En matemáticas y lógica , un sistema axiomático es cualquier conjunto de nociones primitivas y axiomas para derivar lógicamente teoremas . Una teoría es un cuerpo de conocimiento consistente y relativamente autónomo que generalmente contiene un sistema axiomático y todos sus teoremas derivados. Un sistema axiomático que está completamente descrito es un tipo especial de sistema formal . Una teoría formal es un sistema axiomático (generalmente formulado dentro de la teoría de modelos ) que describe un conjunto de oraciones que está cerrado bajo implicación lógica. [1] Una prueba formal es una interpretación completa de una prueba matemática dentro de un sistema formal.
Se dice que un sistema axiomático es consistente si carece de contradicción . Es decir, es imposible derivar tanto un enunciado como su negación a partir de los axiomas del sistema. La consistencia es un requisito clave para la mayoría de los sistemas axiomáticos, ya que la presencia de contradicción permitiría probar cualquier enunciado ( principio de explosión ).
En un sistema axiomático, un axioma se considera independiente si no se puede demostrar ni refutar a partir de otros axiomas del sistema. Un sistema se considera independiente si cada uno de sus axiomas subyacentes es independiente. A diferencia de la coherencia, la independencia no es un requisito necesario para el funcionamiento de un sistema axiomático, aunque suele buscarse para minimizar el número de axiomas del sistema.
Un sistema axiomático se llama completo si, para cada enunciado, él mismo o su negación son derivables de los axiomas del sistema (equivalentemente, cada enunciado puede probarse como verdadero o falso). [2]
Más allá de la coherencia, la coherencia relativa es también la característica de un sistema axiomático que vale la pena. Esto describe el escenario en el que los términos indefinidos de un primer sistema axiomático reciben definiciones de un segundo, de modo que los axiomas del primero son teoremas del segundo.
Un buen ejemplo es la relativa coherencia de la geometría absoluta con respecto a la teoría del sistema de números reales . Las líneas y los puntos son términos indefinidos (también llamados nociones primitivas ) en la geometría absoluta, pero se les asigna un significado en la teoría de los números reales de una manera que es coherente con ambos sistemas de axiomas. [ cita requerida ]
Un modelo de un sistema axiomático es un conjunto bien definido que asigna significados a los términos indefinidos que se presentan en el sistema, de una manera que es correcta con las relaciones definidas en el sistema. La existencia de un modelo concreto prueba la consistencia de un sistema [ disputado – discutir ] . Un modelo se llama concreto si los significados asignados son objetos y relaciones del mundo real [ aclaración necesaria ] , a diferencia de un modelo abstracto que se basa en otros sistemas axiomáticos.
Los modelos también se pueden utilizar para demostrar la independencia de un axioma en el sistema. Al construir un modelo válido para un subsistema sin un axioma específico, demostramos que el axioma omitido es independiente si su corrección no se deduce necesariamente del subsistema.
Se dice que dos modelos son isomorfos si se puede encontrar una correspondencia biunívoca entre sus elementos, de manera que se preserve su relación. [3] Un sistema axiomático para el cual cada modelo es isomorfo a otro se llama categorial (a veces categórico ). La propiedad de categorialidad (categoricidad) asegura la completitud de un sistema, sin embargo, lo inverso no es cierto: la completitud no asegura la categorialidad (categoricidad) de un sistema, ya que dos modelos pueden diferir en propiedades que no pueden expresarse por la semántica del sistema.
A modo de ejemplo, observe el siguiente sistema axiomático, basado en lógica de primer orden con semántica adicional de los siguientes axiomas infinitamente contables añadidos (estos pueden formalizarse fácilmente como un esquema axiomático ):
De manera informal, este conjunto infinito de axiomas establece que existen infinitos elementos diferentes. Sin embargo, el concepto de conjunto infinito no puede definirse dentro del sistema, y mucho menos la cardinalidad de dicho conjunto.
El sistema tiene al menos dos modelos diferentes: uno son los números naturales (isomorfos a cualquier otro conjunto infinito numerable) y otro son los números reales (isomorfos a cualquier otro conjunto con la cardinalidad del continuo ). De hecho, tiene un número infinito de modelos, uno para cada cardinalidad de un conjunto infinito. Sin embargo, la propiedad que distingue a estos modelos es su cardinalidad, una propiedad que no se puede definir dentro del sistema. Por lo tanto, el sistema no es categórico. Sin embargo, se puede demostrar que es completo.
Para formular definiciones y proposiciones de manera que cada término nuevo pueda eliminarse formalmente mediante los términos introducidos previamente, se requieren nociones primitivas (axiomas) para evitar la regresión infinita . Esta forma de hacer matemáticas se denomina método axiomático . [4]
Una actitud común hacia el método axiomático es el logicismo . En su libro Principia Mathematica , Alfred North Whitehead y Bertrand Russell intentaron demostrar que toda teoría matemática podía reducirse a una colección de axiomas. En términos más generales, la reducción de un cuerpo de proposiciones a una colección particular de axiomas es la base del programa de investigación del matemático. Esto fue muy destacado en las matemáticas del siglo XX, en particular en las materias basadas en el álgebra homológica .
