Singularidad BKL

Modelo de relatividad general cerca del comienzo del universo

Un cuerpo esférico que sufre una dinámica caótica BKL (Mixmaster) cercana a la singularidad según las reglas eq. 35 . La simulación se realizó en Mathematica con inicial . ^{[nota 1]} ${\displaystyle u={\sqrt {13}}}$

Una singularidad de Belinski-Khalatnikov-Lifshitz (BKL) es un modelo de la evolución dinámica del universo cerca de la singularidad gravitacional inicial , descrita por una solución caótica y anisotrópica de la ecuación de campo de gravitación de Einstein . ^[2] Según este modelo, el universo oscila caóticamente alrededor de una singularidad gravitacional en la que el tiempo y el espacio se vuelven iguales a cero o, equivalentemente, la curvatura del espacio-tiempo se vuelve infinitamente grande. Esta singularidad es físicamente real en el sentido de que es una propiedad necesaria de la solución y aparecerá también en la solución exacta de esas ecuaciones. La singularidad no se crea artificialmente mediante los supuestos y simplificaciones realizados por otras soluciones especiales, como las soluciones de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker , cuasi-isotrópicas y Kasner .

El modelo lleva el nombre de sus autores Vladimir Belinski , Isaak Khalatnikov y Evgeny Lifshitz , que entonces trabajaban en el Instituto Landau de Física Teórica .

El panorama desarrollado por BKL tiene varios elementos importantes. Estos son:

• Cerca de la singularidad, la evolución de la geometría en diferentes puntos espaciales se desacopla de modo que las soluciones de las ecuaciones diferenciales parciales pueden aproximarse mediante soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias con respecto al tiempo para factores de escala espacial adecuadamente definidos. Esto se llama conjetura de BKL .
• Para la mayoría de los tipos de materia, el efecto de los campos de materia sobre la dinámica de la geometría se vuelve insignificante cerca de la singularidad. O, en palabras de John Wheeler , "la materia no importa" cerca de una singularidad. El trabajo original de BKL planteaba un efecto insignificante para toda la materia, pero luego teorizaron que la "materia rígida" (ecuación de estado p = ε) equivalente a un campo escalar sin masa puede tener un efecto modificador en la dinámica cercana a la singularidad.
• Las ecuaciones diferenciales ordinarias que describen las asintóticas provienen de una clase de soluciones espacialmente homogéneas que constituyen la dinámica Mixmaster : un complicado modelo oscilatorio y caótico que exhibe propiedades similares a las discutidas por BKL.

El estudio de la dinámica del universo en las proximidades de la singularidad cosmológica se ha convertido en un campo en rápido desarrollo de la física teórica y matemática moderna. La generalización del modelo BKL a la singularidad cosmológica en modelos cosmológicos multidimensionales ( tipo Kaluza-Klein ) tiene un carácter caótico en los espaciotiempos cuya dimensionalidad no es superior a diez, mientras que en los espaciotiempos de dimensionalidades superiores un universo después de sufrir un número finito de oscilaciones entra en un régimen de contratación monótono tipo Kasner. ^{[3] [4] [5]}

El desarrollo de estudios cosmológicos basados ​​en modelos de supercuerdas ha revelado algunos aspectos nuevos de la dinámica en las proximidades de la singularidad. ^{[6] [7] [8]} En estos modelos, los mecanismos de cambio de las épocas de Kasner no son provocados por las interacciones gravitacionales sino por la influencia de otros campos presentes. Se demostró que los modelos cosmológicos basados ​​en seis modelos principales de supercuerdas más el modelo de supergravedad D = 11 exhiben la dinámica caótica BKL hacia la singularidad. Se descubrió una conexión entre los modelos cosmológicos oscilatorios tipo BKL y una subclase especial de álgebras de Lie de dimensión infinita : las llamadas álgebras hiperbólicas de Kac-Moody . ^{[9] [10] [11]}

Introducción

La base de la cosmología moderna son las soluciones especiales de las ecuaciones de campo de Einstein encontradas por Alexander Friedmann en 1922-1924. El Universo se supone homogéneo (el espacio tiene las mismas propiedades métricas (medidas) en todos los puntos) e isotrópico (el espacio tiene las mismas medidas en todas las direcciones). Las soluciones de Friedmann permiten dos geometrías posibles para el espacio: un modelo cerrado con un espacio arqueado hacia afuera en forma de bola ( curvatura positiva ) y un modelo abierto con un espacio arqueado hacia adentro en forma de silla de montar ( curvatura negativa ). En ambos modelos, el Universo no se detiene, sino que se expande (se hace más grande) o se contrae (se contrae, se hace más pequeño) constantemente. Esto fue confirmado por Edwin Hubble, quien estableció el corrimiento al rojo de Hubble de las galaxias en retroceso. El consenso actual es que el modelo isotrópico , en general, da una descripción adecuada del estado actual del Universo; sin embargo, la isotropía del Universo actual por sí sola no es razón para esperar que sea adecuada para describir las primeras etapas de la evolución del Universo . Al mismo tiempo, es obvio que en el mundo real la homogeneidad es, en el mejor de los casos, sólo una aproximación. Aunque se puede hablar de una distribución homogénea de la densidad de la materia a distancias grandes en comparación con el espacio intergaláctico, esta homogeneidad desaparece a escalas más pequeñas. Por otro lado, el supuesto de homogeneidad va muy lejos en un aspecto matemático: hace que la solución sea altamente simétrica , lo que puede impartir propiedades específicas que desaparecen al considerar un caso más general.

Otra propiedad importante del modelo isotrópico es la existencia inevitable de una singularidad temporal : el flujo del tiempo no es continuo, sino que se detiene o se invierte cuando el tiempo alcanza un valor muy grande o muy pequeño. Entre singularidades, el tiempo fluye en una dirección: alejándose de la singularidad ( flecha del tiempo ). En el modelo abierto, hay una singularidad temporal por lo que el tiempo es limitado en un extremo pero ilimitado en el otro, mientras que en el modelo cerrado hay dos singularidades que limitan el tiempo en ambos extremos (el Big Bang y el Big Crunch ).

Las únicas propiedades físicamente interesantes del espacio-tiempo (como las singularidades) son aquellas que son estables , es decir, aquellas propiedades que todavía ocurren cuando los datos iniciales se perturban ligeramente. Es posible que una singularidad sea estable y, sin embargo, no tenga interés físico: la estabilidad es una condición necesaria pero no suficiente para la relevancia física. Por ejemplo, una singularidad podría ser estable sólo en una vecindad de conjuntos de datos iniciales correspondientes a universos altamente anisotrópicos . Dado que el universo actual es ahora aparentemente casi isotrópico, tal singularidad no podría ocurrir en nuestro universo. Una condición suficiente para que una singularidad estable sea de interés físico es el requisito de que la singularidad sea genérica (o general). En términos generales, una singularidad estable es genérica si ocurre cerca de cada conjunto de condiciones iniciales y los campos no gravitacionales están restringidos de alguna manera específica a campos "físicamente realistas", de modo que las ecuaciones de Einstein, varias ecuaciones de estado, etc., sean Se supone que se mantiene en los espacio-tiempos evolucionados. Podría suceder que una singularidad sea estable bajo pequeñas variaciones de los verdaderos grados de libertad gravitacional y, sin embargo, no sea genérica porque la singularidad depende de alguna manera del sistema de coordenadas , o más bien de la elección de la hipersuperficie inicial a partir de la cual se origina el espacio-tiempo. está evolucionado.

Para un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales , como las ecuaciones de Einstein , una solución general no está definida de manera inequívoca. En principio, puede haber múltiples integrales generales , y cada una de ellas puede contener sólo un subconjunto finito de todas las condiciones iniciales posibles . Cada una de esas integrales puede contener todas las funciones independientes requeridas que, sin embargo, pueden estar sujetas a algunas condiciones (por ejemplo, algunas desigualdades ). Por lo tanto, la existencia de una solución general con una singularidad no excluye la existencia de otras soluciones generales adicionales que no contengan una singularidad. Por ejemplo, no hay razón para dudar de la existencia de una solución general sin singularidad que describa un cuerpo aislado con una masa relativamente pequeña.

Es imposible encontrar una integral general para todo el espacio y para todo el tiempo. Sin embargo, esto no es necesario para resolver el problema: basta con estudiar la solución cerca de la singularidad. Esto también resolvería otro aspecto del problema: las características de la evolución métrica del espacio-tiempo en la solución general cuando alcanza la singularidad física, entendida como un punto donde la densidad de materia y las invariantes del tensor de curvatura de Riemann se vuelven infinitas.

Existencia de singularidad del tiempo físico.

Uno de los principales problemas estudiados por el grupo Landau (al que pertenece BKL) fue si los modelos cosmológicos relativistas contienen necesariamente una singularidad temporal o si la singularidad temporal es un artefacto de los supuestos utilizados para simplificar estos modelos. La independencia de la singularidad según los supuestos de simetría significaría que las singularidades temporales existen no sólo en las soluciones especiales, sino también en las generales de las ecuaciones de Einstein. Es razonable sugerir que si una singularidad está presente en la solución general, debe haber algunas indicaciones que se basen únicamente en las propiedades más generales de las ecuaciones de Einstein, aunque esas indicaciones por sí solas podrían ser insuficientes para caracterizar la singularidad.

Un criterio para la generalidad de las soluciones es el número de funciones de coordenadas espaciales independientes que contienen. Estos incluyen sólo las funciones "físicamente independientes" cuyo número no puede reducirse mediante ninguna elección de marco de referencia . En la solución general, el número de tales funciones debe ser suficiente para definir completamente las condiciones iniciales (distribución y movimiento de la materia, distribución del campo gravitacional ) en algún momento elegido como inicial. Este número es cuatro para un espacio vacío (vacío) y ocho para un espacio lleno de materia y/o radiación. ^{[12] [13]}

Trabajos anteriores del grupo Landau; ^{[14] [15] [16]} revisado en ^[12] ) llevaron a la conclusión de que la solución general no contiene una singularidad física. Esta búsqueda de una clase más amplia de soluciones con una singularidad se ha hecho, esencialmente, mediante un método de prueba y error, ya que faltaba un enfoque sistemático para el estudio de las ecuaciones de Einstein. Un resultado negativo obtenido de esta manera no es convincente por sí solo; una solución con el grado necesario de generalidad la invalidaría y al mismo tiempo confirmaría cualquier resultado positivo relacionado con la solución específica.

En ese momento, el único indicio conocido de la existencia de una singularidad física en la solución general estaba relacionado con la forma de las ecuaciones de Einstein escritas en un marco sincrónico , es decir, en un marco en el que el tiempo propio x ⁰ = t está sincronizado. en todo el espacio; en este marco, el elemento de distancia espacial dl está separado del intervalo de tiempo dt . ^{[nota 2]} La ecuación de Einstein

escrito en un marco síncrono da un resultado en el que el determinante métrico g inevitablemente se vuelve cero en un tiempo finito, independientemente de cualquier suposición sobre la distribución de la materia. ^{[12] [13]}

Sin embargo, los esfuerzos por encontrar una singularidad física general se abandonaron después de que quedó claro que la singularidad mencionada anteriormente está vinculada con una propiedad geométrica específica del marco sincrónico: el cruce de coordenadas de la línea de tiempo. Este cruce tiene lugar en algunas hipersuperficies circundantes que son análogas en cuatro dimensiones a las superficies cáusticas en óptica geométrica ; g se vuelve cero exactamente en este cruce. ^[16] Por lo tanto, aunque esta singularidad es general, es ficticia y no física; Desaparece cuando se cambia el marco de referencia. Esto aparentemente disuadió a los investigadores de seguir investigando en este sentido.

Pasaron varios años antes de que el interés por este problema volviera a aumentar cuando Penrose  (1965) publicó sus teoremas que vinculaban la existencia de una singularidad de carácter desconocido con algunos supuestos muy generales que no tenían nada en común con la elección del marco de referencia. Otros teoremas similares fueron encontrados más tarde por Hawking ^{[17] [18]} y Geroch ^[19] (ver Teoremas de singularidad de Penrose-Hawking ). Esto reavivó el interés en la búsqueda de soluciones singulares.

Solución homogénea generalizada

En un espacio que es a la vez homogéneo e isotrópico la métrica se determina completamente, dejando libre sólo el signo de la curvatura. Asumir sólo homogeneidad espacial sin simetría adicional como la isotropía deja mucha más libertad a la hora de elegir la métrica. Lo siguiente se refiere a la parte espacial de la métrica en un instante dado de tiempo t, suponiendo un marco sincrónico de modo que t sea el mismo tiempo sincronizado para todo el espacio.

La conjetura de BKL

En su trabajo de 1970, ^[2] BKL afirmó que a medida que uno se acerca a una singularidad, los términos que contienen derivadas temporales en las ecuaciones de Einstein dominan sobre aquellos que contienen derivadas espaciales . Desde entonces, esto se conoce como la conjetura de BKL e implica que las ecuaciones diferenciales parciales (PDE) de Einstein se aproximan bien a las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), de donde la dinámica de la relatividad general se vuelve efectivamente local y oscilatoria. La evolución temporal de los campos en cada punto espacial se aproxima bien mediante las cosmologías homogéneas de la clasificación de Bianchi.

Separando las derivadas del tiempo y del espacio en las ecuaciones de Einstein, por ejemplo, de la misma manera que se utiliza para la clasificación de espacios homogéneos , y luego igualando a cero los términos que contienen las derivadas del espacio, se puede definir la llamada teoría truncada del sistema. (ecuaciones truncadas). ^[20] Entonces, la conjetura de BKL se puede hacer más específica:

Conjetura débil : a medida que se acerca la singularidad, los términos que contienen derivadas espaciales en las ecuaciones de Einstein son insignificantes en comparación con los términos que contienen derivadas temporales. Por lo tanto, a medida que se aproxima la singularidad, las ecuaciones de Einstein se aproximan a las encontradas estableciendo los términos derivados en cero. Por tanto, la conjetura débil dice que las ecuaciones de Einstein pueden aproximarse bien mediante las ecuaciones truncadas en las proximidades de la singularidad. Tenga en cuenta que esto no implica que las soluciones de las ecuaciones de movimiento completas se aproximarán a las soluciones de las ecuaciones truncadas a medida que se acerque a la singularidad. Esta condición adicional se captura en la versión fuerte de la siguiente manera.

Conjetura fuerte : a medida que se acerca la singularidad, las ecuaciones de Einstein se acercan a las de la teoría truncada y, además, las soluciones de las ecuaciones completas se aproximan bien mediante las soluciones de las ecuaciones truncadas.

