Subbase

Colección de subconjuntos que generan una topología

En topología , una subbase (o subbase , prebase , prebase ) para un espacio topológico con topología es una subcolección de que genera en el sentido de que es la topología más pequeña que contiene conjuntos abiertos. Algunos autores utilizan una definición ligeramente diferente, y existen otras formulaciones equivalentes útiles de la definición; estas se analizan a continuación. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau ,}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle B}$

Definición

Sea un espacio topológico con topología Una subbase de se define usualmente como una subcolección de que satisface una de las dos condiciones equivalentes siguientes: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \tau }$

1. La subcolección genera la topología. Esto significa que es la topología más pequeña que contiene : cualquier topología que contenga también debe contener ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \tau ^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \tau .}$
2. La colección de conjuntos abiertos que consiste en todas las intersecciones finitas de elementos de forma una base para ^[1] Esto significa que cada conjunto abierto propio en puede escribirse como una unión de intersecciones finitas de elementos de Explícitamente, dado un punto en un conjunto abierto hay un número finito de conjuntos de tales que la intersección de estos conjuntos contiene y está contenida en ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U\subsetneq X,}$ ${\displaystyle S_{1},\ldots ,S_{n}}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U.}$

(Si utilizamos la convención de intersección nula , entonces no hay necesidad de incluirla en la segunda definición). ${\displaystyle X}$

Para cualquier subconjunto del conjunto potencia existe una única topología que tiene como subbase a . En particular, la intersección de todas las topologías que contienen satisface esta condición. Sin embargo, en general no existe una única subbase para una topología dada. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \wp (X),}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$

De este modo, podemos empezar con una topología fija y encontrar subbases para esa topología, y también podemos empezar con una subcolección arbitraria del conjunto potencia y formar la topología generada por esa subcolección. Podemos utilizar libremente cualquiera de las definiciones equivalentes anteriores; de hecho, en muchos casos, una de las dos condiciones es más útil que la otra. ${\displaystyle \wp (X)}$

Definición alternativa

Con menor frecuencia, se da una definición ligeramente diferente de subbase que requiere que la cubierta de la subbase ^[2] sea la unión de todos los conjuntos contenidos en Esto significa que no puede haber confusión con respecto al uso de intersecciones nulares en la definición. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Sin embargo, esta definición no siempre es equivalente a las dos definiciones anteriores. Existen espacios topológicos con subconjuntos de la topología tales que es la topología más pequeña que contiene , pero no cubre . (Se da un ejemplo al final de la siguiente sección). En la práctica, esto es una ocurrencia rara. Por ejemplo, una subbase de un espacio que tiene al menos dos puntos y satisface el axioma de separación T 1 debe ser una cobertura de ese espacio. Pero como se ve a continuación, para probar el teorema de la subbase de Alexander, ^[3] uno debe asumir que cubre ^{[ aclaración necesaria ]} ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X.}$

Ejemplos

La topología generada por cualquier subconjunto (incluido el conjunto vacío ) es igual a la topología trivial ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq \{\varnothing ,X\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}:=\varnothing }$ ${\displaystyle \{\varnothing ,X\}.}$

Si es una topología sobre y es una base para entonces la topología generada por es Por lo tanto, cualquier base para una topología también es una subbase para Si es cualquier subconjunto de entonces la topología generada por será un subconjunto de ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \tau .}$

La topología usual de los números reales tiene una subbase que consiste en todos los intervalos abiertos semi-infinitos de la forma o donde y son números reales. Juntos, estos generan la topología usual, ya que las intersecciones para generan la topología usual. Una segunda subbase se forma tomando la subfamilia donde y son racionales . La segunda subbase genera también la topología usual, ya que los intervalos abiertos con racionales, son una base para la topología euclidiana usual. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (-\infty ,a)}$ ${\displaystyle (b,\infty ),}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle (a,b)=(-\infty ,b)\cap (a,\infty )}$ ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b}$

La subbase que consiste únicamente en todos los intervalos abiertos semiinfinitos de la forma , donde es un número real, no genera la topología usual. La topología resultante no satisface el axioma de separación T 1 , ya que si cada conjunto abierto que contiene también contiene ${\displaystyle (-\infty ,a)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a.}$

La topología inicial de definida por una familia de funciones donde cada una tiene una topología, es la topología más burda de tal que cada una es continua . Debido a que la continuidad se puede definir en términos de las imágenes inversas de conjuntos abiertos, esto significa que la topología inicial de se da tomando todos los rangos donde sobre todos los subconjuntos abiertos de como subbase. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{i}:X\to Y_{i},}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{i}^{-1}(U),}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle Y_{i},}$

Dos casos especiales importantes de la topología inicial son la topología del producto , donde la familia de funciones es el conjunto de proyecciones del producto a cada factor, y la topología del subespacio , donde la familia consiste en una sola función, el mapa de inclusión .

