Los Shulva Sutras o Śulbasūtras ( sánscrito : शुल्बसूत्र; śulba : "cuerda, cordón, cuerda") son textos de sutras que pertenecen al ritual Śrauta y que contienen geometría relacionada con la construcción del altar de fuego .
Los Shulba Sutras son parte de un corpus más amplio de textos llamado Shrauta Sutras , considerados apéndices de los Vedas . Son las únicas fuentes de conocimiento de las matemáticas indias del período védico . Las formas únicas de los altares de fuego se asociaban con regalos únicos de los dioses. Por ejemplo, "el que desee el cielo debe construir un altar de fuego en forma de halcón"; "Quien desee conquistar el mundo de Brahman debe construir un altar de fuego en forma de tortuga" y "aquellos que deseen destruir a los enemigos existentes y futuros deben construir un altar de fuego en forma de rombo". [1]
Los cuatro Shulba Sutras principales, que son matemáticamente los más significativos, son los atribuidos a Baudhayana , Manava , Apastamba y Katyayana . [2] Su idioma es el sánscrito védico tardío , lo que apunta a una composición aproximadamente durante el primer milenio a.C. [2] El más antiguo es el sutra atribuido a Baudhayana, posiblemente compilado alrededor del 800 a. C. al 500 a. C. [2] Pingree dice que Apastamba es probablemente el siguiente más antiguo; sitúa al Katyayana y al Manava en tercer y cuarto lugar cronológicamente, sobre la base de aparentes préstamos. [3] Según Plofker, el Katyayana fue compuesto después de "la gran codificación gramatical del sánscrito por Pāṇini probablemente a mediados del siglo IV a. C.", pero sitúa el Manava en el mismo período que el Baudhayana. [4]
Con respecto a la composición de los textos védicos, Plofker escribe:
La veneración védica del sánscrito como lengua sagrada, cuyos textos divinamente revelados debían ser recitados, oídos y memorizados en lugar de transmitirse por escrito, ayudó a dar forma a la literatura sánscrita en general. ... Así, los textos se componían en formatos que podían memorizarse fácilmente: ya sea aforismos en prosa condensados ( sūtras, una palabra que más tarde se aplicó para referirse a una regla o algoritmo en general) o verso, particularmente en el período clásico. Naturalmente, la facilidad de memorización a veces interfería con la facilidad de comprensión. Como resultado, la mayoría de los tratados fueron complementados con uno o más comentarios en prosa..." [5]
Hay varios comentarios para cada uno de los Shulba Sutras, pero fueron escritos mucho después de las obras originales. El comentario de Sundararāja sobre Apastamba, por ejemplo, proviene de finales del siglo XV d.C. [6] y el comentario de Dvārakãnātha sobre Baudhayana parece tomar prestado de Sundararāja. [7] Según Staal, ciertos aspectos de la tradición descrita en los Shulba Sutras habrían sido "transmitidos oralmente", y señala lugares en el sur de la India donde todavía se practica el ritual del altar de fuego y se conserva una tradición oral. [8] Sin embargo, la tradición del altar de fuego se extinguió en gran medida en la India, y Plofker advierte que aquellos focos donde permanece la práctica pueden reflejar un renacimiento védico posterior en lugar de una tradición ininterrumpida. [4] La evidencia arqueológica de las construcciones de altares descritas en los Shulba Sutras es escasa. En las excavaciones de GR Sharma en Kausambi se encontró un gran altar de fuego con forma de halcón ( śyenaciti ), que data del siglo II a. C., pero este altar no se ajusta a las dimensiones prescritas por los Shulba Sutras. [3] [9]
Es probable que el contenido de los Shulba Sutras sea más antiguo que las obras mismas. El Satapatha Brahmana y el Taittiriya Samhita , cuyos contenidos datan de finales del segundo milenio o principios del primer milenio a. C., describen altares cuyas dimensiones parecen basarse en el triángulo rectángulo con catetos de 15 pada y 36 pada , uno de los triángulos enumerados en el Baudhayana Shulba Sutra. [10] [11]
Varios matemáticos e historiadores mencionan que los primeros textos fueron escritos a partir del año 800 a. C. por hindúes védicos basándose en compilaciones de una tradición oral que se remonta al año 2000 a. C. [12] [13] Es posible, como propone Gupta, que la geometría se haya desarrollado para satisfacer las necesidades del ritual. [14] Algunos estudiosos van más allá: Staal plantea la hipótesis de un origen ritual común para la geometría india y griega, citando un interés y un enfoque similares a la duplicación y otros problemas de transformación geométrica. [15] Seidenberg, seguido de van der Waerden, ve un origen ritual para las matemáticas de manera más amplia, postulando que los principales avances, como el descubrimiento del teorema de Pitágoras, ocurrieron en un solo lugar y desde allí se difundieron al resto del mundo. . [16] [17] Van der Waerden menciona que el autor de los sutras Sulbha existió antes del 600 a. C. y no pudo haber sido influenciado por la geometría griega. [18] [19] Si bien Boyer menciona las matemáticas de la antigua Babilonia (c. 2000 a. C.-1600 a. C.) como un posible origen, también afirma que los sutras Shulba contienen una fórmula que no se encuentra en las fuentes babilónicas. [20] [1] KS Krishnan menciona que los sutras Shulba son anteriores a los triples de Pitágoras mesopotámicos. [21] Seidenberg sostiene que "la antigua Babilonia obtuvo el teorema de Pitágoras de la India o que la antigua Babilonia y la India lo obtuvieron de una tercera fuente". Seidenberg sugiere que esta fuente podría ser sumeria y anterior al 1700 a.C. [22] Por el contrario, Pingree advierte que "sería un error ver en las obras [de los constructores del altar] el origen único de la geometría; otros en la India y en otros lugares, ya sea en respuesta a problemas prácticos o teóricos, bien pueden haber avanzado hasta el momento sin que sus soluciones hayan sido memorizadas o eventualmente transcritas en manuscritos." [23] Plofker también plantea la posibilidad de que "el conocimiento geométrico existente [fuese] incorporado conscientemente a la práctica ritual". [24]
Los sutras contienen enunciados del teorema de Pitágoras , tanto en el caso de un triángulo rectángulo isósceles como en el caso general, así como listas de ternas de Pitágoras . [25] En Baudhayana, por ejemplo, las reglas se dan de la siguiente manera:
1.9. La diagonal de un cuadrado produce el doble de área [del cuadrado].
[...]
1.12. Las áreas [de los cuadrados] producidas por separado por las longitudes del ancho de un rectángulo juntas igualan el área [del cuadrado] producida por la diagonal.
1.13. Esto se observa en rectángulos que tienen lados 3 y 4, 12 y 5, 15 y 8, 7 y 24, 12 y 35, 15 y 36. [26]
De manera similar, las reglas de Apastamba para construir ángulos rectos en altares de fuego utilizan los siguientes triples pitagóricos: [27] [28]
Además, los sutras describen procedimientos para construir un cuadrado con un área igual a la suma o a la diferencia de dos cuadrados dados. Ambas construcciones proceden dejando que el cuadrado más grande sea el cuadrado en la diagonal de un rectángulo, y dejando que los dos cuadrados más pequeños sean los cuadrados en los lados de ese rectángulo. La afirmación de que cada procedimiento produce un cuadrado del área deseada es equivalente al enunciado del teorema de Pitágoras. Otra construcción produce un cuadrado con área igual a la de un rectángulo dado. El procedimiento consiste en cortar una pieza rectangular desde el extremo del rectángulo y pegarla a un lado para formar un gnomon de área igual al rectángulo original. Dado que un gnomon es la diferencia de dos cuadrados, el problema se puede resolver utilizando una de las construcciones anteriores. [29]
El sutra Baudhayana Shulba da la construcción de formas geométricas como cuadrados y rectángulos. [30] También proporciona transformaciones geométricas, a veces aproximadas, que preservan el área de una forma geométrica a otra. Estos incluyen transformar un cuadrado en un rectángulo , un trapecio isósceles , un triángulo isósceles , un rombo y un círculo , y transformar un círculo en un cuadrado. [30] En estos textos aproximaciones, como la transformación de un círculo en un cuadrado, aparecen al lado de afirmaciones más precisas. Como ejemplo, la afirmación de rodear el cuadrado se da en Baudhayana como:
2.9. Si se desea transformar un cuadrado en un círculo, se estira [una cuerda de longitud] la mitad de la diagonal [del cuadrado] desde el centro hacia el este [una parte de ella queda fuera del lado oriental del cuadrado]; sumando un tercio [de la parte que queda afuera] al resto [de la media diagonal], se dibuja el círculo [requerido]. [31]
y el enunciado de la cuadratura del círculo se da como:
2.10. Para transformar un círculo en un cuadrado, se divide el diámetro en ocho partes; una [dicha] parte después de ser dividida en veintinueve partes se reduce en veintiocho de ellas y además en la sexta [de la parte que queda] menos la octava [de la sexta parte].
2.11. Alternativamente, divide [el diámetro] en quince partes y redúcelo en dos de ellas; esto da el lado aproximado del cuadrado [deseado]. [31]
Las construcciones en 2.9 y 2.10 dan un valor de π como 3.088, mientras que la construcción en 2.11 da π como 3.004. [32]
La construcción del altar también condujo a una estimación de la raíz cuadrada de 2 que se encuentra en tres de los sutras. En el sutra Baudhayana aparece como:
2.12. La medida se aumentará en su tercio y este [tercero] nuevamente en su propio cuarto menos la trigésima cuarta parte [de ese cuarto]; este es [el valor de] la diagonal de un cuadrado [cuyo lado es la medida]. [31]
lo que lleva al valor de la raíz cuadrada de dos como:
De hecho, en algunos Sutras [ cita necesaria ] se puede encontrar un método temprano para calcular raíces cuadradas , el método implica la fórmula recursiva : para valores grandes de x, que se basa en la identidad no recursiva para valores de r extremadamente pequeños en relación con a .
También ha sido sugerido, por ejemplo por Bürk [35] , que esta aproximación de √2 implica conocimiento de que √2 es irracional . En su traducción de los Elementos de Euclides , Heath esboza una serie de hitos necesarios para que se considere descubierta la irracionalidad, y señala la falta de pruebas de que las matemáticas indias hubieran alcanzado esos hitos en la era de los Shulba Sutras. [36]