Al principio, la conjetura de BKL parecía depender de las coordenadas y era bastante inverosímil. Barrow y Tipler, ^{[21] [22]} por ejemplo, entre las diez críticas a los estudios de BKL, incluyen la elección inapropiada (según ellos) del marco sincrónico como medio para separar las derivadas del tiempo y del espacio. La conjetura de BKL a veces fue reformulada en la literatura como una afirmación de que cerca de la singularidad sólo las derivadas del tiempo son importantes. Tal afirmación, tomada al pie de la letra, es errónea o, en el mejor de los casos, engañosa ya que, como se muestra en el propio análisis de BKL, los gradientes espaciales del tensor métrico no pueden despreciarse para soluciones genéricas de la gravedad pura de Einstein en cuatro dimensiones del espacio-tiempo, y en De hecho, juegan un papel crucial en la aparición del régimen oscilatorio. Sin embargo, existen reformulaciones de la teoría de Einstein en términos de nuevas variables que involucran los gradientes relevantes, por ejemplo en variables tipo Ashtekar, para las cuales la afirmación sobre el papel dominante de las derivadas del tiempo es correcta. ^[20] Es cierto que en cada punto espacial se obtiene una descripción efectiva de la singularidad en términos de un sistema dinámico de dimensión finita descrito por ecuaciones diferenciales ordinarias con respecto al tiempo, pero los gradientes espaciales entran en estas ecuaciones de manera no trivial.

Análisis posteriores realizados por un gran número de autores han demostrado que la conjetura de BKL se puede precisar y a estas alturas existe un impresionante conjunto de evidencia numérica y analítica que la respalda. ^[23] Es justo decir que todavía estamos bastante lejos de una prueba de la conjetura fuerte. Pero ha habido avances notables en modelos más simples. En particular, Berger, Garfinkle, Moncrief, Isenberg, Weaver y otros demostraron que, en una clase de modelos, a medida que se aproxima la singularidad, las soluciones de las ecuaciones de campo completas de Einstein se aproximan a las "dominadas por el término de velocidad" (truncadas) obtenidas por descuidando las derivadas espaciales. ^{[23] [24] [25] [26] [27]} Andersson y Rendall ^[28] demostraron que para la gravedad acoplada a un campo escalar sin masa o a un fluido rígido, para cada solución de las ecuaciones truncadas existe una solución completa ecuaciones de campo que convergen a la solución truncada a medida que se acerca a la singularidad, incluso en ausencia de simetrías. Estos resultados se generalizaron para incluir también campos de calibre en forma de p . ^[29] En estos modelos truncados la dinámica es más simple, lo que permite un enunciado preciso de la conjetura que podría probarse. En el caso general, la evidencia más sólida hasta la fecha proviene de la evolución numérica. Berger y Moncrief ^[30] iniciaron un programa para analizar singularidades cosmológicas genéricas. Si bien el trabajo inicial se centró en casos reducidos de simetría, ^[31] más recientemente, Garfinkle ^[32] realizó una evolución numérica de espacio-tiempos sin simetrías en las que, nuevamente, el comportamiento del mixmaster es evidente. Finalmente, un estudio numérico del comportamiento de campos de prueba cerca de la singularidad de un agujero negro de Schwarzschild proporciona apoyo adicional a la conjetura. ^[33]

solución kasner

Dinámica de las métricas de Kasner eq. 2 en coordenadas esféricas hacia la singularidad. El parámetro de Lifshitz-Khalatnikov es u =2 (1/ u =0,5) y la coordenada r es 2 p _α (1/ u )τ donde τ es el tiempo logarítmico: τ = ln t . ^{[nota 3]} La contracción a lo largo de los ejes es lineal y anisotrópica (sin caticidad).

El enfoque de BKL para espacios homogéneos anisotrópicos (a diferencia de isotrópicos) comienza con una generalización de una solución particular exacta derivada de Kasner ^[34] para un campo en el vacío, en el que el espacio es homogéneo y tiene una métrica euclidiana que depende del tiempo según a la métrica de Kasner

( dl es el elemento lineal ; dx , dy , dz son desplazamientos infinitesimales en las tres dimensiones espaciales , y t es el período de tiempo transcurrido desde algún momento inicial t ₀ = 0). Aquí, p ₁ , p ₂ , p ₃ son tres números cualesquiera que satisfacen las siguientes condiciones de Kasner

Debido a estas relaciones, sólo uno de los tres números es independiente (dos ecuaciones con tres incógnitas ). Los tres números nunca son iguales; dos números son iguales sólo en los conjuntos de valores y (0, 0, 1). ^{[nota 4]} En todos los demás casos los números son diferentes, un número es negativo y los otros dos son positivos. Esto se demuestra parcialmente elevando al cuadrado ambos lados de la primera condición eq. 3 y desarrollando el cuadrado: ${\textstyle (-{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}},{\frac {2}{3}})}$

${\displaystyle \left(p_{1}+p_{2}+p_{3}\right)^{2}=\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}\right)+\left(2p_{1}p_{2}+2p_{2}p_{3}+2p_{1}p_{3}\right)=1}$

El término es igual a 1 gracias a la segunda condición eq. 3 y por tanto el término con los productos mixtos debería ser cero. Esto es posible si al menos uno de p ₁ , p ₂ , p ₃ es negativo. ${\displaystyle \left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}\right)}$

Si los números están ordenados en orden creciente, p ₁ < p ₂ < p ₃ , cambian en los intervalos (Fig. 4)

Gráfico de p ₁ , p ₂ , p ₃ con un argumento 1/ u . Los números p ₁ ( u ) y p ₃ ( u ) aumentan monótonamente , mientras que p ₂ ( u ) es una función monótona decreciente de u .

La ecuación métrica de Kasner . 2 corresponde a un espacio plano homogéneo pero anisotrópico en el que todos los volúmenes aumentan con el tiempo de tal manera que las distancias lineales a lo largo de dos ejes y y z aumentan mientras que la distancia a lo largo del eje x disminuye. El momento t = 0 provoca una singularidad en la solución; la singularidad en la métrica en t = 0 no puede evitarse mediante ninguna transformación del marco de referencia. En la singularidad, las invariantes del tensor de curvatura de cuatro dimensiones llegan al infinito. Una excepción es el caso p ₁ = р ₂ = 0, р ₃ = 1; estos valores corresponden a un espaciotiempo plano: la transformación t sh z = ζ, t ch z = τ convierte la métrica de Kasner ( ecuación 2 ) en galileana .

BKL parametriza los números p ₁ , p ₂ , p _{3 en términos de un único} parámetro independiente (real) u (parámetro de Lifshitz-Khalatnikov ^[35] ) de la siguiente manera

La parametrización del índice de Kasner parece misteriosa hasta que uno piensa en las dos restricciones de los índices eq. 3 . Ambas restricciones fijan la escala general de los índices de modo que sólo sus ratios pueden variar. Es natural elegir una de esas proporciones como nuevo parámetro, lo que se puede hacer de seis maneras diferentes. Tomando u = u ₃₂ = p ₃ / p ₂ , por ejemplo, es trivial expresar las seis razones posibles en términos de ello. Eliminando p ₃ = up ₂ primero y luego usando la restricción lineal para eliminar p ₁ = 1 − p ₂ − up ₂ = 1 − (1 + u ) p ₂ , la restricción cuadrática se reduce a una ecuación cuadrática en p ₂

con raíces p ₂ = 0 (obvio) y p ₂ = (1 + u ) / (1 + u + u ² ), de las cuales p ₁ y p ₃ se obtienen mediante sustitución inversa . Se pueden definir seis de estos parámetros u _ab = p _a / p _b , para los cuales p _c ≤ p _b ≤ p _a cuando ( c , b , a ) es una permutación cíclica de (1, 2, 3). ^[36]

Todos los valores diferentes de p ₁ , p ₂ , p ₃ ordenados como arriba se obtienen con u corriendo en el rango u ≥ 1. Los valores u < 1 se llevan a este rango de acuerdo con

En la solución generalizada, la forma correspondiente a la ecuación. 2 se aplica sólo a la métrica asintótica (la métrica cercana a la singularidad t = 0), respectivamente, a los términos principales de su expansión en serie por potencias de t . En el sistema de referencia síncrono se escribe en forma de ecuación. 1 con un elemento de distancia espacial

dónde

Los vectores tridimensionales l , m , n definen las direcciones en las que la distancia espacial cambia con el tiempo mediante las leyes de potencia eq. 8 . Estos vectores, así como los números p _l , p _m , p _n que, como antes, están relacionados por la ecuación. 3 , son funciones de las coordenadas espaciales. Las potencias p _l , p _m , p _n no están ordenadas en orden creciente, reservándose los símbolos p ₁ , p ₂ , p ₃ para los números de la ecuación. 5 que quedan ordenados en orden creciente. El determinante de la métrica de la ecuación. 7 es

donde v = l [ mn ]. Es conveniente introducir las siguientes cantidades ^{[nota 5]}

La métrica espacial en la ecuación. 7 es anisotrópico porque las potencias de t en la ec. 8 no pueden tener los mismos valores. Al acercarse a la singularidad en t = 0, las distancias lineales en cada elemento del espacio disminuyen en dos direcciones y aumentan en la tercera dirección. El volumen del elemento disminuye en proporción a t .

La métrica de Kasner se introduce en las ecuaciones de Einstein sustituyendo el tensor métrico respectivo γ _αβ de la ecuación. 7 sin definir a priori la dependencia de a , b , c de t : ^{[nota 2]}

${\displaystyle \varkappa _{\alpha }^{\beta }={\frac {2{\dot {a}}}{a}}l_{\alpha }l^{\beta }+{\frac {2{\dot {b}}}{b}}m_{\alpha }m^{\beta }+{\frac {2{\dot {c}}}{c}}n_{\alpha }n^{\beta }}$

donde el punto encima de un símbolo designa la diferenciación con respecto al tiempo. La ecuación de Einstein eq. 11 toma la forma

Todos sus términos son de segundo orden para la cantidad grande (en t → 0) 1/ t . En las ecuaciones de Einstein ec. 12 , los términos de tal orden aparecen sólo a partir de términos que están diferenciados en el tiempo. Si los componentes de P _αβ no incluyen términos de orden superior a dos, entonces

donde los índices l , m , n designan componentes tensoriales en las direcciones l , m , n . ^[12] Estas ecuaciones junto con la ec. 14 dan las expresiones ec. 8 con potencias que satisfacen la ecuación. 3 .

Sin embargo, la presencia de una potencia negativa entre las 3 potencias p _l , p _m , p _n da como resultado la aparición de términos de P _αβ con un orden mayor que t ⁻² . Si la potencia negativa es p _l ( p _l = p ₁ < 0), entonces P _αβ contiene la función de coordenadas λ y la ecuación. 12 convertirse

Aquí, los segundos términos son de orden t ^{−2( p _m + p _n − p _l )} donde p _m + p _n − p _l = 1 + 2 | pl |_​ > 1. ^{[nota 6]} Para eliminar estos términos y restaurar la ecuación métrica. 7 , es necesario imponer a las funciones de coordenadas la condición λ = 0.

Las tres ecuaciones de Einstein restantes eq. 13 contienen sólo derivadas temporales de primer orden del tensor métrico. Dan tres relaciones independientes del tiempo que deben imponerse como condiciones necesarias a las funciones de coordenadas en la ecuación. 7 . Esto, junto con la condición λ = 0, forma cuatro condiciones. Estas condiciones unen diez funciones de coordenadas diferentes: tres componentes de cada uno de los vectores l , m , n , y una función en las potencias de t (cualquiera de las funciones p _l , p _m , p _n , que están limitadas por las condiciones ecuación 3 ). Al calcular el número de funciones físicamente arbitrarias hay que tener en cuenta que el sistema síncrono utilizado aquí permite transformaciones arbitrarias independientes del tiempo de las tres coordenadas espaciales. Por lo tanto, la solución final contiene en total 10 − 4 − 3 = 3 funciones físicamente arbitrarias, que es una menos de lo que se necesita para la solución general en el vacío.

El grado de generalidad alcanzado en este punto no disminuye con la introducción de materia; La materia se escribe en la ecuación métrica. 7 y aporta cuatro nuevas funciones de coordenadas necesarias para describir la distribución inicial de su densidad y las tres componentes de su velocidad. Esto hace posible determinar la evolución de la materia simplemente a partir de las leyes de su movimiento en un campo gravitacional dado a priori , que son las ecuaciones hidrodinámicas .

donde u ⁱ es la velocidad de 4 dimensiones, ε y σ son las densidades de energía y entropía de la materia (cf. ^[37] y; ^[38] también; ^[39] para más detalles ver ^[40] ). Para la ecuación de estado ultrarelativista p = ε/3 la entropía σ ~ ε ^1/4 . Los términos principales en la ec. 17 y ec. 18 son los que contienen derivadas del tiempo . De la ecuación. 17 y los componentes espaciales de la ecuación. 18 uno tiene

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left({\sqrt {-g}}u_{0}\varepsilon ^{\frac {3}{4}}\right)=0,\ 4\varepsilon \cdot {\frac {\partial u_{\alpha }}{\partial t}}+u_{\alpha }\cdot {\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}=0,}$

Resultando en

donde 'const' son cantidades independientes del tiempo. Además, a partir de la identidad u _i u ⁱ = 1 se tiene (porque todos los componentes covariantes de u _α son del mismo orden)

${\displaystyle u_{0}^{2}\approx u_{n}u^{n}={\frac {u_{n}^{2}}{c^{2}}},}$

donde u _n es el componente de velocidad a lo largo de la dirección de n que está conectado con la potencia más alta (positiva) de t (suponiendo que p _n = p ₃ ). De las relaciones anteriores se deduce que

o

Las ecuaciones anteriores se pueden utilizar para confirmar que los componentes del tensor tensión-energía-momento de la materia que se encuentran en el lado derecho de las ecuaciones

${\displaystyle R_{0}^{0}=T_{0}^{0}-{\frac {1}{2}}T,\ R_{\alpha }^{\beta }=T_{\alpha }^{\beta }-{\frac {1}{2}}\delta _{\alpha }^{\beta }T,}$

son, de hecho, de un orden inferior en 1/ t que los términos principales en sus lados izquierdos. En las ecuaciones, la presencia de materia sólo da como resultado el cambio de relaciones impuestas a sus funciones coordinadas constituyentes. ^[12] ${\displaystyle R_{\alpha }^{0}=T_{\alpha }^{0}}$

El hecho de que ε se vuelva infinito por la ley eq. 21 confirma que en la solución de la ecuación. 7 se trata de una singularidad física en cualquier valor de las potencias p ₁ , p ₂ , p ₃ excepto sólo (0, 0, 1). Para estos últimos valores, la singularidad no es física y puede eliminarse mediante un cambio de sistema de referencia.

La singularidad ficticia correspondiente a las potencias (0, 0, 1) surge como resultado de que las coordenadas de la línea de tiempo se cruzan sobre una " superficie focal " bidimensional . Como se señala en ^[12] , siempre se puede elegir un marco de referencia sincrónico de tal manera que este inevitable cruce de la línea de tiempo ocurra exactamente en dicha superficie (en lugar de una superficie cáustica tridimensional). Por lo tanto, debe existir una solución con tal singularidad ficticia simultánea para todo el espacio con un conjunto completo de funciones arbitrarias necesarias para la solución general. Cerca del punto t = 0 permite una expansión regular en potencias enteras de t . Para un análisis de este caso, véase. ^[41]

Modo oscilante hacia la singularidad.