La topología compacta-abierta en el espacio de funciones continuas de a tiene como subbase el conjunto de funciones donde es compacto y es un subconjunto abierto de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle V(K,U)=\{f:X\to Y\mid f(K)\subseteq U\}}$$ ${\displaystyle K\subseteq X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle Y.}$

Supóngase que es un espacio topológico de Hausdorff con que contiene dos o más elementos (por ejemplo, con la topología euclidiana ). Sea cualquier subconjunto abierto no vacío de (por ejemplo, podría ser un intervalo abierto acotado no vacío en ) y sea la topología del subespacio en que hereda de (por lo que ). Entonces la topología generada por en es igual a la unión (véase la nota al pie para una explicación), ^{[nota 1]} donde (ya que es de Hausdorff, la igualdad se cumplirá si y solo si ). Nótese que si es un subconjunto propio de entonces es la topología más pequeña en que contiene pero no cubre (es decir, la unión es un subconjunto propio de ). ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle Y\in \tau }$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \nu \subseteq \tau }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{X\}\cup \nu }$ ${\displaystyle \{X\}\cup \nu \subseteq \tau }$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle Y=X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \{X\}\cup \nu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \bigcup _{V\in \nu }V=Y}$ ${\displaystyle X}$

Resultados utilizando subbases

Un dato interesante sobre las subbases es que la continuidad de una función solo necesita comprobarse en una subbase del rango. Es decir, si es un mapa entre espacios topológicos y si es una subbase para entonces es continua si y solo si No se pudo analizar (SVG (MathML se puede habilitar mediante un complemento del navegador): Respuesta no válida ("La extensión Math no puede conectarse a Restbase") del servidor "http://localhost:6011/en.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle f^{-1}(B)} está abierto en para cada Una red (o secuencia ) converge a un punto si y solo si cada subvecindario básico de contiene todos para suficientemente grande ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle i\in I.}$

Teorema de la subbase de Alexander

El teorema de la subbase de Alexander es un resultado significativo relacionado con las subbases que se debe a James Waddell Alexander II . ^[3] El resultado correspondiente para cubiertas abiertas básicas (en lugar de subbásicas) es mucho más fácil de demostrar.

Teorema de la subbase de Alexander : ^{[3] [1]} Sea un espacio topológico. Si tiene una subbase tal que cada cubierta de elementos de tiene una subcubierta finita, entonces es compacto . ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X}$

El recíproco de este teorema también es válido y se demuestra utilizando (ya que cada topología es una subbase de sí misma). ${\displaystyle {\mathcal {S}}=\tau }$

Si es compacto y es una subbase para cada cubierta de por elementos de tiene una subcubierta finita. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

Aunque esta prueba utiliza el lema de Zorn , no necesita toda la fuerza de elección, sino que se basa en el principio del ultrafiltro intermedio . ^[3]

Utilizando este teorema con la subbase de arriba, se puede dar una prueba muy fácil de que los intervalos cerrados acotados en son compactos. De manera más general, el teorema de Tichonoff , que establece que el producto de espacios compactos no vacíos es compacto, tiene una prueba corta si se utiliza el teorema de la subbase de Alexander. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Véase también

• Base (topología)  : conjunto de conjuntos abiertos que se utilizan para definir una topología

Notas

1. Puesto que es una topología en y es un subconjunto abierto de , es fácil verificar que es una topología en . En particular, es cerrado bajo uniones e intersecciones finitas porque es . Pero puesto que , no es una topología en un es claramente la topología más pequeña en que contiene ). ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (X,\tau ),}$ ${\displaystyle \{X\}\cup \nu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X\not \in \nu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{X\}\cup \nu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \nu }$

Citas

1. Rudin 1991, pág. 392 Apéndice A2.
2. Munkres 2000, págs. 82.
3. Muger, Michael (2020). Topología para el matemático en activo .

Referencias

• Bourbaki, Nicolás (1989) [1966]. Topología general: capítulos 1 a 4 [ Topologie Générale ]. Elementos matemáticos . Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1.OCLC 18588129  .
• Dugundji, James (1966). Topología . Boston: Allyn and Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7.OCLC 395340485  .
• Munkres, James R. (2000). Topología (segunda edición). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9.OCLC 42683260  .
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas. Vol. 8 (segunda edición). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5.OCLC 21163277  .
• Willard, Stephen (2004) [1970]. Topología general. Mineola, NY : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7.OCLC 115240  .