La explicación de los axiomas particulares utilizados en una teoría puede ayudar a aclarar un nivel adecuado de abstracción con el que el matemático quisiera trabajar. Por ejemplo, los matemáticos optaron por que los anillos no necesitan ser conmutativos , lo que difería de la formulación original de Emmy Noether . Los matemáticos decidieron considerar los espacios topológicos de manera más general sin el axioma de separación que Felix Hausdorff formuló originalmente.
La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , resultado del método axiomático aplicado a la teoría de conjuntos, permitió la formulación "adecuada" de los problemas de teoría de conjuntos y ayudó a evitar las paradojas de la teoría de conjuntos ingenua . Uno de esos problemas fue la hipótesis del continuo . La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, con el axioma de elección históricamente controvertido incluido, se abrevia comúnmente ZFC , donde "C" significa "elección". Muchos autores usan ZF para referirse a los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección excluido. [5] Hoy en día, ZFC es la forma estándar de la teoría de conjuntos axiomática y, como tal, es la base más común de las matemáticas .
Los métodos matemáticos se desarrollaron hasta cierto grado de sofisticación en el antiguo Egipto, Babilonia, India y China, aparentemente sin emplear el método axiomático.
Euclides de Alejandría fue el autor de la primera presentación axiomática existente de la geometría euclidiana y la teoría de números . Su idea comienza con cinco supuestos geométricos innegables llamados axiomas . Luego, utilizando estos axiomas, estableció la verdad de otras proposiciones mediante pruebas , de ahí el método axiomático. [6]
En el siglo XIX se desarrollaron muchos sistemas axiomáticos, entre ellos la geometría no euclidiana , los fundamentos del análisis real , la teoría de conjuntos de Cantor , el trabajo de Frege sobre los fundamentos y el «nuevo» uso del método axiomático como herramienta de investigación por parte de Hilbert. Por ejemplo, la teoría de grupos se planteó por primera vez sobre una base axiomática hacia finales de ese siglo. Una vez que se aclararon los axiomas (que se debían requerir elementos inversos , por ejemplo), el sujeto podía proceder de manera autónoma, sin referencia a los orígenes de los grupos de transformación de esos estudios.
No todo cuerpo consistente de proposiciones puede ser capturado por una colección descriptible de axiomas. En la teoría de la recursión, una colección de axiomas se llama recursiva si un programa de computadora puede reconocer si una proposición dada en el lenguaje es un teorema. El primer teorema de incompletitud de Gödel nos dice entonces que hay ciertos cuerpos consistentes de proposiciones sin axiomatización recursiva. Por lo general, la computadora puede reconocer los axiomas y las reglas lógicas para derivar teoremas, y la computadora puede reconocer si una prueba es válida, pero determinar si existe una prueba para una afirmación solo es soluble "esperando" a que se genere la prueba o refutación. El resultado es que uno no sabrá qué proposiciones son teoremas y el método axiomático falla. Un ejemplo de un cuerpo de proposiciones de este tipo es la teoría de los números naturales , que solo está parcialmente axiomatizada por los axiomas de Peano (descritos a continuación).
En la práctica, no todas las pruebas se remontan a los axiomas. A veces, ni siquiera está claro a qué conjunto de axiomas apela una prueba. Por ejemplo, un enunciado de teoría de números podría expresarse en el lenguaje de la aritmética (es decir, el lenguaje de los axiomas de Peano) y podría darse una prueba que apelara a la topología o al análisis complejo . Puede que no esté inmediatamente claro si se puede encontrar otra prueba que se derive únicamente de los axiomas de Peano.
Cualquier sistema de axiomas elegido de manera más o menos arbitraria es la base de alguna teoría matemática, pero un sistema axiomático tan arbitrario no estará necesariamente libre de contradicciones, e incluso si lo estuviera, no es probable que arroje luz sobre nada. Los filósofos de las matemáticas a veces afirman que los matemáticos eligen axiomas "arbitrariamente", pero es posible que, aunque puedan parecer arbitrarios cuando se los considera sólo desde el punto de vista de los cánones de la lógica deductiva, esa apariencia se deba a una limitación de los propósitos a los que sirve la lógica deductiva.
El sistema matemático de los números naturales 0, 1, 2, 3, 4, ... se basa en un sistema axiomático ideado por primera vez por el matemático Giuseppe Peano en 1889. Eligió los axiomas, en el lenguaje de un único símbolo de función unaria S (abreviatura de " sucesor "), para el conjunto de números naturales:
En matemáticas , la axiomatización es el proceso de tomar un conjunto de conocimientos y trabajar en sentido inverso hasta llegar a sus axiomas. Es la formulación de un sistema de enunciados (es decir, axiomas ) que relacionan una serie de términos primitivos, con el fin de que se pueda derivar deductivamente un conjunto consistente de proposiciones a partir de estos enunciados. A partir de entonces, la prueba de cualquier proposición debería poder remontarse, en principio, a estos axiomas.