La solución general por definición es completamente estable; de lo contrario el Universo no existiría. Cualquier perturbación equivale a un cambio en las condiciones iniciales en algún momento del tiempo; Dado que la solución general permite condiciones iniciales arbitrarias, la perturbación no puede cambiar su carácter. Visto desde tal ángulo, las cuatro condiciones impuestas a las funciones de coordenadas en la solución eq. 7 son de diferente tipo: tres condiciones que surgen de las ecuaciones = 0 son "naturales"; son consecuencia de la estructura de las ecuaciones de Einstein. Sin embargo, la condición adicional λ = 0 que provoca la pérdida de una función derivada es de un tipo completamente diferente: la inestabilidad causada por perturbaciones puede romper esta condición. La acción de tal perturbación debe llevar el modelo a otro modo más general. La perturbación no puede considerarse pequeña: una transición a un nuevo modo excede el rango de perturbaciones muy pequeñas. ${\displaystyle R_{\alpha }^{0}}$

El análisis del comportamiento del modelo bajo acción perturbativa, realizado por BKL, delinea un modo oscilatorio complejo al acercarse a la singularidad. ^{[2] [42] [43] [44]} No pudieron dar todos los detalles de este modo en el marco amplio del caso general. Sin embargo, BKL explicó las propiedades y el carácter más importantes de la solución en modelos específicos que permiten un estudio analítico de gran alcance.

Estos modelos se basan en una métrica espacial homogénea de un tipo particular. Suponer una homogeneidad del espacio sin ninguna simetría adicional deja una gran libertad a la hora de elegir la métrica. Todos los posibles espacios homogéneos (pero anisotrópicos) se clasifican, según Bianchi , en varios tipos de Bianchi (Tipo I a IX) . ^[45] (ver también Solución homogénea generalizada) BKL investiga solo espacios de Bianchi Tipos VIII y IX.

Si la métrica tiene la forma de la ecuación. 7 , para cada tipo de espacios homogéneos existe alguna relación funcional entre los vectores de referencia l , m , n y las coordenadas espaciales. La forma específica de esta relación no es importante. El hecho importante es que para los espacios de Tipo VIII y IX, las cantidades λ, μ, ν eq. 10 son constantes , mientras que todos los productos "mezclados" l rot m , l rot n , m rot l , etc. son ceros. Para espacios de Tipo IX, las cantidades λ, μ, ν tienen el mismo signo y se puede escribir λ = μ = ν = 1 (el cambio de signo simultáneo de las 3 constantes no cambia nada). Para espacios de Tipo VIII, 2 constantes tienen un signo opuesto al signo de la tercera constante; se puede escribir, por ejemplo, λ = − 1, μ = ν = 1. ^{[nota 7]}

Por tanto, el estudio del efecto de la perturbación en el "modo Kasner" se limita a un estudio del efecto de los términos que contienen λ en las ecuaciones de Einstein. Los espacios tipo VIII y IX son los modelos más adecuados para dicho estudio. Dado que las 3 cantidades λ, μ, ν en esos tipos de Bianchi difieren de cero, la condición λ = 0 no se cumple independientemente de qué dirección l , m , n tenga dependencia del tiempo de la ley de potencia negativa .

Las ecuaciones de Einstein para los modelos espaciales Tipo VIII y Tipo IX son ^{[46] [nota 2]}

(los componentes restantes , , , , , son idénticamente ceros). Estas ecuaciones contienen sólo funciones del tiempo; esta es una condición que debe cumplirse en todos los espacios homogéneos. Aquí, la ecuación. 22 y ec. 23 son exactos y su validez no depende de qué tan cerca uno esté de la singularidad en t = 0. ^{[nota 8]} ${\displaystyle R_{l}^{0}}$ ${\displaystyle R_{m}^{0}}$ ${\displaystyle R_{n}^{0}}$ ${\displaystyle R_{l}^{m}}$ ${\displaystyle R_{l}^{n}}$ ${\displaystyle R_{m}^{n}}$

Las derivadas del tiempo en la ec. 22 y ec. 23 toman una forma más simple si а , b , с se sustituyen por sus logaritmos α, β, γ:

sustituyendo la variable t por τ según:

Entonces (los subíndices denotan diferenciación por τ):

Sumando las ecuaciones eq. 26 y sustituyendo en el lado izquierdo la suma (α + β + γ) _{τ τ} según la ec. 27 , se obtiene una ecuación que contiene solo primeras derivadas, que es la primera integral del sistema eq. 26 :

Esta ecuación desempeña el papel de una condición vinculante impuesta al estado inicial de la ecuación. 26 . La ecuación del modo Kasner . 8 es una solución de la ecuación. 26 al ignorar todos los términos en el lado derecho. Pero tal situación no puede continuar (en t → 0) indefinidamente porque entre esos términos siempre hay algunos que crecen. Así, si la potencia negativa está en la función a ( t ) ( p _l = p ₁ ) entonces la perturbación del modo de Kasner surgirá por los términos λ ² a ⁴ ; el resto de los términos disminuirán al disminuir t . Si solo se dejan los términos crecientes en el lado derecho de la ecuación. 26 , se obtiene el sistema:

(compárese con la ecuación 16 ; a continuación se sustituye λ ² = 1). La solución de estas ecuaciones debe describir la evolución métrica desde el estado inicial, en el que se describe mediante la ecuación. 8 con un conjunto dado de potencias (con p _l < 0); sea ​​p _l = р ₁ , p _m = р ₂ , p _n = р ₃ de modo que

Entonces

donde Λ es constante. Condiciones iniciales para la ecuación. 29 se redefinen como

Ecuaciones ec. 29 se integran fácilmente; la solución que satisface la condición eq. 32 es

donde b ₀ y c ₀ son dos constantes más.

Se puede ver fácilmente que la asintótica de funciones eq. 33 en t → 0 es la ecuación. 30 . Las expresiones asintóticas de estas funciones y la función t (τ) en τ → −∞ es ^{[nota 9]}

${\displaystyle a\sim e^{-\Lambda p_{1}\tau },\ b\sim e^{\Lambda (p_{2}+2p_{1})\tau },\ c\sim e^{\Lambda (p_{3}+2p_{1})\tau },\ t\sim e^{\Lambda (1+2p_{1})\tau }.}$

Expresando a , b , c como funciones de t , se tiene

dónde

Entonces

Lo anterior muestra que la perturbación actúa de tal manera que cambia un modo Kasner por otro modo Kasner, y en este proceso la potencia negativa de t cambia de la dirección l a la dirección m : si antes era p _l < 0, ahora es p' _m < 0. Durante este cambio la función a ( t ) pasa por un máximo y b ( t ) pasa por un mínimo; b , que antes era decreciente, ahora aumenta: a de creciente se vuelve decreciente; y la disminución c ( t ) disminuye aún más. La perturbación en sí (λ ² a ^4α en la ecuación 29 ), que antes era creciente, ahora comienza a disminuir y desaparecer. Una mayor evolución provoca de manera similar un aumento en la perturbación de los términos con μ ² (en lugar de λ ² ) en la ecuación. 26 , próximo cambio del modo Kasner, y así sucesivamente.

Es conveniente escribir la regla de sustitución de potencias eq. 35 con la ayuda de la parametrización eq. 5 :

La mayor de las dos potencias positivas sigue siendo positiva.

BKL llama a este cambio de poder negativo entre direcciones una época de Kasner . La clave para comprender el carácter de la evolución métrica al acercarse a la singularidad es exactamente este proceso de alternancia de la época de Kasner con inversión de potencias p _l , p _m , p _n según la regla eq. 37 .

Las sucesivas alternancias eq. 37 con el cambio de la potencia negativa p ₁ entre las direcciones l y m (épocas de Kasner) continúa por agotamiento de toda la parte de la u inicial hasta el momento en que u < 1. El valor u < 1 se transforma en u > 1 según ecuación 6 ; en este momento la potencia negativa es p _l o p _m mientras que p _n se convierte en el menor de dos números positivos ( p _n = p ₂ ). La siguiente serie de épocas de Kasner invierte la potencia negativa entre las direcciones n y l o entre n y m . Para un valor inicial arbitrario ( irracional ) de u, este proceso de alternancia continúa ilimitadamente. ^{[nota 10]}

En la solución exacta de las ecuaciones de Einstein, las potencias p _l , p _m , p _n pierden su sentido preciso original. Esta circunstancia introduce cierta "borrosidad" en la determinación de estos números (y junto con ellos, del parámetro u ) que, aunque pequeña, pierde sentido el análisis de cualquier valor definido (por ejemplo, racional ) de u . Por lo tanto, sólo estas leyes que se refieren a valores irracionales arbitrarios de u tienen algún significado particular.

Los períodos más largos en los que las escalas de distancias espaciales a lo largo de dos ejes oscilan mientras que las distancias a lo largo del tercer eje disminuyen monótonamente, se denominan eras ; los volúmenes disminuyen según una ley cercana a ~ t . Al pasar de una era a la siguiente, la dirección en la que las distancias disminuyen monótonamente , cambia de un eje a otro. El orden de estas transiciones adquiere el carácter asintótico de un proceso aleatorio . El mismo orden aleatorio también es característico de la alternancia de las duraciones de eras sucesivas (por duración de era, BKL entiende el número de épocas de Kasner que contiene una era, y no un intervalo de tiempo).

A cada era ( s -ésima era) le corresponden una serie de valores del parámetro u empezando por el mayor, , y pasando por los valores − 1, − 2, ..., hasta llegar al menor, < 1. Entonces ${\displaystyle u_{\max }^{(s)}}$ ${\displaystyle u_{\max }^{(s)}}$ ${\displaystyle u_{\max }^{(s)}}$ ${\displaystyle u_{\min }^{(s)}}$

es decir, k ^{( s )} = [ ] donde los paréntesis significan la parte completa del valor. El número k ^{( s )} es la duración de la era, medida por el número de épocas de Kasner que contiene la era. Para la próxima era ${\displaystyle u_{\max }^{(s)}}$

En la serie ilimitada de números u , compuesta por estas reglas, hay valores infinitamente pequeños (pero nunca cero) x ^{( s )} y, correspondientemente, longitudes infinitamente grandes k ^{( s )} .

Las series de eras se vuelven más densas al acercarse a t = 0. Sin embargo, la variable natural para describir el curso temporal de esta evolución no es el tiempo mundial t , sino su logaritmo, ln t , por el cual todo el proceso de alcanzar la singularidad se extiende a −∞.

Según la ecuación. 33 , una de las funciones a , b , c , que pasa por un máximo durante una transición entre épocas de Kasner, en el pico de su máximo es

donde se supone que a _max es grande en comparación con b ₀ y c ₀ ; en la ecuación. 38 u es el valor del parámetro en la época de Kasner antes de la transición. Se puede ver desde aquí que los picos de máximos consecutivos durante cada era disminuyen gradualmente. De hecho, en la siguiente época de Kasner este parámetro tiene el valor u' = u − 1, y Λ se sustituye según la ecuación. 36 con Λ' = Λ(1 − 2| p ₁ ( u )|). Por lo tanto, la razón de 2 máximos consecutivos es

${\displaystyle {\frac {a'_{\max }}{a_{\max }}}=\left[{\frac {p_{1}(u-1)}{p_{1}(u)}}\left(1-2|p_{1}(u)|\right)\right]^{\frac {1}{2}};}$

y finalmente

Las anteriores son soluciones a las ecuaciones de Einstein en el vacío. En cuanto al modo Kasner puro, la materia no cambia las propiedades cualitativas de esta solución y puede escribirse en ella sin tener en cuenta su reacción en el campo. Sin embargo, si se hace esto para el modelo que estamos discutiendo, entendido como una solución exacta de las ecuaciones de Einstein, la imagen resultante de la evolución de la materia no tendría un carácter general y sería específica de la alta simetría inminente del modelo actual. Matemáticamente, esta especificidad está relacionada con el hecho de que para la geometría espacial homogénea discutida aquí, los componentes del tensor de Ricci son idénticamente ceros y, por lo tanto, las ecuaciones de Einstein no permitirían el movimiento de la materia (lo que da componentes del tensor de energía-momento de tensión distintos de cero ). En otras palabras, el marco sincrónico también debe moverse comodamente con respecto a la materia. Si se sustituye en la ec. 19 u _α = 0, u ⁰ = 1, se convierte en ε ~ ( abc ) ^−4/3 ~ t ^−4/3 . ${\displaystyle R_{\alpha }^{0}}$ ${\displaystyle T_{\alpha }^{0}}$

Esta dificultad se evita si se incluyen en el modelo sólo los términos principales de la métrica limitante (en t → 0) y se escribe en él una materia con una distribución inicial arbitraria de densidades y velocidades. Entonces el curso de la evolución de la materia está determinado por sus leyes generales de movimiento eq. 17 y ec. 18 que dan como resultado la ec. 21 . Durante cada época de Kasner, la densidad aumenta según la ley.

donde p ₃ es, como arriba, el mayor de los números p ₁ , p ₂ , p ₃ . La densidad de la materia aumenta monótonamente durante toda la evolución hacia la singularidad.

Evolución métrica

Los valores u muy grandes corresponden a potencias de Kasner.

que están cerca de los valores (0, 0, 1). Dos valores cercanos a cero también lo son entre sí y, por lo tanto, los cambios en dos de los tres tipos de "perturbaciones" (los términos con λ, μ y ν en el lado derecho de la ecuación 26 ) son también muy parecido. Si al comienzo de una era tan larga estos términos son muy cercanos en valores absolutos en el momento de transición entre dos épocas de Kasner (o se hacen así artificialmente al asignar condiciones iniciales), entonces permanecerán cercanos durante la mayor parte de la duración del conjunto. era. En este caso (BKL lo llama el caso de las pequeñas oscilaciones ), el análisis basado en la acción de un tipo de perturbaciones resulta incorrecto; hay que tener en cuenta el efecto simultáneo de dos tipos de perturbaciones.

