano. Es el cuerpo euclidiano más pequeño, ya que todo cuerpo euclidiano lo contiene como subcuerpo ordenado. En otras palabras, los números construibles forman la clausura euclidiana de los números racionales .

Propiedades

• Todo campo euclidiano es un campo pitagórico ordenado , pero lo inverso no es cierto. ^[1]
• Si E / F es una extensión finita y E es euclidiana, entonces también lo es F. Este "teorema de descenso" es una consecuencia del teorema de Diller-Dress . ^[2]

Ejemplos

• Los números reales construibles , aquellas longitudes (con signo) que pueden construirse a partir de un segmento racional mediante construcciones con regla y compás , forman un campo euclidiano. ^[3]

Todo cuerpo real cerrado es un cuerpo euclidiano. Los siguientes ejemplos también son cuerpos reales cerrados.

• Los números reales con las operaciones y ordenamientos habituales forman un cuerpo euclidiano. ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• El campo de números algebraicos reales es un campo euclidiano. ${\displaystyle \mathbb {R} \cap \mathbb {\overline {Q}} }$
• El campo de números hiperreales es un campo euclidiano.

Contraejemplos

• Los números racionales con las operaciones y ordenamientos habituales no forman un cuerpo euclídeo. Por ejemplo, 2 no es un cuadrado en , ya que la raíz cuadrada de 2 es irracional . ^[4] Por el resultado descendente anterior, ningún cuerpo numérico algebraico puede ser euclídeo. ^[2] ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• Los números complejos no forman un campo euclidiano ya que no se les puede dar la estructura de un campo ordenado. ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Cierre euclidiano

El cierre euclidiano de un cuerpo ordenado K es una extensión de K en el cierre cuadrático de K que es máximo con respecto a ser un cuerpo ordenado con un orden que extiende el de K . ^[5] También es el subcuerpo más pequeño del cierre algebraico de K que es un cuerpo euclidiano y es una extensión ordenada de K .

Referencias

1. Martín (1998) pág. 89
2. Lam (2005) pág. 270
3. Martín (1998) págs. 35-36
4. Martín (1998) pág. 35
5. Efrat (2006) pág. 177

• Efrat, Ido (2006). Valuaciones, ordenamientos y teoría K de Milnor . Encuestas y monografías matemáticas. Vol. 124. Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN. 0-8218-4041-X.Zbl 1103.12002  .
• Lam, Tsit-Yuen (2005). Introducción a las formas cuadráticas sobre cuerpos . Estudios de posgrado en matemáticas . Vol. 67. American Mathematical Society. ISBN. 0-8218-1095-2.MR  2104929.Zbl 1068.11023  .​
• Martin, George E. (1998). Construcciones geométricas . Textos de pregrado en matemáticas . Springer-Verlag . ISBN. 0-387-98276-0.Zbl 0890.51015  .

Enlaces externos

• Campo euclidiano en PlanetMath .