Dos perturbaciones

Consideremos una era larga, durante la cual dos de las funciones a , b , c (sean a y b ) sufren pequeñas oscilaciones mientras que la tercera función ( c ) disminuye monótonamente. Esta última función rápidamente se vuelve pequeña; Considere la solución justo en la región donde se puede ignorar c en comparación con a y b . Los cálculos se realizan primero para el modelo espacial Tipo IX sustituyendo en consecuencia λ = μ = ν = 1. ^[43]

Después de ignorar la función c , las primeras 2 ecuaciones eq. 26 dar

y ec. 28 se puede utilizar como tercera ecuación, que toma la forma

La solución de la ec. 44 está escrito en la forma

${\displaystyle \alpha +\beta ={\frac {2a_{0}^{2}}{\xi _{0}}}\left(\tau -\tau _{0}\right)+2\ln a_{0},}$

donde α ₀ , ξ ₀ son constantes positivas y τ ₀ es el límite superior de la era para la variable τ. Es conveniente introducir más una nueva variable (en lugar de τ)

Entonces

Ecuaciones ec. 45 y ec. 46 se transforman introduciendo la variable χ = α − β:

La disminución de τ de τ ₀ a −∞ corresponde a una disminución de ξ de ξ ₀ a 0. La era larga con a y b cercanas (es decir, con χ pequeña), considerada aquí, se obtiene si ξ ₀ es muy grande. cantidad. De hecho, en general ξ la solución de la ecuación. 49 en primera aproximación por 1/ξ es

donde A es constante; el multiplicador hace que χ sea una cantidad pequeña, por lo que puede sustituirse en la ecuación. 49 por sh 2χ ≈ 2χ. ^{[nota 11]} ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {\xi }}}}$

De la ecuación. 50 se obtiene

${\displaystyle \gamma _{\xi }={\frac {1}{4}}\xi \left(2\chi _{\xi }^{2}+\chi ^{2}\right)=A^{2},\ \gamma =A^{2}\left(\xi -\xi _{0}\right)+\mathrm {const} .}$

Después de determinar α y β a partir de la ecuación. 48 y ec. 51 y expandiendo e ^α y e ^β en serie según la aproximación anterior, se obtiene finalmente: ^{[nota 12]}

La relación entre la variable ξ y el tiempo t se obtiene integrando la definición dt = abc d τ lo que da

La constante c ₀ (el valor de с en ξ = ξ ₀ ) debería ser ahora c ₀ α ₀ · ${\displaystyle \ll }$

Espacio Bianchi tipo VIII (abierto) sometido a una dinámica caótica BKL (Mixmaster) cercana a la singularidad según las reglas eq. 35 con inicial . La singularidad está en el pellizco central de la superficie hiperboloide. ${\displaystyle u={\sqrt {13}}}$

Consideremos ahora el dominio ξ 1. Aquí los términos principales en la solución de la ecuación. 49 son: ${\displaystyle \ll }$

${\displaystyle \chi =\alpha -\beta =k\ln \xi +\mathrm {const} ,\,}$

donde k es una constante en el rango − 1 < k < 1; esta condición asegura que el último término de la ecuación. 49 es pequeño (sh 2χ contiene ξ ^{2 k} y ξ ^{−2 k} ). Luego, después de determinar α, β y t , se obtiene

Este es nuevamente un modo de Kasner con la potencia t negativa presente en la función c ( t ). ^{[nota 13]}

Estos resultados muestran una evolución cualitativamente similar a la descrita anteriormente. Durante un largo período de tiempo que corresponde a un gran valor de ξ decreciente, las dos funciones a y b oscilan, permaneciendo cercanas en magnitud ; al mismo tiempo, ambas funciones a y b disminuyen lentamente ( ). El período de oscilaciones es constante por la variable ξ : Δξ = 2π (o, lo que es lo mismo, con un período constante por el tiempo logarítmico: Δ ln t = 2π Α ² ). La tercera función, c , disminuye monótonamente según una ley cercana a c = c ₀ t / t ₀ . ${\displaystyle {\tfrac {a-b}{a}}\sim {\tfrac {1}{\sqrt {\xi }}}}$ ${\displaystyle \sim {\sqrt {\xi }}}$

Esta evolución continúa hasta ξ ≈1 y las fórmulas eq. 52 y ec. 53 ya no son aplicables. Su duración de tiempo corresponde al cambio de t de t ₀ al valor t ₁ , relacionado con ξ ₀ según

La relación entre ξ y t durante este tiempo se puede presentar en la forma

Después de eso, como se ve en la ec. 55 , la función decreciente c comienza a aumentar mientras que las funciones a y b comienzan a disminuir. Esta época de Kasner continúa hasta los términos c ² / a ² b ² en la ec. 22 se convierten en ~ t ² y comienza una siguiente serie de oscilaciones.

La ley para el cambio de densidad durante la larga era que se analiza se obtiene sustituyendo la ecuación. 52 en la ecuación. 20 :

Cuando ξ cambia de ξ ₀ a ξ ≈1, la densidad aumenta veces. ${\displaystyle \xi _{0}^{2}}$

Hay que destacar que aunque la función c ( t ) cambia según una ley cercana a c ~ t , la ecuación métrica. 52 no corresponde a una métrica de Kasner con potencias (0, 0, 1). Este último corresponde a una solución exacta encontrada por Taub ^[47] que está permitida por las ecs. 26 – 27 y en el que

donde p , δ ₁ , δ ₂ son constantes. En la región asintótica τ → −∞, se puede obtener de aquí a = b = const, c = const. t después de la sustitución е ^рτ = t . En esta métrica, la singularidad en t = 0 no es física.

Describamos ahora el estudio análogo del modelo Tipo VIII, sustituyendo en las ecs. ecuaciones 26' –' 28 λ = −1, μ = ν = 1. ^[44]

Si durante la era larga, la función monótonamente decreciente es a , nada cambia en el análisis anterior: ignorando un ² en el lado derecho de las ecuaciones 26 y 28 , se vuelve a las mismas ecuaciones 49 y 50 (con notación alterada). Sin embargo, se producen algunos cambios si la función monótonamente decreciente es b o c ; que sea c .

Como antes, se tiene la ecuación 49 con los mismos símbolos y, por lo tanto, las expresiones anteriores eq. 52 para las funciones a (ξ) y b (ξ), pero la ecuación 50 se reemplaza por

El término principal en general ξ ahora se convierte en

${\displaystyle \gamma _{\xi }\approx {\frac {1}{8}}\xi \cdot 2,\quad \gamma \approx {\frac {1}{8}}\left(\xi ^{2}-\xi _{0}^{2}\right),}$

de modo que

El valor de c en función del tiempo t es nuevamente c = c ₀ t / t ₀ pero la dependencia temporal de ξ cambia. La duración de una era larga depende de ξ ₀ según

Por otro lado, el valor ξ ₀ determina el número de oscilaciones de las funciones a y b durante una era (igual a ξ ₀ /2π). Dada la duración de una era en tiempo logarítmico (es decir, con una relación dada t ₀ / t ₁ ), el número de oscilaciones para el Tipo VIII será, en términos generales, menor que para el Tipo IX. Para el período de oscilaciones se obtiene ahora Δ ln t = πξ/2; a diferencia del Tipo IX, el período no es constante a lo largo de la era larga y disminuye lentamente junto con ξ.

El dominio de poca monta

Las eras largas violan el curso "regular" de la evolución, lo que dificulta el estudio de la evolución de intervalos de tiempo que abarcan varias eras. Se puede demostrar, sin embargo, que tales casos "anormales" aparecen en la evolución espontánea del modelo hasta un punto singular en tiempos asintóticamente pequeños t a distancias suficientemente grandes desde un punto inicial con condiciones iniciales arbitrarias. Incluso en épocas largas, ambas funciones oscilatorias durante las transiciones entre épocas de Kasner siguen siendo tan diferentes que la transición se produce bajo la influencia de una sola perturbación. Todos los resultados de esta sección se refieren por igual a los modelos de los tipos VIII y IX. ^[48]

Durante cada época de Kasner abc = Λ t , es decir α + β + γ = ln Λ + ln t . Al pasar de una época (con un valor dado del parámetro u ) a la siguiente época, la constante Λ se multiplica por 1 + 2 p ₁ = (1 – u + u ² )/(1 + u + u ² ) < 1. Por tanto, se produce una disminución sistemática de Λ. Pero es esencial que el valor medio (con respecto a las longitudes k de las eras) de toda la variación de ln Λ durante una era sea finito. En realidad, la divergencia del valor medio podría deberse sólo a un aumento demasiado rápido de esta variación al aumentar k . Para un valor grande del parámetro u , ln(1 + 2 p ₁ ) ≈ −2/ u . Para una k grande, el valor máximo u ^(max) = k + x ≈ k. Por tanto, toda la variación de ln Λ durante una era viene dada por una suma de la forma

${\displaystyle \sum \ln \left(1+2p_{1}\right)=\dots +{\frac {1}{k-2}}+{\frac {1}{k-1}}+{\frac {1}{k}}}$

con sólo los términos que corresponden a valores grandes de u escritos. Cuando k aumenta, esta suma aumenta como ln k . Pero la probabilidad de que aparezca una era de gran duración k disminuye como 1/ k ₂ según la ecuación. 76 ; por tanto, el valor medio de la suma anterior es finito. En consecuencia, la variación sistemática de la cantidad ln Λ a lo largo de un gran número de eras será proporcional a este número. Pero se ve en la ec. 85 que con t → 0 el número s aumenta simplemente cuando ln |ln t |. Por lo tanto, en el límite asintótico de t arbitrariamente pequeño , el término ln Λ puede de hecho despreciarse en comparación con ln t . En esta aproximación ^{[nota 14]}

donde Ω denota el "tiempo logarítmico"

y el proceso de transiciones de época puede considerarse como una serie de breves destellos de tiempo. Las magnitudes de los máximos de las funciones de escala oscilante también están sujetas a una variación sistemática. De la ecuación. 39 para u ≫ 1 se sigue que . De la misma manera que se hizo anteriormente para la cantidad ln Λ, se puede deducir que la disminución media en la altura de los máximos durante una era es finita y la disminución total durante un gran número de eras aumenta con t → 0 simplemente como en Ω. Al mismo tiempo, la disminución de los mínimos, y por la misma razón el aumento de la amplitud de las oscilaciones, proceden ( ec. 77 ) proporcionalmente a Ω. En correspondencia con la aproximación adoptada, la disminución de los máximos se desprecia en comparación con el aumento de las amplitudes, por lo que α _max = 0, β _max = 0, γ _max = 0 para los valores máximos de todas las funciones oscilantes y las cantidades α, β , γ pasa sólo por valores negativos que están conectados entre sí en cada instante de tiempo por la relación eq. 63 . ${\displaystyle a_{\max }^{\prime }-a_{\max }\approx -1/2u}$

Variación de α, β y γ en función del tiempo logarítmico Ω durante una era. Las líneas discontinuas verticales denotan alteraciones de las épocas de Kasner, correspondientes a los segmentos lineales de las curvas. En la parte superior se indican los valores del parámetro u que determinan los exponentes de Kasner. La última época tiene una duración mayor si x es pequeña. En la primera época de la siguiente era, γ comienza a aumentar y α se convierte en una función monótonamente decreciente.

Considerando un cambio tan instantáneo de épocas, los períodos de transición se ignoran como pequeños en comparación con la duración de la época; esta condición se cumple realmente. ^{[nota 15]} La sustitución de los máximos α, β y γ por ceros requiere que las cantidades ln (| p ₁ |Λ) sean pequeñas en comparación con las amplitudes de oscilaciones de las funciones respectivas. Como se mencionó anteriormente, durante las transiciones entre épocas | página ₁ | Los valores pueden llegar a ser muy pequeños mientras su magnitud y probabilidad de ocurrencia no estén relacionadas con las amplitudes de oscilación en el momento respectivo. Por tanto, en principio, es posible llegar a niveles tan pequeños | página ₁ | valores que se viola la condición anterior (máximo cero). Una caída tan drástica de α _max puede conducir a varias situaciones especiales en las que la transición entre épocas de Kasner por la regla eq. 37 se vuelve incorrecto (incluidas las situaciones descritas anteriormente). Estas situaciones "peligrosas" podrían violar las leyes utilizadas para el análisis estadístico siguiente. Sin embargo, como se mencionó, la probabilidad de tales desviaciones converge asintóticamente a cero; este tema se discutirá a continuación.

Considere una era que contiene k épocas de Kasner con un parámetro u que recorre los valores

y sean α y β las funciones oscilantes durante esta era (Fig. 4). ^{[nota 16]}

Los momentos iniciales de las épocas de Kasner con parámetros u _n son Ω _n . En cada momento inicial, uno de los valores α o β es cero, mientras que el otro tiene un mínimo. Los valores α o β en mínimos consecutivos, es decir, en momentos Ω _n son

(sin distinguir mínimos α y β). Los valores δ _n que miden esos mínimos en las respectivas unidades Ω _n pueden oscilar entre 0 y 1. La función γ disminuye monótonamente durante esta era; según la ecuación. 63 su valor en el momento Ω _n es

Durante la época que comienza en el momento Ω _n y termina en el momento Ω _{n +1} una de las funciones α o β aumenta de −δ _n Ω _n a cero mientras que la otra disminuye de 0 a −δ _{n +1} Ω _{n +1} por lineal leyes, respectivamente:

${\displaystyle \mathrm {const} +|p_{1}(u_{n})|\Omega \,}$y ${\displaystyle \mathrm {const} -p_{2}(u_{n})\Omega \,}$

resultando en la relación de recurrencia

y para la longitud de época logarítmica

donde, para abreviar, f ( u ) = 1 + u + u ² . La suma de n longitudes de época se obtiene mediante la fórmula

Se puede ver a partir de la ec. 68 que |α _n+1 | > |α _n |, es decir, las amplitudes de oscilación de las funciones α y β aumentan durante toda la era aunque los factores δ _n pueden ser pequeños. Si el mínimo al comienzo de una era es profundo, los mínimos siguientes no serán menos profundos; en otras palabras, el residuo |α — β| en el momento de la transición entre las épocas de Kasner sigue siendo grande. Esta afirmación no depende de la duración de la era k porque las transiciones entre épocas están determinadas por la regla común eq. 37 también para épocas largas.

La última amplitud de oscilación de las funciones α o β en una era determinada está relacionada con la amplitud de la primera oscilación por la relación |α _{k −1} | = |α ₀ | ( k + x ) / (1 + x ). Incluso en k ' s tan pequeños como varias unidades, x puede ignorarse en comparación con k, de modo que el aumento de las amplitudes de oscilación α y β se vuelve proporcional a la duración de la era. Para las funciones a = e ^α y b = e ^β esto significa que si la amplitud de sus oscilaciones al comienzo de una era era A ₀ , al final de esta era la amplitud será . ${\displaystyle A_{0}^{k/(1+x)}}$

La duración de las épocas de Kasner (en tiempo logarítmico) también aumenta dentro de una era determinada; es fácil de calcular a partir de la ec. 69 que Δ _{n +1} > Δ _n . ^{[nota 17]} La ​​duración total de la era es

(el término con 1/ x surge de la última época, k -ésima, cuya longitud es grande en x pequeño ; cf. Fig. 2). El momento Ω _n cuando termina la k -ésima época de una era determinada es al mismo tiempo el momento Ω' ₀ del comienzo de la siguiente era.

En la primera época de Kasner de la nueva era, la función γ es la primera en elevarse desde el valor mínimo γ _k = − Ω _k (1 − δ _k ) que alcanzó en la era anterior; este valor desempeña el papel de amplitud inicial δ' ₀ Ω' ₀ para la nueva serie de oscilaciones. Se obtiene fácilmente que:

Es obvio que δ' ₀ Ω' ₀ > δ ₀ Ω ₀ . Incluso con k no muy grande, el aumento de amplitud es muy significativo: la función c = e ^γ comienza a oscilar a partir de la amplitud . Por ahora se deja de lado la cuestión de los casos "peligrosos" antes mencionados de reducción drástica del límite superior de oscilación. ${\displaystyle A_{0}'\sim A_{0}^{k^{2}}}$

Según la ecuación. 40 el aumento en la densidad de la materia durante las primeras ( k − 1) épocas viene dado por la fórmula

${\displaystyle \ln \left({\frac {\varepsilon _{n+1}}{\varepsilon _{n}}}\right)=2\left[1-p_{3}(u_{n})\right]\Delta _{n+1}.}$

Para la última k época de una era determinada, en u = x < 1, la mayor potencia es p ₂ ( x ) (no p ₃ ( x )). Por lo tanto, para el aumento de densidad a lo largo de toda la era se obtiene

Por lo tanto, incluso con valores de k no muy grandes , . Durante la próxima era (con una longitud k ' ) la densidad aumentará más rápido debido al aumento de la amplitud inicial A ₀ ': , etc. Estas fórmulas ilustran el fuerte aumento en la densidad de la materia. ${\displaystyle \varepsilon _{0}'/\varepsilon _{0}\sim A_{0}^{2k}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}''/\varepsilon _{0}'\sim A_{0}'^{2k''}\sim A_{0}^{2k^{2}k'}}$

Análisis estadístico cerca de la singularidad.

La secuencia de longitudes de era k ^{( s )} , medida por el número de épocas de Kasner contenidas en ellas, adquiere asintóticamente el carácter de un proceso aleatorio. Lo mismo se aplica también a la secuencia de los intercambios de los pares de funciones oscilantes al pasar de una época a la siguiente (depende de si los números k ^{( s )} son pares o impares). Una fuente de esta estocasticidad son las ecuaciones de regla. 41 – 42 según el cual la transición de una era a la siguiente se determina en una secuencia numérica infinita de valores u . Esta regla establece, en otras palabras, que si toda la secuencia infinita comienza con un cierto valor inicial , entonces las longitudes de las eras k ⁽⁰⁾ , k ⁽¹⁾ ,..., son los números en la expansión fraccionaria continua. ${\displaystyle u_{\max }^{(0)}=k^{(0)}+x^{(0)}}$

Esta expansión corresponde a la transformación cartográfica del intervalo [0, 1] sobre sí mismo mediante la fórmula Tx = {1/ x }, es decir, x _{s +1} = {1/ x _s }. Esta transformación pertenece a las llamadas transformaciones expansivas del intervalo [0, 1], es decir, transformaciones x → f ( x ) con | f′ ( x )| > 1. Tales transformaciones poseen la propiedad de inestabilidad exponencial: si tomamos inicialmente dos puntos cercanos, su distancia mutua aumenta exponencialmente bajo las iteraciones de las transformaciones. Es bien sabido que la inestabilidad exponencial conduce a la aparición de fuertes propiedades estocásticas.

Es posible pasar a una descripción probabilística de tal secuencia considerando no un valor inicial definido x ⁽⁰⁾ sino los valores x ⁽⁰⁾ = x distribuidos en el intervalo de 0 a 1 de acuerdo con una cierta ley distributiva probabilística. w ₀ ( x ). Entonces los valores de x ^(s) que terminan cada era también tendrán distribuciones que siguen ciertas leyes w _s (x) . Sea w _s (x)dx la probabilidad de que la s -ésima era termine con el valor que se encuentra en un intervalo específico dx . ${\displaystyle u_{\max }^{(s)}=x}$

El valor x ^(s) = x , que termina la s -ésima era, puede resultar de valores iniciales (para esta era) , donde k = 1, 2, ...; estos valores de corresponden a los valores x ^{( s –1)} = 1/( k + x ) de la época anterior. Teniendo esto en cuenta, se puede escribir la siguiente relación de recurrencia, que expresa la distribución de las probabilidades w _s (x) en términos de la distribución w _{s –1} ( x ): ${\displaystyle u_{\max }^{(s)}=x+k}$ ${\displaystyle u_{\max }^{(s)}}$

${\displaystyle w_{s}(x)dx=\sum _{k=1}^{\infty }w_{s-1}\left({\frac {1}{k+x}}\right)\left\vert d{\frac {1}{k+x}}\right\vert }$

o

Si la distribución w _s ( x ) tiende al aumentar s a una distribución limitante estacionaria (independiente de s ) w ( x ), entonces esta última debería satisfacer una ecuación obtenida de la ecuación. 73c eliminando los índices de las funciones w _{s −1} ( x ) y w _s ( x ). Esta ecuación tiene solución.

(normalizado a la unidad y llevado al primer orden de x ). ^{[nota 18]}

Para que la s -ésima era tenga una longitud k , la era anterior debe terminar con un número x en el intervalo entre 1/( k + 1) y 1/ k . Por tanto, la probabilidad de que la era tenga una longitud k es igual a (en el límite estacionario)

En valores grandes de k

Al relacionar las propiedades estadísticas del modelo cosmológico con las propiedades ergódicas de la transformación x _{s +1} = {1/ x _s } se debe mencionar un punto importante. En una secuencia infinita de números x construida de acuerdo con esta regla, se observarán valores de x arbitrariamente pequeños (pero nunca desaparecidos) correspondientes a longitudes k arbitrariamente grandes. Tales casos pueden (¡no necesariamente!) dar lugar a ciertas situaciones específicas cuando la noción de eras, como de secuencias de épocas de Kasner que se intercambian entre sí según la regla eq. 37 , pierde su significado (aunque aún persiste el modo oscilatorio de evolución del modelo). Una situación tan "anómala" puede manifestarse, por ejemplo, en la necesidad de retener en el lado derecho de la ecuación. 26 términos no sólo con una de las funciones a , b , c (digamos, a ⁴ ), como es el caso en el intercambio "regular" de las épocas de Kasner, sino simultáneamente con dos de ellas (digamos, a ⁴ , b ⁴ , a ² b ² ).

Al salir de una serie "anómala" de oscilaciones se restablece una sucesión de eras regulares. Análisis estadístico del comportamiento del modelo que se basa enteramente en iteraciones regulares de las transformaciones eq. 42 se ve corroborado por un teorema importante: la probabilidad de aparición de casos anómalos tiende asintóticamente a cero como el número de iteraciones s → ∞ (es decir, el tiempo t → 0) que se demuestra al final de esta sección. La validez de esta afirmación se debe en gran medida a una tasa muy rápida de aumento de las amplitudes de oscilación durante cada era y especialmente en la transición de una era a la siguiente.

Sin embargo, el proceso de relajación del modelo cosmológico al régimen estadístico "estacionario" (con t → 0 a partir de un "instante inicial" dado) es menos interesante que las propiedades de este régimen en sí, teniendo debidamente en cuenta las condiciones concretas. leyes de la variación de las características físicas del modelo durante las sucesivas eras.

Una idea de la velocidad a la que se establece la distribución estacionaria se obtiene del siguiente ejemplo. Sean los valores iniciales x ⁽⁰⁾ distribuidos en un intervalo estrecho de ancho δ x ⁽⁰⁾ alrededor de algún número definido. De la relación de recurrencia eq. 73c (o directamente de la ecuación de expansión 73a ) es fácil concluir que los anchos de las distribuciones w _s ( x ) (sobre otros números definidos) serán entonces iguales a

(esta expresión es válida sólo mientras defina cantidades δ x ^(s) ≪ 1).

El valor medio , calculado a partir de esta distribución, diverge logarítmicamente. Para una secuencia, cortada en un número N muy grande, pero aún finito , se tiene . La utilidad de la media en este caso es muy limitada debido a su inestabilidad: debido a la lenta disminución de W ( k ), las fluctuaciones en k divergen más rápido que su media. Una característica más adecuada de esta secuencia es la probabilidad de que un número elegido al azar pertenezca a una era de longitud K donde K es grande. Esta probabilidad es ln K / ln N . Es pequeño si . En este sentido, se puede decir que un número elegido al azar de la secuencia dada pertenece con una alta probabilidad a la era larga. ${\displaystyle {\bar {k}}}$ ${\displaystyle {\bar {k}}\sim \ln N}$ ${\displaystyle 1\ll K\ll N}$

Es conveniente promediar expresiones que dependen simultáneamente de k ^{( s )} y x ^{( s )} . Dado que ambas cantidades se derivan de la misma cantidad x ^{( s –1)} (que termina la era anterior), de acuerdo con la fórmula k ^{( s )} + x ^{( s )} = 1/ x ^{( s –1 )} , su estadística Las distribuciones no pueden considerarse independientes. La distribución conjunta W _s ( k , x ) dx de ambas cantidades se puede obtener a partir de la distribución w _{s –1} ( x ) dx haciendo en esta última la sustitución x → 1/( x + k ). En otras palabras, la función W _s ( k , x ) viene dada por la misma expresión bajo el signo de suma en el lado derecho de la ecuación. 73c . En el límite estacionario, tomando w de la ecuación. 74 , se obtiene

La suma de esta distribución sobre k nos devuelve a la ecuación. 74 , y la integración con respecto a dx a la ecuación. 75 .

Las fórmulas recurrentes que definen las transiciones entre eras se reescriben con índices que numeran las eras sucesivas (¡no las épocas de Kasner en una era determinada!), comenzando desde alguna era ( s = 0) definida como inicial. Ω ^{( s )} y ε ^{( s )} son, respectivamente, el momento inicial y la densidad de materia inicial en la s -ésima era; δ ^{( s )} Ω ^{( s )} es la amplitud de oscilación inicial de ese par de funciones α, β, γ, que oscila en la era dada: k ^{( s )} es la longitud de la s -ésima era, y x ^{( s )} determina la duración (número de épocas de Kasner) de la siguiente era según k ^{( s +1)} = [1/ x ^{( s )} ]. Según las ecs. 71 – 73

(ξ ^{( s )} se introduce en la ecuación 77 para usarse más adelante).

Las cantidades δ ^{( s )} tienen una distribución estadística estacionaria estable P (δ) y un valor medio estable (pequeñas fluctuaciones relativas). Para su determinación, KL ^[48] en coautoría con Ilya Lifshitz , el hermano de Evgeny Lifshitz, utilizó (con las debidas reservas) un método aproximado basado en el supuesto de independencia estadística de la cantidad aleatoria δ ^{( s )} y de las cantidades aleatorias k ^{( s )} , x ^{( s )} . Para la función P (δ) se estableció una ecuación integral que expresaba el hecho de que las cantidades δ ^{( s +1)} y δ ^{( s )} interconectadas por la relación eq. 78 tienen la misma distribución; esta ecuación se resolvió numéricamente. En un trabajo posterior, Khalatnikov et al. ^[49] demostraron que la distribución P (δ) en realidad se puede encontrar exactamente mediante un método analítico (ver Fig. 5 ).

Para las propiedades estadísticas en el límite estacionario, es razonable introducir la llamada extensión natural de la transformación Tx = {1/ x } continuándola sin límite a índices negativos. Dicho de otra manera, se trata de una transición de una secuencia infinita unilateral de números ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , ...), conectada por las igualdades Tx = {1/ x }, a una "doblemente infinita" secuencia X = (..., x ₋₁ , x ₀ , x ₁ , x ₂ , ...) de los números que están conectados por las mismas igualdades para todos –∞ < s < ∞. Por supuesto, tal expansión no es única en el significado literal de la palabra (ya que x _{s –1} no está determinada únicamente por x _s ), pero todas las propiedades estadísticas de la secuencia extendida son uniformes en toda su longitud, es decir, son invariantes con con respecto al cambio arbitrario (y x ₀ pierde su significado de condición "inicial"). La secuencia X es equivalente a una secuencia de números enteros K = (..., k ₋₁ , k ₀ , k ₁ , k ₂ , ...), construida mediante la regla k _s = [1/ x _{s –1} ] . Inversamente, todo número de X está determinado por los números enteros de K como una fracción continua infinita.

(La conveniencia de introducir la notación con un índice desplazado en 1 quedará clara a continuación). Para una notación concisa, la fracción continua se denota simplemente mediante la enumeración (entre corchetes) de sus denominadores; entonces la definición de se puede escribir como ${\displaystyle x_{s+1}^{+}}$ ${\displaystyle x_{s}^{+}}$

Las cantidades inversas se definen mediante una fracción continua con una secuencia de denominadores retrógrada (en la dirección de índices decrecientes)

La relación de recurrencia eq. 78 se transforma introduciendo temporalmente la notación η _s = (1 − δ _s )/δ _s . Entonces la ecuación. 78 se puede reescribir como

${\displaystyle \eta _{s+1}={\frac {1}{\eta _{s}x_{s-1}+k_{s}}}}$

Por iteración se obtiene una fracción continua infinita

${\displaystyle \eta _{s+1}x_{s}=\left[k_{s},k_{s-1},\dots \right]=x_{s+1}^{-}}$

De ahí y finalmente ${\displaystyle \eta _{s}=x_{s}^{-}/x_{s}^{+}}$

Esta expresión para δ _s contiene sólo dos (en lugar de las tres en ^[48] ) cantidades aleatorias y , cada una de las cuales asume valores en el intervalo [0, 1]. ${\displaystyle x_{s}^{+}}$ ${\displaystyle x_{s}^{-}}$

Se deduce de la definición eq. 79c eso . Por lo tanto, el desplazamiento de toda la secuencia X un paso hacia la derecha significa una transformación conjunta de las cantidades y de acuerdo con ${\displaystyle 1/x_{s}^{-}=x_{s}^{-}+k_{s}=x_{s}^{-}+\left[1/x_{s}^{+}\right]}$ ${\displaystyle x_{s}^{+}}$ ${\displaystyle x_{s}^{-}}$

Este es un mapeo uno a uno en el cuadrado unitario . Por lo tanto, ahora tenemos una transformación uno a uno de dos cantidades en lugar de una transformación no uno a uno Tx = {1/ x } de una cantidad.

Las cantidades y tienen una distribución estacionaria conjunta P ( x ⁺ , x ⁻ ). Desde la ecuación. 79e es una transformación uno a uno, la condición para que la distribución sea estacionaria se expresa simplemente mediante una ecuación funcional ${\displaystyle x_{s}^{+}}$ ${\displaystyle x_{s}^{-}}$

donde J es el jacobiano de la transformación.

Un desplazamiento de la secuencia X en un paso da lugar a la siguiente transformación T del cuadrado unitario:

${\displaystyle x^{\prime }={\frac {1}{x}},\quad y^{\prime }={\frac {1}{{\frac {1}{x}}+y}}}$

(con , , cf. ecuación 79e ). La densidad P ( x , y ) define la medida invariante para esta transformación. Es natural suponer que P ( x , y ) es una función simétrica de xey . Esto significa que la medida es invariante con respecto a la transformación S ( x , y ) = ( y , x ) y por tanto con respecto al producto ST con ST ( x , y ) = ( x″ , y″ ) y ${\displaystyle x\equiv x_{0}^{+}}$ ${\displaystyle y\equiv x_{0}^{-}}$

${\displaystyle x''={\frac {1}{{\frac {1}{x}}+y}},\quad y''={\frac {1}{x}}}$

Evidentemente ST tiene una primera integral H = 1/ x + y . En la recta H = const ≡ c la transformación tiene la forma

${\displaystyle {\frac {1}{x''}}=\left[{\frac {1}{x}}\right]+y=\left[{\frac {1}{x}}\right]+c-{\frac {1}{x}}=c-\left\{{\frac {1}{x}}\right\}}$

Por lo tanto, la densidad de medida invariante de ST debe ser de la forma

${\displaystyle f(c)\ dc\ d{\frac {1}{x}}=f\left({\frac {1}{x}}+y\right){\frac {1}{x^{2}}}dx\ dy}$

Teniendo en cuenta la simetría P ( x , y ) = P ( y , x ), esto se convierte en f ( c ) = c ⁻² y por lo tanto (después de la normalización)

(su integración sobre x ⁺ o x ^– produce la función w ( x ) ecuación 74 ). Chernoff y Barrow ^[50] ya utilizaron la reducción de la transformación a mapeo uno a uno y obtuvieron una fórmula de la forma de la ecuación. 79g pero para otras variables; su artículo no contiene aplicaciones a los problemas considerados en Khalatnikov et al. ^[49]

La corrección de la ec. 79 g se verificarán también mediante cálculo directo; el jacobiano de la transformación eq. 79e es

${\displaystyle J={\frac {\partial \left(x_{s+1}^{+},x_{s+1}^{-}\right)}{\partial \left(x_{s}^{+},x_{s}^{-}\right)}}={\frac {\partial x_{s+1}^{+}}{\partial x_{s}^{+}}}{\frac {\partial x_{s+1}^{-}}{\partial x_{s}^{-}}}=\left({\frac {x_{s+1}^{+}}{x_{s}^{+}}}\right)^{2}}$

(en su cálculo hay que tener en cuenta que ). ${\displaystyle \left[1/x_{s}^{+}\right]+\left\{1/x_{s}^{+}\right\}=1/x_{s}^{+}}$

La función de distribución de probabilidad P (δ). Línea roja: función exacta eq. 79h . Línea azul: solución aproximada de la ecuación integral en. ^[48] Ambas curvas parecen ser sorprendentemente similares y las medias de ambas distribuciones son 0,50. ^{[nota 19]}

Dado que por la ecuación. 79d δ _s se expresa en términos de las cantidades aleatorias x ⁺ y x ⁻ , el conocimiento de su distribución conjunta permite calcular la distribución estadística P (δ) integrando P ( x ⁺ , x ⁻ ) sobre una de las variables a un valor constante de δ. Debido a la simetría de la función eq. 79g con respecto a las variables x ⁺ y x ⁻ , P (δ) = P (1 − δ), es decir, la función P (δ) es simétrica con respecto al punto δ = 1/2. Entonces

${\displaystyle P(\delta )\ d\delta =d\delta \int _{0}^{1}P\left(x^{+},{\frac {x^{+}\delta }{1-\delta }}\right)\left({\frac {\partial x^{-}}{\partial \delta }}\right)_{x^{+}}dx^{+}}$

Al evaluar esta integral (para 0 ≤ δ ≤ 1/2 y luego hacer uso de la simetría antes mencionada), finalmente

El valor medio = 1/2 ya se debe a la simetría de la función P (δ). Así, el valor medio de la amplitud inicial (en cada época) de las oscilaciones de las funciones α, β, γ aumenta a medida que Ω/2. ${\displaystyle {\bar {\delta }}}$

La relación estadística entre grandes intervalos de tiempo Ω y el número de eras contenidas en ellos se encuentra mediante la aplicación repetida de la ecuación. 77 :

Sin embargo, el promedio directo de esta ecuación no tiene sentido: debido a la lenta disminución de la función W ( k ) eq. 76 , los valores promedio de la cantidad exp ξ ^{( s )} son inestables en el sentido anterior: las fluctuaciones aumentan incluso más rápidamente que el valor medio mismo a medida que aumenta la región del promedio. Esta inestabilidad se elimina tomando el logaritmo: el intervalo de tiempo "doblemente logarítmico"

se expresa por la suma de cantidades ξ ^{( p )} que tienen una distribución estadística estable. El valor medio de τ es . Para calcular tenga en cuenta que la ec. 77 se puede reescribir como ${\displaystyle {\bar {\tau }}=s{\bar {\xi }}}$ ${\displaystyle {\bar {\xi }}}$

Para la distribución estacionaria , y en virtud de la simetría de la función P (δ) también . Por eso ${\displaystyle {\overline {\ln x_{s}}}={\overline {\ln x_{s-1}}}}$ ${\displaystyle {\overline {\ln \delta _{s}}}={\overline {\ln \left(\delta _{s+1}\right)}}}$

${\displaystyle {\bar {\xi }}=-2{\overline {\ln x}}=-2\int _{0}^{1}w(x)\ln x\ dx={\frac {\pi ^{2}}{6\ln 2}}=2.37}$

( w ( x ) de la ecuación 74 ). De este modo

que determina el intervalo de tiempo medio doblemente logarítmico que contiene s eras sucesivas.

Para s grandes , el número de términos en la suma eq. 81 es grande y según los teoremas generales de la teoría ergódica los valores de τ _s se distribuyen según la ley de Gauss con la densidad ${\displaystyle {\overline {\tau _{s}}}}$

El cálculo de la varianza D _τ es más complicado ya que no sólo se necesita el conocimiento de y sino también de las correlaciones . El cálculo se puede simplificar reordenando los términos en la suma eq. 81 . Usando la ecuación. 81a la suma se puede reescribir como ${\displaystyle {\bar {\xi }}}$ ${\displaystyle {\overline {\xi ^{2}}}}$ ${\displaystyle {\overline {\xi _{p}\xi _{p\prime }}}}$

${\displaystyle \sum _{p=1}^{s}\xi _{p}=\ln \prod _{p=1}^{s}{\frac {\delta _{p}}{\left(1-\delta _{p+1}\right)x_{p}x_{p-1}}}=\ln \prod _{p=1}^{s}{\frac {\delta _{p}}{\left(1-\delta _{p}\right)x_{p-1}^{2}}}+\ln {\frac {x_{0}}{x_{s}}}+\ln {\frac {1-\delta _{1}}{1-\delta _{s+1}}}}$

Los dos últimos términos no aumentan al aumentar s ; Estos términos se pueden omitir ya que dominan las leyes limitantes para s grandes. Entonces

( se tiene en cuenta la expresión eq. 79d para δ _p ). Con la misma precisión (es decir, hasta los términos que no aumentan con s ) la igualdad

es válida. De hecho, en virtud de la ec. 79e

${\displaystyle x_{p+1}^{+}+{\frac {1}{x_{p+1}^{-}}}={\frac {1}{x_{p}^{+}}}+x_{p}^{-}}$

y por lo tanto

${\displaystyle \ln \left(1+x_{p+1}^{+}x_{p+1}^{-}\right)-\ln x_{p+1}^{-}=\ln \left(1+x_{p}^{+}x_{p}^{-}\right)-\ln x_{p}^{+}}$

Sumando esta identidad sobre p eq. Se obtiene 82c . Finalmente, nuevamente con la misma precisión se cambia x _p bajo el signo de suma y así se representa τ _s como ${\displaystyle x_{p}^{+}}$

La varianza de esta suma en el límite de s grande es

Se tiene en cuenta que en virtud de la homogeneidad estadística de la secuencia X las correlaciones dependen únicamente de las diferencias | pag − pag ′|. El valor medio ; el cuadrado medio ${\displaystyle {\overline {\eta _{p}\eta _{p\prime }}}}$ ${\displaystyle {\bar {\eta }}={\bar {\xi }}}$

${\displaystyle {\overline {\eta ^{2}}}=4\int _{0}^{1}w(x)\ln ^{2}x\ dx={\frac {6\xi (3)}{\ln 2}}=10.40}$

Teniendo en cuenta también los valores de las correlaciones con p = 1, 2, 3 (calculados numéricamente) se obtiene el resultado final D _{τ s} = (3,5 ± 0,1) s . ${\displaystyle {\overline {\eta _{0}\eta _{p}}}}$

Al aumentar s, la fluctuación relativa tiende a cero cuando s ^−1/2 . En otras palabras, la relación estadística eq. 82 se vuelve casi seguro en general s . Esto permite invertir la relación, es decir, representarla como la dependencia del número medio de eras s _τ que se intercambian en un intervalo dado τ del tiempo doble logarítmico: ${\displaystyle D_{{\tau }_{s}}/{\overline {\tau _{s}}}}$

La distribución estadística de los valores exactos de s _τ alrededor de su promedio también es gaussiana con la varianza

${\displaystyle D_{s_{\tau }}=3.5{\frac {{\overline {s_{\tau }}}^{3}}{\tau ^{2}}}=0.26\tau }$

La distribución estadística respectiva viene dada por la misma distribución gaussiana en la que la variable aleatoria ahora es s _τ en un τ dado:

Desde este punto de vista, la fuente del comportamiento estadístico es la arbitrariedad en la elección del punto de partida del intervalo τ superpuesto a la secuencia infinita de las eras intercambiantes.

Respecto a la densidad de la materia, eq. 79 se puede reescribir teniendo en cuenta la ecuación. 80 en la forma

${\displaystyle \ln \ln {\frac {\varepsilon ^{(s+1)}}{\varepsilon ^{(s)}}}=\eta _{s}+\sum _{p=0}^{s-1}\xi _{p},\quad \eta _{s}=\ln \left[2\delta ^{(s)}\left(k^{(s)}+x^{(s)}-1\right)\Omega ^{(0)}\right]}$

y luego, para el cambio total de energía durante las eras,

El término con la suma por p da la contribución principal a esta expresión porque contiene un exponente con una potencia grande. Dejando solo este término y promediando la ecuación. 87 , se obtiene en su lado derecho la expresión que coincide con la ec. 82 ; todos los demás términos de la suma (también términos con η _s en sus potencias) conducen sólo a correcciones de orden relativo 1/ s . Por lo tanto, ${\displaystyle s{\bar {\xi }}}$

En virtud del carácter casi seguro de la relación entre τ _s y s eq. 88 se puede escribir como

${\displaystyle {\overline {\ln \ln \left(\varepsilon _{\tau }/\varepsilon ^{(0)}\right)}}=\tau \quad {\text{or}}\quad {\overline {\ln \ln \left(\varepsilon ^{(s)}/\varepsilon ^{(0)}\right)}}=2.1s,}$

que determina el valor del doble logaritmo del aumento de densidad promediado por intervalos de tiempo doble-logarítmicos dados τ o por un número dado de eras s .

Estas relaciones estadísticas estables existen específicamente para intervalos de tiempo doblemente logarítmicos y para el aumento de densidad. Para otras características, por ejemplo, ln (ε ^{( s )} /ε ⁽⁰⁾ ) o Ω ^(s) / Ω ⁽⁰⁾ = exp τ _s, la fluctuación relativa aumenta exponencialmente con el aumento del rango de promedio, anulando así el término valor medio. de un significado estable.

El origen de la relación estadística eq. 88 ya se puede rastrear a partir de la ley inicial que gobierna la variación de la densidad durante las distintas épocas de Kasner. Según la ecuación. 21 , durante toda la evolución hemos

${\displaystyle \ln \ln \varepsilon (t)={\text{const}}+\ln \Omega +\ln 2(1-p_{3}(t)),}$

con 1 − p ₃ ( t ) cambiando de una época a otra, recorriendo valores en el intervalo de 0 a 1. El término ln Ω = ln ln (1/ t ) aumenta monótonamente; por otro lado, el término ln2(1 − p ₃ ) puede asumir valores grandes (comparables con ln Ω) sólo cuando aparecen valores de p ₃ muy cercanos a la unidad (es decir, muy pequeños | p ₁ |). Estos son precisamente los casos "peligrosos" que perturban el curso regular de la evolución expresado por las relaciones recurrentes eq. 77 – ecuación. 79 .

Queda por demostrar que tales casos en realidad no surgen en el régimen limitante asintótico. La evolución espontánea del modelo comienza en un instante determinado en el que se especifican de manera arbitraria condiciones iniciales definidas. En consecuencia, por "asintótico" se entiende un régimen suficientemente alejado del instante inicial elegido.

Los casos peligrosos son aquellos en los que al final de una era aparecen valores excesivamente pequeños del parámetro u = x (y por tanto también | p ₁ | ≈ x ). Un criterio para la selección de tales casos es la desigualdad.

donde | α ^{( s )} | es la profundidad mínima inicial de las funciones que oscilan en la era s (sería más apropiado elegir la amplitud final, pero eso solo fortalecería el criterio de selección).

El valor de x ⁽⁰⁾ en la primera era está determinado por las condiciones iniciales. Peligrosos son los valores en el intervalo δ x ⁽⁰⁾ ~ exp ( − |α ⁽⁰⁾ | ), y también en intervalos que podrían resultar en casos peligrosos en las próximas eras. Para que x ^{( s )} caiga en el intervalo peligroso δ x ^{( s )} ~ exp ( − | α ^{( s )} | ), el valor inicial x ⁽⁰⁾ debe estar en un intervalo de ancho δ x ⁽⁰⁾ ~ δ x ^{( s )} / k ^{(1)^2} ... k ^{( s )^2} . ^[51] Por lo tanto, a partir de un intervalo unitario de todos los valores posibles de x ⁽⁰⁾ , aparecerán casos peligrosos en las partes λ de este intervalo:

(la suma interna se toma sobre todos los valores k ⁽¹⁾ , k ⁽²⁾ , ... , k ^{( s )} de 1 a ∞). Es fácil demostrar que esta era converge al valor λ 1 cuyo orden de magnitud está determinado por el primer término de la ecuación. 90 . Esto se puede demostrar mediante una fuerte mayoría de la época por la que se sustituye | α ^{( s )} | = (s + 1) | α ⁽⁰⁾ |, independientemente de la duración de las eras k ⁽¹⁾ , k ⁽²⁾ , ... (De hecho | α ^{( s )} | aumenta mucho más rápido; incluso en el caso más desfavorable k ⁽¹⁾ = k ⁽²⁾ = ... = 1 valores de | α ^{( s )} | aumentan a medida que q ^s | α ( ⁰ ) | ${\displaystyle \ll }$

${\displaystyle \sum _{k}{\frac {1}{k^{(1)^{2}}k^{(2)^{2}}\dots k^{(s)^{2}}}}=\left(\pi ^{2}/6\right)^{s}}$

Se obtiene

${\displaystyle \lambda =\exp \left(\left|-\alpha ^{(0)}\right|\right)\sum _{s=0}^{\infty }\left[\left(\pi ^{2}/6\right)\exp \left(\left|-\alpha ^{(0)}\right|\right)\right]^{s}\approx \exp \left(\left|-\alpha ^{(0)}\right|\right).}$

Si el valor inicial de x ⁽⁰⁾ se encuentra fuera de la región peligrosa λ, no habrá casos peligrosos. Si se encuentra dentro de esta región se producen casos peligrosos, pero al finalizar el modelo reanuda una evolución "regular" con un nuevo valor inicial que sólo ocasionalmente (con una probabilidad λ) puede entrar en el intervalo peligroso. Se producen casos peligrosos repetidos con probabilidades λ ² , λ ³ , ... , que convergen asintóticamente a cero.

Solución general con pequeñas oscilaciones.

En los modelos anteriores, la evolución métrica cerca de la singularidad se estudia en el ejemplo de métricas espaciales homogéneas. De las características de esta evolución se desprende claramente que la construcción analítica de la solución general para una singularidad de tal tipo debe realizarse por separado para cada uno de los componentes básicos de la evolución: para las épocas de Kasner, para el proceso de transiciones entre épocas provocado por " perturbaciones", durante largas eras con dos perturbaciones actuando simultáneamente. Durante una época de Kasner (es decir, con pequeñas perturbaciones), la métrica viene dada por la ecuación. 7 sin la condición λ = 0.

BKL desarrolló además un modelo independiente de la distribución de la materia (homogéneo o no homogéneo) para períodos prolongados con pequeñas oscilaciones. La dependencia temporal de esta solución resulta muy similar a la del caso particular de modelos homogéneos; este último puede obtenerse del modelo independiente de la distribución mediante una elección especial de las funciones arbitrarias contenidas en él. ^[52]

Es conveniente, sin embargo, construir la solución general en un sistema de coordenadas algo diferente del sistema de referencia síncrono: g _0α = 0 como en el sistema síncrono, pero en lugar de g ₀₀ = 1 ahora es g ₀₀ = − g ₃₃ . Definiendo nuevamente el tensor métrico espacial γ _αβ = − g _αβ se tiene, por lo tanto

La coordenada espacial especial se escribe como x ³ = z y la coordenada temporal se escribe como x ⁰ = ξ (a diferencia del tiempo propio t ); Se demostrará que ξ corresponde a la misma variable definida en modelos homogéneos. La diferenciación por ξ y z se designa, respectivamente, por punto y primo. Los índices latinos a , b , c toman los valores 1, 2, correspondientes a las coordenadas espaciales x ¹ , x ² que también se escribirán como x , y . Por lo tanto, la métrica es

La solución requerida debe satisfacer las desigualdades.

(estas condiciones especifican que una de las funciones a ² , b ² , c ² es pequeña en comparación con las otras dos, lo que también ocurría con los modelos homogéneos).

Ec. de desigualdad . 94 significa que los componentes γ _{a 3} son pequeños en el sentido de que en cualquier relación de los desplazamientos dx ^a y dz , los términos con productos dx ^a dz pueden omitirse en el cuadrado del elemento de longitud espacial dl ² . Por lo tanto, la primera aproximación a una solución es una ecuación métrica. 92 con γ _{a 3} = 0: ^{[nota 20]}

Uno puede convencerse fácilmente calculando los componentes del tensor de Ricci , usando la ecuación métrica . 95 y la condición eq. 93 que todos los términos que contienen derivadas por coordenadas x ^a son pequeños en comparación con los términos con derivadas por ξ y z (su relación es ~ γ ₃₃ / γ _ab ). En otras palabras, para obtener las ecuaciones de aproximación principal, γ ₃₃ y γ _ab en la ec. 95 deben diferenciarse como si no dependieran de x ^a . Designando ${\displaystyle R_{0}^{0}}$ ${\displaystyle R_{3}^{0}}$ ${\displaystyle R_{3}^{3}}$ ${\displaystyle R_{a}^{b}}$

se obtienen las siguientes ecuaciones: ^{[nota 21]}

La subida y bajada del índice se realiza aquí con la ayuda de γ _ab . Las cantidades y λ son las contracciones y por lo que ${\displaystyle \varkappa }$ ${\displaystyle \varkappa _{a}^{a}}$ ${\displaystyle \lambda _{a}^{a}}$

En cuanto a los componentes del tensor de Ricci , según este cálculo son idénticamente cero. En la siguiente aproximación (es decir, teniendo en cuenta los pequeños γ _{a 3} y las derivadas por x , y ), determinan las cantidades γ _{a 3} por los ya conocidos γ ₃₃ y γ _ab . ${\displaystyle R_{a}^{0}}$ ${\displaystyle R_{a}^{3}}$

Contracción de la ec. 97 da , y, por tanto, ${\displaystyle G^{\prime \prime }+{\ddot {G}}=0}$

Son posibles diferentes casos dependiendo de la variable G. En el caso anterior g ⁰⁰ = γ ³³ γ ^ab y . El caso N > 0 (la cantidad N es temporal) conduce a singularidades temporales de interés. Sustituyendo en la ecuación. 101 f ₁ = 1/2 (ξ + z ) sen y , f ₂ = 1/2 (ξ − z ) sen y da como resultado G de tipo ${\displaystyle \gg }$ ${\displaystyle N\approx g^{00}\left({\dot {G}}\right)^{2}-\gamma ^{33}\left(G^{\prime }\right)^{2}=4\gamma ^{33}{\dot {f}}_{1}{\dot {f}}_{2}}$

Esta elección no disminuye la generalidad de las conclusiones; se puede demostrar que la generalidad es posible (en la primera aproximación) simplemente debido a las restantes transformaciones permisibles de variables. En N < 0 (la cantidad N es similar al espacio), se puede sustituir G = z , lo que generaliza la conocida métrica de Einstein-Rosen . ^[53] En N = 0 se llega a la métrica de onda de Robinson-Bondi ^[54] que depende sólo de ξ + z o sólo de ξ − z (cf. ^[55] ). El factor sen y en la ec. 102 se coloca para una comparación conveniente con modelos homogéneos. Teniendo en cuenta la ec. 102 , ecuaciones ec. 97 – ecuación. 99 convertirse

Las ecuaciones principales son la ec. 103 que define los componentes γ _ab ; entonces, la función ψ se encuentra mediante una simple integración de la ecuación. 104 – ecuación. 105 .

La variable ξ recorre los valores de 0 a ∞. La solución de la ec. 103 se considera en dos límites, ξ 1 y 1. Para valores de ξ grandes, se puede buscar una solución que tome la forma de una descomposición 1 / √ ξ : ${\displaystyle \gg }$ ${\displaystyle \ll }$

por lo cual

(La ecuación 107 necesita que la condición 102 sea verdadera). Sustituyendo la ecuación. 103 en la ecuación. 106 , se obtiene en primer orden

donde las cantidades a ^ac constituyen una matriz inversa a la matriz a _ac . La solución de la ec. 108 tiene la forma

donde l _a , m _a , ρ, son funciones arbitrarias de coordenadas x , y limitadas por la condición eq. 110 derivado de la ecuación. 107 .

Para encontrar términos superiores de esta descomposición, es conveniente escribir la matriz de cantidades requeridas γ _ab en la forma

donde el símbolo ~ significa transposición matricial. La matriz H es simétrica y su traza es cero. Ec. de presentación . 111 asegura la simetría de γ _ab y el cumplimiento de la condición eq. 102 . Si exp H se sustituye por 1, se obtiene de la ecuación. 111 γ _ab = ξ a _ab con a _ab de la ec. 109 . En otras palabras, el primer término de la descomposición γ _ab corresponde a H = 0; Los términos superiores se obtienen mediante descomposición en potencias de la matriz H cuyos componentes se consideran pequeños.

Los componentes independientes de la matriz H se escriben como σ y φ de modo que

Sustituyendo la ecuación. 111 en la ecuación. 103 y dejando solo términos lineales por H , se deriva para σ y φ

${\displaystyle {\ddot {\sigma }}+\xi ^{-1}{\dot {\sigma }}-\sigma ^{\prime \prime }=0,}$

Si se intenta encontrar una solución a estas ecuaciones como series de Fourier mediante la coordenada z , entonces para los coeficientes de la serie, en función de ξ, se obtienen las ecuaciones de Bessel. Los principales términos asintóticos de la solución en general ξ son ^{[nota 22]}

${\displaystyle \sigma ={\frac {1}{\sqrt {\xi }}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(A_{1n}e^{in\omega \xi }+B_{1n}e^{-in\omega \xi }\right)e^{in\omega z},}$

${\displaystyle \omega _{n}^{2}=n^{2}\omega ^{2}+4\rho ^{2}.}$

Los coeficientes A y B son funciones complejas arbitrarias de coordenadas x , y y satisfacen las condiciones necesarias para σ y φ reales; la frecuencia base ω es una función real arbitraria de x , y . Ahora a partir de la ec. 104 – ecuación. 105 es fácil obtener el primer término de la función ψ:

(este término desaparece si ρ = ​​0; en este caso el término mayor es el lineal para ξ de la descomposición: ψ = ξ q ( x , y ) donde q es una función positiva ^[56] ).

Por lo tanto, en valores grandes de ξ, los componentes del tensor métrico γ _ab oscilan al disminuir ξ en el contexto de una lenta disminución causada por el factor ξ decreciente en la ecuación. 111 . La componente γ ₃₃ = e ^ψ disminuye rápidamente según una ley cercana a exp (ρ ² ξ ² ); esto hace posible que la condición eq. 93 . ^{[nota 23]}

A continuación, BKL considere el caso ξ 1. La primera aproximación a una solución de la ecuación. 103 se obtiene asumiendo (confirmado por el resultado) que en estas ecuaciones los términos con derivadas por coordenadas pueden omitirse: ${\displaystyle \ll }$

Esta ecuación junto con la condición eq. 102 da

donde λ _a , μ _a , s ₁ , s ₂ son funciones arbitrarias de las 3 coordenadas x , y , z , que están relacionadas con otras condiciones

Ecuaciones ec. 104 – ecuación. 105 dar ahora

Las derivadas , calculadas por la ecuación. 118 , contienen términos ~ ξ ^{4 s ₁ − 2} y ~ ξ ^{4 s ₂ − 2,} mientras que los términos que quedan en la ecuación. 117 son ~ ξ ⁻² . Por tanto, la aplicación de la ec. 103 en lugar de la ecuación. 117 está permitido en las condiciones s ₁ > 0, s ₂ > 0; por tanto 1 − > 0. ${\displaystyle {\lambda _{a}^{b}}^{\prime }}$ ${\displaystyle s_{1}^{2}-s_{2}^{2}}$

Por lo tanto, en ξ pequeñas las oscilaciones de las funciones γ _ab cesan mientras que la función γ ₃₃ comienza a aumentar al disminuir ξ. Este es un modo Kasner y cuando se compara γ _{33 con γ ab} , la aproximación anterior no es aplicable.

Para comprobar la compatibilidad de este análisis, BKL estudió las ecuaciones = 0, = 0 y, calculando a partir de ellas las componentes γ _{a 3} , confirmó que la desigualdad eq. 94 tiene lugar. Este estudio ^[52] mostró que en ambas regiones asintóticas los componentes γ _{a 3} eran ~ γ ₃₃ . Por lo tanto, la corrección de la desigualdad eq. 93 implica inmediatamente la corrección de la desigualdad eq. 94 . ${\displaystyle R_{\alpha }^{0}}$ ${\displaystyle R_{\alpha }^{3}}$

Esta solución contiene, como debería ser para el caso general de un campo en el vacío, cuatro funciones arbitrarias de las tres coordenadas espaciales x , y , z . En la región ξ 1 estas funciones son, por ejemplo, λ ₁ , λ ₂ , μ ₁ , s ₁ . En la región ξ 1 las cuatro funciones están definidas por la serie de Fourier mediante la coordenada z de la ecuación. 115 con coeficientes que son funciones de x , y ; aunque la descomposición en series de Fourier (¿o integral?) caracteriza una clase especial de funciones, esta clase es lo suficientemente grande como para abarcar cualquier subconjunto finito del conjunto de todas las condiciones iniciales posibles. ${\displaystyle \ll }$ ${\displaystyle \gg }$

La solución contiene también otras funciones arbitrarias de las coordenadas x , y . Estas funciones arbitrarias bidimensionales aparecen, en términos generales, porque las relaciones entre funciones tridimensionales en las soluciones de las ecuaciones de Einstein son diferenciales (y no algebraicas), dejando de lado el problema más profundo sobre el significado geométrico de estas funciones. BKL no calculó el número de funciones bidimensionales independientes porque en este caso es difícil sacar conclusiones inequívocas ya que las funciones tridimensionales están definidas por un conjunto de funciones bidimensionales (cf. ^[52] para más detalles). ^{[nota 24]}

Finalmente, BKL continúa demostrando que la solución general contiene la solución particular obtenida anteriormente para modelos homogéneos.

Sustituyendo los vectores de base por el espacio homogéneo de Bianchi Tipo IX en la ecuación. 7 la métrica espacio-temporal de este modelo toma la forma

Cuando c ² a ² , b ² , se puede ignorar c ² en todas partes excepto en el término c ² dz ² . Para pasar del marco síncrono utilizado en la ecuación. 121 a un marco con condiciones eq. 91 , se realizan la transformación dt = cd ξ/2 y la sustitución z → z /2. Suponiendo también que χ ≡ ln ( a / b ) 1, se obtiene de la ecuación. 121 en la primera aproximación: ${\displaystyle \ll }$ ${\displaystyle \ll }$

De manera similar, con los vectores base del espacio homogéneo de Bianchi Tipo VIII, se obtiene

Según el análisis de espacios homogéneos anterior, en ambos casos ab = ξ (simplificando = ξ ₀ ) y χ proviene de la ecuación. 51 ; la función c (ξ) viene dada por las fórmulas eq. 53 y ec. 61 , respectivamente, para los modelos de Tipos IX y VIII. ${\displaystyle a_{0}^{2}}$

La métrica idéntica para el Tipo VIII se obtiene de la ecuación. 112 , ecuación. 115 , ecuación. 116 elegir vectores bidimensionales l _a y m _a en la forma

y sustituyendo

Para obtener la métrica del Tipo IX, se debe sustituir

(para el cálculo de c (ξ) la aproximación en la ecuación 116 no es suficiente y se calcula el término en ψ lineal por ξ ^[56] )

Este análisis se realizó para el espacio vacío. Incluir materia no hace que la solución sea menos general y no cambia sus características cualitativas. ^{[56] [52]}

Una limitación de gran importancia para la solución general es que todas las funciones tridimensionales contenidas en la métrica eq. 122 y ec. 123 debe tener un intervalo de cambio de característica único y común. Sólo esto permite aproximar en las ecuaciones de Einstein todas las derivadas de los componentes espaciales métricos con productos simples de estos componentes mediante números de onda característicos, lo que da como resultado ecuaciones diferenciales ordinarias del tipo obtenido para el modelo homogéneo de Tipo IX. Ésta es la razón de la coincidencia entre soluciones homogéneas y generales.

De ello se deduce que tanto el modelo Tipo IX como su generalización contienen un modo oscilatorio con una escala espacial única de una magnitud arbitraria que no se selecciona entre otras por ninguna condición física. Sin embargo, se sabe que en sistemas no lineales con infinitos grados de libertad dicho modo es inestable y se disipa parcialmente en oscilaciones más pequeñas. En el caso general de pequeñas perturbaciones con un espectro arbitrario, siempre habrá algunas cuyas amplitudes aumentarán alimentándose de la energía total del proceso. Como resultado, surge una imagen complicada de movimientos de múltiples escalas con cierta distribución de energía e intercambio de energía entre oscilaciones de diferentes escalas. Esto no ocurre sólo cuando el desarrollo de oscilaciones de pequeña escala es imposible debido a las condiciones físicas. Para esto último, debe existir alguna longitud física natural que determine la escala mínima a la que sale energía de un sistema con grados de libertad dinámicos (lo que, por ejemplo, ocurre en un líquido con cierta viscosidad). Sin embargo, no existe una escala física innata para un campo gravitacional en el vacío y, por tanto, no hay ningún impedimento para el desarrollo de oscilaciones de escalas arbitrariamente pequeñas. ^[57]

Conclusiones

BKL describe singularidades en la solución cosmológica de ecuaciones de Einstein que tienen un carácter oscilatorio complicado. Aunque estas singularidades se han estudiado principalmente en modelos espacialmente homogéneos, existen razones convincentes para suponer que las singularidades en la solución general de las ecuaciones de Einstein tienen las mismas características; esta circunstancia hace que el modelo BKL sea importante para la cosmología.

Una base para tal afirmación es el hecho de que el modo oscilatorio en el enfoque de la singularidad es causado por una perturbación única que también causa inestabilidad en la solución de Kasner generalizada. Una confirmación de la generalidad del modelo es la construcción analítica para períodos largos con pequeñas oscilaciones. Aunque este último comportamiento no es un elemento necesario de la evolución métrica cercana a la singularidad, tiene todas las propiedades cualitativas principales: oscilación métrica en dos dimensiones espaciales y cambio monótono en la tercera dimensión con una cierta perturbación de este modo al final de algún tiempo. intervalo. Sin embargo, las transiciones entre las épocas de Kasner en el caso general de la métrica espacial no homogénea no se han dilucidado en detalle.

El problema relacionado con las posibles limitaciones de la geometría espacial causadas por la singularidad se dejó de lado para estudios posteriores. Sin embargo, desde el principio está claro que el modelo BKL original es aplicable tanto al espacio finito como al infinito; Esto se evidencia por la existencia de modelos de singularidad oscilatoria para espacios-tiempos tanto cerrados como abiertos.

El modo oscilatorio del enfoque de la singularidad da un nuevo aspecto al término "finitud del tiempo". Entre cualquier momento finito del tiempo mundial t y el momento t = 0 hay un número infinito de oscilaciones. En este sentido, el proceso adquiere un carácter infinito. En lugar del tiempo t , una variable más adecuada para su descripción es ln t mediante el cual se extiende el proceso . ${\displaystyle -\infty }$

BKL considera la evolución métrica en la dirección del tiempo decreciente. Las ecuaciones de Einstein son simétricas con respecto al signo del tiempo, por lo que es igualmente posible una evolución métrica en la dirección del aumento del tiempo. Sin embargo, estos dos casos son fundamentalmente diferentes porque el pasado y el futuro no son equivalentes en el sentido físico. La singularidad futura puede ser físicamente significativa sólo si es posible en condiciones iniciales arbitrarias existentes en un momento anterior. La distribución de la materia y los campos en algún momento de la evolución del Universo no necesariamente corresponden a las condiciones específicas requeridas para la existencia de una determinada solución especial a las ecuaciones de Einstein.

La elección de soluciones correspondientes al mundo real está relacionada con requisitos físicos profundos que son imposibles de encontrar utilizando únicamente la teoría de la relatividad existente y que pueden encontrarse como resultado de futuras síntesis de teorías físicas. Por lo tanto, puede resultar que esta elección singularice algún tipo especial (por ejemplo, isotrópico) de singularidad. Sin embargo, es más natural suponer que, debido a su carácter general, el modo oscilatorio debería ser la característica principal de las etapas evolutivas iniciales.

En este sentido, es de considerable interés la propiedad del modelo "Mixmaster" mostrado por Misner ^[58] relacionada con la propagación de señales luminosas. En el modelo isotrópico existe un "horizonte luminoso", lo que significa que para cada momento hay una distancia más larga en la que el intercambio de señales luminosas y, por tanto, una conexión causal, es imposible: la señal no puede alcanzar tales distancias durante el tiempo desde la singularidad t = 0.

La propagación de la señal está determinada por la ecuación ds = 0. En el modelo isotrópico cerca de la singularidad t = 0, el elemento de intervalo es , donde es una forma diferencial espacial independiente del tiempo. ^[59] Sustitución de rendimientos ${\displaystyle ds^{2}=dt^{2}-2td{\bar {l}}^{2}}$ ${\displaystyle d{\bar {l}}^{2}}$ ${\displaystyle t=\eta ^{2}/2}$

La "distancia" alcanzada por la señal es ${\displaystyle \Delta {\bar {l}}}$

Dado que η, al igual que t , recorre valores que comienzan desde 0, hasta el "momento" η las señales sólo pueden propagarse a la distancia que fija la distancia más lejana al horizonte. ${\displaystyle \Delta {\bar {l}}\leq \eta }$

La existencia de un horizonte claro en el modelo isotrópico plantea un problema en la comprensión del origen de la isotropía actualmente observada en la radiación reliquia. Según el modelo isotrópico, la isotropía observada significa propiedades isotrópicas de la radiación que llega al observador desde regiones del espacio que no pueden estar causalmente relacionadas entre sí. La situación en el modelo de evolución oscilatoria cerca de la singularidad puede ser diferente.

Por ejemplo, en el modelo homogéneo para el espacio Tipo IX, una señal se propaga en una dirección en la que durante un período prolongado las escalas cambian según una ley cercana a ~ t . El cuadrado del elemento de distancia en esta dirección es dl ² = t ² y el elemento respectivo del intervalo de cuatro dimensiones es . La sustitución pone esto en la forma ${\displaystyle {\bar {l}}^{2}}$ ${\displaystyle ds^{2}=dt^{2}-t^{2}{\bar {l}}^{2}}$ ${\displaystyle t=e^{\eta }}$

y para la propagación de la señal se tiene una ecuación del tipo eq. 128 de nuevo. La diferencia importante es que la variable η ahora pasa por valores que comienzan desde (si la ecuación métrica 129 es válida para todo t que comienza desde t = 0). ${\displaystyle -\infty }$

Por lo tanto, para cada "momento" dado η se encuentran intervalos intermedios Δη suficientes para que la señal cubra cada distancia finita.

De esta manera, durante una era larga se abre un horizonte de luz en una dirección espacial determinada. Aunque la duración de cada era larga sigue siendo finita, durante el curso de la evolución mundial las eras cambian un número infinito de veces en diferentes direcciones espaciales. Esta circunstancia hace esperar que en este modelo sea posible una conexión causal entre eventos en todo el espacio. Debido a esta propiedad, Misner llamó a este modelo "universo Mixmaster" por la marca de una máquina mezcladora de masa.

A medida que pasa el tiempo y nos alejamos de la singularidad, el efecto de la materia en la evolución métrica, que era insignificante en las primeras etapas de la evolución, aumenta gradualmente y eventualmente se vuelve dominante. Se puede esperar que este efecto conduzca a una "isotropización" gradual del espacio, como resultado de lo cual sus características se acercarán al modelo de Friedman, que describe adecuadamente el estado actual del Universo.

Finalmente, BKL plantea el problema de la viabilidad de considerar un "estado singular" de un mundo con materia infinitamente densa basándose en la teoría de la relatividad existente. La aplicación física de las ecuaciones de Einstein en su forma actual en estas condiciones sólo podrá aclararse en el proceso de una futura síntesis de teorías físicas y, en este sentido, el problema no puede resolverse por el momento.

Es importante que la teoría gravitacional en sí misma no pierda su cohesión lógica (es decir, no dé lugar a controversias internas) cualesquiera que sean las densidades de materia. En otras palabras, esta teoría no está limitada por las condiciones que impone, lo que podría hacer lógicamente inadmisible y controvertida su aplicación a densidades muy grandes; Las limitaciones podrían, en principio, aparecer sólo como resultado de factores que son "externos" a la teoría gravitacional. Esta circunstancia hace que el estudio de singularidades en modelos cosmológicos sea formalmente aceptable y necesario en el marco de la teoría existente.

Notas

1. Puede encontrar una simulación animada similar de David Garfinkle en ^[1]
2. La convención utilizada por BKL es la misma que la del libro de Landau & Lifshitz (1988). Los índices latinos pasan por los valores 0, 1, 2, 3; Los índices griegos recorren los valores espaciales 1, 2, 3. La métrica g _ik tiene la firma (+ − − −); γ _αβ = − g _αβ es el tensor métrico espacial tridimensional. BKL utiliza un sistema de unidades en el que la velocidad de la luz y la constante gravitacional de Einstein son iguales a 1.
3. La expresión de r se obtiene al logaritmar los coeficientes de potencia en la métrica: ln [ t ^{2 p _α (1/ u )} ] = 2 p _α (1/ u ) ln t .
4. Cuando ( p ₁ , p ₂ , p ₃ ) = (0, 0, 1) la ecuación métrica del espacio-tiempo. 1 con dl ² de la ecuación. 2 se transforma a métrica galileana con la sustitución t sh z = ζ, t ch z = τ, es decir, la singularidad es ficticia y el espacio-tiempo es plano.
5. Aquí y a continuación, todos los símbolos para operaciones vectoriales (productos vectoriales, operaciones rot, grad, etc.) deben entenderse de una manera muy formal como operaciones sobre los componentes covariantes de los vectores l , m , n tales que se realizan en cartesiano. coordenadas x ¹ , x ² , x ³ .
6. Excepto el caso ( p ₁ , p ₂ , p ₃ ) = (0, 0, 1), en el que la singularidad métrica es ficticia.
7. Las constantes λ, μ, ν son las llamadas constantes estructurales del grupo de movimiento espacial.
8. En su forma exacta, las ecuaciones de Einstein para espacio homogéneo contienen, en general, 6 funciones diferentes del tiempo γ _ab ( t ) en la métrica. El hecho de que en el presente caso se obtenga un sistema consistente de ecuaciones exactas para la métrica que contiene sólo 3 funciones del tiempo (γ ₁₁ = а ² , γ ₂₂ = b ² , γ ₃₃ = c ² ) está relacionado con una simetría que conduce a la desaparición de 6 componentes del tensor de Ricci.
9. Los valores asintóticos de α _τ , β _τ , γ _τ en τ → −∞ se pueden encontrar sin resolver completamente la ecuación. 29 . Basta señalar que la primera de estas ecuaciones tiene la forma de una "partícula" que se mueve en una dimensión en el campo de una pared de potencial exponencial, donde α desempeña el papel de constante. En esta analogía, el modo Kasner se refiere a un movimiento libre con velocidad constante α _τ = Λ p ₁ . Después de la reflexión en la pared, la partícula se mueve libremente con velocidad α _τ = −Λ p ₁ . Observando también que a partir de la ec. 29 α _τ + β _τ = constante, y α _τ + γ _τ = constante, se puede ver que β _τ y γ _τ toman los valores β _τ = Λ( p ₂ − 2 p ₁ ), γ _τ = Λ( p ₃ − 2 pags ₁ ).
10. La introducción de componentes no diagonales de γ _ab ( t ) imparte algunas características nuevas al modelo BKL: rotaciones de ejes correspondientes a las potencias de la época de Kasner; este problema se estudia en Belinsky, Khalatnikov y Lifshitz (1971)
11. La constante en el argumento del seno, por supuesto, no es necesariamente la misma que ξ ₀ en la ecuación. 47 y ec. 48 ; sin embargo, hacerlos iguales no cambia de ninguna manera el carácter de la solución.
12. En un cálculo más preciso, aparece un término logarítmico que cambia lentamente en el argumento del seno y aparece un multiplicador delante del exponente en la expresión para с (ξ), ver Belinsky, Khalatnikov & Lifshitz 1970, Apéndice B.
13. Si en la ecuación. 49 , se sustituye sh 2χ por 2χ y se resuelve para todos los valores de ξ, se obtiene χ = c ₁ J ₀ (ξ) + c ₂ N ₀ (ξ) donde J ₀ , N ₀ son funciones de Bessel de I y II amable. Esta solución interpola entre los dos casos límite y permite relacionar en un orden de magnitud los parámetros constantes en la ecuación. 52 y ec. 55 .
14. Dado que a , b , c tienen la dimensión de longitud, sus logaritmos se definen sólo hasta una constante aditiva que depende de la elección de las unidades de longitud; en este sentido la ec. 63 tiene un significado condicional correspondiente a una determinada elección del valor cero de α, β, γ.
15. Según la ecuación. 32 , las transiciones son grandes con pequeñas | página ₁ | ( es decir, u grande ) y son ≈1/| página ₁ | ~ ud . Pero incluso en este caso Δ _n ~ u _n |α _n | u _n ${\displaystyle \gg }$
16. Fijando los límites de la era según la ec. 64 es significativo porque en tal caso la era contiene todas las épocas en las que la tercera función, γ( t ) disminuye monótonamente. Si la era se define por la secuencia de valores de u desde k + x hasta 1 + x , entonces la disminución monótona de γ( t ) continuará durante la primera época de la siguiente era.
17. La duración de las épocas es excelente en comparación con las transiciones entre épocas. Según la ecuación. 33 longitudes de transición son geniales para los pequeños | página ₁ | (es decir, u grande ) y son ∝ 1/| página ₁ | ∝ tu . Pero incluso en este caso Δ _n ∝ u _n |α _n | u _n . ${\displaystyle \gg }$
18. Gauss ya conocía la ecuación 74 , y una ecuación de tipo eq. 73c fue considerado a este respecto por Rodion Kuzmin (ver Distribución de Gauss-Kuzmin ). Más información sobre el comportamiento caótico y la entropía de fracciones continuas en Linas Vepstas. 2008. Entropía de fracciones continuas (entropía de Gauss-Kuzmin)
19. La gráfica de la función P (δ) en la Fig. 2 en Lifshitz, Lifshitz y Khalatnikov 1970 es incorrecta por varias razones. Al parecer se cometieron algunos errores al preparar el programa para la solución numérica de la ecuación integral. También se realizó una reducción "forzada" de los valores P (0) y P (1) en vista de la nota a pie de página incorrecta en Lifshitz, Lifshitz & Khalatnikov 1970, Sec. 4. La probabilidad finita del valor δ = 0 no significa la posibilidad de que la amplitud inicial de la oscilación llegue a ser cero (lo que estaría en contradicción con el curso regular de la evolución mostrado en la Fig. 4). De la ecuación. 78 δ _s+1 tiende a cero con x _s → 0 proporcional a x _s ; pero la amplitud viene dada por el producto δ _s+1 Ω _s+1 , que tiende a un límite finito ya que la expresión eq. 77 contiene un término con 1/ x _s .
20. Tenga en cuenta que esta métrica permite transformaciones arbitrarias de tipo ξ′ + z ″ = f ₁ (ξ + z ), ξ′ − z ′ = f ₂ (ξ − z ), x ′ ^a = f ^a ( x ¹ , x ² ).
21. La ecuación es un resultado directo de la ecuación. 97 – ecuación. 99 si o . El caso no requiere un tratamiento especial: se puede demostrar que la métrica del espacio-tiempo en este caso converge (en primera aproximación) a Galileo. ${\displaystyle R_{0}^{0}+R_{3}^{3}=0}$ ${\displaystyle {\dot {G}}\neq 0}$ ${\displaystyle G^{\prime }\neq 0}$ ${\displaystyle {\dot {G}}=G^{\prime }=0}$
22. Es posible buscar una solución en forma de integrales de Fourier; este tema no ha sido estudiado en detalle. Por lo tanto, BKL no requiere la descomposición en series de Fourier como condición obligatoria para la dependencia de coordenadas de las funciones σ y φ
23. de H al cuadrado en la ecuación. 103 dan como resultado solo pequeñas correcciones (≈1/ξ) en σ y φ. El cálculo con términos cúbicos conduce a la aparición de una débil dependencia de A , B de ξ que puede presentarse como una aparición de fases logarítmicas en los factores oscilantes en la ecuación. 115 . Estos cálculos para el caso ρ = 0 se dan en Belinsky y Khalatnikov (1970, Apéndice B) (cf. la situación análoga para modelos homogéneos, Belinsky, Khalatnikov y Lifshitz (1970, Apéndice B)).
24. La descomposición regular de la solución general de las ecuaciones de Einstein contiene (además de las cuatro funciones tridimensionales) tres funciones independientes de dos coordenadas (cf. Petrov 1969, capítulo 40; Lifshitz y Khalatnikov (1963, Apéndice A))

Referencias

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